ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบท ของฮูร์วิตซ์เป็นทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงค่าศูนย์ของลำดับของ ฟังก์ชัน โฮโลมอร์ฟิกกระชับ และลู่เข้า อย่างสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นกับค่าศูนย์ของลิมิตที่สอดคล้องกัน ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามอดอล์ฟ ฮูร์วิตซ์

ให้ { f } เป็นลำดับของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิด ที่เชื่อมต่อกัน Gซึ่งลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอใน เซตย่อย กระชับของGไปยังฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfซึ่งไม่เป็นศูนย์คงที่บนGถ้าfมีศูนย์อันดับmที่z ρ  > 0 ที่เล็กพอ และสำหรับ k ∈ N ที่มากพอ(ขึ้นอยู่กับρ ) f จะมี ศูนย์ m ตัว ในดิสก์ที่กำหนดโดย | z − z | < ρรวมทั้งความซ้ำซ้อนด้วยยิ่งไปกว่านั้น ศูนย์เหล่านี้จะลู่เข้าสู่z เมื่อk → ∞ ^{[ 1 ]}          

ทฤษฎีบทนี้ไม่รับประกันว่าผลลัพธ์จะใช้ได้กับดิสก์ใดๆ อันที่จริง หากเลือกดิสก์ที่ฟังก์ชันfมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบทฤษฎีบทนี้จะใช้ไม่ได้ ตัวอย่างที่ชัดเจนคือการพิจารณาดิสก์หน่วยDและลำดับที่กำหนดโดย

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}},\qquad z\in \mathbb {C} }$

ซึ่งลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังf ( z ) = z − 1 ฟังก์ชันf ( z ) ไม่มีศูนย์ในDอย่างไรก็ตามf แต่ละอัน มีศูนย์เพียงอันเดียวในดิสก์ที่สอดคล้องกับค่าจริง1 − (1/ n )      

ทฤษฎีบทของ Hurwitz ถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ ทฤษฎีบทการแมป ^ของ Riemann [ ^{2 ]}และยังมีบทสรุป สองข้อต่อไปนี้ เป็นผลสืบเนื่องโดยตรง:

• ให้Gเป็นเซตเปิดที่เชื่อมต่อกัน และ { f } เป็นลำดับของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกซึ่งลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของGไปยังฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกf ถ้า f แต่ละฟังก์ชันไม่เป็นศูนย์ทุกที่ในGแล้วfจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์หรือไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลยก็ได้
• ถ้า { f } เป็นลำดับของฟังก์ชันเอกภาคบนเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันGซึ่งลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของGไปยังฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfแล้วfจะเป็นฟังก์ชันเอกภาคหรือฟังก์ชันคงที่^{[ 2 ]}

ให้fเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตย่อยเปิดของระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์อันดับmที่z และสมมติว่า { f } เป็นลำดับของฟังก์ชันที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับไปยังfกำหนดค่าρ  >  0 บางค่าที่ทำให้f ( z )  ≠  0 ใน 0  <  | z  − z | ≤ ρ เลือก δ ที่ทำให้ | f ( z )| > δสำหรับzบนวงกลม | z − z | = ρเนื่องจากf ( z ) ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในจานที่เราเลือก เราจึงสามารถหาNที่ทำให้ | f ( z )| ≥ δ /2 สำหรับทุกk ≥ Nและทุกzบนวงกลม ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าผลหารf ′ ( z )/ f ( z ) ถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุกzบนวงกลม | z − z | = ρ . โดยทฤษฎีบทของไวเออร์สตรัส เรามีการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งจาน และด้วยเหตุนี้เราจึงมีการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมออีกแบบหนึ่ง:               ${\displaystyle f_{k}'\to f'}$

${\displaystyle {\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\ถึง {\frac {f'(z)}{f(z)}}.}$

โดยกำหนดให้ N เป็นจำนวนศูนย์ของf ( z ) ในดิสก์เราสามารถใช้หลักการอาร์กิวเมนต์เพื่อหาค่าได้

${\displaystyle m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

ในขั้นตอนข้างต้น เราสามารถสลับอินทิกรัลและลิมิตได้เนื่องจากการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของอินทิกรัล เราได้แสดงให้เห็นว่าN   → mเมื่อk → ∞ เนื่องจากN มีค่าเป็นจำนวนเต็มN จะต้องเท่ากับm สำหรับ kที่มีค่ามากพอ^{[ 1 ]}    

• ทฤษฎีบทของรูเช่