ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์การ คำนวณ วิธีของ Heunอาจหมายถึง วิธีของ Euler ที่ได้รับการปรับปรุง^{[ 1 ]}หรือวิธีของ Euler ที่แก้ไขแล้ว (นั่นคือกฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบชัดเจน^{[ 2 ]} ) หรือ วิธี Runge–Kuttaสองขั้นตอนที่คล้ายกัน วิธี นี้ตั้งชื่อตามKarl Heunและเป็น กระบวนการ เชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ที่มี ค่าเริ่มต้นที่กำหนดทั้งสองรูปแบบสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายวิธีของ Eulerไปสู่วิธี Runge–Kutta อันดับสองแบบสองขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณหาคำตอบเชิงตัวเลขของปัญหาค่าเริ่มต้น:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

โดยใช้วิธีของ Heun คือการคำนวณค่ากลางก่อน${\displaystyle {\tilde {y}__{i+1}}$และจากนั้นก็เป็นการประมาณค่าขั้นสุดท้าย ${\displaystyle y_{i+1}}$ณ จุดเชื่อมต่อถัดไป

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],}$

ที่ไหน${\displaystyle h}$คือขนาดขั้นและ${\displaystyle t_{i+1}=t_{i}+h}$.

วิธีของออยเลอร์ถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานของวิธีของเฮิน วิธีของออยเลอร์ใช้เส้นสัมผัสกับฟังก์ชันที่จุดเริ่มต้นของช่วงเป็นค่าประมาณของความชันของฟังก์ชันในช่วงนั้น โดยสมมติว่าถ้าขนาดของขั้นตอนเล็ก ความคลาดเคลื่อนก็จะเล็ก อย่างไรก็ตาม แม้จะใช้ขนาดของขั้นตอนที่เล็กมาก ๆ ก็ตาม เมื่อใช้จำนวนขั้นตอนมาก ความคลาดเคลื่อนจะเริ่มสะสมและค่าประมาณจะเบี่ยงเบนจากค่าฟังก์ชันที่แท้จริง

ในกรณีที่เส้นโค้งคำตอบเว้าขึ้น เส้นสัมผัสจะประเมินค่าพิกัดแนวตั้งของจุดถัดไปต่ำกว่าความเป็นจริง และในทางกลับกันสำหรับคำตอบที่เว้าลง เส้นทำนายในอุดมคติควรตัดกับเส้นโค้งที่จุดทำนายถัดไป แต่ในความเป็นจริง ไม่มีวิธีใดที่จะทราบได้ว่าคำตอบเว้าขึ้นหรือเว้าลง และด้วยเหตุนี้ จุดทำนายถัดไปจึงอาจประเมินค่าแนวตั้งสูงเกินไปหรือต่ำเกินไป ความเว้าของเส้นโค้งก็ไม่สามารถรับประกันได้ว่าจะคงที่เสมอไป และการทำนายอาจประเมินค่าสูงเกินไปหรือต่ำเกินไปในจุดต่างๆ ภายในขอบเขตของคำตอบ วิธีของ Heun แก้ปัญหานี้โดยพิจารณาช่วงที่ครอบคลุมโดยส่วนของเส้นสัมผัสทั้งหมด ยกตัวอย่างเช่น ในกรณีเว้าขึ้น เส้นสัมผัสทำนายด้านซ้ายจะประเมินค่าความชันของเส้นโค้งต่ำกว่าความเป็นจริงตลอดความกว้างของช่วงจากจุดปัจจุบันไปยังจุดทำนายถัดไป หากพิจารณาเส้นสัมผัสที่จุดปลายด้านขวา (ซึ่งสามารถประมาณได้โดยใช้วิธีของ Euler) จะมีปัญหาตรงกันข้าม^{[ 3 ]} จุดต่างๆ ตามเส้นสัมผัสของจุดปลายด้านซ้ายมีพิกัดแนวตั้งซึ่งประเมินค่าต่ำกว่าจุดที่อยู่บนเส้นโค้งคำตอบทั้งหมด รวมถึงจุดปลายด้านขวาของช่วงที่กำลังพิจารณา วิธีแก้ปัญหาคือการทำให้ความชันมีค่ามากขึ้น วิธีของ Heun พิจารณาเส้นสัมผัสของเส้นโค้งคำตอบที่ ปลาย ทั้งสองของช่วง โดยเส้นหนึ่งประเมิน ค่าพิกัดแนวตั้งในอุดมคติสูง เกินไปและอีกเส้นหนึ่ง ประเมินค่าต่ำกว่า ความเป็นจริง ต้องสร้างเส้นทำนายโดยอาศัยความชันของเส้นสัมผัสจุดปลายด้านขวาเพียงอย่างเดียว ซึ่งประมาณค่าโดยใช้วิธีของ Euler หากความชันนี้ผ่านจุดปลายด้านซ้ายของช่วง ผลลัพธ์ที่ได้จะชันเกินไปอย่างเห็นได้ชัดที่จะใช้เป็นเส้นทำนายในอุดมคติและประเมินค่าจุดในอุดมคติสูงเกินไป ดังนั้น จุดในอุดมคติจึงอยู่ประมาณครึ่งทางระหว่างการประเมินค่าสูงเกินไปและต่ำเกินไปที่ผิดพลาด ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยของความชันทั้งสอง

วิธีของออยเลอร์ใช้เพื่อประมาณพิกัดของจุดถัดไปในคำตอบอย่างคร่าวๆ และด้วยความรู้นี้ การประมาณค่าเดิมจะถูกทำนายใหม่หรือแก้ไข[ ^{4 ] สมมติ}ว่าปริมาณ${\displaystyle \textstyle f(x,y)}$ค่าทางด้านขวามือของสมการสามารถมองได้ว่าเป็นความชันของเส้นคำตอบที่ต้องการหา ณ จุดใดๆ${\displaystyle \textstyle (x,y)}$ซึ่งสามารถนำมาใช้ร่วมกับการประมาณค่าแบบออยเลอร์ของจุดถัดไป เพื่อหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุดปลายด้านขวา จากนั้นจึงใช้ค่าเฉลี่ยของความชันทั้งสองเพื่อหาพิกัดที่ถูกต้องของช่วงปลายด้านขวา

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{left}}=f(x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{right}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))}$

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {1}{2}}({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})}$

โดยใช้หลักการที่ว่า ความชันของเส้นตรงเท่ากับ ค่าการเพิ่มขึ้น/ค่าการวิ่ง เราสามารถหาพิกัด ณ จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {\Delta y}{h}}}$

${\displaystyle \Delta y=h({\text{Slope}}_{\text{ideal}})}$

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h}$,${\displaystyle \textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Slope}}_{\text{ideal}}}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))}$

ความแม่นยำของวิธีออยเลอร์จะดีขึ้นเพียงเชิงเส้นเมื่อขนาดขั้นตอนลดลง ในขณะที่วิธีเฮือนจะปรับปรุงความแม่นยำเป็นกำลังสอง^{[ 5 ]}แผนการนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูโดยปริยาย แต่ด้วย${\displaystyle f(t_{i+1},y_{i+1})}$แทนที่ด้วย${\displaystyle f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})}$เพื่อทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$เป็นผลลัพธ์จากขั้นตอนหนึ่งของวิธีออยเลอร์บนปัญหาค่าเริ่มต้นเดียวกัน ดังนั้น วิธีของเฮินจึงเป็นวิธีการทำนายและแก้ไขโดยใช้วิธีออยเลอร์ แบบไปข้างหน้า เป็นตัวทำนาย และวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นตัวแก้ไข

วิธีของออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วเป็น วิธี Runge–Kuttaสองขั้นตอนและสามารถเขียนได้โดยใช้ตาราง Butcher (ตั้งชื่อตามJohn C. Butcher ):

วิธีการอื่นที่เรียกว่าวิธีของ Heun (หรือที่รู้จักกันในชื่อวิธีของ Ralston) มีตาราง Butcher: ^{[ 6 ]}

วิธีนี้ช่วยลดข้อผิดพลาดจากการตัดทอน ให้น้อย ที่สุด