ในการศึกษาระบบพลวัตจุดสมดุลไฮเปอร์โบลิกหรือจุดคงที่ไฮเปอร์โบลิกคือจุดคงที่ที่ไม่มีแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง ใดๆ ใกล้ จุด ไฮเปอร์โบลิกวงโคจรของระบบสองมิติที่ไม่สูญเสียพลังงานจะมีลักษณะคล้ายไฮเปอร์โบลา สิ่งนี้ไม่เป็นจริงโดยทั่วไป Strogatzตั้งข้อสังเกตว่า "ไฮเปอร์โบลิกเป็นชื่อที่ไม่เหมาะสม—มันฟังดูเหมือนควรจะหมายถึง ' จุดอานม้า '—แต่มันกลายเป็นมาตรฐานไปแล้ว" ^{[ 1 ]}คุณสมบัติหลายประการเป็นจริงเกี่ยวกับบริเวณใกล้เคียงของจุดไฮเปอร์โบลิก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง^{[ 2 ]}

• มีทั้ง แมนิโฟลด์เสถียรและแมนิโฟลด์ไม่เสถียรอยู่จริง
• เกิดเงาบดบัง
• พลวัตบนเซตไม่เปลี่ยนแปลงสามารถแสดงได้ผ่านพลวัตเชิงสัญลักษณ์
• สามารถกำหนดมาตรวัดตามธรรมชาติ ได้
• ระบบมีความเสถียรในเชิงโครงสร้าง

ถ้าเป็น แผนที่ C ¹และpเป็นจุดตรึงแล้วpจะถูกเรียกว่าเป็นจุดตรึงไฮเปอร์โบลิกเมื่อเมทริกซ์จาโคเบียนไม่มีค่าลักษณะเฉพาะบนวงกลมหน่วยเชิงซ้อน ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

ตัวอย่างหนึ่งของแผนที่ที่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียวเป็นรูปไฮเปอร์โบลาคือแผนที่แมวของอาร์โนลด์ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

เนื่องจากค่าไอเกนถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

เราทราบว่าค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov คือ:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

ดังนั้น มันจึงเป็นจุดอานม้า

ให้F เป็นฟิลด์เวกเตอร์C ¹ที่มีจุดวิกฤตpนั่นคือF ( p ) = 0 และให้Jแทนเมทริกซ์ JacobianของFที่pถ้าเมทริกซ์Jไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนจริง เป็นศูนย์ แสดงว่า pเป็น จุด ไฮเปอร์โบลิกจุดคงที่ไฮเปอร์โบลิกอาจเรียกว่าจุดวิกฤตไฮเปอร์โบลิกหรือจุดวิกฤตพื้นฐานก็ได้^{[ 3 ]}${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

ทฤษฎีบท ฮาร์ทแมน-โกรบแมนกล่าวว่า โครงสร้างวงโคจรของระบบพลวัตในบริเวณใกล้เคียงจุดสมดุลไฮเปอร์โบลิกนั้นสมมูลกันในเชิงโทโพโลยีกับโครงสร้างวงโคจรของระบบพลวัต เชิงเส้น

พิจารณาระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-xx^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) เป็นจุดสมดุลเพียงจุดเดียว เมทริกซ์จาโคเบียนของการทำให้เป็นเชิงเส้นที่จุดสมดุลคือ

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

ค่าไอเกนของเมทริกซ์นี้คือ. สำหรับทุกค่าของα  ≠ 0 ค่าไอเกนจะมีส่วนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น จุดสมดุลนี้จึงเป็นจุดสมดุลแบบไฮเปอร์โบลิก ระบบเชิงเส้นจะทำงานคล้ายกับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นใกล้ (0, 0) เมื่อα  = 0 ระบบจะมีจุดสมดุลที่ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลิกที่ (0, 0) ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

ในกรณีของระบบที่มีมิติอนันต์ เช่น ระบบที่มีความล่าช้าของเวลา แนวคิดเรื่อง "ส่วนไฮเปอร์โบลิกของสเปกตรัม" หมายถึงคุณสมบัติข้างต้น

• การไหลของอโนซอฟ
• ชุดไฮเปอร์โบลิก
• โดยปกติแล้วจะเป็นแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนแบบไฮเปอร์โบลิก