การสร้างแบบจำลองลำดับชั้นแบบเบย์เซียนเป็นแบบจำลองทางสถิติที่เขียนในหลายระดับ (รูปแบบลำดับชั้น) ซึ่งประมาณการการแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ของพารามิเตอร์ แบบจำลอง โดยใช้วิธีเบย์เซียน [ ^{1 ] แบบ}จำลองย่อยจะรวมกันเพื่อสร้างแบบจำลองลำดับชั้น และทฤษฎีบทของเบย์สจะถูกนำมาใช้เพื่อบูรณาการแบบจำลองเหล่านี้กับข้อมูลที่สังเกตได้และคำนึงถึงความไม่แน่นอนทั้งหมดที่มีอยู่ การบูรณาการนี้ทำให้สามารถคำนวณค่าโพสทีเรียร์ที่อัปเดตแล้วของพารามิเตอร์ (ไฮเปอร์) ซึ่งเป็นการอัปเดต ความเชื่อ ก่อนหน้า อย่างมีประสิทธิภาพ โดยพิจารณาจากข้อมูลที่สังเกตได้

สถิติความถี่อาจให้ข้อสรุปที่ดูเหมือนไม่สอดคล้องกับข้อสรุปที่นำเสนอโดยสถิติแบบเบย์เซียน เนื่องจากการปฏิบัติต่อพารามิเตอร์แบบเบย์เซียนในฐานะตัวแปรสุ่มและการใช้ข้อมูลเชิงอัตวิสัยในการสร้างสมมติฐานเกี่ยวกับพารามิเตอร์เหล่านี้^{[ 2 ]}เนื่องจากวิธีการเหล่านี้ตอบคำถามที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์อย่างเป็นทางการจึงไม่ขัดแย้งกันในทางเทคนิค แต่ทั้งสองวิธีการไม่เห็นด้วยว่าคำตอบใดมีความเกี่ยวข้องกับการใช้งานเฉพาะด้าน นักสถิติแบบเบย์เซียนโต้แย้งว่าข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจและการปรับปรุงความเชื่อไม่สามารถละเลยได้ และการสร้างแบบจำลองแบบลำดับชั้นมีศักยภาพที่จะลบล้างวิธีการแบบคลาสสิกในการใช้งานที่ผู้ตอบแบบสอบถามให้ข้อมูลการสังเกตหลายรายการ ยิ่งไปกว่านั้น แบบจำลองได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความแข็งแกร่งโดยการกระจายความน่าจะเป็นภายหลังมีความไวต่อความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบลำดับชั้นที่ยืดหยุ่นกว่าน้อยกว่า

การสร้างแบบจำลองเชิงลำดับชั้น ดังที่ชื่อบ่งบอก จะคงโครงสร้างข้อมูล แบบซ้อนกันไว้ และใช้เมื่อมีข้อมูลอยู่ในหน่วยการสังเกตหลายระดับที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในการสร้างแบบจำลองทางระบาดวิทยาเพื่ออธิบายเส้นทางการติดเชื้อสำหรับหลายประเทศ หน่วยการสังเกตคือประเทศ และแต่ละประเทศมีโปรไฟล์ตามเวลาของจำนวนผู้ติดเชื้อรายวัน^{[ 3 ]}ในการวิเคราะห์เส้นโค้งการลดลงเพื่ออธิบายเส้นโค้งการลดลงของการผลิตน้ำมันหรือก๊าซสำหรับบ่อน้ำมันหลายบ่อ หน่วยการสังเกตคือบ่อน้ำมันหรือก๊าซในภูมิภาคแหล่งกักเก็บ และแต่ละบ่อมีโปรไฟล์ตามเวลาของอัตราการผลิตน้ำมันหรือก๊าซ (โดยปกติคือบาร์เรลต่อเดือน) ^{[ 4 ]}การสร้างแบบจำลองเชิงลำดับชั้นใช้เพื่อคิดค้นกลยุทธ์การคำนวณสำหรับปัญหาที่มีหลายพารามิเตอร์^{[ 5 ]}

วิธีการและแบบจำลองทางสถิติมักเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์หลายตัวที่สามารถพิจารณาได้ว่ามีความสัมพันธ์หรือเชื่อมโยงกันในลักษณะที่ปัญหาบ่งบอกถึงการพึ่งพาของแบบจำลองความน่าจะเป็นร่วมสำหรับพารามิเตอร์เหล่านี้^{[ 6 ]} ระดับความเชื่อส่วนบุคคลที่แสดงในรูปของความน่าจะเป็นนั้นมาพร้อมกับความไม่แน่นอน^{[ 7 ]} ท่ามกลางสิ่งนี้คือการเปลี่ยนแปลงของระดับความเชื่อเมื่อเวลาผ่านไป ดังที่ศาสตราจารย์ José M. Bernardoและศาสตราจารย์Adrian F. Smithกล่าวไว้ว่า"ความเป็นจริงของกระบวนการเรียนรู้ประกอบด้วยวิวัฒนาการของความเชื่อส่วนบุคคลและอัตวิสัยเกี่ยวกับความเป็นจริง" ความน่าจะเป็นอัตวิสัยเหล่านี้เกี่ยวข้องกับจิตใจโดยตรงมากกว่าความน่าจะเป็นทางกายภาพ^{[ 7 ]}ดังนั้น ด้วยความจำเป็นในการปรับปรุงความเชื่อนี้เองที่นักสถิติแบบเบย์เซียนได้กำหนดแบบจำลองทางสถิติทางเลือกซึ่งคำนึงถึงการเกิดขึ้นก่อนหน้าของเหตุการณ์เฉพาะ^{[ 8 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การสันนิษฐานถึงเหตุการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงจะเปลี่ยนแปลงความชอบระหว่างตัวเลือกบางอย่าง โดยการเปลี่ยนแปลงระดับความเชื่อที่บุคคลมีต่อเหตุการณ์ที่กำหนดตัวเลือก^{[ 9 ]}

สมมติว่าในการศึกษาประสิทธิภาพของการรักษาโรคหัวใจ ผู้ป่วยในโรงพยาบาลjมีโอกาสรอดชีวิตเท่ากับ และโอกาสรอดชีวิตนี้จะได้รับการปรับปรุงเมื่อเกิดเหตุการณ์yซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่มีการสร้างเซรั่มที่เป็นที่ถกเถียงกันขึ้นมา ซึ่งบางคนเชื่อว่าช่วยเพิ่มอัตราการรอดชีวิตในผู้ป่วยโรคหัวใจ ${\displaystyle \theta _{j}}$

เพื่อให้สามารถคาดการณ์ความน่าจะเป็นของ ได้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณาจากการเกิดเหตุการณ์yเราต้องเริ่มต้นด้วยแบบจำลองที่ให้การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมสำหรับและyซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของการแจกแจงสองแบบที่มักเรียกว่าการแจกแจงแบบก่อนหน้าและการแจกแจงแบบสุ่มตัวอย่างตามลำดับ: ${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle P(\theta )}$${\displaystyle P(y\mid \theta )}$

${\displaystyle P(\theta ,y)=P(\theta )P(y\mid \theta )}$

โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจะให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle P(\theta \mid y)={\frac {P(\theta ,y)}{P(y)}}={\frac {P(y\mid \theta )P(\theta )}{P(y)}}}$

สมการนี้ ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและเหตุการณ์แต่ละรายการ เรียกว่าทฤษฎีบทของเบย์ส การแสดงออกที่เรียบง่ายนี้รวบรวมแก่นหลักทางเทคนิคของการอนุมานแบบเบย์เซียน ซึ่งมีเป้าหมายเพื่อแยกความน่าจะเป็น ออกจากกันโดยสัมพันธ์กับเซตย่อยที่สามารถแก้ไขได้ของหลักฐานสนับสนุน^{[ 9 ]}${\displaystyle P(\theta \mid y)}$

จุดเริ่มต้นปกติของการวิเคราะห์ทางสถิติคือการสมมติว่าค่าnสามารถสลับเปลี่ยนกันได้ หากไม่มีข้อมูลอื่นใดนอกจากข้อมูลyที่สามารถแยกแยะค่า's ใดๆ ออกจากค่าอื่นๆ ได้ และไม่สามารถเรียงลำดับหรือจัดกลุ่มพารามิเตอร์ได้ จะต้องสมมติความสมมาตรของพารามิเตอร์การกระจายก่อนหน้า^{[ 10 ]} ความสมมาตรนี้แสดงโดยความน่าจะเป็นของการสลับเปลี่ยนกันได้ โดยทั่วไปแล้ว การสร้างแบบจำลองข้อมูลจากการกระจายแบบสลับเปลี่ยนกันได้เป็น แบบกระจายอย่างอิสระและเหมือนกันโดย กำหนดเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าบางตัวที่มีการกระจายนั้นมีประโยชน์และเหมาะสม${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle P(\theta )}$

สำหรับจำนวนn ที่กำหนดไว้ เซต จะสลับเปลี่ยนได้หากความน่าจะเป็นร่วมไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนของดัชนี นั่นคือ สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนหรือ ของ (1, 2, …, n ) ทุกแบบ ^{[ 11 ]}${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle P(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n})}$${\displaystyle P(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=P(y_{\pi _{1}},y_{\pi _{2}},\ldots ,y_{\pi _{n}})}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่แลกเปลี่ยนกันได้ แต่ไม่ใช่แบบอิสระและเหมือนกัน (iid): พิจารณาโถที่มีลูกบอลสีแดงและลูกบอลสีน้ำเงินอยู่ข้างใน โดยมีความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีใดสีหนึ่ง ลูกบอลถูกหยิบออกมาโดยไม่ใส่คืน กล่าวคือ หลังจากหยิบลูกบอลออกไปหนึ่งลูกแล้ว จะยังมีลูกบอลเหลืออยู่สำหรับการหยิบครั้งต่อไป ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\text{ให้ }}Y_{i}={\begin{cases}1,&{\text{ถ้าลูกบอลลูกที่ }}i เป็นสีแดง}},\\0,&{\text{มิเช่นนั้น}}.\end{cases}}}$

ความน่าจะเป็นที่จะเลือกได้ลูกบอลสีแดงในการจับฉลากครั้งแรกและลูกบอลสีน้ำเงินในการจับฉลากครั้งที่สอง เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะเลือกได้ลูกบอลสีน้ำเงินในการจับฉลากครั้งแรกและลูกบอลสีแดงในการจับฉลากครั้งที่สอง ซึ่งทั้งสองอย่างมีค่าเท่ากับ 1/2:

${\displaystyle P(y_{1}=1,y_{2}=0)=P(y_{1}=0,y_{2}=1)={\frac {1}{2}}}$.

สิ่งนี้ทำให้สามารถแลกเปลี่ยนได้ ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

แต่ความน่าจะเป็นที่จะเลือกได้ลูกบอลสีแดงในการจับฉลากครั้งที่สอง โดยที่ได้เลือกได้ลูกบอลสีแดงไปแล้วในการจับฉลากครั้งแรก คือ 0 ซึ่งไม่เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้เลือกได้ลูกบอลสีแดงในการจับฉลากครั้งที่สอง ซึ่งคือ 1/2:

${\displaystyle P(y_{2}=1\กลาง y_{1}=1)=0\neq P(y_{2}=1)={\frac {1}{2}}}$.

ดังนั้นและจึงไม่เป็นอิสระต่อกัน ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

ถ้าเป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน พวกมันก็จะสามารถสลับเปลี่ยนกันได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^{[ 12 ]}${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

ความสามารถในการแลกเปลี่ยนแบบอนันต์คือคุณสมบัติที่ว่าเซตย่อยจำกัดทุกเซตของลำดับอนันต์สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ สำหรับn ใดๆ ลำดับนั้นสามารถแลกเปลี่ยนกันได้^{[ 12 ]}${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2},\ldots }$${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$

การสร้างแบบจำลองลำดับชั้นแบบเบย์เซียนใช้แนวคิดสำคัญสองประการในการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง^{[ 1 ]}ได้แก่:

1. ไฮเปอร์พารามิเตอร์ : พารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบก่อนหน้า
2. ไฮเปอร์ไพรเออร์ : การกระจายของไฮเปอร์พารามิเตอร์

สมมติว่าตัวแปรสุ่มYเป็นไปตามการแจกแจงปกติโดยมีพารามิเตอร์เป็นค่าเฉลี่ยและ 1 เป็นค่าความแปรปรวนนั่นคือความสัมพันธ์ แบบ ทิลเดสามารถอ่านได้ว่า "มีการแจกแจงแบบ" หรือ "มีการแจกแจงแบบ" สมมติว่าพารามิเตอร์มีการแจกแจงที่กำหนดโดยการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวน 1 นั่นคือนอกจากนี้ยังมีการแจกแจงอีกแบบหนึ่งที่กำหนดโดยตัวอย่างเช่นการแจกแจงปกติมาตรฐาน พารามิเตอร์เรียกว่าไฮเปอร์พารามิเตอร์ ในขณะที่การแจกแจงที่กำหนดโดยเป็นตัวอย่างของไฮเปอร์ไพรเออร์การแจกแจง สัญลักษณ์ของการแจกแจงของYเปลี่ยนไปเมื่อมีการเพิ่มพารามิเตอร์อื่น นั่นคือถ้ามีขั้นตอนอื่น เช่นตามการแจกแจงปกติอีกแบบหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนแล้วและก็สามารถเรียกว่าไฮเปอร์พารามิเตอร์ที่มีการแจกแจงไฮเปอร์ไพรเออ ร์ได้เช่นกัน ^{[ 6 ]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Y\mid \theta \sim N(\theta ,1)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta \mid \mu \sim N(\mu ,1)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\text{N}}(0,1)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\text{N}}(0,1)}$${\displaystyle Y\mid \theta ,\mu \sim N(\theta ,1)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mu \sim N(\beta ,\epsilon )}$${\displaystyle {\mbox{ }}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \epsilon }$

ให้เป็นการสังเกต และเป็นพารามิเตอร์ที่ควบคุมกระบวนการสร้างข้อมูลสำหรับสมมติเพิ่มเติมว่าพารามิเตอร์ถูกสร้างขึ้นโดยสามารถสลับเปลี่ยนได้จากประชากรทั่วไป โดยมีการกระจายตัวที่ควบคุมโดยไฮเปอร์พารามิเตอร์แบบ จำลองลำดับชั้นแบบเบย์เซียนประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้: ${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{j}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{ขั้นตอนที่ 1: }}y_{j}\mid \theta _{j},\phi \sim P(y_{j}\mid \theta _{j},\phi )}$

${\displaystyle {\text{ระยะ II: }}\theta _{j}\mid \phi \sim P(\theta _{j}\mid \phi )}$

${\displaystyle {\text{ขั้นตอนที่ III: }}\phi \sim P(\phi )}$

ความน่าจะเป็น ดังที่เห็นในขั้นตอนที่ 1 คือโดยมีเป็นการกระจายความน่าจะเป็นก่อนหน้า โปรดสังเกตว่าความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับ ผ่าน ทาง เท่านั้น${\displaystyle P(y_{j}\mid \theta _{j},\phi )}$${\displaystyle P(\theta _{j},\phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta _{j}}$

การกระจายความน่าจะเป็นก่อนหน้าจากขั้นตอนที่ 1 สามารถแบ่งออกได้ดังนี้:

${\displaystyle P(\theta _{j},\phi )=P(\theta _{j}\mid \phi )P(\phi )}$[จากนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข]

โดยมีไฮเปอร์พารามิเตอร์ที่มีการแจกแจงไฮเปอร์ไพรเออร์คือ. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle P(\phi )}$

ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจึงเป็นสัดส่วนกับ:

${\displaystyle P(\phi ,\theta _{j}\mid y)\propto P(y_{j}\mid \theta _{j},\phi )P(\theta _{j},\phi )}$[โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ส]

${\displaystyle P(\phi ,\theta _{j}\mid y)\propto P(y_{j}\mid \theta _{j})P(\theta _{j}\mid \phi )P(\phi )}$^{[ 13 ]}

ตัวอย่างเช่น ครูต้องการประเมินว่านักเรียนทำข้อสอบSAT ได้ดีเพียงใด ครูใช้เกรดเฉลี่ยสะสม (GPA) ปัจจุบันของนักเรียนในการประเมิน GPA ปัจจุบันของนักเรียน ซึ่งแทนด้วยมีความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นบางอย่างที่มีพารามิเตอร์ นั่น คือพารามิเตอร์นี้คือคะแนน SAT ของนักเรียน คะแนน SAT ถือเป็นตัวอย่างที่มาจากประชากรทั่วไปที่มีการแจกแจงดัชนีโดยพารามิเตอร์อีกตัวหนึ่งซึ่งก็คือเกรดในโรงเรียนมัธยมของนักเรียน (ปี 1 ปี 2 ปี 3 หรือปี 4) ^{[ 14 ]}นั่นคือยิ่งไปกว่านั้น ไฮเปอร์พารามิเตอร์ยังเป็นไปตามการแจกแจงของตัวเองที่กำหนดโดย ซึ่งเป็นไฮเปอร์ไพรเออร์ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Y\mid \theta \sim P(Y\mid \theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta \mid \phi \sim P(\theta \mid \phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle P(\phi )}$

ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถนำมาใช้คำนวณโอกาสที่คะแนน SAT เฉพาะเจาะจงจะสอดคล้องกับเกรดเฉลี่ยสะสม (GPA) ที่กำหนดได้:

${\displaystyle P(\theta ,\phi \mid Y)\propto P(Y\mid \theta ,\phi )P(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle P(\theta ,\phi \mid Y)\propto P(Y\mid \theta )P(\theta \mid \phi )P(\phi )}$

ข้อมูลทั้งหมดในปัญหาจะถูกนำมาใช้เพื่อหาการแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ แทนที่จะแก้ปัญหาโดยใช้การแจกแจงแบบไพรเออร์และฟังก์ชันความน่าจะเป็น เท่านั้น การใช้ไฮเปอร์ไพรเออร์ช่วยให้สามารถแยกแยะความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่กำหนดได้อย่างละเอียดมากขึ้น^{[ 15 ]}

โดยทั่วไป การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมแบบเบื้องหลังที่น่าสนใจในแบบจำลองลำดับชั้น 2 ขั้นตอน คือ:

${\displaystyle P(\theta ,\phi \mid Y)={P(Y\mid \theta ,\phi )P(\theta ,\phi ) \over P(Y)}={P(Y\mid \theta )P(\theta \mid \phi )P(\phi ) \over P(Y)}}$

${\displaystyle P(\theta ,\phi \mid Y)\propto P(Y\mid \theta )P(\theta \mid \phi )P(\phi )}$^{[ 15 ]}

สำหรับแบบจำลองลำดับชั้น 3 ขั้นตอน การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจะกำหนดโดย:

${\displaystyle P(\theta ,\phi ,X\mid Y)={P(Y\mid \theta )P(\theta \mid \phi )P(\phi \mid X)P(X) \over P(Y)}}$

${\displaystyle P(\theta ,\phi ,X\mid Y)\propto P(Y\mid \theta )P(\theta \mid \phi )P(\phi \mid X)P(X)}$^{[ 15 ]}

สามารถใช้แบบจำลองลำดับชั้นแบบเบย์เซียนสามขั้นตอนในการคำนวณความน่าจะเป็นได้ที่ 1) ระดับบุคคล 2) ระดับประชากร และ 3) ระดับก่อนหน้า ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สมมติขึ้นก่อนที่จะได้รับหลักฐานในเบื้องต้น:

${\displaystyle {y}_{ij}=f(t_{ij};\theta _{1i},\theta _{2i},\ldots ,\theta _{li},\ldots ,\theta _{Ki})+\epsilon _{ij},\quad \epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma ^{2}),\quad i=1,\ldots ,N,\,j=1,\ldots ,M_{i}.}$

${\displaystyle \theta _{li}=\alpha _{l}+\sum _{b=1}^{P}\beta _{lb}x_{ib}+\eta _{li},\quad \eta _{li}\sim N(0,\omega _{l}^{2}),\quad i=1,\ldots ,N,\,l=1,\ldots ,K.}$

${\displaystyle \sigma ^{2}\sim \pi (\sigma ^{2}),\quad \alpha _{l}\sim \pi (\alpha _{l}),\quad (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP})\sim \pi (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP}),\quad \omega _{l}^{2}\sim \pi (\omega _{l}^{2}),\quad l=1,\ldots ,K.}$

ในที่นี้แทนการตอบสนองต่อเนื่องของบุคคลที่ ณ จุดเวลาและคือตัวแปรเสริมตัวที่ ของบุคคลที่ พารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องในแบบจำลองเขียนด้วยอักษรกรีก ตัวแปรคือฟังก์ชันที่ทราบค่าซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดย เวก เตอร์ มิติ${\displaystyle y_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{ij}}$${\displaystyle x_{ib}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$

โดยทั่วไปแล้วเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้น และอธิบายวิถีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของแต่ละบุคคล ในแบบจำลองและ อธิบายถึงความแปรปรวนภายในบุคคลและความแปรปรวนระหว่างบุคคลตามลำดับ หากไม่พิจารณาค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า ความสัมพันธ์จะลดลงเหลือแบบจำลองผสมแบบไม่เป็นเชิงเส้นตามหลักความถี่ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon _{ij}}$${\displaystyle \eta _{li}}$

ภารกิจหลักในการประยุกต์ใช้แบบจำลองผสมแบบไม่เชิงเส้นของเบย์เซียนคือการประเมินความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลัง:

${\displaystyle \pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K}|\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}})}$

${\displaystyle \propto \pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}},\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}$

${\displaystyle =\underbrace {\pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}}|\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2})} _{\text{Stage 1: Individual-Level Model}}\times \underbrace {\pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K}|\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})} _{\text{Stage 2: Population Model}}\times \underbrace {p(\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})} _{\text{Stage 3: Prior}}}$

แผงด้านขวาแสดงวงจรการวิจัยแบบเบย์เซียนโดยใช้แบบจำลองผลกระทบผสมแบบไม่เชิงเส้นของเบย์เซียน^{[ 16 ]}วงจรการวิจัยโดยใช้แบบจำลองผลกระทบผสมแบบไม่เชิงเส้นของเบย์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน: (ก) วงจรการวิจัยมาตรฐาน และ (ข) ขั้นตอนการทำงานเฉพาะของเบย์เซียน

วงจรการวิจัยมาตรฐานประกอบด้วย 1) การทบทวนวรรณกรรม 2) การกำหนดปัญหา และ 3) การระบุคำถามวิจัยและสมมติฐาน ขั้นตอนการทำงานเฉพาะของ Bayesian จะแบ่งวิธีการนี้ออกเป็นสามขั้นตอนย่อย ได้แก่ (b)–(i) การกำหนดรูปแบบการแจกแจงก่อนหน้าโดยอาศัยความรู้พื้นฐานและการสอบถามก่อนหน้า (b)–(ii) การกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นโดยอาศัยฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นและ (b)–(iii) การอนุมานภายหลัง การอนุมานภายหลังที่ได้สามารถนำไปใช้เริ่มต้นวงจรการวิจัยใหม่ได้ ${\displaystyle f}$

กรอบงานเบย์เซียนแบบลำดับชั้นได้รับการนำไปใช้สำหรับการสร้างแบบจำลอง เช่นการเรียนรู้แบบเสริมแรงและงานการตัดสินใจ^{[ 17 ]} ผลกระทบของ การกลายพันธุ์ของแอนติเจน ต่อระบบภูมิคุ้มกัน [ ^{18 ]}และกระบวนการทางนิเวศวิทยา ที่ส่งผลต่อ การกระจายพันธุ์^{[ 19 ]}เป็นต้นPyMCเป็น แพ็กเกจ Python โอเพนซอร์ส ที่ยืดหยุ่นซึ่งสนับสนุนการ ^{สร้าง}แบบจำลองดังกล่าว^{[ 20 ]}