สมมติว่ามีอยู่${\displaystyle N}$คู่ของอนุกรมเวลา${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})|n=1,2,...,N\}}$และแต่ละคู่${\displaystyle {x_{n},y_{n}}}$มีเส้นทางการบิดเบี้ยวที่สอดคล้องกัน${\displaystyle P_{n}}$เส้นทางการบิดเบี้ยวบางคู่เป็นที่ทราบกันว่ามีความคล้ายคลึงกัน และเซตของคู่เส้นทางการบิดเบี้ยวทั้งหมดดังกล่าวจะถูกแทนด้วย${\displaystyle {(m,n)}}$ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle (m,n)}$อยู่ในชุดนี้ เส้นทางที่บิดเบี้ยว${\displaystyle P_{m}}$และ${\displaystyle P_{n}}$มีความคล้ายคลึงกัน เพื่อให้ความคล้ายคลึงกันระหว่างอนุกรมเวลาที่จัดเรียงแล้วและระยะทางของเส้นทางการบิดเบี้ยวมีความเหมาะสมที่สุด ปัญหาการจัดเรียงร่วมจึงถูกกำหนดให้เป็นปัญหาการลดค่าให้น้อยที่สุด:

${\displaystyle \min _{\{P_{n}|n=1,2,...,N\}}\left(\sum _{n=1}^{N}cost(P_{n})+\kappa \sum _{(m,n)\in Neib}dist(P_{m},P_{n})\right)}$

ที่นี่${\displaystyle cost(P_{n})}$แสดงถึงระยะห่างระหว่าง${\displaystyle x_{n}}$และ${\displaystyle y_{n}}$หลังจากปรับแนวด้วยฟังก์ชันการบิดเบี้ยวแล้ว${\displaystyle P_{n}}$,${\displaystyle dist(P_{m},P_{n})}$คือระยะห่างระหว่างเส้นทางการบิดเบี้ยว${\displaystyle P_{m}}$และ${\displaystyle P_{n}}$กำหนดโดยพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วย${\displaystyle P_{m}}$และ${\displaystyle P_{n}}$, และ${\displaystyle \kappa }$เป็นไฮเปอร์พารามิเตอร์ที่ใช้ปรับสมดุลระหว่างค่าต้นทุนการจัดเรียงอนุกรมเวลาและค่าระยะทางของฟังก์ชันการบิดเบี้ยว

โปรดสังเกตว่าค่าความแรงของความคล้ายคลึงกันนั้นสามารถกำหนดได้ตามแอปพลิเคชันหรือตามที่ผู้ใช้กำหนด สำหรับคู่เส้นทางการบิดเบี้ยวที่เกี่ยวข้องกันที่แตกต่างกัน${\displaystyle (m,n)}$เราสามารถตั้งค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ได้${\displaystyle \kappa _{(}m,n)}$เพื่อความง่าย ในที่นี้เราจะใช้ไฮเปอร์พารามิเตอร์แบบรวม${\displaystyle \kappa }$.

ปัญหาการลดค่าต่ำสุดข้างต้นนั้นสามารถกำหนดขึ้นได้อย่างเข้าใจง่าย อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าจะแก้ปัญหาดังกล่าวในรูปแบบเดิมได้อย่างมีประสิทธิภาพอย่างไร และการแจงนับเส้นทางการบิดเบี้ยวอย่างง่ายๆ ก็ทำให้กลายเป็นปัญหาNP-hard

ปัญหาการลดค่านี้สามารถกำหนดใหม่เป็น ปัญหา การตัดขั้นต่ำบนกราฟพิเศษที่เรียกว่ากราฟ GTW ซึ่งการตัดขั้นต่ำและเส้นทางบิดเบี้ยวเทียบเท่ากัน^{[ 1 ]}การกำหนดสูตรสามารถอธิบายได้ดังนี้:

• สำหรับ${\displaystyle n_{t}h}$สร้างกราฟ DTW จากคู่ข้อมูลอนุกรมเวลา จากนั้นแปลงกราฟ DTW นี้เป็นกราฟคู่ซึ่งเรียกว่ากราฟย่อย GTW${\displaystyle G^{n}}$ตั้งค่าความจุของขอบย้อนกลับให้เป็นอนันต์
• สำหรับเส้นทางการบิดเบี้ยวที่คล้ายกันแต่ละคู่${\displaystyle P_{m}}$และ${\displaystyle P_{n}}$โดยเชื่อมโยงโหนดที่มีตำแหน่งเดียวกันใน${\displaystyle G^{m}}$และ${\displaystyle G^{n}}$โดยขอบสองทิศทางที่มีความจุ${\displaystyle \kappa /2}$ขอบลักษณะนี้เรียกว่า ขอบตัดขวาง
• กราฟ GTW ที่สร้างขึ้น ดังแสดงในรูป ประกอบด้วย${\displaystyle N}$กราฟย่อย GTW และขอบไขว้
• ใช้ขั้นตอนวิธีอัตราการไหลสูงสุดเพื่อหาค่าตัดต่ำสุดของกราฟที่สร้างขึ้น ค่าตัดต่ำสุดภายในกราฟย่อย GTW แต่ละกราฟจะสอดคล้องกับเส้นทางการบิดเบี้ยวหนึ่งเส้นทาง

กราฟย่อย GTW แต่ละอัน${\displaystyle G^{n}}$GTW คือกราฟคู่ขนานของกราฟ DTW ซึ่งแสดงถึงการจัดเรียงคู่ข้อมูลอนุกรมเวลาเดียว ดังนั้น การตัดภายในกราฟย่อย GTW จึงเป็นคู่ขนานกับเส้นทางการบิดเบี้ยวในกราฟ DTW และเทอมต้นทุนการจัดเรียงโปรไฟล์สามารถแสดงได้ด้วยต้นทุนการตัดภายในกราฟย่อย ความจุที่ไม่มีที่สิ้นสุดของขอบย้อนกลับถูกนำมาใช้เพื่อรับประกันความเป็นเอกรูปและความต่อเนื่องของเส้นทางการบิดเบี้ยว

ขอบตัดขวางจำกัดความคล้ายคลึงกันของเส้นทางการบิดเบี้ยวและมีส่วนช่วยในเทอมระยะทางในฟังก์ชันเป้าหมาย โปรดสังเกตว่าใน ปัญหา การตัดขั้นต่ำโหนดจะถูกกำหนดให้กับด้านแหล่งกำเนิดหรือด้านปลายทางในที่สุด และการตัดขั้นสุดท้ายจะถูกกำหนดโดยขอบระหว่างสองด้าน แต่ละคู่ของโหนดที่ไม่ตรงกันใน${\displaystyle G^{m}}$และ${\displaystyle G^{n}}$มีส่วนทำให้เกิดระยะห่างระหว่าง${\displaystyle P_{m}}$และ${\displaystyle P_{n}}$และจะส่งผลให้เพิ่มขึ้นอีก${\displaystyle \kappa /2}$ต้นทุน ดังนั้น ระยะทางจึงสามารถแทนได้ด้วยต้นทุนการตัดในขอบขวาง

ดังนั้น ต้นทุนการตัดในกราฟ GTW จึงสอดคล้องกับเงื่อนไขต้นทุนในฟังก์ชันเป้าหมายเมื่อพิจารณาว่าการตัดภายในแต่ละกราฟย่อยสอดคล้องกับเส้นทางการบิดเบี้ยวของคู่ข้อมูลอนุกรมเวลาหนึ่งคู่ การตัดขั้นต่ำของกราฟ GTW จึงสอดคล้องกับวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดของเส้นทางการบิดเบี้ยวในการจัดตำแหน่งร่วมกัน

ในการจัดเรียงลำดับหลายลำดับจุดประสงค์คือการจัดเรียงลำดับทั้งหมดให้ตรงกับข้อมูลอ้างอิงทั่วไป อย่างไรก็ตาม ข้อมูลอ้างอิงทั่วไปนี้มักจะไม่เป็นที่รู้จัก นอกจากนี้ยังมีข้อมูลโครงสร้างระหว่างลำดับต่างๆ ด้วย แม้ว่า GTW จะไม่สามารถนำไปใช้โดยตรงในแอปพลิเคชันเหล่านี้ได้ แต่กรอบการทำงานสองขั้นตอนที่เรียกว่า ncGTW ได้ถูกสร้างขึ้นบน GTW เพื่อแก้ปัญหานี้ ในขั้นตอนแรก ความรู้โครงสร้างก่อนหน้าระหว่างลำดับต่างๆ จะถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้ฟังก์ชันการบิดเบี้ยว ในขั้นตอนที่สอง ฟังก์ชันการบิดเบี้ยวเหล่านี้จะช่วยจัดเรียงลำดับทั้งหมดให้ตรงกับข้อมูลอ้างอิงเสมือน ซึ่งไม่จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจน ncGTW ถูกนำไปใช้กับปัญหาการจัดเรียงโปรไฟล์ LC-MS ในข้อมูลโปรตีโอมิกส์และทำงานได้ดีกว่าวิธีการที่มีอยู่^{[ 2 ]}

การแก้ปัญหาการตัดขั้นต่ำบนกราฟ GTW โดยใช้อัลกอริธึมการไหลสูงสุดแบบดั้งเดิมจะใช้เวลา นาน และใช้หน่วยความจำ มาก เนื่องจากขนาดกราฟมีขนาดใหญ่ ซึ่งจำกัดการใช้งานของ GTW อัลกอริธึม BILCO ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติสำคัญสองประการของปัญหาการจัดแนวร่วมและบรรลุการปรับปรุงโดยเฉลี่ย 10 เท่าทั้งในด้านเวลาในการทำงานและการใช้หน่วยความจำ คุณสมบัติทั้งสองประการคือ:

• ปัญหาการจัดแนวร่วมเป็นการขยายความของปัญหาการจัดแนวแบบคู่ และมีปัญหา DTW จำนวนมากที่ฝังอยู่ในกราฟ GTW เนื่องจากกราฟย่อย GTW แต่ละกราฟเป็นคู่ขนานกับกราฟ DTW ดังนั้นการไหลสูงสุดภายในกราฟย่อย GTW แต่ละกราฟจึงสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นโดยใช้การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัต
• ในการใช้งานหลายๆ กรณี สามารถประมาณค่าเส้นทางการบิดเบี้ยวโดยประมาณได้อย่างคร่าวๆ ซึ่งสามารถใช้เป็นค่าเริ่มต้นเพื่อเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้

ตามคุณสมบัติข้อแรก BILCO แบ่งการแลกเปลี่ยนการไหลออกเป็นสองประเภท: (1) การแลกเปลี่ยนการไหลภายในกราฟย่อย GTW; (2) การแลกเปลี่ยนการไหลข้ามกราฟย่อย GTW ที่เกี่ยวข้อง กระบวนการนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับกระบวนการสูบน้ำจากถังเก็บน้ำที่เชื่อมต่อกัน และการแลกเปลี่ยนการไหลสองประเภทนี้เรียกว่าการระบาย (Drain ) และการปลดปล่อย (Discharge ) เพื่อใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติดังกล่าวอย่างเต็มที่ จึงใช้ส่วนประกอบ (แต่ละส่วนประกอบเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันของกราฟย่อย GTW) แทนที่จะใช้โหนดเดี่ยว เป็นหน่วยปฏิบัติการ การดำเนินการของส่วนประกอบทั้งการระบายและการปลดปล่อยสามารถดำเนินการได้ในเวลาเชิงเส้น

คุณสมบัติที่สองเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดกลยุทธ์การผลักดันแบบสองทิศทาง ในกลยุทธ์นี้ BILCO จะแบ่งกราฟออกเป็นสองส่วนโดยใช้โซลูชันโดยประมาณเริ่มต้นก่อน จากนั้นจึงผลักดันส่วนเกิน/ส่วนขาดในส่วนปลายทาง/แหล่งที่มาที่ได้รับตามลำดับ เมื่อเปรียบเทียบกับอัลกอริธึมการไหลสูงสุดแบบ push-relabel ที่มีอยู่ BILCO ช่วยลดการคำนวณที่ซ้ำซ้อนได้อย่างมาก เป็นที่น่าสังเกตว่ากลยุทธ์ดังกล่าวสามารถนำมาใช้เพื่อช่วยเร่งอัลกอริธึมแบบ push-relabel อื่นๆ ได้เช่นกัน^{[ 3 ]}

ในข้อมูลภาพชีวภาพแบบไทม์แลปส์การแพร่กระจายของสัญญาณเป็นปรากฏการณ์ที่พบเห็นได้ทั่วไปในเซลล์หลายประเภท^{[ 4 ]}การศึกษาการแพร่กระจายของสัญญาณอาจช่วยเปิดเผยหน้าที่ของเซลล์เหล่านี้ทั้งในสภาวะปกติและสภาวะพยาธิสภาพ ข้อมูลการแพร่กระจายสามารถได้มาจากเส้นทางการบิดเบี้ยวโดยการจัดเรียงเส้นโค้งของพิกเซลให้ตรงกับสัญญาณอ้างอิง เนื่องจากอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน ต่ำ ในข้อมูลภาพชีวภาพ วิธีการจัดเรียงแบบจับคู่มักให้ผลลัพธ์ที่ไม่น่าพอใจ เมื่อพิจารณาถึงความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของสัญญาณ ความคล้ายคลึงกันของเส้นทางการบิดเบี้ยวระหว่างพิกเซลที่อยู่ติดกันสามารถนำมาใช้ใน GTW เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการจัดเรียง ซึ่งอาจนำไปสู่การคำนวณคุณสมบัติการแพร่กระจายที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ในภาพสเตอริโอ แบบสองตา เทคนิคการจัดเรียงสามารถใช้เพื่อดึงข้อมูลความลึกได้^{[ 5 ]}ความลึกสามารถหาได้จากความแตกต่างของแถวเดียวกันระหว่างภาพซ้ายและภาพขวา เนื่องจากความลึกของแถวที่อยู่ติดกันควรจะคล้ายกัน จึงสามารถใช้ GTW เพื่อปรับปรุงผลลัพธ์การดึงข้อมูลได้

โดยทั่วไปลายเซ็นจะมีลำดับคุณลักษณะหลายลำดับ เช่น ตำแหน่ง x ตำแหน่ง y และความดัน^{[ 6 ]}ลำดับคุณลักษณะเหล่านั้นมีความสัมพันธ์กัน ซึ่งบ่งชี้ว่าเมื่อเปรียบเทียบลายเซ็นสองรายการ การวัดระยะทางที่ได้จากการจัดเรียงแบบคู่จะไม่เหมาะสม GTW สามารถคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะและให้การวัดระยะทางที่ดีกว่าได้

ใน ชุดข้อมูล ลำดับทางชีวภาพมักพบว่ามีข้อมูลโครงสร้างบางอย่างอยู่ระหว่างลำดับเหล่านั้น ในข้อมูล LC-MS ตัวอย่างที่มีโปรไฟล์ใกล้เคียงกันมักมีรูปแบบการบิดเบี้ยว ที่คล้ายคลึงกัน และ GTW ได้รับการพัฒนาเพื่อจัดเรียงลำดับโปรไฟล์เหล่านี้ร่วมกัน เทคนิคเดียวกันนี้ยังสามารถนำไปใช้กับการจัดเรียงลำดับอื่นๆ ร่วมกันได้อีกด้วย ข้อมูลโครงสร้างระหว่างลำดับยังพบได้ในข้อมูล DNA และกรดอะมิโน ตัวอย่างเช่น ลำดับระหว่างสายพันธุ์ที่เกี่ยวข้องจะมีความคล้ายคลึงกันมากกว่าเมื่อเทียบกับลำดับจากสายพันธุ์ที่อยู่ห่างไกลกัน ข้อมูลนี้สามารถนำมาใช้ประโยชน์โดย GTW ได้