ปัญหาที่ 16 ของฮิลเบิร์ตถูกตั้งขึ้นโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตใน การประชุม ปารีสของสภาคองเกรสระหว่างประเทศของนักคณิตศาสตร์ในปี พ.ศ. 2443 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรายการปัญหา 23 ข้อในวิชาคณิตศาสตร์ของเขา^{[ 1 ]}

ปัญหาเดิมถูกวางเป็นปัญหาของโทโพโลยีของเส้นโค้งพีชคณิตและพื้นผิว ( ปัญหา der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

อันที่จริง ปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยปัญหาที่คล้ายกันสองปัญหาในสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน:

• การศึกษาตำแหน่งสัมพัทธ์ของสาขาต่างๆ ของเส้นโค้งพีชคณิต จริง ที่มีดีกรีn (และในทำนองเดียวกันสำหรับพื้นผิวพีชคณิต )
• การหาขอบเขตบนของจำนวนวงจรจำกัด ใน ฟิลด์เวกเตอร์พหุนามสองมิติระดับnและการตรวจสอบตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงจรเหล่านั้น

ปัญหาแรกยังไม่ได้รับการแก้ไขสำหรับn  =  8 ดังนั้น ปัญหานี้จึงเป็นสิ่งที่โดยทั่วไปหมายถึงเมื่อพูดถึงปัญหาที่สิบหกของฮิลเบิร์ตในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงจริงปัญหาที่สองก็ยังไม่ได้รับการแก้เช่นกัน คือ ไม่ทราบขอบเขตบนสำหรับจำนวนวงจรจำกัดสำหรับn  > 1 ใดๆ และนี่คือสิ่งที่โดยทั่วไปหมายถึงปัญหาที่สิบหกของฮิล เบิ ร์ตในสาขาระบบพลวัต

ราชสมาคมคณิตศาสตร์แห่งสเปนได้เผยแพร่คำอธิบายเกี่ยวกับปัญหาข้อที่สิบหกของฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}

ในปี ค.ศ. 1876 ฮาร์แน็คได้ศึกษาเส้นโค้งพีชคณิตในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงและพบว่าเส้นโค้งดีกรีnจะมีได้ไม่เกิน

${\displaystyle {n^{2}-3n+4 \over 2}}$

แยกส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ กัน นอกจากนี้ เขายังแสดงวิธีการสร้างเส้นโค้งที่บรรลุขอบเขตบนนั้น และดังนั้นจึงเป็นขอบเขตที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ เส้นโค้งที่มีจำนวนส่วนประกอบดังกล่าวเรียกว่า เส้น โค้งM

ฮิลเบิร์ตได้ศึกษาเส้นโค้ง M ที่มีดีกรี 6 และพบว่าส่วนประกอบทั้ง 11 ส่วนจะถูกจัดกลุ่มในลักษณะใดลักษณะหนึ่งเสมอ ความท้าทายของเขาต่อวงการคณิตศาสตร์ในครั้งนี้คือการศึกษาการจัดเรียงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของส่วนประกอบต่างๆ ในเส้นโค้ง M

นอกจากนี้ เขายังเรียกร้องให้มีการขยายทฤษฎีเส้นโค้งของ Harnackไปสู่พื้นผิวเชิงพีชคณิตและการตรวจสอบพื้นผิวที่มีจำนวนส่วนประกอบสูงสุดในลักษณะเดียวกัน

ในที่นี้เราจะพิจารณาฟิลด์เวกเตอร์พหุนามใน ระนาบ จริงซึ่งก็คือระบบสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ:

${\displaystyle {dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)}$

โดยที่P และ Q เป็นพหุนามจริงดีกรีn ทั้งคู่

ฟิลด์เวกเตอร์พหุนามเหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยปวงกาเรซึ่งมีแนวคิดที่จะละทิ้งการค้นหาคำตอบที่แน่นอนของระบบ และหันมาพยายามศึกษาลักษณะเชิงคุณภาพของชุดคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดแทน

ในบรรดาการค้นพบที่สำคัญมากมาย เขาพบว่าเซตลิมิตของคำตอบดังกล่าวไม่จำเป็นต้องเป็นจุดนิ่งแต่สามารถเป็นคำตอบแบบเป็นคาบได้ คำตอบดังกล่าวเรียกว่าวงจรลิมิต

ส่วนที่สองของปัญหาข้อที่ 16 ของฮิลเบิร์ต คือ การกำหนดขอบเขตบนสำหรับจำนวนวงจรจำกัดในฟิลด์เวกเตอร์พหุนามดีกรีnและเช่นเดียวกับส่วนแรก คือ การตรวจสอบตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงจรเหล่านั้น

ในสุนทรพจน์ของเขา ฮิลเบิร์ตได้นำเสนอปัญหาดังนี้: ^{[ 1 ]}

ขอบเขตบนของสาขาปิดและแยกจากกันของเส้นโค้งพีชคณิตดีกรีnได้รับการตัดสินโดย Harnack (Mathematische Annalen, 10) จากนั้นจึงเกิดคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของสาขาในระนาบ สำหรับเส้นโค้งดีกรี 6 นั้น ผมได้พิสูจน์แล้วว่า – แม้จะเป็นวิธีที่ค่อนข้างซับซ้อน – สาขาทั้ง 11 สาขาที่เส้นโค้งเหล่านี้สามารถมีได้ตามที่ Harnack กล่าวไว้นั้น ไม่สามารถแยกจากกันได้ทั้งหมด แต่จะต้องมีสาขาหนึ่งที่มีสาขาอื่นวิ่งอยู่ภายใน และมีสาขาอีกเก้าสาขาวิ่งอยู่ภายนอก หรือตรงกันข้าม ดูเหมือนว่าการตรวจสอบอย่างละเอียดเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของขอบเขตบนสำหรับสาขาที่แยกจากกันนั้นมีความน่าสนใจอย่างมาก และในทำนองเดียวกัน การตรวจสอบที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับจำนวน รูปร่าง และตำแหน่งของแผ่นของพื้นผิวพีชคณิตในอวกาศ – ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าพื้นผิวดีกรี 4 ในอวกาศสามมิติสามารถมีแผ่นได้มากที่สุดกี่แผ่น (เปรียบเทียบ Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)

ฮิลเบิร์ตกล่าวต่อว่า: ^{[ 1 ]}

จากปัญหาเชิงพีชคณิตล้วนๆ นี้ ผมอยากจะตั้งคำถามที่ดูเหมือนว่าจะสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเดียวกันคือการเปลี่ยนสัมประสิทธิ์อย่างต่อเนื่อง และคำตอบของคำถามนี้มีความสำคัญคล้ายคลึงกับโทโพโลยีของตระกูลเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ นั่นคือคำถามเกี่ยวกับขอบเขตบนและตำแหน่งของวัฏจักรขอบเขตของปวงกาเร (cycles limites) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบ:

${\displaystyle {dy \over dx}={Y \over X}}$

โดยที่XและYเป็นฟังก์ชันจำนวนเต็มตรรกยะดีกรีn ใน xและyตามลำดับหรือเขียนในรูปเอกพันธุ์ได้ดังนี้:

${\displaystyle X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0}$

โดยที่X , Y , Z หมายถึง ฟังก์ชันจำนวนเต็ม ฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันเอกพันธุ์ ดีกรีnในx , y , zและ z ถือเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์t 

• ปัญหาฮิลเบิร์ต-อาร์โนลด์
• ปัญหาของฮิลเบิร์ต

• ปัญหาฮิลเบิร์ตข้อที่ 16: การคำนวณปริมาณไลยาปูนอฟและวงจรจำกัดในระบบพลวัตสองมิติเก็บถาวรเมื่อ 2013-12-03 ที่Wayback Machine