จำนวนปกติ คือ จำนวนที่หารกำลังของ 60 (หรือกำลังของ30 ) ได้ลงตัวหรืออีกนัยหนึ่งคือ จำนวนที่มีตัวหารเฉพาะคือ2 , 3และ5 เท่านั้น เช่น 60² ⁼  3600 = 48 × 75 ดังนั้น ตัวหารของกำลังของ 60 ทั้ง 48 และ 75 จึงเป็นจำนวนปกติ

ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ และมีชื่อเรียกที่แตกต่างกันไปตามสาขาการศึกษาต่างๆ

• ในทฤษฎีจำนวน จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเรียบ 5 (5-smooth ) เพราะสามารถระบุได้ว่ามี ตัวประกอบเฉพาะเพียง 2, 3 หรือ 5 เท่านั้นนี่เป็นกรณีเฉพาะของจำนวนเรียบk (k - smooth ) ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดที่มากกว่าk
• ในการศึกษาคณิตศาสตร์บาบิโลนตัวหารของกำลังของ 60 เรียกว่าจำนวนปกติหรือจำนวนฐานหกสิบปกติและมีความสำคัญอย่างยิ่งในสาขานี้ เนื่องจาก ระบบเลขฐาน หกสิบ (ฐาน 60) ที่ชาวบาบิโลนใช้ในการเขียนตัวเลขของพวกเขานั้น เป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์บาบิโลน
• ในทฤษฎีดนตรีตัวเลขปกติจะปรากฏในอัตราส่วนของโทนเสียงในระบบเสียงแบบยุติธรรมห้าขีดจำกัดในบริบทของทฤษฎีดนตรีและทฤษฎีทางสถาปัตยกรรม ที่เกี่ยวข้อง ตัวเลขเหล่านี้ถูกเรียกว่าตัวเลขจำนวนเต็มฮาร์มอนิก
• ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ตัวเลขปกติมักถูกเรียกว่าตัวเลขแฮมมิง (Hamming numbers ) ตามชื่อของริชาร์ด แฮมมิง ผู้เสนอโจทย์ปัญหาการหาอัลกอริทึม คอมพิวเตอร์ สำหรับการสร้างตัวเลขเหล่านี้เรียงลำดับจากน้อยไปมาก ปัญหานี้ถูกนำมาใช้เป็นกรณีทดสอบสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน (functional programming )

ตามหลักการแล้ว จำนวนปกติคือจำนวนเต็มในรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ, , และจำนวนดังกล่าวเป็นตัวหารของจำนวนปกติยังเรียกว่า 5- เรียบซึ่งบ่งชี้ว่าตัวประกอบเฉพาะ ที่มากที่สุดของจำนวนนี้ มีค่าไม่เกิน 5 ^{[ 2 ]}โดยทั่วไปแล้ว จำนวน k-เรียบ คือจำนวนที่มีตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดมีค่าไม่เกินk ^{[ 3 ]}${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$

หมายเลขปกติแรกๆ คือ^{[ 2 ]}

ลำดับอื่นๆ อีกหลายลำดับในสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มีคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเรียบ 5 ^{[ 4 ]}

แม้ว่าจำนวนปกติจะปรากฏหนาแน่นในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 60 แต่ก็ค่อนข้างเบาบางในจำนวนเต็มที่มากกว่า จำนวนปกติจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าเกณฑ์บางค่าก็ต่อเมื่อจุดนั้นอยู่ในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่ล้อมรอบด้วยระนาบพิกัดและระนาบ ดังที่เห็นได้จากการใช้ลอการิทึมของทั้งสองข้างของอสมการดังนั้น จำนวนจำนวนปกติที่มีค่าไม่เกินสามารถประมาณได้จากปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่านี้ ซึ่งก็คือ ยิ่งไปกว่านั้น การใช้สัญกรณ์บิ๊กโอจำนวนจำนวนปกติจนถึงคือ และมีการคาดเดาว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนของการประมาณนี้คือ^[ 2 ^] สูตรที่คล้ายกันสำหรับจำนวน 3-เรียบจนถึง ได้รับการกำหนดโดยSrinivasa Ramanujan ในจดหมาย ^{ฉบับ แรก ของ}เขาถึงGH Hardy [ ^{5 ]}${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (i,j,k)}$$${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$${\displaystyle O(\log \log N)}$${\displaystyle N}$

ในระบบเลขฐานหกสิบ ของบาบิโลน ส่วนกลับของจำนวนปกติจะมีการแสดงในรูปแบบจำกัด ถ้าหารลงตัวการแสดงเลขฐานหกสิบของ ก็จะเป็นการแสดงเลขฐานหกสิบของ โดยเลื่อนไปตามจำนวนตำแหน่งที่กำหนดไว้ ซึ่งทำให้สามารถหารด้วยจำนวนเหล่านี้ได้ง่าย: หารด้วยคูณด้วยแล้วเลื่อน^{[ 6 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 60^{k}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 60^{k}/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการหารด้วยจำนวนปกติ 54 = 2¹³³ ^{54 เป็น}ตัวหารของ 60³ ^และ 60³ ^/ 54 = 4000 ดังนั้นการหารด้วย 54 ในระบบเลขฐานหก สิบสามารถทำได้โดยการคูณด้วย 4000 แล้วเลื่อนไปสามตำแหน่ง ในระบบเลขฐานหกสิบ 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1 หรือ (ตามที่จอยซ์ระบุไว้) 1:6:40 ดังนั้น 1/54 ในระบบเลขฐานหกสิบคือ 1/60 + 6/60² ⁺ 40/60³ ^ซึ่งเขียนแทนด้วย 1:6:40 เนื่องจากธรรมเนียมการเขียนตัวเลขของชาวบาบิโลนไม่ได้ระบุเลขชี้กำลังของหลักแรก ในทางกลับกัน 1/4000 = 54/60³ ^{ดังนั้น}การหารด้วย 1:6:40 = 4000 สามารถทำได้โดยการคูณด้วย 54 แทน และเลื่อนหลักสิบไปสามตำแหน่ง

ชาวบาบิโลนใช้ตารางส่วนกลับของจำนวนปกติ ซึ่งบางส่วนยังคงหลงเหลืออยู่^{[ 7 ]}ตารางเหล่านี้มีอยู่โดยแทบไม่เปลี่ยนแปลงตลอดสมัยบาบิโลน^{[ 6 ]}แผ่นจารึกแผ่นหนึ่งจาก สมัย เซเลวซิดโดยบุคคลชื่ออินาคิบิต-อานู มีส่วนกลับของจำนวนปกติ 136 จำนวนจากทั้งหมด 231 จำนวนที่มีหลักแรกเป็น 1 หรือ 2 เรียงลำดับไว้ นอกจากนี้ยังรวมถึงส่วนกลับของจำนวนบางจำนวนที่มีมากกว่าหกหลัก เช่น 3 ^{23 (2,1,4,8,3,0,27 ในระบบเลขฐานหกสิบ) ซึ่งส่วนกลับมี 17 หลักในระบบเลขฐานหกสิบ} โดนัลด์ คนูธ ในปี 1972 ได้ยกย่องอินาคิบิต-อานูว่าเป็น "บุคคลแรกในประวัติศาสตร์ที่แก้ปัญหาการคำนวณที่ใช้เวลานานกว่าหนึ่งวินาทีบนคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่!" โดยสังเกต ถึงความยากลำบากทั้งในการคำนวณและการเรียงลำดับจำนวนเหล่านี้ (มีตารางสองตารางที่ให้ค่าประมาณของส่วนกลับของจำนวนที่ไม่ปกติ ซึ่งตารางหนึ่งให้ส่วนกลับของจำนวนทั้งหมดตั้งแต่ 56 ถึง 80) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

แม้ว่าเหตุผลหลักในการเลือกใช้จำนวนปกติมากกว่าจำนวนอื่นๆ จะเกี่ยวข้องกับความจำกัดของส่วนกลับของจำนวนเหล่านั้น แต่การคำนวณของชาวบาบิโลนบางอย่างนอกเหนือจากส่วนกลับก็เกี่ยวข้องกับจำนวนปกติด้วยเช่นกัน ตัวอย่างเช่น มีการค้นพบตารางกำลังสองปกติ^{[ 6 ]}และแท็บเล็ตที่แตกหักPlimpton 322ได้รับการตีความโดยNeugebauerว่าแสดงรายการสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ที่สร้างขึ้นโดย จำนวนปกติ และน้อยกว่า 60 ^{[ 10 ]} Fowler และ Robson กล่าวถึงการคำนวณรากที่สอง เช่น วิธีที่ชาวบาบิโลนพบค่าประมาณของรากที่สองของ 2อาจใช้การประมาณค่าเศษส่วนด้วยจำนวนปกติ เช่น 17/12 ^{[ 9 ]}${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ในทฤษฎีดนตรีการ ปรับเสียงแบบ Just Intonationของบันไดเสียงไดอะโทนิกเกี่ยวข้องกับตัวเลขปกติ: ระดับเสียง ใน อ็อกเทฟเดียวของบันไดเสียงนี้มีความถี่เป็นสัดส่วนกับตัวเลขในลำดับ 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 ของตัวเลขปกติที่เกือบจะต่อเนื่องกัน^{[ 11 ]}ดังนั้น สำหรับเครื่องดนตรีที่มีการปรับเสียงแบบนี้ ระดับเสียงทั้งหมดจะเป็นฮาร์โมนิก ของตัวเลขปกติของ ความถี่พื้นฐานเดียวบันไดเสียงนี้เรียกว่าการปรับเสียงแบบ 5- limit tuning หมายความว่าช่วงห่างระหว่างระดับเสียงสองระดับใดๆ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณ 2 ⁱ 3 ^j 5 ^kของกำลังของจำนวนเฉพาะถึง 5 หรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของตัวเลขปกติ^{[ 12 ]}

นอกจากบันไดเสียงไดอะโทนิกที่คุ้นเคยในดนตรีตะวันตกแล้ว ยังมีการใช้บันไดเสียงดนตรีแบบ 5-limit อื่นๆ ทั้งในดนตรีดั้งเดิมของวัฒนธรรมอื่นๆ และในดนตรีทดลองสมัยใหม่ด้วย: Honingh & Bod (2005)ระบุบันไดเสียงแบบ 5-limit ที่แตกต่างกัน 31 แบบ ซึ่งดึงมาจากฐานข้อมูลบันไดเสียงดนตรีขนาดใหญ่ บันไดเสียงทั้ง 31 แบบนี้มีคุณสมบัติร่วมกับการปรับเสียงแบบไดอะโทนิกตรงที่ช่วงห่างทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของจำนวนปกติ^{[ 12 ]}โทนเน็ตซ์ของออยเลอร์ให้การแสดงภาพกราฟิกที่สะดวกของระดับเสียงในการปรับเสียงแบบ 5-limit ใดๆ โดยการแยกความสัมพันธ์ของอ็อกเทฟ (กำลังของสอง) ออกไป เพื่อให้ค่าที่เหลือก่อตัวเป็นตารางระนาบ[ 12 ^{]นักทฤษฎี}ดนตรีบางคนกล่าวโดยทั่วไปว่าจำนวนปกติเป็นพื้นฐานของดนตรีโทนัลเอง และอัตราส่วนระดับเสียงที่อิงจากจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 ไม่สามารถกลมกลืนกันได้^{[ 13 ]}อย่างไรก็ตามการปรับเสียงแบบเท่ากันของเปียโนสมัยใหม่ไม่ได้เป็นการปรับเสียงแบบจำกัด 5 ^{[ 14 ]}และนักประพันธ์เพลงสมัยใหม่บางคนได้ทดลองปรับเสียงโดยใช้จำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 ^{[ 15 ]}

ในการเชื่อมโยงการประยุกต์ใช้ตัวเลขปกติกับทฤษฎีดนตรี การค้นหาคู่ของตัวเลขปกติที่แตกต่างกันหนึ่งตัวเป็นเรื่องที่น่าสนใจ มีคู่ดังกล่าวอยู่สิบคู่พอดีและแต่ละคู่ดังกล่าวจะกำหนดอัตราส่วนซูเปอร์พาร์ทิชันนัลที่มีความหมายในฐานะช่วงเสียงดนตรี ช่วงเสียงเหล่านี้คือ 2/1 ( อ็อกเทฟ ), 3/2 ( คู่ห้าสมบูรณ์ ), 4/3 ( คู่สี่สมบูรณ์ ), 5/4 ( คู่สามเมเจอร์สมบูรณ์ ), 6/5 ( คู่สามไมเนอร์สมบูรณ์ ), 9/8 ( โทนเมเจอร์สมบูรณ์ ), 10/9 ( โทนไมเนอร์สมบูรณ์ ), 16/15 (เซมิโทนไดอะโทนิก สมบูรณ์) , 25/24 ( เซมิโทนโครมาติกสมบูรณ์ ) และ 81/80 ( คอมมาซินโทนิก ) ^{[ 16 ]}${\displaystyle (x,x+1)}$${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$

ในทฤษฎีความกลมกลืนสากล ของยุคเรเนสซองส์ อัตราส่วนทางดนตรีถูกนำไปใช้ในแอปพลิเคชันอื่นๆ รวมถึงสถาปัตยกรรมของอาคาร ในการวิเคราะห์อัตราส่วนทางดนตรีและสถาปัตยกรรมร่วมกันเหล่านี้ เช่น ในสถาปัตยกรรมของPalladioตัวเลขปกติจึงถูกเรียกว่าจำนวนเต็มฮาร์มอนิกด้วย^{[ 17 ]}

Wikifunctionsมีฟังก์ชันตรวจสอบตัวเลขเป็นประจำ

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจำนวนปกติเรียงลำดับจากน้อยไปมากนั้นได้รับความนิยมจากEdsger Dijkstra Dijkstra ( 1976 , 1981 ) ระบุว่า Hamming เป็นผู้คิดค้นปัญหาการสร้างลำดับอนันต์จากน้อยไปมากของจำนวนเรียบ 5 ทั้งหมด ปัญหานี้ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อปัญหาของ Hammingและจำนวนที่สร้างขึ้นจากปัญหานี้ก็เรียกว่าจำนวน Hammingแนวคิดของ Dijkstra ในการคำนวณจำนวนเหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

• ลำดับของเลขแฮมมิงเริ่มต้นด้วยเลข 1
• ค่าที่เหลือในลำดับจะมีรูปแบบเป็น, , และโดยที่เป็นเลขแฮมมิงใดๆ${\displaystyle 2h}$${\displaystyle 3h}$${\displaystyle 5h}$${\displaystyle h}$
• ดังนั้น ลำดับดังกล่าวอาจถูกสร้างขึ้นโดยการส่งออกค่า 1 แล้วจึง รวม ลำดับ, , และเข้าด้วยกัน${\displaystyle H}$${\displaystyle 2H}$${\displaystyle 3H}$${\displaystyle 5H}$

อัลกอริทึมนี้มักใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงพลังของภาษาการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันแบบขี้เกียจ เนื่องจาก (โดยปริยาย) การใช้งานที่มีประสิทธิภาพแบบพร้อมกันโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนคงที่ต่อค่าที่สร้างขึ้น สามารถสร้างได้ง่ายตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การใช้งานเชิงฟังก์ชันแบบเข้มงวดหรือแบบ ลำดับเชิงคำสั่งที่มีประสิทธิภาพในทำนองเดียวกันก็เป็นไปได้เช่นกัน ในขณะที่โซลูชัน การสร้างแบบพร้อมกันโดยชัดแจ้งอาจไม่ใช่เรื่องง่าย^{[ 18 ]}

ในภาษาการเขียนโปรแกรม Pythonโค้ดฟังก์ชันแบบขี้เกียจสำหรับการสร้างตัวเลขปกติถูกใช้เป็นหนึ่งในการทดสอบในตัวสำหรับความถูกต้องของการใช้งานภาษา^{[ 19 ]}

ปัญหาที่เกี่ยวข้องซึ่งKnuth (1972) ได้กล่าวถึง คือการแสดงรายการเลขฐานหกสิบหลักทั้งหมดในลำดับจากน้อยไปมาก (ดู#คณิตศาสตร์บาบิโลนข้างต้น) ในแง่ของอัลกอริทึม นี่เทียบเท่ากับการสร้าง (ตามลำดับ) ลำดับย่อยของลำดับอนันต์ของตัวเลขปกติ ตั้งแต่ถึง^[ 8 ^] ดูGingerich (1965) ^{สำหรับ}คำอธิบายเบื้องต้นของรหัสคอมพิวเตอร์ที่สร้างตัวเลขเหล่านี้โดยไม่เรียงลำดับแล้วจึงจัดเรียง^{[ 20 ]} Knuth อธิบายอัลกอริทึมเฉพาะกิจ ซึ่งเขาอ้างถึงBruins (1970)สำหรับการสร้างตัวเลขหกหลักได้เร็วขึ้น แต่ไม่สามารถนำไปใช้กับค่าที่ใหญ่กว่าของ ได้อย่างตรงไปตรงมา^{[ 8 ]} Eppstein (2007) อธิบายอัลกอริทึมสำหรับ การคำนวณตารางประเภทนี้ในเวลาเชิงเส้นสำหรับค่าใดๆของ^{[ 21 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle 60^{k}}$${\displaystyle 60^{k+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Heninger, Rains & Sloane (2006)แสดงให้เห็นว่า เมื่อเป็นจำนวนปกติ และ หารด้วย 8 ลงตัว ฟังก์ชันก่อกำเนิดของแลตทิซยูนิโมดูลาร์คู่สุด ขั้วมิติ จะเป็นกำลังที่ th ของพหุนาม^{[ 22 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เช่นเดียวกับกลุ่มตัวเลขเรียบ อื่นๆ ตัวเลขปกติมีความสำคัญในฐานะขนาดปัญหาในโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับการดำเนินการแปลงฟูริเยร์แบบเร็วซึ่งเป็นเทคนิคสำหรับการวิเคราะห์ความถี่เด่นของสัญญาณในข้อมูลที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาตัวอย่างเช่น วิธีการของTemperton (1992)กำหนดให้ความยาวของการแปลงต้องเป็นตัวเลขปกติ^{[ 23 ]}

หนังสือเล่มที่ 8 ของสาธารณรัฐของเพลโตเกี่ยวข้องกับอุปมาเรื่องการแต่งงานที่เน้นไปที่จำนวนปกติสูง 60 ⁴ = 12,960,000 และตัวหารของมัน (ดูจำนวนของเพลโต ) นักวิชาการรุ่นหลังได้อ้างถึงทั้งคณิตศาสตร์บาบิโลนและทฤษฎีดนตรีเพื่อพยายามอธิบายข้อความนี้^{[ 24 ]}

ไผ่บางชนิดปล่อยเมล็ดจำนวนมากพร้อมกัน (กระบวนการที่เรียกว่าการออกเมล็ดพร้อมกัน ) ในช่วงเวลาที่ประมาณไว้เป็นจำนวนปีที่สม่ำเสมอ โดยมีช่วงเวลาที่แตกต่างกันสำหรับไผ่แต่ละชนิด รวมถึงตัวอย่างที่มีช่วงเวลา 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60 และ 120 ปี^{[ 25 ]}มีการตั้งสมมติฐานว่ากลไกทางชีวภาพสำหรับการกำหนดเวลาและการประสานกระบวนการนี้เหมาะสมกับตัวเลขที่ราบเรียบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีนี้กับตัวเลขที่ราบเรียบ 5 ตัวเลข แม้ว่าช่วงเวลาการออกเมล็ดพร้อมกันที่ประมาณไว้สำหรับไผ่บางชนิดจะไม่ใช่จำนวนปีที่สม่ำเสมอ แต่อาจอธิบายได้ว่าเป็นข้อผิดพลาดในการวัด^{[ 25 ]}

• ตารางส่วนกลับของจำนวนปกติถึง 3600จากเว็บไซต์ของศาสตราจารย์เดวิด อี. จอยซ์ มหาวิทยาลัยคลาร์ก
• RosettaCodeการสร้างเลขแฮมมิงในภาษาโปรแกรมประมาณ 50 ภาษา