ลำดับของกูลด์เป็นลำดับจำนวนเต็มที่ตั้งชื่อตามเฮนรี ดับเบิลยู. กูลด์ ซึ่งนับจำนวนคี่ในแต่ละแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลประกอบด้วยกำลังของสอง เท่านั้น และเริ่มต้นที่: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, ... (ลำดับA001316ในOEIS )

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขลำดับที่หกในลำดับคือ 4 เพราะมีตัวเลขคี่สี่ตัวในแถวที่หกของสามเหลี่ยมปาสคาล (ตัวเลขที่เป็นตัวหนาในลำดับ1 , 5 , 10, 10, 5 , 1 ) ลำดับของกูลด์ก็เป็นลำดับแฟร็กทัลเช่น กัน

ค่า ลำดับที่ nในลำดับ (เริ่มต้นจากn = 0 ) จะให้ค่ากำลังของ 2 ที่สูงสุดซึ่งหารค่าสัมประสิทธิ์ทวินามกลาง ลงตัว${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$และให้ค่าตัวเศษของ${\displaystyle 2^{n}/n!}$(แสดงเป็นเศษส่วนในรูปอย่างง่ายที่สุด) ^{[ 1 ]}

ลำดับของ Gould ยังให้จำนวนเซลล์ที่มีชีวิตใน รุ่นที่ nของออโตมาตาเซลลูลาร์ตามกฎ 90 โดยเริ่มจากเซลล์ที่มีชีวิตเพียงเซลล์เดียว^{[ 1 ] [ 3 ]} มีลักษณะ รูปร่าง คล้ายฟันเลื่อย ที่เติบโตขึ้น เรื่อยๆ ซึ่งสามารถใช้เพื่อระบุถึงกระบวนการทางกายภาพที่มีพฤติกรรมคล้ายกับกฎ 90 ^{[ 4 ]}

ลอการิทึมฐานสอง (เลขชี้กำลังที่เป็นกำลังของสอง) ของลำดับของกูลด์นั้นเองก็ก่อให้เกิดลำดับจำนวนเต็ม

0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ... (ลำดับA000120ในOEIS )

โดยที่ค่าลำดับที่n จะแสดง จำนวนบิตที่ไม่เป็นศูนย์ในการแสดงเลขฐานสองของจำนวนnซึ่งบางครั้งเขียนในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ว่า${\displaystyle \#_{1}(n)}$[ ^{1 ] [ 2 ]}ในทำนองเดียวกัน ค่า ^{ลำดับ} ที่ nในลำดับของ Gould คือ

${\displaystyle 2^{\#_{1}(n)}.}$

การนำลำดับเลขชี้กำลังมาหารด้วยสองจะได้ลำดับ Thue– Morse ^{[ 5 ]}

ผลรวมย่อยของลำดับของกูลด์

0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, ... (ลำดับA006046ในOEIS )

นับจำนวนคี่ทั้งหมดใน แถว n แถวแรก ของสามเหลี่ยมปาสคาล จำนวนเหล่านี้จะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนกับ${\displaystyle n^{\log _{2}3}\approx n^{1.585}}$แต่มีค่าคงที่ของสัดส่วนที่แกว่งไปมาระหว่าง 0.812556... และ 1 เป็นช่วงๆ ตามฟังก์ชันของlog n ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ค่า 2 ⁱแรกในลำดับของ Gould อาจสร้างขึ้นโดยการสร้าง ค่า 2 ^{i − 1} แรกแบบเรียกซ้ำ จากนั้นจึงนำค่าสองเท่าของ ค่า 2 ^{i − 1 แรกมาต่อกัน ตัวอย่างเช่น การนำค่าสี่ค่าแรก 1, 2, 2, 4 มาต่อกับค่าสองเท่า 2, 4, 4, 8 จะได้ค่าแปดค่าแรก เนื่องจากโครงสร้างการคูณสองเท่านี้ การปรากฏครั้ง แรก}ของกำลังสอง2 ⁱในลำดับนี้จึงอยู่ที่ตำแหน่ง2 ⁱ − 1 ^{[ 1} ]

ลำดับของ Gould ลำดับของเลขชี้กำลัง และลำดับ Thue–Morse ล้วนมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองกล่าวคือ มีคุณสมบัติที่ว่าลำดับย่อยของค่าที่ตำแหน่งคู่ในลำดับทั้งหมดเท่ากับลำดับดั้งเดิม ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ลำดับอื่นๆ เช่น ลำดับไดอะตอมิกของ Stern มีร่วมกันด้วย[ 3 ^{] [ 8 ] [ 9 ]ในลำดับ}ของ Gould ค่าที่ตำแหน่งคี่จะเป็นสองเท่าของค่าก่อนหน้า ในขณะที่ในลำดับของเลขชี้กำลัง ค่าที่ตำแหน่งคี่จะเป็นหนึ่งบวกกับค่าก่อนหน้า

ลำดับนี้ตั้งชื่อตามเฮนรี ดับเบิลยู. กูลด์ผู้ศึกษาลำดับนี้ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 อย่างไรก็ตาม ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นกำลังของสอง โดยที่เลขชี้กำลังของ ตัวเลขที่ nเท่ากับจำนวนหนึ่งในการแสดงเลขฐานสองของnนั้น เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วโดยเจดับเบิลยู. แอล. เกลเชอร์ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2442 ^{[ 10 ] [ 11 ]}

การพิสูจน์ว่าตัวเลขในลำดับของ Gould เป็นกำลังของสองนั้นถูกกำหนดให้เป็นโจทย์ในการแข่งขันคณิตศาสตร์ William Lowell Putnamปี 1956 ^{[ 12 ]}