ในทางโทโพโลยีคอมเพล็กซ์ประสาทของตระกูลเซตคือคอมเพล็กซ์นามธรรมที่บันทึกรูปแบบของการตัดกันระหว่างเซตในตระกูล มันถูกนำเสนอโดยPavel Alexandrov ^{[ 1 ]}และปัจจุบันมีรูปแบบและการวางนัยทั่วไปมากมาย รวมถึงČech nerveของ cover ซึ่งในทางกลับกันถูกวางนัยทั่วไปโดยhypercoveringsมันจับเอาคุณสมบัติทางโทโพโลยีที่น่าสนใจหลายอย่างในรูปแบบอัลกอริทึมหรือเชิงการจัดเรียง^{[ 2 ]}

อนุญาต${\displaystyle I}$เป็นชุดของดัชนีและ${\displaystyle C}$เป็นครอบครัวของชุดต่างๆ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ความกล้าหาญของ${\displaystyle C}$คือเซตของเซตย่อยจำกัดของเซตดัชนี${\displaystyle I}$ประกอบด้วยเซตย่อยจำกัดทั้งหมด${\displaystyle J\subseteq I}$โดยที่จุดตัดของ${\displaystyle U_{i}}$ซึ่งดัชนีย่อยอยู่ใน${\displaystyle J}$ไม่ว่างเปล่า: ^{[ 3 ] : 81}

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}$

ในนิยามดั้งเดิมของ Alexandrov เซตต่างๆ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$เป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางอย่าง${\displaystyle X}$.

ชุด${\displaystyle N(C)}$อาจประกอบด้วยสมาชิกเดี่ยว (องค์ประกอบ)${\displaystyle i\in I}$โดยที่${\displaystyle U_{i}}$(ไม่ว่างเปล่า) คู่ (คู่ขององค์ประกอบ)${\displaystyle i,j\in I}$โดยที่${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$) แฝดสาม และอื่นๆ ถ้า${\displaystyle J\in N(C)}$จากนั้นเซตย่อยใดๆ ของ${\displaystyle J}$ก็อยู่ในด้วยเช่นกัน${\displaystyle N(C)}$, การทำ${\displaystyle N(C)}$คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมดังนั้น N(C) จึงมักถูกเรียกว่าคอมเพล็กซ์ประสาทของ${\displaystyle C}$.

1. ให้Xเป็นวงกลม${\displaystyle S^{1}}$และ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$, ที่ไหน${\displaystyle U_{1}}$เป็นส่วนโค้งที่คลุมครึ่งบนของ${\displaystyle S^{1}}$และ${\displaystyle U_{2}}$เป็นส่วนโค้งที่คลุมครึ่งล่าง โดยมีส่วนที่ทับซ้อนกันที่ด้านข้างทั้งสองข้าง (ต้องมีส่วนที่ทับซ้อนกันที่ด้านข้างทั้งสองข้างเพื่อให้ครอบคลุมทั้งหมด)${\displaystyle S^{1}}$). แล้ว${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$ซึ่งเป็นซิมเพล็กซ์ 1 มิติเชิงนามธรรม
2. ให้Xเป็นวงกลม${\displaystyle S^{1}}$และ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$โดยที่แต่ละ${\displaystyle U_{i}}$เป็นส่วนโค้งที่ครอบคลุมหนึ่งในสามของ${\displaystyle S^{1}}$โดยมีส่วนที่ทับซ้อนกับส่วนที่อยู่ติดกันบ้าง${\displaystyle U_{i}}$. แล้ว${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$โปรดทราบว่า {1,2,3} ไม่อยู่ใน${\displaystyle N(C)}$เนื่องจากเซตร่วมของทั้งสามเซตเป็นเซตว่าง ดังนั้น${\displaystyle N(C)}$เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ยังไม่ได้เติมสี
3. อนุญาต${\displaystyle P}$เป็นเซตจำกัดของจุดที่มีตำแหน่งทั่วไป (ไม่มีจุดสี่จุดใดอยู่บนวงกลมเดียวกัน) ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$และปล่อยให้${\displaystyle C=\{V_{p}\}_{p\in P}}$เป็นเซตของเซลล์ในแผนภาพโวโรนอยของ${\displaystyle P}$จากนั้นเส้นประสาท${\displaystyle N(C)}$คือการหาค่าสามเหลี่ยมเดลาเนย์ของ${\displaystyle P}$[ ^{4 ]}โปรดทราบว่าเซลล์ Voronoi เป็นเซตปิด ดังนั้นนี่จึงเป็นเส้นประสาทของฝาครอบปิดมากกว่าฝาครอบเปิด อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของเส้นประสาทนี้ใช้ได้กับตระกูลเซตที่กำหนดขึ้น^เอง

เมื่อพิจารณาจากปกที่เปิดอยู่${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$หรือโดยทั่วไปแล้วคือการปกคลุมในพื้นที่เราสามารถพิจารณาผลิตภัณฑ์เส้นใย แบบคู่ได้${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$ซึ่งในกรณีของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ก็คือจุดตัดนั่นเอง${\displaystyle U_{i}\หมวก U_{j}}$กลุ่มของจุดตัดทั้งหมดเหล่านี้สามารถเรียกได้ว่า${\displaystyle C\times _{X}C}$และจุดตัดสามจุดนั้น${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$.

โดยพิจารณาจากแผนที่ธรรมชาติ${\displaystyle U_{ij}\ถึง U_{i}}$และ${\displaystyle U_{i}\ถึง U_{ii}}$เราสามารถสร้างวัตถุเชิงซิมพลิเชียล ได้${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$กำหนดโดย${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$ผลิตภัณฑ์เส้นใย n เท่า นี่คือเส้นประสาท Čech ^{[ 5 ]}

โดยการนำส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันมา เราจะได้เซตเชิงซิมพลิเชียลซึ่งเราสามารถสร้างได้ในเชิงโทโพโลยี:${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$.

กลุ่มเส้นประสาท${\displaystyle N(C)}$เป็นวัตถุเชิงการจัดเรียงที่เรียบง่าย บ่อยครั้งที่มันเรียบง่ายกว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐาน (การรวมกันของเซตใน) มาก${\displaystyle C}$ดังนั้น คำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติก็คือว่า โครงสร้างทางทอพอโลยีของ${\displaystyle N(C)}$เทียบเท่ากับโทโพโลยีของ${\displaystyle \bigcup C}$.

โดยทั่วไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป ตัวอย่างเช่น เราสามารถคลุมทรงกลมn มิติใดๆ ด้วยเซตที่หดตัวได้สองเซต${\displaystyle U_{1}}$และ${\displaystyle U_{2}}$ซึ่งมีส่วนตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า ดังตัวอย่างที่ 1 ข้างต้น ในกรณีนี้${\displaystyle N(C)}$เป็นซิมเพล็กซ์เชิงนามธรรม 1 มิติ ซึ่งคล้ายกับเส้นตรงแต่ไม่เหมือนทรงกลม

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี${\displaystyle N(C)}$สะท้อนถึงโทโพโลยีของXตัวอย่างเช่น ถ้าวงกลมถูกคลุมด้วยส่วนโค้งเปิดสามส่วน ซึ่งตัดกันเป็นคู่ๆ ดังตัวอย่างที่ 2 ข้างต้นแล้ว${\displaystyle N(C)}$เป็นซิมเพล็กซ์ 2 ตัว (โดยไม่มีส่วนภายใน) และมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับวงกลมเดิม^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นประสาท (หรือบทพิสูจน์ย่อยเกี่ยวกับเส้นประสาท ) คือทฤษฎีบทที่ให้เงื่อนไขเพียงพอเกี่ยวกับCซึ่งรับประกันว่า${\displaystyle N(C)}$สะท้อนให้เห็นถึงโทโพโลยีในแง่หนึ่ง${\displaystyle \bigcup C}$ทฤษฎีบทประสาทเชิงฟังก์ชันคือทฤษฎีบทประสาทที่เป็นเชิงฟังก์ชันในความหมายที่เหมาะสม ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยี^{[ 7 ]}