ในพีชคณิตนามธรรมเซตก่อกำเนิดของกลุ่มคือเซตย่อยของเซตของกลุ่ม ซึ่งสมาชิกทุกตัวของกลุ่ม สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมกัน (ภายใต้การดำเนินการของกลุ่ม) ของสมาชิกจำนวนจำกัดของเซตย่อยและ ตัวผกผัน ของ สมาชิก เหล่านั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นเซตย่อยของกลุ่มแล้วกลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นโดย คือ กลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของที่ประกอบด้วยสมาชิกทุกตัวของซึ่งเท่ากับการตัดกันของกลุ่มย่อยทั้งหมดที่ประกอบด้วยสมาชิกของหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือกลุ่มย่อยของสมาชิกทั้งหมดของที่สามารถแสดงได้ในรูปผลคูณจำกัดของสมาชิกในและตัวผกผันของสมาชิกเหล่านั้น (โปรดทราบว่าตัวผกผันจำเป็นเฉพาะในกรณีที่กลุ่มเป็นอนันต์ ในกลุ่มจำกัด ตัวผกผันของสมาชิกสามารถแสดงได้ในรูปกำลังของสมาชิกนั้น) ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

ถ้าเราจะกล่าวว่าสร้างและสมาชิกในเรียกว่าตัวสร้างหรือตัวสร้างกลุ่มถ้าเป็นเซตว่าง แล้วคือกลุ่มที่ไม่สำคัญเนื่องจากเราถือว่าผลคูณของเซตว่างคือเอกลักษณ์ ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle \{e\}}$

เมื่อมีสมาชิกเพียงตัวเดียวในมักจะเขียนเป็นในกรณีนี้คือกลุ่มย่อยวัฏจักรของกำลังของ ซึ่งเป็นกลุ่มวัฏจักรและเรากล่าวว่ากลุ่มนี้ถูกสร้างขึ้นโดยการกล่าวว่าสมาชิกสร้างกลุ่ม เทียบเท่ากับการกล่าวว่าเท่ากับกลุ่มทั้งหมดสำหรับกลุ่มจำกัดยังเทียบเท่ากับการกล่าวว่ามีอันดับด้วย ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |G|}$

กลุ่มหนึ่งอาจต้องการตัวสร้างจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น กลุ่มการบวกของจำนวนตรรกยะ ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด มันถูกสร้างขึ้นโดยตัวผกผันของจำนวนเต็มทั้งหมด แต่เราสามารถลบตัวสร้างจำนวนจำกัดใดๆ ออกจากเซตตัวสร้างได้โดยที่เซตนั้นยังคงไม่ใช่เซตตัวสร้าง ในกรณีเช่นนี้ สมาชิกทั้งหมดในเซตตัวสร้างก็ยังคงเป็น "สมาชิกที่ไม่สร้าง" เช่นเดียวกับสมาชิกทั้งหมดของกลุ่มทั้งหมด − ดูกลุ่มย่อยฟรัตตินีด้านล่าง ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ถ้าเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีแล้ว เซตย่อยของเรียกว่าเซตของตัวสร้างเชิงทอพอโลยีถ้ามีความหนาแน่นใน กล่าวคือส่วนปิดของ คือ กลุ่ม ทั้งหมด${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle S\rangle }$${\displaystyle G}$

ถ้าเซตย่อย เป็นเซตจำกัด แล้วกลุ่มนั้นเรียกว่า กลุ่ม ที่สร้างขึ้นโดยเซตจำกัดโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดยเซตจำกัดโดยเฉพาะนั้นสามารถอธิบายได้ง่าย ทฤษฎีบทหลายข้อที่เป็นจริงสำหรับกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยเซตจำกัดนั้นใช้ไม่ได้กับกลุ่มโดยทั่วไป มีการพิสูจน์แล้วว่าถ้ากลุ่มจำกัดถูกสร้างขึ้นโดยเซตย่อยแล้วสมาชิกแต่ละตัวของกลุ่มสามารถแสดงได้ในรูปของคำจากตัวอักษรที่มีความยาวน้อยกว่าหรือเท่ากับอันดับของกลุ่ม ${\displaystyle S}$${\displaystyle G=\langle S\rangle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ทุกกลุ่มจำกัดล้วนเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด เนื่องจากจำนวนเต็มภายใต้การบวกเป็นตัวอย่างของกลุ่มอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดทั้ง 1 และ −1 แต่กลุ่มของจำนวนตรรกยะภายใต้การบวกไม่สามารถสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดได้ ไม่มี กลุ่มใด ที่นับไม่ได้ที่สามารถสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดได้ ตัวอย่างเช่น กลุ่มของจำนวนจริงภายใต้การบวก ${\displaystyle \langle G\rangle =G}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

กลุ่มย่อยที่แตกต่างกันของกลุ่มเดียวกันสามารถเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างกลุ่มได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า p และq เป็นจำนวนเต็มที่มีgcd ( p ,  q ) = 1แล้ว p และ q ก็สร้างกลุ่มของจำนวนเต็มภายใต้การบวกด้วยเอกลักษณ์ของเบซูต์ ได้เช่น กัน ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \{p,q\}}$

แม้ว่าจะเป็นความจริงที่ว่าผลหาร ทุกกลุ่ม ของกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นก็สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน (ภาพของตัวสร้างในผลหารให้เซตตัวสร้างที่จำกัด) แต่กลุ่มย่อยของกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้นอย่างจำกัดเสมอไป ตัวอย่างเช่น ให้เป็นกลุ่มอิสระที่มีตัวสร้างสองตัว คือและ(ซึ่งเห็นได้ชัดว่าสร้างขึ้นอย่างจำกัด เนื่องจาก) และให้เป็นเซตย่อยที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของที่มีรูปแบบสำหรับจำนวนธรรมชาติ บางจำนวน นั้นสมisomorphicกับกลุ่มอิสระที่มีตัวสร้างที่นับได้เป็นอนันต์ ดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างขึ้นอย่างจำกัดได้ อย่างไรก็ตาม กลุ่มย่อยทุกกลุ่มของกลุ่มอาเบเลียน ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด นั้นสร้างขึ้นอย่างจำกัดในตัวมันเอง อันที่จริงแล้ว สามารถกล่าวได้มากกว่านั้น: ชั้นของกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทั้งหมดนั้นปิดภายใต้การขยายเพื่อดูสิ่งนี้ ให้เลือกเซตตัวสร้างสำหรับกลุ่มย่อยปกติ (ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด) และผลหาร จากนั้นตัวสร้างสำหรับกลุ่มย่อยปกติ พร้อมกับภาพผกผันของตัวสร้างสำหรับผลหาร จะสร้างกลุ่ม ${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle S\rangle }$

• กลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล 9 , U ₉  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} , คือกลุ่มของจำนวนเต็มทั้งหมดที่ไม่มีตัวหารร่วมกับ 9 ภายใต้การคูณมอดูล  9สมาชิก 7 ไม่ใช่ตัวสร้างของU ₉เนื่องจากในขณะที่ 2 เป็นตัวสร้าง เนื่องจาก$${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$$$${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$$
• กลุ่มสมมาตรS _nที่มีดีกรีnไม่สามารถสร้างขึ้นได้จากสมาชิกเพียงตัวเดียว (ไม่ใช่กลุ่มวัฏจักร ) เมื่อn > 2 อย่างไรก็ตาม ในกรณีเหล่านี้S _nสามารถสร้างขึ้นได้เสมอโดยการเรียงสับเปลี่ยนสองแบบ: ในสัญกรณ์วัฏจักรการสลับตำแหน่ง (1 2) และวัฏจักร(1 2 3 ...  n )ก่อให้เกิดเซตตัวสร้าง ตัวอย่างเช่น สมาชิก 6 ตัวของS ₃สามารถสร้างขึ้นได้จากตัวสร้างสองตัว คือ (1 2) และ (1 2 3) ดังแสดงในด้านขวามือของสมการต่อไปนี้ (การประกอบเป็นจากซ้ายไปขวา):

  e = (1 2)(1 2)

  (1 2) = (1 2)

  (1 3) = (1 2)(1 2 3)

  (2 3) = (1 2 3)(1 2)

  (1 2 3) = (1 2 3)

  (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• กลุ่มอนันต์สามารถมีเซตก่อกำเนิดที่เป็นจำนวนจำกัดได้ กลุ่มการบวกของจำนวนเต็มมี 1 เป็นเซตก่อกำเนิด สมาชิก 2 ไม่ใช่เซตก่อกำเนิด เนื่องจากจำนวนคี่จะหายไป เซตย่อยที่มีสองสมาชิก{3, 5}เป็นเซตก่อกำเนิด เนื่องจาก(−5) + 3 + 3 = 1 (อันที่จริง คู่ของ จำนวน เฉพาะสัมพัทธ์ ใดๆ ก็ เป็นเซตก่อกำเนิดได้เช่นกัน อันเป็นผลมาจากเอกลักษณ์ของเบซูต์ )
• กลุ่มไดเฮดรัลของรูปnเหลี่ยม (ซึ่งมีลำดับ2n )ถูกสร้างขึ้นโดยเซต{ r , s }โดยที่rแทนการหมุนด้วยมุม2π / n และ s คือการสะท้อนใดๆ ข้ามเส้นสมมาตร^{[ 1 ]}
• กลุ่มวัฏจักรลำดับ, , และ ราก ^{ที่ th} ของเอกภาพล้วนถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว (อันที่จริง กลุ่มเหล่านี้มีสมมาตรซึ่งกันและกัน) ^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$
• การนำเสนอของกลุ่มถูกกำหนดให้เป็นเซตของตัวสร้างและชุดของความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้าง ดังนั้นตัวอย่างใดๆ ที่ระบุไว้ในหน้านั้นจึงมีตัวอย่างของเซตตัวสร้าง^{[ 3 ]}

กลุ่มทั่วไปที่สุดที่สร้างขึ้นโดยเซตคือ กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยอิสระโดยเซตนั้น ทุกกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยเซตนั้นจะสม isomorphicกับผลหาร ของกลุ่มนี้ ซึ่งเป็นคุณลักษณะที่ถูกนำมาใช้ในการแสดง การนำ เสนอของกลุ่ม${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

หัวข้อที่น่าสนใจอีกหัวข้อหนึ่งคือเรื่องของตัวสร้างที่ไม่ก่อให้เกิดผล (non-generators ) สมาชิกของกลุ่มจะเป็นตัวสร้างที่ไม่ก่อให้เกิดผลก็ต่อเมื่อทุกเซตที่มีสมาชิก ซึ่งก่อให้ เกิดผล ยังคงก่อให้เกิดผลเมื่อนำสมาชิก ออกจากเซตนั้นในจำนวนเต็มที่มีการบวก ตัวสร้างที่ไม่ก่อให้เกิดผลเพียงตัวเดียวคือ 0 เซตของตัวสร้างที่ไม่ก่อให้เกิดผลทั้งหมดจะประกอบเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม ซึ่งเรียกว่ากลุ่มย่อยฟรัตตินี (Frattini subgroup ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$

ถ้าเป็นเซมิกรุปหรือโมโนอิดก็ยังสามารถใช้แนวคิดของเซตก่อกำเนิดของได้เป็นเซตก่อกำเนิดของเซมิกรุป/โมโนอิดถ้าเป็นเซมิกรุป/โมโนอิดที่เล็กที่สุดที่บรรจุ ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

นิยามของเซตก่อกำเนิดของกลุ่มโดยใช้ผลรวมจำกัดที่กล่าวไว้ข้างต้น จะต้องมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยเมื่อเราพิจารณาเซมิกรุปหรือโมโนอิด อันที่จริง นิยามนี้ไม่ควรใช้แนวคิดของการดำเนินการผกผันอีกต่อไป เซตจะเรียกว่าเป็นเซตก่อกำเนิดเซมิกรุปของถ้าแต่ละองค์ประกอบของเป็นผลรวมจำกัดขององค์ประกอบของในทำนองเดียวกัน เซตจะเรียกว่าเป็นเซตก่อกำเนิดโมโนอิดของถ้าแต่ละองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ เป็นผลรวมจำกัดขององค์ประกอบของ ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

ตัวอย่างเช่น {1} เป็นตัวสร้างโมโนอิดของเซตจำนวนธรรมชาติ เซต {1} ยังเป็นตัวสร้างเซมิกรุปของจำนวนธรรมชาติบวกด้วยอย่างไรก็ตาม จำนวนเต็ม 0 ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวม (ที่ไม่ว่างเปล่า) ของ 1 ได้ ดังนั้น {1} จึงไม่ใช่ตัวสร้างเซมิกรุปของจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$

ในทำนองเดียวกัน แม้ว่า {1} จะเป็นตัวสร้างกลุ่มของเซตของจำนวนเต็ม แต่ {1} ก็ไม่ใช่ตัวสร้างโมโนอิดของเซตของจำนวนเต็ม อันที่จริง จำนวนเต็ม −1 ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมจำกัดของ 1 ได้ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ชุดกำเนิดความหมายที่เกี่ยวข้องในโครงสร้างอื่นๆ
• การนำเสนอของกลุ่ม
• องค์ประกอบดั้งเดิม (ฟิลด์จำกัด)
• กราฟเคย์ลีย์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ตัวสร้างกลุ่ม" . MathWorld .