ทฤษฎีบทของเฮลลีเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องเกี่ยวกับการตัดกันของเซตแบบนูน ทฤษฎีบท นี้ถูกค้นพบโดยเอ็ดเวิร์ด เฮลลีในปี พ.ศ. 2456 ^{[ 1 ]}แต่เขาไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2466 ซึ่งในขณะนั้นมีการพิสูจน์ทางเลือกโดยราดอน (พ.ศ. 2464)และเคอนิก (พ.ศ. 2465)ปรากฏออกมาแล้ว ทฤษฎีบทของเฮลลีทำให้เกิดแนวคิดของตระกูลเฮลลี

ให้X , ..., X เป็นกลุ่มของเซตย่อยนูนที่มีจำนวนจำกัดของโดยที่ถ้าจุดตัดของเซตย่อยนูนทุกเซตในกลุ่มนี้ไม่ว่างเปล่า แสดงว่ากลุ่มเซตทั้งหมดจะมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าเช่นกัน นั่นคือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle n\geq d+1}$${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \varnothing .}$

สำหรับชุดข้อมูลอนันต์ จำเป็นต้องสมมติว่ามีความกะทัดรัด:

ให้เป็นกลุ่มของเซตย่อยนูนกระชับ ของ โดยที่กลุ่มย่อย ทุกกลุ่มที่มีขนาด ไม่เกินจะมีอินเซกชันที่ไม่ว่างเปล่า ดังนั้น กลุ่มทั้งหมดจะมีอินเซกชันที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d+1}$

เราพิสูจน์เวอร์ชันจำกัดโดยใช้ทฤษฎีบทของ Radonดังเช่นในบทพิสูจน์ของRadon (1921)เวอร์ชันอนันต์นั้นได้มาจากการ กำหนดลักษณะ สมบัติการตัดกันแบบจำกัดของความกะทัดรัด : กลุ่มของเซตย่อยปิดของปริภูมิกะทัดรัดจะมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยจำกัดทุกกลุ่มมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า (เมื่อคุณกำหนดเซตหนึ่งแล้ว จุดตัดของเซตอื่นๆ ทั้งหมดกับเซตนั้นจะเป็นเซตย่อยปิดของปริภูมิกะทัดรัดที่กำหนดไว้)

การพิสูจน์ใช้วิธีการอุปมาน :

กรณีพื้นฐาน:ให้n = d  +  2ตามสมมติฐานของเรา สำหรับทุกj = 1, ..., nจะมีจุดx ที่อยู่ในจุดตัดร่วมของX ทั้งหมด ยกเว้นX ที่เป็นไปได้ ตอนนี้เราใช้ทฤษฎีบทของ RadonกับเซตA = { x , ..., x }ซึ่งให้เซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันA , A ของAโดยที่ส่วนนูนของA ตัดกับส่วนนูนของA สมมติว่าpเป็นจุดในจุดตัดของส่วนนูนทั้งสองนี้ เราอ้างว่า

${\displaystyle p\in \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}.}$

พิจารณาj ∈ {1, ..., n } ใดๆ เราจะพิสูจน์ว่าp ∈ X โปรดสังเกตว่าสมาชิกเพียงตัวเดียวของAที่อาจไม่ได้อยู่ในX คือx ถ้าx ∈ A แล้วx ∉ A และดังนั้นX ⊃ A เนื่องจากX เป็นเซตแบบนูน ดังนั้นมันจึงประกอบด้วยส่วนนูนของA ด้วย และดังนั้นp ∈ X เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ถ้าx ∉ A แล้วX ⊃ A และด้วยเหตุผลเดียวกันp ∈ X เนื่องจากpอยู่ในทุกX มันจึงต้องอยู่ในส่วนตัดกันด้วย

ข้างต้น เราได้สมมติว่าจุดx , ..., x นั้นแตกต่างกันทั้งหมด หากไม่ใช่เช่นนั้น เช่นx = x สำหรับบางi ≠ kแล้วx จะอยู่ในทุกเซตX และเราสรุปได้อีกครั้งว่าส่วนร่วมของเซต นั้นไม่ว่างเปล่า ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ในกรณีn = d  +  2

ขั้นตอนการอุปมาน:สมมติว่าn  > d + 2   และข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับn −1การให้เหตุผลข้างต้นแสดงให้เห็นว่าเซตย่อยใดๆ ที่มีd  +  2เซต จะมีอินเจกชันที่ไม่ว่างเปล่า จากนั้นเราอาจพิจารณาเซตที่เราแทนที่เซตสองเซตX และX ด้วยเซตเดียวX ∩ X ในเซตใหม่นี้ เซตย่อยทุกเซตที่มีd  +  1เซต จะมีอินเจกชันที่ไม่ว่างเปล่า ดังนั้นสมมติฐานอุปมานจึงใช้ได้ และแสดงให้เห็นว่าเซตใหม่นี้มีอินเจกชันที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าเซตเดิมก็มีอินเจกชันที่ไม่ว่างเปล่าเช่นกัน และเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

การพิสูจน์เชิงโทโพโลยีของกรณีฐาน

ให้และพิจารณาเซตคลุม เนื่องจากการตัดกันของเซตแบบนูนเป็นเซตแบบนูน ดังนั้นการตัดกันแบบจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตของสมาชิกในจึงสามารถยุบตัวได้ ดังนั้น จึงเป็นการคลุมที่ดี${\displaystyle X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n+2}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{X_{i}\}_{i=1}^{n+2}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเส้นประสาทนั้นเทียบเท่ากับการสร้างทางเรขาคณิตของเส้นประสาทของส่วนปกคลุม โดยสมมติว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle |{\mathcal {N}}|}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle X_{1}\cap \cdots \cap X_{n+2}=\varnothing ,}$ เส้นประสาทคือขอบเขตเชิงซ้อนของซิมเพล็กซ์ที่ประกอบด้วยหน้าทั้งหมด ดังนั้นจึงมีลักษณะสมมาตรกับซึ่งส่งผลให้ นี่เป็นข้อขัดแย้ง เนื่องจากเป็นแมนิโฟลด์มิติที่ไม่กระชับและกลุ่มโฮโมโลยีสูงสุดของแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับมีค่าเป็นศูนย์${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \Delta ^{n+1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |{\mathcal {N}}|}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$

ทฤษฎีบทเฮลลีที่มีสีสัน เป็นส่วนขยายของทฤษฎีบทเฮลลี โดยที่แทนที่จะมีชุดเดียว กลับมีชุดย่อยนูนของR ^d จำนวน d + 1 ชุด

ถ้าหากสำหรับการเลือกเส้นตัดขวางแต่ละครั้ง – ซึ่งก็คือชุดหนึ่งจากทุกชุดสะสม – มีจุดร่วมกันในทุกชุดที่เลือกแล้วอย่างน้อยที่สุด สำหรับ ชุดสะสมชุดใดชุดหนึ่ง ก็จะมีจุดร่วมกันในทุกชุดในชุดสะสมนั้นด้วย

ในเชิงเปรียบเทียบ เราสามารถพิจารณา ชุด d + 1 ชุดที่มี สีต่างกัน d + 1 สีได้ จากนั้นทฤษฎีบทกล่าวว่า ถ้าการเลือกชุดหนึ่งชุดต่อสีทุกชุดมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า ก็จะมีสีหนึ่งที่ชุดทั้งหมดของสีนั้นมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า^{[ 2 ]}

สำหรับทุกa > 0 จะมีb > 0 บางค่าที่ ถ้า X , ..., X เป็นเซตย่อยนูนn เซตของ R ^dและอย่างน้อย เศษส่วน aของ ( d + 1)-tuple ของเซตมีจุดร่วมกัน แล้วเศษส่วนของอย่างน้อยbเซตจะมีจุดร่วมกัน^{[ 2 ]}

• ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรี
• ทฤษฎีบทของโดญง
• ทฤษฎีบทของเคิร์ชเบอร์เกอร์
• ทฤษฎีบทเสริมของ Shapley–Folkman
• ทฤษฎีบทเครน-มิลแมน
• ทฤษฎีโชเกต์
• ทฤษฎีบทของราดอนและทฤษฎีบททั่วไปของทเวร์เบิร์ก
• ทฤษฎีบทการหาจุดตัดของแคนเตอร์ - อีกหนึ่งทฤษฎีบทเกี่ยวกับการหาจุดตัดของเซต
• ครอบครัวเฮลลี่