ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเซตสมมติฐานความต่อเนื่อง (ย่อว่าCH ) เป็นสมมติฐานเกี่ยวกับขนาดที่เป็นไปได้ของเซตอนันต์โดยระบุว่า:

ไม่มีเซตใดที่มีจำนวนสมาชิกอยู่ระหว่างจำนวนเต็มและจำนวนจริง อย่าง เคร่งครัด

ชื่อของสมมติฐานนี้มาจากคำว่าcontinuumสำหรับจำนวนจริง ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelพร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) สิ่งนี้เทียบเท่ากับสมการต่อไปนี้ในจำนวนอะเลฟ : หรือสั้นกว่านั้นในจำนวนเบธ :${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$

สมมติฐานความต่อเนื่องได้รับการเสนอโดยGeorg Cantorในปี 1878 ^{[ 1 ]}มันกลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่มีการศึกษามากที่สุดในทฤษฎีเซต และการพิสูจน์ความจริงหรือความเท็จของมันเป็นปัญหาแรกใน23 ปัญหาของ Hilbertที่นำเสนอในปี 1900 คำตอบของปัญหานี้เป็นอิสระจาก ZFC ซึ่งหมายความว่าสัจพจน์ของ ZFC ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานความต่อเนื่องได้ หมายความว่าสมมติฐานความต่อเนื่องหรือการปฏิเสธของมันสามารถเพิ่มเป็นสัจพจน์ในทฤษฎีเซต ZFC ได้ โดยทฤษฎีที่ได้จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อ ZFC สอดคล้องกัน ความเป็นอิสระนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1963 โดยPaul Cohenซึ่งเป็นการเสริมงานก่อนหน้านี้ของKurt Gödelในปี 1940 ^{[ 2 ]}

สมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไประบุว่าสำหรับลำดับ ทุก ค่า ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha }$

สมมติฐานความต่อเนื่องได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยGeorg Cantorในบทความปี 1878 ของเขาเรื่อง "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" ในรูปแบบที่เรียกว่าสมมติฐานความต่อเนื่องแบบอ่อนซึ่งเทียบเท่ากับสูตรมาตรฐานภายใต้สัจพจน์ของการเลือกที่ ยังไม่ได้รับการพัฒนาในขณะนั้น Cantor นำเสนอสมมติฐานความต่อเนื่องแบบอ่อนในฐานะทฤษฎีบทในตอนแรก แต่ไม่ได้ให้การพิสูจน์และต่อมาก็ไม่แน่ใจ ในวันที่ 25 ตุลาคม 1882 Cantor เขียนถึงผู้ติดต่อของเขาGösta Mittag-Lefflerและกำหนดสมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) ในรูปแบบที่ทันสมัยและแสดงความเชื่อว่าเขาสามารถพิสูจน์ได้ ในช่วงทศวรรษ 1890 นักคณิตศาสตร์หลายคนในเยอรมนีและฝรั่งเศสตระหนักถึงปัญหานี้ Cantor พยายามพิสูจน์ CH เป็นเวลาหลายปีแต่ไม่เคยประสบความสำเร็จ^{[ 3 ]}

คำถามนี้กลายเป็นคำถามแรกในรายการคำถามเปิดที่สำคัญ ของเดวิด ฮิลเบิร์ต ซึ่งนำเสนอในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ (ICM) ในปี 1900 ที่ปารีส ในขณะนั้นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ยังไม่ได้รับการกำหนดขึ้นอย่างเป็นทางการ

มีการพิสูจน์และหักล้างสมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) ที่ผิดพลาดมากมาย ย้อนกลับไปในปี 1884 Paul Tanneryอ้างว่าได้พิสูจน์ CH แล้ว แต่การพิสูจน์นั้นผิดพลาด ในปี 1890 Beppo Leviอ้างว่ามีการพิสูจน์โดยสมมติว่าเซตย่อยทุกเซตของจำนวนจริงมีคุณสมบัติ Baireแต่ไม่มีการตีพิมพ์การพิสูจน์ใดๆ^{[ 3 ]}ในการประชุม ICM ปี 1904 ที่ไฮเดลเบิร์กGyula Kőnigประกาศว่าเขาได้หักล้าง CH ซึ่งดึงดูดความสนใจอย่างกว้างขวาง แม้กระทั่งไปถึงแกรนด์ดยุคแห่งบาเดน Frederick Iผ่านทางFelix Kleinแต่พบข้อบกพร่องในการพิสูจน์ในวันถัดมา^{[ 4 ]} Felix Bernsteinยังได้ตีพิมพ์การพยายามพิสูจน์ CH ในปี 1904 แต่ก็ผิดพลาดและได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อย ในปี 1926 Hilbert อ้างว่าได้แก้ปัญหาสมมติฐานความต่อเนื่องและให้ร่างการพิสูจน์ แต่สิ่งนี้ก็ไม่ถูกต้องเช่นกัน แม้ว่าจะส่งผลต่อแนวคิดในทฤษฎีการเรียกซ้ำ ในภายหลัง ก็ตาม^{[ 5 ]}

ในปี พ.ศ. 2449 Kőnig ได้แก้ไขส่วนหนึ่งของความพยายามในการพิสูจน์ CH ของเขา และได้สร้างทฤษฎีบทของ Kőnig ขึ้น ซึ่งโดยใช้แนวคิดเรื่องcofinality ที่ Felix Hausdorffนำเสนอในปี พ.ศ. 2451 แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่ไม่สามารถเท่ากับcofinality ได้ ตัวอย่างเช่นHausdorff ได้ตั้งคำถามว่าสำหรับลำดับทั้งหมด หรือ ไม่ ซึ่งต่อมาได้รับการตั้งชื่อว่าสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไปโดยAlfred Tarskiในปี พ.ศ. 2468 ในปี พ.ศ. 2466 Thoralf Skolemตั้งข้อสันนิษฐานว่า CH ไม่สามารถตัดสินได้ด้วยสัจพจน์ของ ทฤษฎี เซตZermelo ^{[ 6 ]}${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }}$${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$${\displaystyle \alpha }$

ในปี 1940 เคิร์ท เกอเดลพิสูจน์ว่าการปฏิเสธสมมติฐานความต่อเนื่อง กล่าวคือ การมีอยู่ของเซตที่มีขนาดปานกลางนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตมาตรฐาน^{[ 2 ]}ส่วนที่สองของความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่อง กล่าวคือ การพิสูจน์ไม่ได้ของการไม่มีอยู่ของเซตขนาดกลาง ได้รับการพิสูจน์ในปี 1963 โดยพอล โคเฮน^{[ 7 ]}

กล่าวได้ว่าเซตสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากันหากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijection ) ระหว่างเซตทั้งสอง โดยทั่วไปแล้ว การที่เซต A และ B มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน หมายความว่าสามารถจับคู่สมาชิกของ A กับสมาชิกของ B ได้ ในลักษณะที่ว่า สมาชิกของ A ทุกตัวจะจับคู่กับสมาชิกของ B เพียงหนึ่งตัวเท่านั้นและในทางกลับกัน ดังนั้น เซต A จึงมีจำนวนสมาชิกเท่ากับเซต B แม้ว่าเซตทั้งสองจะมีสมาชิกต่างกันก็ตาม ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \{{\text{กล้วย}},{\text{แอปเปิล}},{\text{ลูกแพร์}}\}}$${\displaystyle \{{\text{yellow}},{\text{red}},{\text{green}}\}}$

สำหรับเซตอนันต์ เช่น เซตของจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ การพิสูจน์การมีอยู่ของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองเซตจะทำได้ยากขึ้น จำนวนตรรกยะดูเหมือนจะเป็นตัวอย่างค้านต่อสมมติฐานความต่อเนื่อง: จำนวนเต็มเป็นเซตย่อยที่แท้จริงของจำนวนตรรกยะ ซึ่งตัวมันเองก็เป็นเซตย่อยที่แท้จริงของจำนวนจริง ดังนั้นโดยสัญชาตญาณแล้ว จำนวนตรรกยะมีมากกว่าจำนวนเต็ม และจำนวนจริงมีมากกว่าจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เชิงสัญชาตญาณนี้มีข้อบกพร่อง เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสามเซตเป็นอนันต์ที่สำคัญกว่านั้น มันได้รวมแนวคิดของ "ขนาด" ของเซตเข้ากับลำดับหรือโครงสร้างทางโทโพโลยีที่วางไว้บนเซตนั้น ในความเป็นจริง ปรากฏว่าจำนวนตรรกยะสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเต็มได้ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะจึงมีขนาด ( จำนวนสมาชิก ) เท่ากับเซตของจำนวนเต็ม: ทั้งสองเป็นเซตที่นับได้^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

แคนเตอร์ได้ให้บทพิสูจน์สองข้อที่แสดงว่าจำนวนสมาชิกของเซตจำนวนเต็มนั้นน้อยกว่าจำนวนสมาชิกของเซตจำนวนจริง อย่างชัดเจน (ดูบทพิสูจน์ความไม่สามารถนับได้ข้อแรกของแคนเตอร์และข้อโต้แย้งเชิงทแยงของแคนเตอร์ ) อย่างไรก็ตาม บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ระบุถึงขอบเขตที่จำนวนสมาชิกของเซตจำนวนเต็มนั้นน้อยกว่าจำนวนสมาชิกของเซตจำนวนจริง แคนเตอร์จึงเสนอสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นทางออกที่เป็นไปได้สำหรับคำถามนี้

กล่าวโดยง่าย สมมติฐานความต่อเนื่อง (Continuum Hypothesis: CH) ระบุว่าเซตของจำนวนจริงมีจำนวนสมาชิกน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ซึ่งมากกว่าจำนวนสมาชิกของเซตของจำนวนเต็ม นั่นคือ เซตของจำนวนจริงทุกเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเต็มได้ หรือจำนวนจริงสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของจำนวนจริงได้ เนื่องจากจำนวนจริงมีจำนวนเท่ากับเซตกำลังของจำนวนเต็ม นั่นคือCH สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$

โดยถือว่าสัจพจน์ของการเลือกมีจำนวนคาร์ดินัลที่เล็กที่สุดที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมากกว่าและสมมติฐานความต่อเนื่องจะเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

ความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) จากทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel (ZF) เป็นผลมาจากการทำงานร่วมกันของKurt Gödel และPaul Cohen

Gödel ^{[ 11 ] [ 2 ]} แสดงให้เห็นว่า CH ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่จริงจาก ZF แม้ว่าจะใช้สัจพจน์ของการเลือก (AC) ก็ตาม กล่าวคือจาก ZFC การพิสูจน์ของ Gödel แสดงให้เห็นว่าทั้ง CH และ AC เป็นจริงใน เอกภพที่สร้างได้ ซึ่งเป็นแบบจำลองภายในของทฤษฎีเซต ZF โดยสมมติเพียงสัจพจน์ของ ZF การมีอยู่ของแบบจำลองภายในของ ZF ซึ่งมีสัจพจน์เพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าสัจพจน์เพิ่มเติมนั้นสอดคล้องกับ ZF (โดยเปรียบเทียบ) หาก ZF เองมีความสอดคล้อง เงื่อนไขหลังนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZF เอง เนื่องจากทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödelแต่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นจริงและสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตที่แข็งแกร่งกว่า ${\displaystyle L}$

โคเฮน^{[ 7 ] [ 12 ]}แสดงให้เห็นว่า CH ไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ ZFC ซึ่งเป็นการพิสูจน์ความเป็นอิสระโดยรวม เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ของเขา โคเฮนได้พัฒนาวิธีการบังคับซึ่งกลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานในทฤษฎีเซต โดยพื้นฐานแล้ว วิธีนี้เริ่มต้นด้วยแบบจำลองของ ZF ที่ CH เป็นจริง และสร้างแบบจำลองอื่นที่มีเซตมากกว่าแบบจำลองเดิมในลักษณะที่ CH ไม่เป็นจริงในแบบจำลองใหม่ โคเฮนได้รับรางวัลFields Medalในปี 1966 สำหรับการพิสูจน์ของเขา

การพิสูจน์ความเป็นอิสระของ Cohen แสดงให้เห็นว่า CH เป็นอิสระจาก ZFC การวิจัยเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่า CH เป็นอิสระจากสัจพจน์จำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ ที่รู้จักทั้งหมด ในบริบทของ ZFC ^{[ 13 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ได้มีการแสดงให้เห็นว่าจำนวนคาร์ดินัลของคอนติเนียม สามารถเป็นจำนวนคาร์ดินัลใดๆ ก็ได้ที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของ Kőnigผลลัพธ์ของ Solovay ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่นานหลังจากผลลัพธ์ของ Cohen เกี่ยวกับความเป็นอิสระของสมมติฐานคอนติเนียม แสดงให้เห็นว่าในแบบจำลองใดๆ ของ ZFC ถ้าเป็นจำนวนคาร์ดินัลที่มีcofinalityนับไม่ได้ จะมีการขยายบังคับใน ซึ่ง อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทของ Kőnig การสมมติว่า เป็นหรือหรือจำนวนคาร์ดินัลใดๆ ที่มี cofinality นั้นไม่ สอดคล้องกัน${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\คัปปา }$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{\โอเมก้า }}$${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }}$${\displaystyle \omega }$

สมมติฐานความต่อเนื่องมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับข้อความหลายประการในวิชาการวิเคราะห์โทโพโลยีเซตจุดและทฤษฎีการวัดเนื่องจากความเป็นอิสระของสมมติฐานนี้ ทำให้ข้อสันนิษฐาน สำคัญหลายประการ ในสาขาเหล่านั้นได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นอิสระเช่นกัน

ความเป็นอิสระจาก ZFC หมายความว่าการพิสูจน์หรือหักล้าง CH ภายใน ZFC เป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เชิงลบของ Gödel และ Cohen ไม่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปว่าเป็นการขจัดความสนใจทั้งหมดในสมมติฐานความต่อเนื่อง สมมติฐานความต่อเนื่องยังคงเป็นหัวข้อการวิจัยที่ดำเนินอยู่: ดูWoodin ^{[ 14 ] [ 15 ]}และKoellner ^{[ 16 ]}สำหรับภาพรวมของสถานะการวิจัยในปัจจุบัน

สมมติฐานความต่อเนื่องและสัจพจน์ของการเลือกเป็นหนึ่งในข้อความทางคณิตศาสตร์ชุดแรกๆ ที่แสดงให้เห็นว่าไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีเซต ZFC แม้ว่าการมีอยู่ของข้อความบางอย่างที่ไม่ขึ้นอยู่กับ ZFC จะเป็นที่รู้จักกันมานานกว่าสองทศวรรษแล้วก็ตาม ตัวอย่างเช่น หากสมมติว่ามีคุณสมบัติความถูกต้องที่ดีและความสอดคล้องของ ZFC ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลที่ตีพิมพ์ในปี 1931 ได้แสดงให้เห็นว่ามีข้อความที่เป็นทางการ Con(ZFC) (หนึ่งข้อความสำหรับแต่ละ แผนการ กำหนดหมายเลขของเกอเดล ที่เหมาะสม ) ที่แสดงถึงความสอดคล้องของ ZFC ซึ่งก็ไม่ขึ้นอยู่กับ ZFC เช่นกัน ผลลัพธ์เรื่องความเป็นอิสระนี้ใช้ได้กับหลายทฤษฎี

เกอเดลเชื่อว่า CH เป็นเท็จ และการพิสูจน์ของเขาที่ว่า CH สอดคล้องกับ ZFC แสดงให้เห็นเพียงว่าสัจพจน์ของZermelo–Fraenkelไม่ได้อธิบายลักษณะของเอกภพของเซตอย่างเพียงพอ เกอเดลเป็นนักปรัชญาเพลโตนิยม ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาในการยืนยันความจริงและความเท็จของข้อความโดยไม่ขึ้นอยู่กับความสามารถในการ ^{พิสูจน์} โคเฮนแม้จะเป็น นักปรัชญาแบบ ฟอร์มาลิสต์ [ ^{17 ]}ก็มีแนวโน้มที่จะปฏิเสธ CH เช่นกัน

ในอดีต นักคณิตศาสตร์ที่สนับสนุนเอกภพของเซตที่ "อุดมสมบูรณ์" และ "กว้างขวาง" ต่างคัดค้าน CH ในขณะที่ผู้ที่สนับสนุนเอกภพที่ "เรียบร้อย" และ "ควบคุมได้" กลับสนับสนุน CH มีการโต้แย้งที่คล้ายคลึงกันทั้งฝ่ายสนับสนุนและคัดค้านสัจพจน์ของการสร้างได้ซึ่งหมายถึง CH เมื่อไม่นานมานี้Matthew Foremanได้ชี้ให้เห็นว่าลัทธิสูงสุดเชิงออนโทโลยีสามารถนำมาใช้โต้แย้งเพื่อสนับสนุน CH ได้จริง ๆ เพราะในบรรดาแบบจำลองที่มีจำนวนจริงเหมือนกัน แบบจำลองที่มีเซตของจำนวนจริง "มากกว่า" มีโอกาสที่จะสอดคล้องกับ CH ได้ดีกว่า^{[ 18 ]}

อีกมุมมองหนึ่งคือ แนวคิดเรื่องเซตนั้นไม่เฉพาะเจาะจงเพียงพอที่จะระบุได้ว่า CH เป็นจริงหรือเท็จ มุมมองนี้ได้รับการเสนอโดยSkolem ตั้งแต่ปี 1923 แม้กระทั่งก่อนทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกของ Gödel Skolem โต้แย้งบนพื้นฐานของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าปรากฏการณ์ขัดแย้งของ Skolemและต่อมาได้รับการสนับสนุนโดยความเป็นอิสระของ CH จากสัจพจน์ของ ZFC เนื่องจากสัจพจน์เหล่านี้เพียงพอที่จะสร้างคุณสมบัติพื้นฐานของเซตและจำนวนสมาชิก ในการโต้แย้งมุมมองนี้ จะต้องแสดงให้เห็นสัจพจน์ใหม่ที่ได้รับการสนับสนุนจากสัญชาตญาณและแก้ไข CH ในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง แม้ว่าสัจพจน์ของความสามารถในการสร้างจะแก้ไข CH ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ถือว่าเป็นจริงตามสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับที่ CH โดยทั่วไปไม่ถือว่าเป็นเท็จ^{[ 19 ]}

อย่างน้อยก็มีการเสนอสัจพจน์อื่นอีกสองข้อที่มีผลต่อสมมติฐานความต่อเนื่อง แม้ว่าสัจพจน์เหล่านี้ยังไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในวงการคณิตศาสตร์ก็ตาม ในปี 1986 คริส ไฟรลิง^{[ 20 ]}ได้นำเสนอข้อโต้แย้งต่อ CH โดยแสดงให้เห็นว่าการปฏิเสธของ CH นั้นเทียบเท่ากับสัจพจน์สมมาตรของไฟรลิงซึ่งเป็นข้อความที่ได้มาจากการใช้สัญชาตญาณเฉพาะเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ไฟรลิงเชื่อว่าสัจพจน์นี้ "ชัดเจนโดยสัญชาตญาณ" ^{[ 20 ]}แต่คนอื่น ๆ ไม่เห็นด้วย^{[ 21 ] [ 22 ]}

ข้อโต้แย้งที่ยากลำบากต่อ CH ที่พัฒนาโดยW. Hugh Woodinได้รับความสนใจอย่างมากตั้งแต่ปี 2000 ^{[ 14 ] [ 15 ]} Foremanไม่ได้ปฏิเสธข้อโต้แย้งของ Woodin โดยสิ้นเชิง แต่กระตุ้นให้ระมัดระวัง^{[ 23 ]} Woodin เสนอสมมติฐานใหม่ที่เขาเรียกว่า"(*)-axiom"หรือ "Star axiom" Star axiom จะบ่งชี้ว่าคือดังนั้นจึงทำให้ CH เป็นเท็จ Star axiom ได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานอิสระในเดือนพฤษภาคม 2021 ที่แสดงให้เห็นว่า Star axiom สามารถได้มาจากรูปแบบหนึ่งของค่าสูงสุดของ Martinอย่างไรก็ตาม Woodin กล่าวในช่วงปี 2010 ว่าตอนนี้เขาเชื่อว่า CH เป็นจริง โดยอิงจากความเชื่อของเขาในข้อสันนิษฐาน "ultimate L" ใหม่ของเขา^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$

โซโลมอน เฟเฟอร์แมนโต้แย้งว่า CH ไม่ใช่ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน^{[ 26 ]} เขาเสนอทฤษฎี "ความแน่นอน" โดยใช้ระบบย่อยกึ่งสัญชาตญาณของ ZF ที่ยอมรับตรรกะแบบคลาสสิกสำหรับตัวบ่งปริมาณที่มีขอบเขต แต่ใช้ตรรกะแบบสัญชาตญาณสำหรับตัวบ่งปริมาณที่ไม่มีขอบเขต และแนะนำว่าข้อเสนอเป็น "แน่นอน" ทางคณิตศาสตร์หากทฤษฎีกึ่งสัญชาตญาณสามารถพิสูจน์ได้เขาตั้งข้อสันนิษฐานว่า CH ไม่แน่นอนตามแนวคิดนี้ และเสนอว่า CH จึงควรได้รับการพิจารณาว่าไม่มีค่าความจริงปีเตอร์ โคเอลเนอร์เขียนบทวิจารณ์เชิงวิพากษ์เกี่ยวกับบทความของเฟเฟอร์แมน^{[ 27 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$

Joel David Hamkinsเสนอ แนวทาง พหุจักรวาลสำหรับทฤษฎีเซตและโต้แย้งว่า "สมมติฐานความต่อเนื่องได้รับการสรุปในมุมมองพหุจักรวาลโดยความรู้มากมายของเราเกี่ยวกับพฤติกรรมของมันในพหุจักรวาล และด้วยเหตุนี้ มันจึงไม่สามารถสรุปได้ในลักษณะที่เคยหวังไว้" ^{[ 28 ]}ในทำนองเดียวกันSaharon Shelahเขียนว่าเขา "ไม่เห็นด้วยกับมุมมองแบบเพลโตบริสุทธิ์ที่ว่าปัญหาที่น่าสนใจในทฤษฎีเซตสามารถตัดสินได้ เราเพียงแค่ต้องค้นพบสัจพจน์เพิ่มเติม ภาพในใจของฉันคือเรามีทฤษฎีเซตที่เป็นไปได้มากมาย ซึ่งทั้งหมดสอดคล้องกับ ZFC" ^{[ 29 ]}

สมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป (GCH) กล่าวว่า ถ้าจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์อยู่ระหว่างจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์Sและจำนวนสมาชิกของเซตกำลัง ของSแล้ว เซตอนันต์นั้นจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับSหรือ เซตกำลังของ S กล่าวคือ สำหรับจำนวนสมาชิกอนันต์ ใดๆ จะไม่มีจำนวนสมาชิก ใดๆ ที่ทำให้GCH เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$สำหรับลำดับ ทุกค่า ^{[ 9 ]}${\displaystyle \alpha }$

(บางครั้งเรียกว่าสมมติฐานอะเลฟของแคนเตอร์ )

ตัวเลขเบธให้สัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับเงื่อนไขนี้: สำหรับลำดับทุกตัวสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นกรณีพิเศษสำหรับลำดับGCH ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยPhilip Jourdain [ ^{30 ] สำหรับ}ประวัติช่วงต้นของ GCH โปรดดู Moore ^{[ 31 ]}${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =1}$

เช่นเดียวกับ CH, GCH ก็เป็นอิสระจาก ZFC เช่นกัน แต่Sierpińskiพิสูจน์ว่า ZF + GCH บ่งชี้ถึงสัจพจน์ของการเลือก (AC) (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการปฏิเสธของสัจพจน์ของการกำหนด , AD) ดังนั้นการเลือกและ GCH จึงไม่เป็นอิสระใน ZF ไม่มีแบบจำลองของ ZF ที่ GCH เป็นจริงและ AC ล้มเหลว ในการพิสูจน์สิ่งนี้ Sierpiński แสดงให้เห็นว่า GCH บ่งชี้ว่าจำนวนสมาชิกn ทุกตัว มีค่าน้อยกว่าจำนวนอะเลฟ บางตัว และด้วยเหตุนี้จึงสามารถเรียงลำดับได้ ทำได้โดยการแสดงว่าnมีค่าน้อยกว่า ซึ่งมีค่าน้อยกว่า จำนวน Hartogsของตัวเอง—สิ่งนี้ใช้ความเท่าเทียมกันสำหรับการพิสูจน์ฉบับเต็ม โปรดดู Gillman ^{[ 32 ]}${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$

เคิร์ท เกอเดลแสดงให้เห็นว่า GCH เป็นผลสืบเนื่องมาจาก ZF + V=L (สัจพจน์ที่ว่าทุกเซตสามารถสร้างขึ้นได้โดยสัมพันธ์กับจำนวนเชิงอันดับ) และด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับ ZFC เนื่องจาก GCH บ่งชี้ถึง CH โมเดลของโคเฮนที่ CH ล้มเหลวจึงเป็นโมเดลที่ GCH ล้มเหลว และด้วยเหตุนี้ GCH จึงไม่สามารถพิสูจน์ได้จาก ZFC ดับเบิลยู. บี. อีสตัน ใช้ระเบียบวิธีบังคับที่พัฒนาโดยโคเฮนเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของอีสตันซึ่งแสดงให้เห็นว่าสอดคล้องกับ ZFC สำหรับจำนวนเชิงอันดับขนาดใหญ่ใดๆที่จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อมา ฟอร์แมนและวูดินพิสูจน์ว่า (โดยสมมติว่าจำนวนเชิงอันดับขนาดใหญ่มากมีความสอดคล้อง) ว่าสอดคล้องกับที่ใช้ได้กับจำนวนเชิงอันดับอนันต์ทุกตัวต่อมาวูดินได้ขยายสิ่งนี้โดยแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องของสำหรับทุก Carmi Merimovich ^{[ 33 ]}แสดงให้เห็นว่า สำหรับแต่ละn  ≥ 1จะสอดคล้องกับ ZFC ว่าสำหรับคาร์ดินัลอนันต์κ แต่ละ ตัว 2 κ ^เป็นตัว สืบทอดลำดับที่ nของκ (โดยสมมติ ^ว่ามีความสอดคล้องของสัจพจน์คาร์ดินัลขนาดใหญ่บางประการ) ในทางกลับกัน László Patai ^{[ 34 ]}พิสูจน์ว่าถ้าγเป็นลำดับ และสำหรับคาร์ดินัลอนันต์κ แต่ละตัว 2 κเป็น ตัวสืบทอดลำดับที่ γของκแล้วγจะเป็นจำนวนจำกัด ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$${\displaystyle 2^{\คัปปา }>\คัปปา ^{+}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\คัปปา }=\คัปปา ^{++}}$${\displaystyle \kappa }$

สำหรับเซตอนันต์AและB ใดๆ ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากAไปยังBแล้วจะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตย่อยของA ไปยังเซตย่อยของBด้วย ดังนั้นสำหรับจำนวนเชิงอนันต์AและB ใดๆ ถ้าAและBเป็นเซตจำกัด อสมการที่เข้มงวดกว่าจะเป็นจริงทฤษฎีบท GCH บ่งชี้ว่าอสมการที่เข้มงวดกว่านี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงอนันต์เช่นเดียวกับจำนวนเชิงจำกัด ${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$

แม้ว่าสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไปจะอ้างอิงโดยตรงเฉพาะการยกกำลังเชิงคาร์ดินัลที่มีฐานเป็น 2 เท่านั้น แต่เราสามารถอนุมานค่าของการยกกำลังเชิงคาร์ดินัลในทุกกรณีได้จากสมมติฐานนี้ GCH บ่งชี้ว่าสำหรับลำดับαและβ : ^{[ 35 ]}${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$

• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$เมื่อα ≤ β +1 ;
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}$เมื่อβ +1 < αและโดยที่cfคือ การดำเนินการ cofinalityและ${\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}$เมื่อβ +1 < αและ.${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

ความเท่าเทียมกันข้อแรก (เมื่อα ≤ β +1 ) เป็นผลมาจาก:

$${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$$ ในขณะที่:

$${\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}.}$$

ความเท่าเทียมกันประการที่สาม (เมื่อβ +1 < αและ) เป็นผลมาจาก: ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

$${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}$$

ตามทฤษฎีบทของ Kőnigในขณะที่:

$${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$$

• อนันต์สัมบูรณ์
• หมายเลขเบธ
• จำนวนสมาชิก
• ตรรกะโอเอ็ม
• สมมติฐานความต่อเนื่องที่สอง
• ปัญหาของเวทเซล

• บทความนี้ได้นำเนื้อหาจาก Generalized continuum hypothesis บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike Licenseเก็บถาวรเมื่อวันที่ 8 กุมภาพันธ์ 2017 ที่Wayback Machine

• โคเฮน, พอล โจเซฟ (2008) [1966]. ทฤษฎีเซตและสมมติฐานความต่อเนื่อง . ไมเนโอลา, นครนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dales, HG; Woodin, WH (1987). บทนำสู่ความเป็นอิสระสำหรับนักวิเคราะห์เคมบริดจ์
• เอ็นเดอร์ตัน, เฮอร์เบิร์ต (1977). องค์ประกอบของทฤษฎีเซต . สำนักพิมพ์วิชาการ.
• Gödel, K.: ปัญหาความต่อเนื่องของแคนเตอร์คืออะไร?พิมพ์ซ้ำในหนังสือรวมบทความPhilosophy of Mathematics ของ Benacerraf และ Putnam ฉบับพิมพ์ ครั้งที่ 2 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ปี 1983 บทสรุปข้อโต้แย้งของ Gödel ต่อปัญหาความต่อเนื่องของแคนเตอร์
• Martin, D. (1976). "ปัญหาแรกของฮิลเบิร์ต: สมมติฐานความต่อเนื่อง" ในการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากปัญหาของฮิลเบิร์ตรายงานการประชุมสัมมนาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ครั้งที่ XXVIII บรรณาธิการโดย F. Browder สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน 1976 หน้า 81–92 ISBN 0-8218-1428-1
• แม็กกอฟ, แนนซี. "สมมติฐานความต่อเนื่อง" .
• วอลโชเวอร์, นาตาลี (15 กรกฎาคม 2021). "มีจำนวนกี่จำนวน? การพิสูจน์อนันต์ช่วยให้คณิตศาสตร์เข้าใกล้คำตอบมากขึ้น "

คำคมที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานความต่อเนื่องใน Wikiquote

• Szudzik, Matthew & Weisstein, Eric W. "สมมติฐานต่อเนื่อง" . แมทเวิลด์ .