ในพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์เป็น รูปแบบ ที่คล้ายคลึงกับรูปแบบขั้นบันไดลดรูปสำหรับเมทริกซ์เหนือจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับที่รูปแบบขั้นบันไดลดรูปสามารถใช้แก้ปัญหาเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้โดยที่รูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์สามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้โดยที่เวลาจำกัดให้มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น การประยุกต์ใช้รูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์ในด้านอื่นๆ ได้แก่การ^{เขียน}โปรแกรมจำนวนเต็ม^{[ 1 ]}การเข้ารหัส [ ^{2 ]}และพีชคณิตนามธรรม^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x}$

ผู้เขียนหลายท่านอาจเลือกที่จะกล่าวถึงรูปแบบปกติของ Hermite ในรูปแบบแถวหรือรูปแบบคอลัมน์ก็ได้ โดยพื้นฐานแล้วมันเหมือนกัน ยกเว้นเรื่องการสลับตำแหน่ง

เมทริกซ์จะมีรูปแบบปกติของ Hermite (แถว) ถ้ามีเมทริกซ์ unimodular สี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่และ: ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle A\in \mathbb {Z} ^{m\times n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H=UA}$

1. ${\displaystyle H}$เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (กล่าวคือสำหรับ) และแถวที่เป็นศูนย์จะอยู่ต่ำกว่าแถวอื่น ๆ${\displaystyle h_{ij}=0}$${\displaystyle i>j}$
2. สัมประสิทธิ์นำหน้า (ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ค่าแรกจากด้านซ้าย หรือเรียกว่าค่าหลัก ) ของแถวที่ไม่เป็นศูนย์ จะอยู่ทางด้านขวาของสัมประสิทธิ์นำหน้าของแถวด้านบนเสมอ และมีค่าเป็นบวกด้วย
3. องค์ประกอบที่อยู่ต่ำกว่าจุดหมุนจะมีค่าเป็นศูนย์ และองค์ประกอบที่อยู่สูงกว่าจุดหมุนจะมีค่าไม่เป็นลบและมีค่าน้อยกว่าจุดหมุนอย่างเคร่งครัด

เงื่อนไขที่สามไม่ใช่มาตรฐานในหมู่ผู้เขียน ตัวอย่างเช่น แหล่งข้อมูลบางแห่งบังคับให้ไม่ใช่ค่าหลักต้องเป็นค่าที่ไม่เป็นบวก^{[ 7 ] [ 8 ]}หรือไม่กำหนดข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมาย^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากันโดยใช้เมทริกซ์ยูนิโมดูลาร์ที่แตกต่างกันเมทริกซ์ยูนิโมดูลาร์คือเมทริกซ์ จำนวนเต็มจัตุรัส ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1 หรือ −1 (และดังนั้นจึงสามารถผกผันได้ ) ในความเป็นจริง เมทริกซ์ยูนิโมดูลาร์สามารถผกผันได้เหนือจำนวนเต็ม ดังที่เห็นได้จากกฎของเครเมอร์เป็นต้น ${\displaystyle U}$

เมทริกซ์จะมีรูปแบบปกติของ Hermite (คอลัมน์) หากมีเมทริกซ์ unimodular สี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่และมีข้อจำกัดดังต่อไปนี้: ^{[ 8 ] [ 10 ]}${\displaystyle A\in \mathbb {Z} ^{m\times n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H=AU}$${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle H}$เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ( สำหรับ) และคอลัมน์ที่มีค่าเป็นศูนย์จะอยู่ทางด้านขวา${\displaystyle h_{ij}=0}$${\displaystyle i<j}$
2. สัมประสิทธิ์นำหน้า (ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ค่าแรกจากด้านบน หรือเรียกว่าค่าหลัก ) ของคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ จะต้องอยู่ต่ำกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของคอลัมน์ก่อนหน้าเสมอ และมีค่าเป็นบวกด้วย
3. องค์ประกอบทางด้านขวาของตัวหมุนจะมีค่าเป็นศูนย์ และองค์ประกอบทางด้านซ้ายของตัวหมุนจะมีค่าไม่เป็นลบและมีค่าน้อยกว่าตัวหมุนอย่างเคร่งครัด

โปรดสังเกตว่าคำจำกัดความแบบแถวมีการคูณ เมทริกซ์แบบยูนิโมดูลาร์ ทางด้านซ้าย (หมายความว่าเป็นการกระทำบนแถวของเมทริกซ์) ในขณะที่คำจำกัดความแบบคอลัมน์มีการกระทำเมทริกซ์แบบยูนิโมดูลาร์บนคอลัมน์ของเมทริกซ์คำจำกัดความทั้งสองของรูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์นั้นเป็นเพียงเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของกันและกัน ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

เมทริกซ์A ที่มีอันดับ แถวเต็มm x nและมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มจะมีเมทริกซ์H ขนาด m x n ที่ไม่ซ้ำกัน ในรูปแบบปกติของ Hermite โดยที่H = UAสำหรับเมทริกซ์ unimodular สี่เหลี่ยมจัตุรัสUบาง ตัว ^{[ 5 ] [ 11 ] [ 12 ]}

ในตัวอย่างด้านล่างH คือรูปแบบปกติ ของ Hermite ของเมทริกซ์AและUคือเมทริกซ์ unimodular ซึ่งUA = H$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&3&1&4\\0&1&0&0\\0&0&19&16\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}3&0&1&1\\0&1&0&0\\0&0&19&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\qquad U=\left({\begin{array}{rrrr}1&-3&0&-1\\0&1&0&0\\0&0&1&-5\\0&0&0&1\end{array}}\right)}$$

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&6&2\\5&6&1&6\\8&3&1&1\end{pmatrix}}\qquad H=\left({\begin{array}{rrrr}1&0&50&-11\\0&3&28&-2\\0&0&61&-13\end{array}}\right)\qquad U=\left({\begin{array}{rrr}9&-5&1\\5&-2&0\\11&-6&1\end{array}}\right)}$$

ถ้าAมีเพียงแถวเดียวHจะเท่ากับAหรือHเท่ากับ − A ขึ้นอยู่กับว่า สัมประสิทธิ์นำหน้าของ แถวเดียวของA เป็นบวกหรือลบ

มีอัลกอริธึมมากมายสำหรับการคำนวณรูปแบบปกติของ Hermite ซึ่งมีมาตั้งแต่ปี 1851 อัลกอริธึมหนึ่งดังกล่าวได้รับการอธิบายไว้ใน^{[ 13 ] : 43--45} แต่ในปี 1979 เท่านั้นที่ ได้มีการพัฒนาอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณรูปแบบปกติของ Hermite ที่ทำงานในเวลาพหุนามที่แข็งแกร่ง เป็นครั้งแรก ^{[ 14 ]}กล่าวคือ จำนวนขั้นตอนในการคำนวณรูปแบบปกติของ Hermite นั้นมีขอบเขตบนโดยพหุนามในมิติของเมทริกซ์อินพุต และพื้นที่ที่ใช้โดยอัลกอริธึม (ตัวเลขกลาง) นั้นมีขอบเขตโดยพหุนามในขนาดการเข้ารหัสไบนารีของตัวเลขในเมทริกซ์อินพุต

อัลกอริทึมประเภทหนึ่งมีพื้นฐานมาจากการกำจัด แบบเกาส์ เซียนโดยมีการใช้เมทริกซ์พื้นฐานพิเศษซ้ำๆ^{[ 11 ] [ 15 ] [ 16 ]} อัลกอริทึม LLL ยังสามารถใช้เพื่อคำนวณรูปแบบปกติของ Hermite ได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 17 ] [ 18 ]}

โดยทั่วไปแล้วแลตทิซในR ⁿจะมีรูปแบบที่a _iอยู่ในR ⁿถ้าคอลัมน์ของเมทริกซ์Aคือa _iแลตทิซนั้นสามารถเชื่อมโยงกับคอลัมน์ของเมทริกซ์ได้ และAจะถูกเรียกว่าเป็นฐานของLเนื่องจากรูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว จึงสามารถใช้ตอบคำถามมากมายเกี่ยวกับคำอธิบายแลตทิซสองแบบได้ ต่อไปนี้จะแทนแลตทิซที่สร้างขึ้นโดยคอลัมน์ของ A เนื่องจากฐานอยู่ในคอลัมน์ของเมทริกซ์Aจึงต้องใช้รูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์แบบคอลัมน์ เมื่อกำหนดฐานสองฐานสำหรับแลตทิซAและA'ปัญหาความเท่าเทียมกันคือการตัดสินใจว่าสิ่งนี้สามารถทำได้โดยการตรวจสอบว่ารูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์แบบคอลัมน์ของAและA'เหมือนกันหรือไม่ ยกเว้นการบวกคอลัมน์ศูนย์ กลยุทธ์นี้ยังมีประโยชน์สำหรับการตัดสินใจว่าแลตทิซเป็นเซตย่อยหรือไม่ ( ถ้าและเฉพาะเมื่อ ) การตัดสินใจว่าเวกเตอร์ v อยู่ในแลตทิซหรือไม่ ( ถ้าและเฉพาะเมื่อ) และสำหรับการคำนวณอื่นๆ^{[ 19 ]}${\textstyle L=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {a} _{i}\;\right\vert \;\alpha _{i}\in {\textbf {Z}}\right\}}$${\displaystyle L_{A}}$${\displaystyle L_{A}=L_{A'}.}$${\displaystyle L_{A}\subseteq L_{A'}}$${\displaystyle L_{[A\mid A']}=L_{A'}}$${\displaystyle v\in L_{A}}$${\displaystyle L_{[v\mid A]}=L_{A}}$

ระบบเชิงเส้นAx = bมีคำตอบจำนวนเต็มxก็ต่อเมื่อระบบHy = bมีคำตอบจำนวนเต็มyโดยที่y = U ⁻¹ xและHคือรูปแบบปกติของ Hermite แบบคอลัมน์ของAการตรวจสอบว่าHy = bมีคำตอบจำนวนเต็มนั้นง่ายกว่าAx = bเพราะเมทริกซ์Hเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม^{[ 11 ] : 55}

โปรแกรม ซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์หลายโปรแกรมสามารถคำนวณรูปแบบปกติของเฮอร์ไมต์ได้:

• ไม้เมเปิลกับHermiteForm
• MATLABกับhermiteForm
• NTLกับHNF
• PARI/GPกับmathnf
• SageMathกับhermite_form
• "การสลายตัวของเฮอร์ไมต์"เว็บไซต์Wolfram Alpha^{[ 20 ]}

รูปแบบปกติของ Hermite สามารถกำหนดได้เมื่อเราแทนที่Zด้วยโดเมน Dedekind ใด ๆ^{[ 21 ]} (เช่นโดเมนอุดมคติหลัก ใดๆ ) ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีการควบคุม การพิจารณา รูป แบบปกติของ Hermite สำหรับพหุนาม F [ x ]เหนือฟิลด์F ที่กำหนด อาจเป็นประโยชน์

• แหวนเฮอร์ไมท์
• รูปแบบปกติของสมิธ
• รูปแบบปกติของโฮเวลล์
• สมการไดโอแฟนไทน์