ในวิทยาศาสตร์วัสดุการเสริมความแข็งแรงของขอบเกรน ( หรือการเสริมความแข็งแรงแบบฮอลล์-เพทช์ ) เป็นวิธีการเพิ่มความแข็งแรง ของวัสดุโดยการเปลี่ยนขนาด ผลึกเฉลี่ย(เกรน) วิธีนี้อิงจากการสังเกตว่าขอบเกรนเป็นขอบเขตที่ไม่สามารถข้ามผ่านได้สำหรับดิสโลเคชันและจำนวนดิสโลเคชันภายในเกรนมีผลต่อการสะสมของความเค้น ในเกรนที่อยู่ติดกัน ซึ่งในที่สุดจะกระตุ้นแหล่งกำเนิดดิสโลเคชันและทำให้เกิด การเสียรูปในเกรนที่อยู่ใกล้เคียงได้เช่นกัน การเปลี่ยนขนาดเกรนสามารถส่งผลต่อจำนวนดิสโลเคชันที่สะสมอยู่ที่ขอบเกรนและความแข็งแรงของวัสดุได้ ตัวอย่างเช่นการอบชุบความร้อนหลังจากการเสียรูปพลาสติกและการเปลี่ยนอัตราการแข็งตัวเป็นวิธีหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงขนาดเกรน^{[ 1 ]}

ในการเสริมความแข็งแรงบริเวณขอบเกรนขอบเกรนทำหน้าที่เป็นจุดยึดที่ขัดขวางการแพร่กระจายของดิสโลเคชันต่อไป เนื่องจากโครงสร้างแลตติสของเกรนที่อยู่ติดกันมีทิศทางที่แตกต่างกัน จึงต้องใช้พลังงานมากขึ้นสำหรับดิสโลเคชันในการเปลี่ยนทิศทางและเคลื่อนที่เข้าไปในเกรนที่อยู่ติดกัน นอกจากนี้ ขอบเกรนยังมีความไม่เป็นระเบียบมากกว่าภายในเกรน ซึ่งยังป้องกันไม่ให้ดิสโลเคชันเคลื่อนที่ในระนาบการเลื่อนอย่างต่อเนื่อง การขัดขวางการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันนี้จะยับยั้งการเกิดพลาสติกและทำให้ความแข็งแรงคราของวัสดุเพิ่มขึ้น

ภายใต้แรงเค้นที่กระทำ ดิสโลเคชันที่มีอยู่และดิสโลเคชันที่เกิดขึ้นจากแหล่งกำเนิดแฟรงก์-รีดจะเคลื่อนที่ผ่านโครงผลึกจนกระทั่งพบกับขอบเกรน ซึ่งความไม่เข้ากันของอะตอมขนาดใหญ่ระหว่างเกรนต่างๆ จะสร้างสนามแรงเค้น ผลัก เพื่อต่อต้านการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันต่อไป เมื่อดิสโลเคชันจำนวนมากขึ้นแพร่กระจายไปยังขอบนี้ จะเกิดการ "กองรวม" ของดิสโลเคชันขึ้น เนื่องจากกลุ่มของดิสโลเคชันไม่สามารถเคลื่อนที่ผ่านขอบได้ เมื่อดิสโลเคชันสร้างสนามแรงเค้นผลัก ดิสโลเคชันแต่ละตัวที่ตามมาจะออกแรงผลักต่อดิสโลเคชันที่อยู่ติดกับขอบเกรน แรงผลักเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นแรงผลักดันเพื่อลดอุปสรรคทางพลังงานสำหรับการแพร่กระจายข้ามขอบเกรน ทำให้การกองรวมเพิ่มเติมทำให้เกิดการแพร่กระจายของดิสโลเคชันข้ามขอบเกรน ซึ่งช่วยให้วัสดุเกิดการเสียรูปต่อไปได้ การลดขนาดของเกรนจะลดปริมาณการกองรวมที่อาจเกิดขึ้นที่ขอบ ทำให้ปริมาณแรงเค้นที่กระทำที่จำเป็นในการเคลื่อนดิสโลเคชันข้ามขอบเกรนเพิ่มขึ้น ยิ่งแรงเค้นที่ใช้ในการเคลื่อนตัวของดิสโลเคชันสูงขึ้นเท่าใด ความแข็งแรงคราคก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์แบบผกผันระหว่างขนาดของเกรนและความแข็งแรงคราค ดังที่แสดงโดยสมการฮอลล์-เพทช์ อย่างไรก็ตาม เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางอย่างมากในการวางแนวของเกรนที่อยู่ติดกันสองเกรน ดิสโลเคชันอาจไม่จำเป็นต้องเคลื่อนจากเกรนหนึ่งไปยังอีกเกรนหนึ่ง แต่จะสร้างแหล่งดิสโลเคชันใหม่ในเกรนที่อยู่ติดกันแทน ทฤษฎียังคงเหมือนเดิม คือ ขอบเขตของเกรนที่มากขึ้นจะสร้างแรงต้านต่อการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันมากขึ้น และในทางกลับกันจะทำให้วัสดุแข็งแรงขึ้น

มีข้อจำกัดในการเสริมความแข็งแรงในลักษณะนี้ เนื่องจากไม่มีวัสดุที่แข็งแกร่งอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ขนาดของเกรนอาจมีตั้งแต่ประมาณ100 μm (0.0039 นิ้ว) (เกรนขนาดใหญ่) ถึง1 μm (3.9 × 10 ⁻⁵ นิ้ว) (เกรนขนาดเล็ก) ต่ำกว่านี้ ขนาดของดิสโลเคชันจะเริ่มเข้าใกล้ขนาดของเกรน ที่ขนาดเกรนประมาณ10 nm (3.9 × 10 ⁻⁷ นิ้ว) [ ^{2 ] จะมีดิสโลเคชันเพียงหนึ่งหรือสองตัวเท่านั้นที่สามารถเข้าไปอยู่ในเกรน ได้} (ดูรูปที่ 1 ด้านบน) แผนการนี้จะป้องกันการสะสมของดิสโลเคชัน และส่งผลให้เกิดการแพร่กระจายตามขอบเกรนแทน โครงสร้าง แลตติซจะแก้ไขความเค้นที่ใช้โดยการเลื่อนตามขอบเกรน ส่งผลให้ความแข็งแรงคราของวัสดุลดลง      

เพื่อให้เข้าใจกลไกการเสริมความแข็งแรงของขอบเกรน จำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างดิสโลเคชัน ดิสโลเคชันสร้างสนามความเค้นรอบๆ ตัวมันเอง โดยมีสูตรดังนี้:

${\displaystyle \sigma \propto {\frac {Gb}{r}},}$

โดยที่ G คือ โมดูลัสเฉือนของวัสดุ, b คือเวกเตอร์เบอร์เกอร์สและ r คือระยะห่างจากดิสโลเคชัน หากดิสโลเคชันเรียงตัวในแนวที่ถูกต้องสัมพันธ์กัน สนามความเค้นเฉพาะที่ที่พวกมันสร้างขึ้นจะผลักกันเอง ซึ่งจะช่วยให้ดิสโลเคชันเคลื่อนที่ไปตามเกรนและข้ามขอบเกรนได้ ดังนั้น ยิ่งมีดิสโลเคชันอยู่ในเกรนมากเท่าใด สนามความเค้นที่ดิสโลเคชันได้รับใกล้ขอบเกรนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

${\displaystyle \tau _{\text{felt}}=\tau _{\text{applied}}+n_{\text{dislocation}}\tau _{\text{dislocation}}\,}$

ขอบเขตระหว่างเฟสยังสามารถมีส่วนช่วยในการเสริมความแข็งแรงของขอบเกรน โดยเฉพาะในวัสดุคอมโพสิตและโลหะผสมที่แข็งตัวจากการตกตะกอน IPB ที่สอดคล้องกันโดยเฉพาะสามารถเป็นอุปสรรคเพิ่มเติมต่อการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน คล้ายกับขอบเกรน ในทางตรงกันข้าม IPB ที่ไม่สอดคล้องกันและ IPB ที่สอดคล้องกันบางส่วนสามารถทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดของดิสโลเคชัน ซึ่งอาจนำไปสู่การเสียรูปเฉพาะที่และส่งผลต่อคุณสมบัติทางกลของวัสดุ^{[ 3 ]}

การทำความเข้าใจพลังงานที่ผิวสัมผัสของวัสดุที่มีขอบเขตระหว่างเฟส (IPB) ประเภทต่างๆ จะให้ข้อมูลเชิงลึกที่มีค่าเกี่ยวกับพฤติกรรมหลายด้านของวัสดุเหล่านั้น รวมถึงเสถียรภาพทางอุณหพลศาสตร์ พฤติกรรมการเสียรูป และวิวัฒนาการของเฟส

มีความสัมพันธ์ผกผันระหว่างค่าความแข็งแรงครากเดลต้ากับขนาดเกรนยกกำลังx บาง ค่า

${\displaystyle \Delta \tau \propto {k \over d^{x}}}$

โดยที่kคือสัมประสิทธิ์การเสริมความแข็งแรง และทั้งkและxเป็นค่าเฉพาะของวัสดุ สมมติว่ามีการกระจายขนาดเกรนแบบโมโนดิสเพิร์สแคบในวัสดุผลึกหลายเหลี่ยม ยิ่งขนาดเกรนเล็กเท่าไร แรงผลักที่กระทำต่อดิสโลเคชันบริเวณขอบเกรนก็จะยิ่งน้อยลง และแรงเค้นที่จำเป็นในการแพร่กระจายดิสโลเคชันผ่านวัสดุก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นครากและขนาดเกรนได้รับการอธิบายทางคณิตศาสตร์โดยสมการ Hall–Petch: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sigma _{\text{y}}=\sigma _{0}+{k_{\text{y}} \over {\sqrt {d}}}}$

โดยที่σyคือความเค้นคราก, คือค่าคงที่ของวัสดุสำหรับความเค้นเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน (หรือความต้านทานของโครงสร้างผลึกต่อการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน), สัมประสิทธิ์การเสริมความแข็งแรง (ค่าคงที่เฉพาะของแต่ละวัสดุ) และdคือเส้นผ่านศูนย์กลางเฉลี่ยของเกรน ความสัมพันธ์ HP เป็นการปรับให้เข้ากับข้อมูลการทดลองเชิงประจักษ์ และแนวคิดที่ว่าความยาวของการสะสมตัวครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางเกรนทำให้เกิดความเค้นวิกฤตสำหรับการส่งผ่านหรือการเกิดขึ้นในเกรนที่อยู่ติดกันนั้นยังไม่ได้รับการตรวจสอบโดยการสังเกตจริงในโครงสร้างจุลภาค

ในทางทฤษฎี วัสดุสามารถมีความแข็งแรงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้หากเม็ดเกรนมีขนาดเล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากขีดจำกัดล่างของขนาดเม็ดเกรนคือหน่วยเซลล์ เดียว ของวัสดุ แม้กระนั้น หากเม็ดเกรนของวัสดุมีขนาดเท่ากับหน่วยเซลล์เดียว วัสดุนั้นก็จะเป็นวัสดุอสัณฐาน ไม่ใช่วัสดุผลึก เนื่องจากไม่มีระเบียบระยะยาว และไม่สามารถกำหนดการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันในวัสดุอสัณฐานได้ มีการสังเกตจากการทดลองว่าโครงสร้างจุลภาคที่มีความแข็งแรงคราสูงสุดคือขนาดเม็ดเกรนประมาณ10 นาโนเมตร (3.9 × 10 ⁻⁷ นิ้ว)เนื่องจากเม็ดเกรนที่เล็กกว่านี้จะมีกลไกการคราอีกแบบหนึ่ง คือการเลื่อนของขอบเม็ดเกรน^{[ 2 ]}การผลิตวัสดุทางวิศวกรรมที่มีขนาดเม็ดเกรนที่เหมาะสมนี้ทำได้ยาก เนื่องจากสามารถผลิตฟิล์มบางที่มีขนาดเม็ดเกรนนี้ได้อย่างน่าเชื่อถือเท่านั้น ในวัสดุที่มีการกระจายขนาดเม็ดเกรนแบบสองขนาด เช่น วัสดุที่แสดงการเติบโตของเม็ดเกรนที่ผิดปกติกลไกการแข็งตัวจะไม่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของ Hall–Petch อย่างเคร่งครัด และจะสังเกตเห็นพฤติกรรมที่แตกต่างกัน  

ความสัมพันธ์ของ Hall–Petch ทำนายว่าเมื่อขนาดเกรนลดลง ความแข็งแรงของจุดครากจะเพิ่มขึ้น ความสัมพันธ์ของ Hall–Petch ได้รับการพิสูจน์แล้วจากการทดลองว่าเป็นแบบจำลองที่มีประสิทธิภาพสำหรับวัสดุที่มีขนาดเกรนตั้งแต่ 1 มิลลิเมตรถึง 1 ไมโครเมตร ดังนั้นจึงเชื่อกันว่าหากขนาดเกรนเฉลี่ยลดลงไปอีกจนถึงระดับ นาโนเมตร ความแข็งแรงของจุดครากก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การทดลองกับวัสดุนาโนคริสตัลไลน์จำนวนมากแสดงให้เห็นว่า หากเกรนมีขนาดเล็กพอ ขนาดเกรนวิกฤตซึ่งโดยทั่วไปอยู่ที่ประมาณ10 นาโนเมตร (3.9 × 10 ⁻⁷ นิ้ว)ความแข็งแรงของจุดครากจะคงที่หรือลดลงเมื่อขนาดเกรนลดลง^{[ 15 ] [ 16 ]} ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ Hall–Petch แบบย้อนกลับหรือผกผัน มีกลไกที่แตกต่างกันหลายอย่างที่ถูกเสนอสำหรับความสัมพันธ์นี้ ดังที่ Carlton et al.แนะนำโดยแบ่งออกเป็นสี่ประเภท: (1) แบบอาศัยการเคลื่อนที่ (2) แบบอาศัยการแพร่ (3) แบบอาศัยการเฉือนขอบเกรน (4) แบบอาศัยสองเฟส^{[ 17 ]}  

มีงานวิจัยหลายชิ้นที่ศึกษาถึงกลไกเบื้องหลังความสัมพันธ์แบบผกผันของ Hall–Petch ในวัสดุหลายชนิด ในงานของ Han ^{[ 18 ]} ได้ทำการจำลอง พลศาสตร์โมเลกุลหลายชุดเพื่อศึกษาผลของขนาดเกรนต่อคุณสมบัติทางกลของกราฟีน นาโนคริสตัลไลน์ ภายใต้แรงดึงแบบแกนเดียว โดยมีรูปร่างและทิศทางการวางตัวแบบสุ่มของวงแหวนกราฟีน การจำลองนี้ดำเนินการที่ขนาดเกรนระดับนาโนเมตรและที่อุณหภูมิห้องพบว่าในช่วงขนาดเกรน 3.1  นาโนเมตรถึง 40  นาโนเมตร พบความสัมพันธ์แบบผกผันของ Hall–Petch เนื่องจากเมื่อขนาดเกรนลดลงในระดับนาโนเมตร ความหนาแน่นของจุดเชื่อมต่อขอบเกรนจะเพิ่มขึ้น ซึ่งทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาของการเติบโตของรอยแตกหรือการยึดเหนี่ยวที่อ่อนแอ อย่างไรก็ตาม ยังพบว่าที่ขนาดเกรนต่ำกว่า 3.1  นาโนเมตร พบความสัมพันธ์แบบเสมือน Hall–Petch ซึ่งส่งผลให้ความแข็งแรงเพิ่มขึ้น สิ่งนี้เกิดจากการลดลงของความเข้มข้นของความเค้นที่จุดเชื่อมต่อขอบเกรน และยังเกิดจากการกระจายความเค้นของข้อบกพร่อง 5-7 จุดตามแนวขอบเกรน ซึ่งความเค้นอัดและความเค้นดึงเกิดขึ้นจากวงแหวนรูปห้าเหลี่ยมและเจ็ดเหลี่ยม เป็นต้น Chen และคณะ^{[ 19 ]}ได้ทำการวิจัยเกี่ยวกับความสัมพันธ์ Hall-Petch ผกผันของโลหะผสม CoNiFeAl Cu ที่มีเอนโทรปีสูง ในงานนี้ ได้สร้างแบบจำลองผลึกหลายเหลี่ยมของ CoNiFeAl Cu ที่มีโครงสร้าง FCC โดยมีขนาดเกรนตั้งแต่ 7.2  นาโนเมตรถึง 18.8  นาโนเมตร เพื่อทำการบีบอัดแบบแกนเดียวโดยใช้การจำลองพลศาสตร์โมเลกุล การจำลองการบีบอัดทั้งหมดทำหลังจากตั้งเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบในสามทิศทางตั้งฉากกัน พบว่าเมื่อขนาดเกรนต่ำกว่า 12.1  นาโนเมตร จะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ Hall–Petch ผกผัน นี่เป็นเพราะเมื่อขนาดเกรนลดลง การเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันบางส่วนจะเด่นชัดน้อยลง และการเกิดแฝดจากการเสียรูปก็เช่นกัน แต่กลับพบว่ามีการเปลี่ยนแปลงในทิศทางการวางแนวของเกรนและการเคลื่อนย้ายของขอบเกรน ซึ่งส่งผลให้เกิดการเติบโตและการหดตัวของเกรนที่อยู่ใกล้เคียง กลไกเหล่านี้เป็นกลไกสำหรับความสัมพันธ์ Hall–Petch แบบผกผัน Sheinerman et al. ^{[ 20 ]}ยังได้ศึกษาความสัมพันธ์ Hall–Petch แบบผกผันสำหรับเซรามิกนาโนคริสตัลไลน์ พบว่าขนาดเกรนวิกฤตสำหรับการเปลี่ยนจาก Hall–Petch โดยตรงไปเป็น Hall–Petch แบบผกผันนั้นขึ้นอยู่กับพลังงานกระตุ้น ของการเลื่อนของขอบเกรนเป็นหลัก เนื่องจากใน Hall–Petch โดยตรง กลไกการเสียรูปที่เด่นชัดคือในปรากฏการณ์ Hall–Petch แบบผกผัน กลไกหลักคือการเลื่อนตัวตามขอบเกรน จากการศึกษาพบว่า การพล็อตค่าสัดส่วนปริมาตรของการเลื่อนตัวตามขอบเกรนและค่าสัดส่วนปริมาตรของการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันภายในเกรนเป็นฟังก์ชันของขนาดเกรน จะทำให้สามารถหาขนาดเกรนวิกฤตได้ที่จุดที่เส้นโค้งทั้งสองตัดกัน

คำอธิบายอื่นๆ ที่ถูกเสนอเพื่ออธิบายความอ่อนตัวที่เห็นได้ชัดของโลหะที่มีเกรนขนาดนาโน ได้แก่ คุณภาพตัวอย่างที่ไม่ดีและการระงับการสะสมตัวของดิสโลเคชัน^{[ 21 ]}

การสะสมตัวของดิสโลเคชันที่ขอบเกรนเป็นกลไกสำคัญอย่างหนึ่งของความสัมพันธ์ฮอลล์-เพทช์ อย่างไรก็ตาม เมื่อขนาดเกรนลดลงต่ำกว่าระยะสมดุลระหว่างดิสโลเคชัน ความสัมพันธ์นี้ก็จะไม่ถูกต้องอีกต่อไป ถึงกระนั้นก็ยังไม่ชัดเจนนักว่าความเค้นคราควรจะขึ้นอยู่กับขนาดเกรนอย่างไรเมื่อต่ำกว่าจุดนี้

การปรับปรุงเกรน หรือที่รู้จักกันในชื่อการฉีด [ ^{22 ] คือ}ชุดของเทคนิคที่ใช้ในการเสริมความแข็งแรงของขอบเกรนในโลหะวิทยาเทคนิคเฉพาะและกลไกที่เกี่ยวข้องจะแตกต่างกันไปตามวัสดุที่กำลังพิจารณา

วิธีหนึ่งในการควบคุมขนาดเกรนในโลหะผสมอะลูมิเนียมคือการแนะนำอนุภาคที่ทำหน้าที่เป็นนิวเคลียส เช่น Al–5%Ti เกรนจะเติบโตผ่านการเกิดนิวเคลียสแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันกล่าวคือ สำหรับระดับการเย็นตัวที่ต่ำกว่าอุณหภูมิหลอมเหลวในระดับหนึ่ง อนุภาคอะลูมิเนียมในโลหะหลอมเหลวจะเกิดนิวเคลียสบนพื้นผิวของอนุภาคที่เติมเข้าไป เกรนจะเติบโตในรูปของเดนไดรต์ที่เติบโตในแนวรัศมีออกไปจากพื้นผิวของนิวเคลียส จากนั้นสามารถเติมอนุภาคตัวละลาย (เรียกว่าตัวปรับขนาดเกรน) ซึ่งจำกัดการเติบโตของเดนไดรต์ ทำให้เกิดการปรับขนาดเกรน^{[ 23 ]}โลหะผสม Al-Ti-B เป็นตัวปรับขนาดเกรนที่พบได้บ่อยที่สุดสำหรับโลหะผสม Al ^{[ 24 ]} อย่างไรก็ตาม มีการเสนอตัวปรับขนาดเกรนแบบใหม่ เช่น Al

เทคนิคทั่วไปอย่างหนึ่งคือการทำให้ส่วนน้อยมากของวัสดุหลอมเหลวแข็งตัวที่อุณหภูมิสูงกว่าส่วนที่เหลือมาก ซึ่งจะสร้างผลึกเริ่มต้นที่ทำหน้าที่เป็นแม่แบบเมื่อส่วนที่เหลือของวัสดุลดลงจนถึงอุณหภูมิหลอมเหลว (ที่ต่ำกว่า) และเริ่มแข็งตัว เนื่องจากมีผลึกเริ่มต้นขนาดเล็กจำนวนมาก จึงทำให้มีจำนวนผลึกย่อยเกือบเท่ากัน และขนาดของแต่ละเม็ดจึงมีจำกัด

• กลไกการเสริมความแข็งแรงของวัสดุ

• การเสริมความแข็งแรงของขอบเกรนในอะลูมินาด้วยสารเจือปนธาตุหายาก
• กลไกการเสริมความแข็งแรงบริเวณขอบเกรนของเหล็กกล้า
• ชุดเครื่องมือ Matlab แบบโอเพนซอร์สสำหรับการวิเคราะห์การถ่ายโอนการเลื่อนผ่านขอบเขตของเกรน