เมื่อกำหนดระบบโฮโลโนมิกที่อธิบายโดยชุดสมการข้อจำกัดโฮโลโนมิก แล้ว

${\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}$

ที่ไหน${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$คือพิกัดทั่วไปn ตัว ที่อธิบายระบบ และโดยที่${\displaystyle L}$คือจำนวนสมการในระบบข้อจำกัด เราสามารถหาอนุพันธ์โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับแต่ละสมการได้:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

ข้อจำกัดแบบ Pfaffian สามารถแสดงได้ในรูปของสนามของพื้นผิวที่มีขนาด

ถ้าข้อจำกัดนั้นเป็นแบบไม่โฮโลโนมิก แต่เป็นอันดับแรกในความเร็ว ก็สามารถเขียนในรูปแบบแพฟเฟียนได้เช่นกัน นั่นคือ ถ้าในแต่ละ$${\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},\dots ,{\dot {u}}_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}$$เงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle {\dot {u}}}$ถ้าเงื่อนไขเหล่านั้นเป็นเชิงเส้น ก็จะเป็นข้อจำกัดแบบ Pfaffian ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\dot {u}__{1}\cos u_{3}-{\dot {u}__{2}\sin u_{3}-1=0}$เทียบเท่ากับ${\displaystyle du_{1}\cos u_{3}-du_{2}\sin u_{3}-dt=0}$.

ถ้าข้อจำกัดนั้นไม่ใช่ข้อจำกัดอันดับแรกของความเร็ว โดยทั่วไปแล้วมันจะไม่ใช่ข้อจำกัดแบบ Pfaffian ตัวอย่างเช่น ข้อจำกัดความเร็วคงที่${\textstyle {\dot {u}__{1}^{2}+{\dot {u}__{2}^{2}-1=0}$ไม่ใช่แบบ Pfaffian ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle {\dot {u}__{1}{\dot {u}__{2}-1=0}$ไม่ใช่สไตล์ของ Pfaff

ถ้าข้อจำกัดเป็นอสมการ ก็จะไม่ใช่ข้อจำกัดแบบ Pfaffian ตัวอย่างเช่น ข้อจำกัดสำหรับลูกตุ้มที่มีเชือกอ่อนยาว${\displaystyle L}$เป็น${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq L^{2}}$.

ถ้าข้อจำกัดนั้นไม่ราบเรียบ ก็จะไม่ใช่ข้อจำกัดแบบ Pfaffian

ถ้าข้อจำกัดไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตำแหน่งและความเร็ว โดยทั่วไปแล้วมันจะไม่เป็นไปตามกฎของ Pfaff อย่างไรก็ตาม มันอาจเทียบเท่ากับกฎของ Pfaff ก็ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่บนระนาบ ถ้ามันถูกจำกัดให้มีความโค้งคงที่แล้ว${\displaystyle {\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}=\kappa \left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)^{3/2}}$และมันเกี่ยวข้องกับการเร่งความเร็ว อย่างไรก็ตาม หากเราต้องการให้อนุภาคมีความเร็วที่ราบเรียบและไม่เป็นศูนย์ อนุภาคก็จะเคลื่อนที่บนวงกลม และด้วยเหตุนี้จึงเป็นข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก

ลองพิจารณาลูกตุ้ม เนื่องจากข้อจำกัดในการเคลื่อนที่ของน้ำหนักโดยแขนของลูกตุ้ม เวกเตอร์ความเร็วจึงเป็น...${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$แรงของน้ำหนักจะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งตลอดเวลา${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$เนื่องจากเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกันเสมอผลคูณดอทของเวกเตอร์จึงต้องเป็นศูนย์ ทั้งตำแหน่งและความเร็วของมวลสามารถกำหนดได้ในรูปของเวกเตอร์${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ระบบพิกัด:

${\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}$

เมื่อทำให้ผลคูณดอทง่ายขึ้นจะได้:

${\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}$

เราคูณทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle {\text{d}}t}$ส่งผลให้สมการข้อจำกัดอยู่ในรูปแบบ Pfaffian ดังนี้:

${\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}$

รูปแบบ Pfaffian นี้มีประโยชน์ เนื่องจากเราสามารถอินทิเกรตมันเพื่อแก้สมการข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกของระบบได้ หากมีอยู่ ในกรณีนี้ การอินทิเกรตค่อนข้างง่าย:

${\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}$

โดยที่ C คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต

และตามธรรมเนียม เราอาจเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}$

คำศัพท์${\displaystyle L^{2}}$ยกกำลังสองเพียงเพราะมันต้องเป็นจำนวนบวก เนื่องจากเป็นระบบทางกายภาพมิติทั้งหมดจึงต้องเป็นจำนวนจริง ที่จริงแล้ว${\displaystyle L}$คือความยาวของแขนลูกตุ้ม

ในการวางแผนการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ ข้อจำกัด แบบPfaffianคือชุดของข้อจำกัดk ข้อจำกัด ที่เป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นเชิงเส้นตามความเร็ว กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้$${\displaystyle A(q)\,{\dot {q}}=0}$$แหล่งที่มาหนึ่งของข้อจำกัดของ Pfaffian คือการกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลใน หุ่น ยนต์ล้อเลื่อน^{[ 10 ]}

ล้อตั้งตรงบนระนาบ (บางครั้งอาจนึกภาพเป็นจักรยานล้อเดียวหรือเหรียญตั้งตรงที่กลิ้งอยู่) เป็นระบบที่ไม่ใช่โฮโลโนมิกที่มีข้อจำกัดแบบ Pfaffian เพียงข้อเดียว

อนุญาต${\displaystyle \theta }$มุมการบังคับเลี้ยวสัมพันธ์กับ${\displaystyle x}$แกน และ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ให้ เป็นตำแหน่งที่ล้อสัมผัสกับระนาบ เนื่องจากล้อสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางที่มันชี้ไปเท่านั้น เราจึงได้ข้อจำกัด${\displaystyle {\dot {x}}\sin \theta -{\dot {y}}\cos \theta =0}$เนื่องจากเป็นรูปแบบ 1มิติ ข้อจำกัดจึงเป็นดังนี้${\displaystyle \omega$ :=dx\sin \theta -dy\cos \theta }