ในกลศาสตร์คลาสสิกข้อจำกัดโฮโลโนมิกคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตำแหน่ง (และอาจรวมถึงเวลาด้วย) ^{[ 1 ]}ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0}$$

โดยที่nคือพิกัดทั่วไปที่อธิบายระบบ (ในปริภูมิการกำหนดค่า ที่ไม่ถูกจำกัด ) และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่ถูกจำกัดให้อยู่บนพื้นผิวของทรงกลมนั้นอยู่ภายใต้ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก แต่ถ้าอนุภาคสามารถตกลงมาจากทรงกลมได้ภายใต้แรงโน้มถ่วง ข้อจำกัดนั้นจะกลายเป็นแบบไม่โฮโลโนมิก สำหรับกรณีแรก ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกอาจกำหนดโดยสมการ ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}=0}$$

โดยที่คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมีในขณะที่กรณีที่สองที่ไม่เป็นไปตามกฎโฮโลโนมิกอาจกำหนดได้โดย ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0}$$

ข้อจำกัดที่ขึ้นอยู่กับความเร็ว (เรียกอีกอย่างว่าข้อจำกัดกึ่งโฮโลโนมิก) ^{[ 2 ]}เช่น

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},\ldots ,{\dot {u}}_{n},t)=0}$$

โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่แบบโฮโลโนมิก

ในกลศาสตร์คลาสสิกระบบอาจถูกนิยามว่าเป็นโฮโลโนมิกได้ก็ต่อเมื่อข้อจำกัดทั้งหมดของระบบเป็นโฮโลโนมิก ข้อจำกัดที่จะเป็นโฮโลโนมิกได้นั้นจะต้องสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันกล่าว คือข้อจำกัด โฮโลโนมิก ขึ้นอยู่กับพิกัดและอาจขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้น^{[ 1 ]}มันไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วหรืออนุพันธ์อันดับสูงกว่าใดๆ เทียบกับ  tข้อจำกัดที่ไม่สามารถแสดงในรูปแบบที่แสดงไว้ข้างต้นได้คือข้อจำกัดที่ไม่ใช่โฮโลโนมิก $${\displaystyle f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,}$$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle t}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ระบบโฮโลโนมิก (พูดง่ายๆ) คือระบบที่สามารถอนุมานสถานะของระบบได้โดยทราบเพียงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของส่วนประกอบต่างๆ ในระบบเมื่อเวลาผ่านไป แต่ไม่จำเป็นต้องทราบความเร็วหรือลำดับการเคลื่อนที่ของส่วนประกอบเหล่านั้นสัมพันธ์กัน ในทางตรงกันข้าม ระบบนอนโฮโลโนมิก มักเป็นระบบที่ต้องทราบความเร็วของส่วนประกอบต่างๆ เมื่อเวลาผ่านไปจึงจะสามารถกำหนดการเปลี่ยนแปลงสถานะของระบบได้ หรือเป็นระบบที่ชิ้นส่วนที่เคลื่อนที่นั้นไม่สามารถยึดติดกับพื้นผิวจำกัดได้ ไม่ว่าจะเป็นพื้นผิวจริงหรือพื้นผิวสมมติ ตัวอย่างของระบบโฮโลโนมิก ได้แก่ เครนยกของ ลูกตุ้ม และแขนหุ่นยนต์ ตัวอย่างของระบบนอนโฮโลโนมิก ได้แก่เซกเวย์จักรยานล้อเดียว และรถยนต์

ปริภูมิการกำหนดค่า แสดงรายการการกระจัดของส่วนประกอบต่างๆ ของระบบ โดยแต่ละส่วนประกอบแทนองศาอิสระ หนึ่ง ตัว ระบบที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ปริภูมิการกำหนดค่าเรียกว่า ระบบสเคลอโรโนมิก ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

พื้นที่เหตุการณ์ (Event space)นั้นเหมือนกับพื้นที่การกำหนดค่า (Configuration space) ทุกประการ ยกเว้นการเพิ่มตัวแปรเพื่อแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของระบบเมื่อเวลาผ่านไป (หากจำเป็นต่อการอธิบายระบบ) ระบบที่ต้องอธิบายโดยใช้พื้นที่เหตุการณ์ แทนที่จะใช้เพียงพื้นที่การกำหนดค่า เรียกว่า ระบบแบบรีโอโนมิก (Rheonomic system) ระบบหลายระบบสามารถอธิบายได้ทั้งแบบสเคลอโรโนมิก (Scleronomic) หรือแบบรีโอโนมิก ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ทั้งหมดที่อนุญาตของลูกตุ้มสามารถอธิบายได้ด้วยข้อจำกัดแบบสเคลอโรโนมิก แต่การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเมื่อเวลาผ่านไปต้องอธิบายด้วยข้อจำกัดแบบรีโอโนมิก ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ปริภูมิสถานะ คือปริภูมิการกำหนดค่า บวกกับเทอมที่อธิบายความเร็วของแต่ละเทอมในปริภูมิการกำหนดค่า ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

พื้นที่ สถานะ-เวลาจะเพิ่มเวลาเข้าไป ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ดังแสดงในภาพด้านขวา เครนแบบโครงถักเป็นเครนเหนือศีรษะที่สามารถเคลื่อนขอเกี่ยวได้ใน 3 แกน ตามที่ลูกศรชี้ โดยสัญชาตญาณ เราสามารถอนุมานได้ว่าเครนควรเป็นระบบโฮโลโนมิก เนื่องจากสำหรับการเคลื่อนที่ของส่วนประกอบต่างๆ นั้น ไม่สำคัญว่าส่วนประกอบจะเคลื่อนที่ในลำดับหรือความเร็วใด ตราบใดที่การกระจัดรวมของแต่ละส่วนประกอบจากสถานะเริ่มต้นที่กำหนดนั้นเท่ากัน ทุกส่วนและระบบโดยรวมจะอยู่ในสถานะเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ดังนี้:

เราสามารถกำหนดขอบเขตการกำหนดค่าของระบบได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

เราสามารถกล่าวได้ว่า การเบี่ยงเบนของแต่ละส่วนประกอบของเครนจากตำแหน่ง "ศูนย์" คือ, , และสำหรับส่วนประกอบสีน้ำเงิน สีเขียว และสีส้ม ตามลำดับ การวางแนวและการจัดวางของระบบพิกัดไม่สำคัญว่าระบบจะเป็นแบบโฮโลโนมิกหรือไม่ แต่ในตัวอย่างนี้ ส่วนประกอบต่างๆ เคลื่อนที่ขนานกับแกนของระบบ หากจุดกำเนิดของระบบพิกัดอยู่ที่ด้านหลังล่างซ้ายของเครน เราสามารถเขียนสมการข้อจำกัดตำแหน่งได้ดังนี้: ${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle (xB)+(yG)+(z-(hO))=0}$$

เครนสูงเท่าไหร่ หรือเราอาจลดรูปให้เป็นรูปแบบมาตรฐานโดยวางค่าคงที่ทั้งหมดไว้หลังตัวแปรก็ได้ :${\displaystyle h}$$${\displaystyle x+y+z-(B+G+hO)=0}$$

เนื่องจากเราได้สมการข้อจำกัดในรูปแบบโฮโลโนมิก (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการข้อจำกัดของเรามีรูปแบบที่) เราจึงเห็นได้ว่าระบบนี้ต้องเป็นโฮโลโนมิก ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$

ดังแสดงในภาพด้านขวาลูกตุ้ม อย่างง่าย เป็นระบบที่ประกอบด้วยตุ้มน้ำหนักและเชือก เชือกผูกติดกับจุดหมุนที่ปลายด้านบนและผูกติดกับตุ้มน้ำหนักที่ปลายด้านล่าง เนื่องจากเชือกไม่สามารถยืดได้ ความยาวของเชือกจึงคงที่ ระบบนี้เป็นระบบโฮโลโนมิกเพราะเป็นไปตามข้อจำกัดโฮโลโนมิก

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

ตำแหน่งของตุ้มน้ำหนักอยู่ที่ไหน และ ความยาวของเชือกคือเท่าไร ${\displaystyle (x,\ y)}$${\displaystyle L}$

อนุภาคของวัตถุแข็งเกร็งปฏิบัติตามข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

โดยที่, และ คือตำแหน่งของอนุภาคและ ตามลำดับ และคือระยะห่างระหว่างอนุภาคทั้งสอง หากระบบที่กำหนดเป็นระบบโฮโลโนมิก การติดชิ้นส่วนเพิ่มเติมเข้ากับส่วนประกอบของระบบดังกล่าวอย่างแน่นหนาจะไม่ทำให้ระบบนั้นกลายเป็นระบบที่ไม่ใช่โฮโลโนมิกได้ โดยสมมติว่าระดับความเป็นอิสระไม่ลดลง (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สมมติว่าปริภูมิการกำหนดค่าไม่เปลี่ยนแปลง) ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle L_{ij}}$

พิจารณารูปแบบเชิงอนุพันธ์ของข้อจำกัดต่อไปนี้:

$${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์สำหรับ สมการข้อจำกัดที่ iรูปแบบนี้เรียกว่ารูปแบบ Pfaffianหรือรูป แบบอนุพันธ์${\displaystyle A_{ij},A_{i}}$${\displaystyle du_{j},dt}$

ถ้ารูปแบบเชิงอนุพันธ์สามารถหาปริพันธ์ได้ กล่าวคือ ถ้ามีฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0}$

$${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

ถ้าเป็นเช่นนั้น ข้อจำกัดนี้จะเป็นข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก มิฉะนั้นจะเป็นข้อจำกัดแบบนอนโฮโลโนมิก ดังนั้น ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกทั้งหมดและข้อจำกัดแบบนอนโฮโลโนมิกบางส่วนสามารถแสดงได้โดยใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างของข้อจำกัดแบบนอนโฮโลโนมิกที่ไม่สามารถแสดงด้วยวิธีนี้ได้คือข้อจำกัดที่ขึ้นอยู่กับความเร็วทั่วไป สำหรับสมการข้อจำกัดในรูปแบบ Pfaffian นั้น ข้อจำกัดจะเป็นแบบโฮโลโนมิกหรือนอนโฮโลโนมิกขึ้นอยู่กับว่ารูปแบบ Pfaffian นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้หรือไม่ ดูการทดสอบสากลสำหรับข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกด้านล่างสำหรับคำอธิบายของการทดสอบเพื่อตรวจสอบความสามารถในการหาปริพันธ์ (หรือการขาดความสามารถ) ของข้อจำกัดในรูปแบบ Pfaffian

เมื่อเขียนสมการข้อจำกัดของระบบใน รูปแบบ ข้อจำกัดของ Pfaffจะมีการทดสอบทางคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบว่าระบบนั้นเป็นระบบโฮโลโนมิกหรือไม่

สำหรับสมการข้อจำกัด หรือชุดของสมการข้อจำกัด (โปรดทราบว่าสามารถรวมตัวแปรที่แสดงถึงเวลาได้ ดังตัวอย่างข้างต้นและในรูปแบบต่อไปนี้): ${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}\in A_{ij}}$${\displaystyle \,dt\in du_{j}}$$${\displaystyle \sum _{j}^{n}\ A_{ij}\,du_{j}=0;\,}$$

เราสามารถใช้สมการทดสอบได้ดังนี้: โดยที่เป็นการรวมกันของสมการทดสอบต่อสมการข้อจำกัด สำหรับชุดสมการข้อจำกัด ทั้งหมด$${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n}$$${\textstyle {\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}}$${\displaystyle i}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบที่มีตัวแปรสามตัวจะต้องทดสอบเพียงครั้งเดียวด้วยสมการทดสอบหนึ่งชุด โดยที่พจน์ต่างๆคือพจน์ในสมการข้อจำกัด (ในลำดับใดก็ได้) แต่สำหรับการทดสอบระบบที่มีตัวแปรสี่ตัว การทดสอบจะต้องดำเนินการมากถึงสี่ครั้งด้วยสมการทดสอบที่แตกต่างกันสี่ชุด โดยที่พจน์ต่างๆคือพจน์, , , และในสมการข้อจำกัด (แต่ละชุดในลำดับใดก็ได้) ในการทดสอบที่แตกต่างกันสี่ครั้ง สำหรับระบบที่มีตัวแปรห้าตัว จะต้องทำการทดสอบ สิบครั้งกับระบบโฮโลโนมิกเพื่อตรวจสอบข้อเท็จจริงนั้น และสำหรับระบบที่มีตัวแปรห้าตัวพร้อมสมการข้อจำกัดสามชุด จะต้อง ทำการทดสอบ สามสิบครั้ง (โดยสมมติว่าไม่สามารถทำการลดรูป เช่น การเปลี่ยนตัวแปร เพื่อลดจำนวนนั้นได้) ด้วยเหตุนี้ จึงควรใช้สามัญสำนึกในการพิจารณาว่าระบบที่กำลังพิจารณานั้นเป็นระบบโฮโลโนมิกหรือไม่ เมื่อใช้วิธีนี้กับระบบที่มีตัวแปรมากกว่าสามตัว และควรทำการทดสอบต่อเมื่อระบบนั้นมีแนวโน้มที่จะไม่ใช่ระบบโฮโลโนมิกเท่านั้น นอกจากนี้ วิธีที่ดีที่สุดคือการใช้สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์เพื่อพยายามทำนายว่าการทดสอบใดจะล้มเหลวก่อน และเริ่มต้นด้วยการทดสอบนั้น โดยข้ามการทดสอบที่ดูเหมือนว่าจะประสบความสำเร็จในตอนแรก ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle 1,2,4}$${\displaystyle 1,3,4}$${\displaystyle 2,3,4}$

ถ้าสมการทดสอบทุกสมการเป็นจริงสำหรับชุดค่าผสมทั้งหมดของสมการข้อจำกัดทั้งหมด ระบบนั้นจะเป็นระบบโฮโลโนมิก แต่ถ้าสมการทดสอบทุกสมการไม่เป็นจริงแม้แต่ชุดค่าผสมเดียว ระบบนั้นจะเป็นระบบนอนโฮโลโนมิก

พิจารณาระบบพลวัต นี้ ซึ่งอธิบายโดยสมการข้อจำกัดในรูปแบบ Pfaffian $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

จากการตรวจสอบ พื้นที่การกำหนดค่าคือเนื่องจากมีเพียงสามพจน์ในพื้นที่การกำหนดค่า จึงจำเป็นต้องใช้สมการทดสอบเพียงสมเดียว เราสามารถจัดเรียงพจน์ของสมการข้อจำกัดได้ดังนี้ เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการแทนที่: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$$${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$$${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$$${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$$${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$$${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

เมื่อแทนค่าลงไป สมการทดสอบของเราจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

หลังจากคำนวณอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดแล้ว เราจะได้: $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราจะพบว่า: เราเห็นว่าสมการทดสอบของเราเป็นจริง ดังนั้น ระบบจึงต้องเป็นระบบโฮโลโนมิก $${\displaystyle 0=0}$$

เราได้ทำการทดสอบเสร็จสิ้นแล้ว แต่เมื่อทราบว่าระบบเป็นแบบโฮโลโนมิก เราอาจต้องการหาสมการข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก เราสามารถลองหาได้โดยการอินทิเกรตแต่ละเทอมของรูปแบบ Pfaffian และพยายามรวมเข้าเป็นสมการเดียว ดังนี้: $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$$${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$$${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถรวมผลลัพธ์ของการอินทิเกรตเพื่อหาสมการข้อจำกัดโฮโลโนมิกได้ โดยที่ C คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$

สำหรับข้อจำกัดแบบ Pfaffian ที่กำหนดให้ โดยที่สัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์ทุกตัวเป็นค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ข้อจำกัดในรูปแบบ: $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }$$

ข้อจำกัดนั้นต้องเป็นแบบโฮโลโนมิก

เราสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้: พิจารณาระบบข้อจำกัดในรูปแบบ Pfaffian โดยที่สัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์ทุกตัวเป็นค่าคงที่ ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น เพื่อทดสอบว่าระบบข้อจำกัดนี้เป็นแบบโฮโลโนมิกหรือไม่ เราใช้การทดสอบสากลเราจะเห็นว่าในสมการทดสอบ มีสามพจน์ที่ต้องรวมกันเป็นศูนย์ ดังนั้น ถ้าพจน์ทั้งสามในสมการทดสอบที่เป็นไปได้ทุกสมการเป็นศูนย์ แสดงว่าสมการการทดสอบทั้งหมดเป็นจริง และระบบนี้เป็นแบบโฮโลโนมิก แต่ละพจน์ของแต่ละสมการทดสอบอยู่ในรูปแบบ: โดยที่: $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$

• ${\displaystyle A_{1}}$, , และเป็นการรวมกันบางส่วน (โดยมีจำนวนการรวมกันทั้งหมด) ของและสำหรับข้อจำกัดที่กำหนด${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{3}}$${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle u_{1}}$, , และคือการรวมกันที่สอดคล้องกันของและ${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{3}}$${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$${\displaystyle dt}$

นอกจากนี้ ยังมีชุดสมการทดสอบ อีกด้วย${\displaystyle i}$

เราจะเห็นได้ว่า ตามนิยามแล้ว ทุกค่าล้วนเป็นค่าคงที่ เป็นที่ทราบกันดีในแคลคูลัสว่า อนุพันธ์ใดๆ (อนุพันธ์เต็มหรืออนุพันธ์ย่อย) ของค่าคงที่ใดๆ ก็คือดังนั้น เราสามารถลดรูปอนุพันธ์ย่อยแต่ละตัวให้เหลือได้ดังนี้: ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

ดังนั้นแต่ละเทอมจึงเป็นศูนย์ ด้านซ้ายของสมการทดสอบแต่ละสมจึงเป็นศูนย์ สมการทดสอบแต่ละสมจึงเป็นจริง และระบบจึงเป็นระบบโฮโลโนมิก

ระบบใดๆ ที่สามารถอธิบายได้ด้วยข้อจำกัดแบบ Pfaffian และมีปริภูมิการกำหนดค่าหรือปริภูมิสถานะที่มีเพียงสองตัวแปรหรือหนึ่งตัวแปรเท่านั้น ถือว่าเป็นระบบโฮโลโนมิก

เราอาจพิสูจน์สิ่งนี้ได้ดังนี้: พิจารณาระบบพลวัตที่มีปริภูมิการกำหนดค่าหรือปริภูมิสถานะที่อธิบายได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

หากระบบถูกอธิบายด้วยปริภูมิสถานะ เราก็เพียงแค่บอกว่าเท่ากับตัวแปรเวลาของเราระบบนี้จะถูกอธิบายในรูปแบบแพฟเฟียน: ${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

โดยมีชุดข้อจำกัด ระบบจะถูกทดสอบโดยใช้การทดสอบแบบสากล อย่างไรก็ตาม การทดสอบแบบสากลต้องการตัวแปรสามตัวในพื้นที่การกำหนดค่าหรือสถานะ เพื่อรองรับสิ่งนี้ เราจึงเพิ่มตัวแปรดัมมี่ลงในพื้นที่การกำหนดค่าหรือสถานะเพื่อสร้าง: ${\displaystyle i}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

เนื่องจากตัวแปรดัมมี่โดยนิยามแล้วไม่ใช่ตัววัดสิ่งใดในระบบ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของมันในรูปแบบ Pfaffian จึงต้องเป็นดังนั้นเราจึงแก้ไขรูปแบบ Pfaffian ของเรา: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

ตอนนี้เราสามารถใช้การทดสอบดังกล่าวได้ สำหรับข้อจำกัดที่กำหนดหากมีชุดของข้อจำกัดอยู่: ${\displaystyle i}$$${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

เมื่อตระหนักว่าเนื่องจากตัวแปรดัมมี่ไม่สามารถปรากฏในสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในการอธิบายระบบได้ เราจึงเห็นว่าสมการทดสอบต้องเป็นจริงสำหรับชุดสมการข้อจำกัดทั้งหมด และด้วยเหตุนี้ ระบบจึงต้องเป็นระบบโฮโลโนมิก การพิสูจน์ที่คล้ายกันนี้สามารถทำได้โดยใช้ตัวแปรจริงหนึ่งตัวในปริภูมิการกำหนดค่าหรือสถานะ และตัวแปรดัมมี่สองตัว เพื่อยืนยันว่าระบบหนึ่งองศาอิสระที่สามารถอธิบายได้ในรูปแบบ Pfaffian นั้นเป็นระบบโฮโลโนมิกเสมอ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$

โดยสรุป เราตระหนักว่าถึงแม้จะสามารถสร้างแบบจำลองระบบที่ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดทางเรขาคณิต (nonholonomic) ในรูปแบบ Pfaffian ได้ แต่ระบบใดๆ ก็ตามที่สามารถสร้างแบบจำลองในรูปแบบ Pfaffian ได้ โดยมีจำนวนองศาอิสระสององศาหรือน้อยกว่า (จำนวนองศาอิสระเท่ากับจำนวนเทอมในปริภูมิการกำหนดค่า) จะต้องเป็นระบบที่เป็นไปตามข้อจำกัดทางเรขาคณิต (holonomic)

หมายเหตุสำคัญ:โปรดทราบว่าสมการทดสอบล้มเหลวเนื่องจากตัวแปรดัมมี่ และด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์ดัมมี่ที่รวมอยู่ในการทดสอบ จะทำการหาอนุพันธ์ของสิ่งใดก็ตามที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรการกำหนดค่าหรือปริภูมิสถานะจริง โดยที่ระบบมีการกำหนดค่าหรือปริภูมิสถานะดังนี้: ${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

และชุดข้อจำกัด โดยที่ข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งข้ออยู่ในรูปแบบ Pfaffian: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

ไม่ได้รับประกันว่าระบบจะเป็นระบบโฮโลโนมิกเสมอไป เพราะถึงแม้ว่าอนุพันธ์ตัวหนึ่งจะมีสัมประสิทธิ์เป็น 0 แต่ก็ยังมีองศาอิสระสามองศาที่อธิบายไว้ในการกำหนดค่าหรือปริภูมิสถานะ ${\displaystyle 0}$

สมการข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกสามารถช่วยให้เรากำจัดตัวแปรตามบางตัวในระบบของเราได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการกำจัดซึ่งเป็นพารามิเตอร์ในสมการข้อจำกัดเราสามารถจัดเรียงสมการใหม่ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ โดยสมมติว่าสามารถทำได้ ${\displaystyle x_{d}}$${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t),\,}$$

และแทนที่ในทุกสมการของระบบโดยใช้ฟังก์ชันข้างต้น วิธีนี้สามารถทำได้เสมอสำหรับระบบทางกายภาพทั่วไป โดยมีเงื่อนไขว่าอนุพันธ์ของ นั้นต่อเนื่อง จากนั้นโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายคำตอบจะรับประกันได้ว่าอยู่ในเซตเปิด บางเซต ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ กำจัด ตัวแปรตามทั้งหมด${\displaystyle x_{d}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle x_{d}}$

สมมติว่าระบบทางกายภาพมีองศาอิสระจำนวนหนึ่ง และเมื่อมีการกำหนดข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกให้กับระบบ จำนวนองศาอิสระจะลดลงเหลือเพียงจำนวนหนึ่งเราสามารถใช้พิกัดทั่วไปอิสระ ( ) เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของระบบได้อย่างสมบูรณ์ สมการการแปลงสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle N}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m=N-h}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad i=1,\ 2,\ \ldots N.\,}$$

เพื่อที่จะศึกษาฟิสิกส์คลาสสิกอย่างเข้มงวดและเป็นระบบ เราจำเป็นต้องจำแนกระบบต่างๆ จากการอภิปรายก่อนหน้านี้ เราสามารถจำแนกระบบทางกายภาพออกเป็นระบบโฮโลโนมิกและระบบที่ไม่ใช่โฮโลโนมิกหนึ่งในเงื่อนไขสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทและสมการต่างๆ คือ ระบบนั้นต้องเป็นระบบโฮโลโนมิก ตัวอย่างเช่น หากระบบทางกายภาพเป็นระบบโฮโลโนมิกและระบบโมโนจีนิกหลักการของแฮมิลตันจะเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความถูกต้องของสมการของลากรองจ์^{[ 3 ]}

• ระบบนอนโฮโลโนมิก
• กอร์ยาเชฟ-ชาปลีกิน ท็อป
• ข้อจำกัดแบบ Pfaffian
• สมการอุดวาเดีย-กาลาบา