ปัญหาข้อที่สิบสามของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ตที่ระบุไว้ในรายการที่มีชื่อเสียงซึ่งรวบรวมโดยเดวิด ฮิลเบิร์ต ในปี ค.ศ. 1900 ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ว่ามีคำตอบสำหรับสมการกำลังเจ็ด ทั้งหมด โดยใช้ฟังก์ชันพีชคณิต (หรือแบบต่อเนื่อง ) ที่มีตัวแปร สองตัว หรือไม่ ปัญหานี้ถูกนำเสนอครั้งแรกในบริบทของโนโมกราฟีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง "การสร้างโนโมกราฟี" ซึ่งเป็นกระบวนการที่สร้างฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวโดยใช้ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว รูปแบบของฟังก์ชันต่อเนื่องได้รับการแก้ไขในเชิงบวกในปี ค.ศ. 1957 โดยวลาดิมีร์ อาร์โนลด์เมื่อเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทการแทนค่าของโคลโมโกโรฟ-อาร์โนลด์แต่รูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิตยังคงไม่ได้รับการแก้ไข

โดยใช้วิธีการที่ริเริ่มโดยEhrenfried Walther von Tschirnhaus (1683), Erland Samuel Bring (1786) และGeorge Jerrard (1834) ^{[ 1 ]} William Rowan Hamiltonแสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2479 ว่า สมการดีกรี ที่เจ็ดทุกสมการสามารถลดรูปได้โดยใช้รากที่สองให้อยู่ในรูปแบบ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

เกี่ยวกับสมการนี้ ฮิลเบิร์ตตั้งคำถามว่า คำตอบของสมการxซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวคือa , bและcนั้น สามารถแสดงได้ในรูปของการประกอบกันของฟังก์ชันสองตัวแปรจำนวนจำกัดหรือไม่

เดิมทีฮิลเบิร์ตตั้งปัญหาของเขาสำหรับฟังก์ชันพีชคณิต^{[ 4 ]} ("...Existenz von algebraischen Funktionen...", กล่าวคือ "...การมีอยู่ของฟังก์ชันพีชคณิต..."; ดู Abhyankar 1997, ^{[ 5 ]} Vitushkin 2004 ^{[ 6 ]} ด้วย ) อย่างไรก็ตาม ต่อมาในบทความนั้น ฮิลเบิร์ตยังตั้งข้อสันนิษฐานว่าไม่มีคำตอบสำหรับสมการดีกรีเจ็ด แม้จะใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ ในสองตัวแปร ก็ตาม ^{[ 7 ]}

การสรุปทั่วไปของปัญหาแบบที่สอง ("ต่อเนื่อง") คือคำถามต่อไปนี้: ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันของสามตัวแปรสามารถแสดงเป็นการประกอบของฟังก์ชันต่อเนื่องสองตัวแปรจำนวนจำกัดได้หรือไม่? คำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามทั่วไปนี้ได้รับในปี 1957 โดยVladimir Arnoldซึ่งขณะนั้นอายุเพียงสิบเก้าปีและเป็นนักเรียนของAndrey Kolmogorov Kolmogorov ได้แสดงให้เห็นในปีก่อนหน้าว่าฟังก์ชันใดๆ ของหลายตัวแปรสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจำกัด^{[ 8 ]} จากนั้น Arnold ได้ขยายงานนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าจริงๆ แล้วต้องการเพียงฟังก์ชันสองตัวแปรเท่านั้น ซึ่งเป็นการตอบคำถามของ Hilbert เมื่อถูกถามสำหรับคลาสของฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 9 ]} ต่อมา Kolmogorov ได้ทำให้ผลลัพธ์ของ Arnold ง่ายขึ้นเล็กน้อย^{[ 10 ]}

ต่อมา Arnold ได้กลับมาพิจารณาปัญหาในรูปแบบพีชคณิตอีกครั้ง โดยร่วมมือกับGoro Shimura (Arnold และ Shimura 1976) ^{[ 11 ]}

• สมการการติดเชื้อ
• สูตรของโทเม

• ออร์นส์, สตีเฟน (14 มกราคม 2021). "นักคณิตศาสตร์นำปัญหาข้อที่ 13 ของฮิลเบิร์ตกลับมาศึกษาอีกครั้ง" . นิตยสารควอนตา .