อัลกอริทึม Harrow –Hassidim–Lloyd ( HHL ) เป็นอัลกอริทึมควอนตัมสำหรับการได้มาซึ่งข้อมูลที่จำกัดบางอย่างเกี่ยวกับคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นซึ่งแนะนำโดยAram Harrow , Avinatan Hassidim และSeth Lloydโดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัลกอริทึมนี้ประมาณฟังก์ชันกำลังสองของเวกเตอร์คำตอบของระบบที่กำหนด^{[ 1 ]}

อัลกอริทึมนี้เป็นหนึ่งในอัลกอริทึมพื้นฐานหลักที่คาดว่าจะให้ความเร็วมากกว่าอัลกอริทึมแบบคลาสสิก เช่นเดียวกับอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบของ Shorและ อัลกอริทึมการ ^{ค้นหา}ของ Groverสมมติว่าระบบมีความเบาบาง [ ^{2 ]}มีค่าสภาพ ต่ำ และผู้ใช้สนใจเฉพาะข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับเวกเตอร์คำตอบ ไม่ใช่เวกเตอร์ทั้งหมด อัลกอริทึมนี้มีเวลาทำงานเท่ากับ โดยที่คือจำนวนตัวแปร ซึ่งให้ความเร็วแบบเลขชี้กำลังมากกว่าอัลกอริทึมแบบคลาสสิกที่เร็วที่สุด ซึ่งทำงานใน(หรือสำหรับเมทริกซ์กึ่งบวก) ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle O(\log(N)\คัปปา ^{2})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O(N\kappa )}$${\displaystyle O(N{\sqrt {\kappa }})}$

การนำอัลกอริทึม HHL ไปใช้ได้รับการสาธิตครั้งแรกในปี 2013 โดยสิ่งพิมพ์อิสระสามฉบับ ซึ่งประกอบด้วยระบบง่ายๆ บนอุปกรณ์ที่ออกแบบมาเป็นพิเศษ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}การสาธิตครั้งแรกของอัลกอริทึมเวอร์ชันใช้งานทั่วไปปรากฏขึ้นในปี 2018 ^{[ 6 ]}

เมื่อกำหนดเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเวกเตอร์หน่วย ให้แล้ว อัลกอริทึม HHL จะเตรียมสถานะควอนตัมที่มีแอมพลิจูดเป็นค่าในคำตอบของระบบสม การเชิงเส้น อัลกอริทึมนี้ไม่สามารถแสดงคำตอบx ได้ โดยตรง แต่ช่วยให้สามารถประมาณค่าสำหรับเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนได้ อย่างมีประสิทธิภาพ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {x}}^{T}ม{\vec {x}}}$${\displaystyle M}$

อัลกอริทึมจะเตรียมสถานะควอนตัมก่อน โดย ให้แอม พลิจูดเท่ากับค่าในเมทริกซ์โดยใช้การจำลองแฮมิลโทเนียน ตัวดำเนินการเอกภาพจะถูกนำไปใช้กับ เมทริก ซ์ สำหรับการซ้อนทับกันของเวลาt ที่แตกต่างกัน จากนั้นอัลกอริทึมจะใช้การประมาณเฟสควอนตัมเพื่อแยกเมท ริกซ์ ออก เป็นฐานค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์และหาค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันสถานะของระบบหลังจากขั้นตอนนี้โดยประมาณคือ ${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{j}}$

${\displaystyle \sum _{j\mathop {=} 1}^{N}\beta _{j}|u_{j}\rangle |\lambda _{j}\rangle ,}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAและเป็น สัมประสิทธิ์ลำดับที่ jของbในฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ A${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle \beta _{j}}$

จากนั้นเราต้องการใช้แผนที่เชิงเส้นโดยกำหนดให้Cเป็นค่าคงที่บางค่า แผนที่นี้ไม่ใช่แผนที่เอกภาพและต้องนำไปใช้โดยใช้การวัดควอนตัมที่มีโอกาสล้มเหลวไม่เป็นศูนย์ หลังจากที่สำเร็จแล้ว เราจะยกเลิกการคำนวณรีจิสเตอร์และมีสถานะที่เป็นสัดส่วนกับ ${\displaystyle |\lambda _{j}\rangle }$${\displaystyle C\แลมบ์ดา _{j}^{-1}|\แลมบ์ดา _{j}\rangle }$${\displaystyle |\lambda _{j}\rangle }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{N}\beta _{i}\lambda _{j}^{-1}|u_{j}\rangle =A^{-1}|b\rangle =|x\rangle .}$

โดยการทำการวัดควอนตัมที่สอดคล้องกับMเราจะได้ค่าประมาณของเราสามารถใช้ควอนตัมโทโมกราฟีเพื่อดึงส่วนประกอบทั้งหมดของx ได้ แต่จะต้องทำซ้ำอัลกอริทึมประมาณNครั้ง ${\displaystyle {\vec {x}}^{T}ม{\vec {x}}}$

อัลกอริทึมนี้ต้องการเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. อัลกอริทึมนี้ต้องการให้เมทริกซ์Aเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเพื่อที่จะสามารถยกกำลังเป็นตัวดำเนินการเอกภาพ ได้ ถ้าAไม่ใช่เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน เราสามารถกำหนดเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนขึ้นมาเองและแก้สมการเพื่อหาค่าได้${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}0&A\\A^{\dagger }&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle Cy={\begin{bmatrix}b\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle y={\begin{bmatrix}0\\x\end{bmatrix}}}$
2. อัลกอริทึมนี้ต้องการขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพในการเตรียมโดยถือว่า ได้ถูกเตรียมไว้แล้ว หรือมีB บางตัวที่สามารถ รับสถานะควอนตัมบางอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพ ข้อผิดพลาดใดๆ ในการเตรียมจะถูกละเลย${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle |\mathrm {initial} \rangle }$${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle |b\rangle }$
3. อัลกอริทึมนี้ตั้งสมมติฐานว่าสถานะสามารถเตรียมได้อย่างมีประสิทธิภาพ โดยที่ ค่า Tมีขนาดใหญ่พอสมควรสัมประสิทธิ์ของจะถูกเลือกเพื่อลดฟังก์ชันความสูญเสียกำลังสองบางอย่างให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในรูทีนย่อยที่อธิบายไว้ด้านล่าง${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle :={\sqrt {2/T}}\sum _{\tau \mathop {=} 0}^{T-1}\sin \pi \left({\tfrac {\tau +{\tfrac {1}{2}}}{T}}\right)|\tau \rangle }$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle U_{\mathrm {invert} }}$
4. อัลกอริทึมนี้ตั้งสมมติฐานว่าตัวดำเนินการเอกภาพสามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นไปได้โดยใช้การจำลองแฮมิลโทเนียนหากAเป็น เมทริกซ์ แบบ s -sparse และสามารถคำนวณแถวได้อย่างมีประสิทธิภาพ หมายความว่ามีรายการที่ไม่เป็นศูนย์ไม่เกินsรายการต่อแถว ซึ่งสามารถคำนวณได้ในเวลา O( s ) เมื่อกำหนดดัชนีแถว จากนั้นจึงสามารถนำไปใช้ได้ในเวลา.${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle O(\log(N)s^{2}t)}$

รูทีนย่อยหลักของอัลกอริธึม ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ถูกกำหนดไว้ดังต่อไปนี้โดยใช้การประมาณค่าเฟส : ${\displaystyle U_{\mathrm {invert} }}$

1. เตรียมลงในทะเบียนC${\displaystyle |\psi _{0}\rangle ^{C}}$
2. ใช้การวิวัฒนาการแฮมิลโทเนียนแบบมีเงื่อนไข (ผลรวม)
3. ใช้การแปลงฟูริเยร์กับรีจิสเตอร์  Cกำหนดให้สถานะฐานที่ได้เป็นสำหรับk  = 0, ...,  T  − 1 กำหนด.${\displaystyle |k\rangle }$${\displaystyle \lambda _{k}:=2\pi k/t_{0}}$
4. เพิ่มรีจิสเตอร์สามมิติS เข้าไป ในสถานะ

${\displaystyle |h(\lambda _{k})\rangle ^{S}:={\sqrt {1-f(\lambda _{k})^{2}-g(\lambda _{k})^{2}}}|\mathrm {nothing} \rangle ^{S}+f(\lambda _{k})|\mathrm {well} \rangle ^{S}+g(\lambda _{k})|\mathrm {ill} \rangle ^{S},}$

1. ทำตามขั้นตอนที่ 1–3 ย้อนกลับ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นที่เกิดขึ้นระหว่างทางทิ้งไป

ขั้นตอนการประมาณค่าเฟสในขั้นตอนที่ 1-3 จะประมาณค่าไอเกนของเมทริกซ์Aโดยมีความคลาดเคลื่อนไม่เกิน1 ${\displaystyle \epsilon }$

รีจิสเตอร์เสริมในขั้นตอนที่ 4 จำเป็นสำหรับการสร้างสถานะที่มีค่าไอเกนผกผันซึ่งสอดคล้องกับค่าผกผันของเมทริกซ์Aที่ถูกทำให้เป็นแนวทแยง สถานะ 'nothing', 'well' และ 'ill' ใช้เพื่อควบคุมการทำงานของลูป 'nothing' บ่งชี้ว่าการผกผันเมทริกซ์ยังไม่เกิดขึ้น 'well' บ่งชี้ว่าเกิดขึ้นแล้วและลูปควรหยุด และ 'ill' บ่งชี้ว่าส่วนหนึ่งของเมทริกซ์อยู่ในสถานะที่ไม่เสถียรของAและอัลกอริทึมไม่สามารถสร้างค่าผกผันที่ต้องการได้ การสร้างสถานะที่เป็นสัดส่วนกับค่าผกผันของAจำเป็นต้องวัดค่า 'well' หลังจากนั้นสถานะโดยรวมจะยุบตัวลงเป็นผลลัพธ์ที่ต้องการ ${\displaystyle |b\rangle }$

ลูปหลักทำงานตามหลักการขยายแอมพลิจูดโดยเริ่มต้นด้วย ค่าหนึ่ง แล้วใช้ค่าหนึ่งซ้ำๆ ${\displaystyle U_{\mathrm {invert} }B|\mathrm {initial} \rangle }$

${\displaystyle U_{\mathrm {invert} }B(I-2|\mathrm {initial} \rangle \langle \mathrm {initial} |)B^{\dagger }U_{\mathrm {invert} }^{\dagger }(I-2|\mathrm {well} \rangle \langle \mathrm {well} |).}$

หลังจากแต่ละรอบการทำงานค่าจะถูกวัดและจะได้ค่าเป็น 'ไม่มีอะไร' 'สบายดี' หรือ 'ป่วย' ลูปจะทำงานซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะวัดได้ค่า 'สบายดี' ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นระดับหนึ่งการใช้การขยายแอมพลิจูดช่วยให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนดโดยใช้การสอบถามข้อมูล ซึ่งแตกต่างจากการใช้การทำซ้ำแบบธรรมดา ${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(1/{\sqrt {p}})}$${\displaystyle 1/p}$

หลังจากทำการวัดค่า 'ดี' บนระบบสำเร็จแล้ว ระบบจะอยู่ในสถานะที่เป็นสัดส่วนกับ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{N}\beta _{i}\lambda _{j}^{-1}|u_{j}\rangle =A^{-1}|b\rangle =|x\rangle .}$

การวัดเชิงควอนตัมที่สอดคล้องกับ M จะให้ค่าประมาณของ. ${\displaystyle {\vec {x}}^{T}M{\vec {x}}}$

อัลกอริทึมแบบคลาสสิกที่ดีที่สุดที่สร้างเวกเตอร์คำตอบที่แท้จริงคือการกำจัดแบบเกาส์เซียนซึ่งใช้เวลา ในการทำงาน${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle O(N^{3})}$

ถ้าAเป็น เมทริกซ์ แบบ s -sparse และเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semi-definite) แล้ววิธี Conjugate Gradientสามารถใช้หาเวกเตอร์คำตอบได้ โดยการหาเวกเตอร์คำตอบ นั้นใช้เวลา โดยการลดค่าฟังก์ชันกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุด ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle O(Ns\kappa )}$${\displaystyle \lVert A{\vec {x}}-{\vec {b}}\rVert ^{2}}$

เมื่อ ต้องการเพียงสถิติสรุปของเวกเตอร์คำตอบเท่านั้น เช่นเดียวกับกรณีของอัลกอริธึม HHL คอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกสามารถหาค่าประมาณของ in ได้ ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {x}}^{\dagger }M{\vec {x}}}$${\displaystyle O(N{\sqrt {\kappa }})}$

เวลาการทำงานของอัลกอริทึมที่เสนอโดย Harrow et al. ในตอนแรกนั้นแสดงให้เห็นว่าเป็นโดยที่คือพารามิเตอร์ข้อผิดพลาด และคือเลขเงื่อนไขของต่อมา Andris Ambainis ^{[ 7 ]}ได้ปรับปรุงให้เป็นและPeniel Tsemo et al. ^{[ 8 ] ได้ปรับปรุงให้เป็น สำหรับกรณีเลขเงื่อนไขขนาดใหญ่ และ Childs et al. [ 9 ]}ได้พัฒนาอัลกอริทึมควอนตัมที่มีเวลาการทำงานเป็นพหุนามในเนื่องจากอัลกอริทึม HHL รักษาการปรับขนาดแบบลอการิทึมในเฉพาะเมทริกซ์แบบเบาบางหรืออันดับต่ำ Wossnig et al. ^{[ 10 ]}จึงขยายอัลกอริทึม HHL โดยอาศัยเทคนิคการประมาณค่าเอกลักษณ์ควอนตัมและจัดเตรียมอัลกอริทึมระบบเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์หนาแน่นซึ่งทำงานในเวลา เมื่อเทียบกับของอัลกอริทึม HHL มาตรฐาน ${\displaystyle O(\kappa ^{2}\log N/\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle O(\kappa \log ^{3}\kappa \log N/\varepsilon ^{3})}$${\displaystyle O(\kappa \log N/\varepsilon )}$${\displaystyle \log(1/\varepsilon )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O({\sqrt {N}}\log N\kappa ^{2})}$${\displaystyle O(N\log N\kappa ^{2})}$

ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมการผกผันเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับค่าสภาพ ของAซึ่งเป็นอัตราส่วนของค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด เมื่อ A เพิ่มขึ้นAจะเข้าใกล้ค่าที่ไม่สามารถผกผันได้ ดังนั้นเวกเตอร์คำตอบจึงมีความเสถียรน้อยลงและประสิทธิภาพของวิธีการลดระดับความชันจะลดลง อัลกอริทึม HHL ถือว่าค่าเอกลักษณ์ ทั้งหมด ของอยู่ในซึ่งในกรณีนี้เวลาทำงานจะเป็นสัดส่วนกับและปรับปรุงความเร็วให้ดียิ่งขึ้นเมื่อเป็น^{[ 1 ]}${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle [1/\kappa ,1]}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mathrm {poly} (\log(N))}$

อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นที่มีรันไทม์แบบพหุลอการิทึมจะบ่งชี้ว่าBQPเท่ากับPSPACEซึ่งเชื่อกันว่าเป็นเท็จ^{[ 1 ]}${\displaystyle \kappa }$

แหล่งที่มาหลักของข้อผิดพลาดคือการประยุกต์ใช้การจำลองแบบแฮมิลโทเนียน หากเป็นแบบ s-sparse สามารถทำได้โดยมีข้อผิดพลาดจำกัดด้วยค่าคงที่บางค่าซึ่งจะส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดแบบบวกในสถานะเอาต์พุต ${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle |x\rangle }$

ขั้นตอนการประมาณค่าเฟสผิดพลาดในการประมาณค่าซึ่งส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในถ้าการใช้จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดสุดท้ายซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มเวลาการทำงานโดยรวมตามสัดส่วนเพื่อลดข้อผิดพลาดให้น้อยที่สุด ${\displaystyle O(1/t_{0})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle O((\lambda t_{0})^{-1})}$${\displaystyle 1/\lambda }$${\displaystyle \lambda \geq 1/\kappa }$${\displaystyle t_{0}=O(\kappa \varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle O(1/\varepsilon )}$

แม้ว่าปัจจุบันยังไม่มีคอมพิวเตอร์ควอนตัมอเนกประสงค์ แต่เราก็ยังสามารถลองสร้างต้นแบบการทำงานของอัลกอริทึม HHL ได้ ซึ่งเป็นความท้าทายมานานหลายปี จนกระทั่งสามกลุ่มวิจัยได้ทำสำเร็จโดยอิสระในปี 2013

เมื่อวันที่ 5 กุมภาพันธ์ 2013 กลุ่มที่นำโดยStefanie Barzได้รายงานการใช้งานอัลกอริทึม HHL บนคอมพิวเตอร์ควอนตัมโฟตอนิก การใช้งานนี้ใช้เกตการพันกันสองเกตที่ต่อเนื่องกันบนคู่ของคิวบิตที่เข้ารหัสโพลาไรเซชันเดียวกัน เกต NOT ที่ควบคุมแยกกันสองตัวถูกสร้างขึ้น โดยการทำงานที่ประสบความสำเร็จของเกตตัวแรกจะถูกประกาศโดยการวัดโฟตอนเสริมสองตัว การวัดเชิงทดลองของความแม่นยำในสถานะเอาต์พุตที่ได้มีช่วงตั้งแต่ 64.7% ถึง 98.1% เนื่องมาจากอิทธิพลของการปล่อยลำดับที่สูงกว่าจากการแปลงพาราเมตริกแบบสปอนเทเนียสลง^{[ 4 ]}

เมื่อวันที่ 8 กุมภาพันธ์ 2556 Pan และคณะได้รายงานการสาธิตเชิงทดลองเพื่อพิสูจน์แนวคิดของอัลกอริทึมควอนตัมโดยใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัม NMR 4 คิวบิต การใช้งานได้รับการทดสอบโดยใช้ระบบเชิงเส้นของตัวแปร 2 ตัว ในการทดลองสามครั้ง เวกเตอร์คำตอบได้รับด้วยความแม่นยำมากกว่า 96% ^{[ 5 ]}

เมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ 2556 Cai และคณะได้รายงานการสาธิตเชิงทดลองในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น 2x2 วงจรควอนตัมได้รับการปรับให้เหมาะสมและคอมไพล์เป็นเครือข่ายแสงเชิงเส้นที่มีคิวบิตโฟตอนิกสี่ตัวและเกตตรรกะควบคุมสี่ตัว ซึ่งใช้ในการดำเนินการซับรูทีนของอัลกอริธึม HHL อย่างสอดคล้องกัน สำหรับเวกเตอร์อินพุตต่างๆ การดำเนินการนี้ให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำตั้งแต่ 0.825 ถึง 0.993 ^{[ 11 ]}

การสาธิตเชิงทดลองอีกแบบหนึ่งที่ใช้ NMR ในการแก้ปัญหาระบบ 8*8 ได้รับการรายงานโดย Wen et al. ^{[ 12 ]}ในปี 2018 โดยใช้อัลกอริทึมที่พัฒนาโดย Subaşı et al. ^{[ 13 ]}

มีการเสนอตัวอย่างการประยุกต์ใช้ที่เป็นรูปธรรมหลายประการของอัลกอริทึม HHL ซึ่งวิเคราะห์สมมติฐานอินพุตและการรับประกันเอาต์พุตของอัลกอริทึมสำหรับปัญหาเฉพาะต่างๆ

การกระเจิงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

Clader และคณะได้นำเสนออัลกอริทึม HHL เวอร์ชันหนึ่งซึ่งอนุญาตให้ รวม ตัวปรับสภาพไว้ได้ ซึ่งสามารถใช้เพื่อปรับปรุงการพึ่งพาของหมายเลขเงื่อนไขอัลกอริทึมนี้ถูกนำไปใช้ในการแก้ปัญหาพื้นที่หน้าตัดเรดาร์ของรูปทรงที่ซับซ้อน ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการประยุกต์ใช้อัลกอริทึม HHL กับปัญหาที่เป็นรูปธรรม^{[ 14 ]}

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

Berry เสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้ ปัญหาค่าเริ่มต้นเชิงเส้นที่ขึ้นอยู่กับเวลาโดยใช้อัลกอริทึม HHL ^{[ 15 ]}

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น

สองกลุ่มเสนอ^{[ 16 ]}อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการบูรณา การเชิง ตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบ ไม่เชิงเส้นที่มีการสูญเสียพลังงาน Liu et al. ^{[ 17 ]}ใช้การทำให้เป็นเชิงเส้นของ Carlemanสำหรับสมการอันดับสอง และ Lloyd et al. ^{[ 18 ]} ใช้วิธีการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบสนามเฉลี่ยที่ได้รับแรงบันดาลใจจากสมการ Schrödinger แบบไม่เชิงเส้นสำหรับความไม่เชิงเส้นอันดับทั่วไป สมการเชิงเส้นที่ได้จะได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้น โดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นขนาดใหญ่ Montanaro และ Pallister แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึม HHL สามารถบรรลุความเร็วควอนตัมพหุนามสำหรับระบบเชิงเส้นที่ได้ ความเร็วที่เพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังไม่คาดหวังสำหรับปัญหาในมิติคงที่หรือสำหรับคำตอบที่ตรงตามเงื่อนไขความเรียบบางประการ เช่น ปัญหาลำดับสูงบางอย่างในพลศาสตร์หลายอนุภาค หรือปัญหาบางอย่างในด้านการเงินเชิงคำนวณ^{[ 19 ]}

การปรับแบบกำลังสองน้อยที่สุด

Wiebe และคณะได้นำเสนออัลกอริทึมควอนตัมเพื่อกำหนดคุณภาพของการปรับค่ากำลังสองน้อยที่สุดสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่สุดไม่สามารถคำนวณได้โดยตรงจากผลลัพธ์ของอัลกอริทึมควอนตัม แต่อัลกอริทึมยังคงให้ผลลัพธ์เป็นข้อผิดพลาดกำลังสองน้อยที่สุดที่เหมาะสมที่สุด^{[ 20 ]}

การเรียนรู้ของเครื่อง

มีการพัฒนาอัลกอริธึม การเรียนรู้ของเครื่องควอนตัม จำนวน มากซึ่งส่วนใหญ่ใช้อัลกอริธึม HHL เป็นซับรูทีน เวลาในการทำงานของอัลกอริธึมแบบคลาสสิกบางอย่างมักจะเป็นพหุนามตามขนาดและมิติของชุดข้อมูล ในขณะที่อัลกอริธึม HHL สามารถเร่งความเร็วได้แบบทวีคูณในบางกรณี อย่างไรก็ตาม งานวิจัยที่ริเริ่มโดยEwin Tangพบว่าสำหรับอัลกอริธึมการเรียนรู้ของเครื่องควอนตัมส่วนใหญ่ มีอัลกอริธึมแบบคลาสสิกที่ให้ความเร็วแบบทวีคูณในระดับเดียวกันด้วยสมมติฐานอินพุตที่คล้ายคลึงกัน

การเงิน

ข้อเสนอสำหรับการใช้ HHL ในด้านการเงิน ได้แก่ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับสมการ Black–Scholesและการกำหนดการปรับปรุงพอร์ตโฟลิโอผ่านโซลูชันMarkowitz ^{[ 21 ]}

เคมีควอนตัม

วิธี การคลัสเตอร์คู่เชิงเส้นในเคมีควอนตัมสามารถแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้ ในปี 2023 Baskaran และคณะได้เสนอให้ใช้อัลกอริธึม HHL เพื่อแก้ระบบเชิงเส้นที่ได้^{[ 22 ]} จำนวนคิวบิตลงทะเบียนสถานะในอัลกอริธึมควอนตัมคือลอการิทึมของจำนวนการกระตุ้น ซึ่งให้การลดจำนวนคิวบิตที่ต้องการแบบเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับการใช้ตัวแก้ค่าไอเกนควอนตัมแบบแปรผันหรือ การ ประมาณเฟสควอนตัม

Scott Aaronson ^{[ 23 ]}ตระหนักถึงความสำคัญของอัลกอริทึม HHL ในด้านการเรียนรู้ของเครื่องควอนตัม จึงวิเคราะห์ข้อควรระวังและปัจจัยที่อาจจำกัดข้อได้เปรียบเชิงควอนตัมที่แท้จริงของอัลกอริทึม

1. เวกเตอร์คำตอบจะต้องได้ รับการเตรียม อย่างมีประสิทธิภาพในสถานะควอนตัม หากเวกเตอร์ไม่ใกล้เคียงกับค่าสม่ำเสมอ การเตรียมสถานะอาจมีค่าใช้จ่ายสูง และหากต้องดำเนินการหลายขั้นตอน ข้อได้เปรียบแบบทวีคูณของ HHL ก็จะหายไป${\displaystyle |b\rangle }$${\displaystyle O(n^{c})}$
2. ขั้นตอน QPE เรียกร้องให้มีการสร้างตัวดำเนินการเอกภาพและการประยุกต์ใช้แบบควบคุม ประสิทธิภาพของขั้นตอนนี้ขึ้นอยู่กับว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์เบาบางและมีสภาพดี (ค่า ต่ำ) หรือไม่ มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้จะเพิ่มขึ้นตามและข้อได้เปรียบเชิงควอนตัมของอัลกอริทึมก็จะหายไปอีกครั้ง${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle e^{iAt}}$${\displaystyle O(n^{c})}$
3. สุดท้าย เวกเตอร์ นั้นไม่สามารถเข้าถึงได้ง่าย อัลกอริทึม HHL ช่วยให้เรียนรู้ 'สรุป' ของเวกเตอร์ ซึ่งก็คือผลลัพธ์ของการวัดความคาดหวังของตัวดำเนินการ หาก ต้องการค่าจริงของ จะต้องทำซ้ำ HHL หลายครั้ง ซึ่งจะทำให้ความเร็วแบบเลขชี้กำลังลดลง อย่างไรก็ตาม มีการเสนอวิธีการสามวิธีในการหลีกเลี่ยงการรับค่าจริง ได้แก่ วิธีแรก หากต้องการเพียงคุณสมบัติบางอย่างของคำตอบ^{[ 24 ]}วิธีที่สอง หากต้องการผลลัพธ์เพื่อป้อนการดำเนินการเมทริกซ์ในขั้นตอนถัดไปเท่านั้น และวิธีที่สาม หากต้องการเพียงตัวอย่างของคำตอบ^{[ 25 ]}${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle \langle x|M|x\rangle }$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle O(n)}$

• การเขียนโปรแกรมเชิงอนุพันธ์