ในกลศาสตร์ต่อเนื่องวัสดุไฮโปอีลาสติก^{[ 1 ]}คือ วัสดุ ยืดหยุ่นที่มีแบบจำลองเชิงโครงสร้างที่ไม่ขึ้นกับ การวัด ความเครียดจำกัดยกเว้นในกรณีเชิงเส้น แบบจำลองวัสดุไฮโปอีลาสติกแตกต่างจาก แบบจำลอง วัสดุไฮเปอร์อีลาสติก (หรือแบบจำลองความยืดหยุ่นมาตรฐาน) ตรงที่ ยกเว้นในกรณีพิเศษ แบบจำลองเหล่านี้ไม่สามารถได้มาจากฟังก์ชันความหนาแน่นของพลังงานความเครียด

วัสดุไฮโปอีลาสติกสามารถกำหนดได้อย่างเข้มงวดว่าเป็นวัสดุที่จำลองโดยใช้สมการเชิงโครงสร้างที่ตรงตามเกณฑ์สองข้อต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

1. ความเค้นโคชีณ เวลาใดเวลาหนึ่งขึ้นอยู่กับลำดับที่วัตถุเคยอยู่ในสถานะต่างๆ ในอดีตเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงสถานะเหล่านั้นเมื่อเวลาผ่านไป ในกรณีพิเศษ เกณฑ์นี้รวมถึงวัสดุยืดหยุ่นแบบโคชีซึ่งความเค้นในปัจจุบันขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับประวัติการเปลี่ยนแปลงสถานะในอดีต${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$${\displaystyle t}$
2. มีฟังก์ชันค่าเทนเซอร์อยู่ โดยที่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของวัสดุของเทนเซอร์ความเค้นโคชี และคือเทนเซอร์การไล่ระดับความเร็ว เชิงพื้นที่${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {L}}}$

หากใช้เพียงสองเกณฑ์ดั้งเดิมนี้ในการกำหนดภาวะไฮโปอีลาสติก ภาวะไฮเปอร์อีลาสติกก็จะถูกรวมไว้เป็นกรณีพิเศษ ซึ่งกระตุ้นให้นักสร้างแบบจำลองเชิงโครงสร้างบางคนเพิ่มเกณฑ์ที่สามที่กำหนดอย่างชัดเจนว่าแบบจำลองไฮโปอีลาสติกจะต้องไม่ใช่ไฮเปอร์อีลาสติก (กล่าวคือ ไฮโปอีลาสติกหมายความว่าความเค้นไม่สามารถหาได้จากศักยภาพพลังงาน) หากนำเกณฑ์ที่สามนี้มาใช้ ก็จะหมายความว่าวัสดุไฮโปอีลาสติกอาจยอมรับเส้นทางการรับแรงแบบอะเดียแบติกที่ไม่คงตัวซึ่งเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยเกรเดียนต์การเสียรูป เดียวกัน แต่ไม่ได้ เริ่มต้นและสิ้นสุด ที่ พลังงานภายในเดียวกัน

โปรดทราบว่าเกณฑ์ข้อที่สองนั้นต้องการเพียงแค่ว่าฟังก์ชันนั้นมีอยู่จริง เท่านั้น ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง สูตรเฉพาะของแบบจำลองไฮโปอีลาสติกมักใช้ อัตราความเค้นเชิงวัตถุประสงค์ที่เรียกว่าดังนั้นฟังก์ชันจึงมีอยู่โดยปริยายเท่านั้น ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

แบบจำลองวัสดุไฮโปอีลาสติกมักมีรูปแบบ ที่เป็นอัตราเชิงวัตถุของความเค้น Kirchhoff ( ) เป็นเทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนรูปและเป็นเทนเซอร์ความแข็งสัมผัสยืดหยุ่นที่เรียกว่า ซึ่งแปรผันตามความเค้นเองและถือว่าเป็นเทนเซอร์คุณสมบัติของวัสดุ ในไฮเปอร์อีลาสติก ความแข็งสัมผัสโดยทั่วไปจะต้องขึ้นอยู่กับเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปด้วย เพื่อให้สามารถอธิบายการบิดเบี้ยวและการหมุนของทิศทางเส้นใยวัสดุแอนไอโซโทรปิกได้อย่างเหมาะสม^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldสัญลักษณ์ {d}}}$$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}}$${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$${\displaystyle {\mathsf {M}}}$

ในปัญหาเชิงปฏิบัติหลายๆ ปัญหาของกลศาสตร์ของแข็งการกำหนดลักษณะการเสียรูปของวัสดุโดยใช้เทนเซอร์ความเครียดขนาดเล็ก (หรือเชิงเส้น) ก็เพียงพอแล้ว โดยที่คือส่วนประกอบของการกระจัดของจุดต่อเนื่อง ตัวห้อยหมายถึงพิกัดคาร์ทีเซียนและตัวห้อยที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายจุลภาคหมายถึงอนุพันธ์ย่อย (เช่น ) แต่ก็ยังมีปัญหาอีกมากมายที่ต้องคำนึงถึงความจำกัดของความเครียด ซึ่งมีอยู่สองประเภท: $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (i=1,2,3)}$${\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}$

1. การเสียรูปยืดหยุ่นแบบไม่เชิงเส้นขนาดใหญ่ที่มีพลังงานศักยภาพ(เช่น ในยาง) ซึ่งส่วนประกอบของเทนเซอร์ความเค้นได้มาจากการอนุพันธ์ย่อยของเทียบกับส่วนประกอบของเทนเซอร์ความเครียดจำกัด และ${\displaystyle W({\boldสัญลักษณ์ {F}})}$${\displaystyle W}$
2. การเสียรูปที่ไม่ยืดหยุ่นซึ่งไม่มีศักยภาพ โดยที่ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดถูกกำหนดแบบเพิ่มขึ้นทีละน้อย

ในกรณีแรก การกำหนดสูตรความเครียดรวมที่อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีความเครียดจำกัดนั้นเหมาะสม ในกรณีหลัง การกำหนดสูตรแบบเพิ่มขึ้น (หรืออัตรา) นั้นจำเป็นและต้องใช้ในทุกขั้นตอนการโหลดหรือเวลาของ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ไฟไนต์เอเลเมนต์โดยใช้กระบวนการลากรางจ์ที่ปรับปรุงแล้ว การไม่มีศักยภาพทำให้เกิดคำถามที่ซับซ้อนเนื่องจากอิสระในการเลือกมาตรวัดความเครียดจำกัดและลักษณะเฉพาะของอัตราความเค้น

สำหรับขั้นตอนการโหลด (หรือส่วนเพิ่ม) ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ อาจใช้เทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนรูป (หรือความเครียดตามความเร็ว) หรือส่วนเพิ่ม ที่แสดงถึงส่วนเพิ่มของความเครียดเชิงเส้นจากสถานะเริ่มต้น (ที่ได้รับแรงกดและเปลี่ยนรูป) ในขั้นตอนนั้น โดยที่จุดเหนือตัวอักษรแสดงถึงอนุพันธ์ของวัสดุเทียบกับเวลา ( ตามอนุภาควัสดุที่กำหนด) แสดงถึงส่วนเพิ่มเล็กๆ ในขั้นตอนนั้น= เวลา และ= ความเร็วหรืออัตราการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ $${\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon }__{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }__{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t}$$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle t}$${\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}$

อย่างไรก็ตามการใช้ค่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาของความเค้นโคชี (หรือความเค้นจริง) นั้นไม่ เป็นกลางเนื่องจากความเค้นนี้อธิบายถึงแรงที่กระทำต่อชิ้นส่วนวัสดุขนาดเล็กที่สมมติขึ้นว่าถูกตัดออกจากวัสดุที่กำลังเสียรูปอยู่ ซึ่งความเค้นนี้แปรผันไปตามการหมุนแบบแข็งเกร็งของวัสดุ จุดของวัสดุจะต้องถูกกำหนดลักษณะโดยพิกัดเริ่มต้น(เรียกว่าลากรางจ์) เนื่องจากอนุภาควัสดุที่แตกต่างกันนั้นบรรจุอยู่ในชิ้นส่วนที่ถูกตัดออก (ในตำแหน่งเดียวกัน) ก่อนและหลังการเสียรูปทีละน้อย ${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle X_{i}}$

ด้วยเหตุนี้ จึงจำเป็นต้องนำอัตราความเค้นเชิง วัตถุวิสัย หรือส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันมาใช้ความเป็นกลางนี้จำเป็นเพื่อให้สามารถสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงรูปร่างขององค์ประกอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ หมายความว่าอัตราความเค้นเชิงวัตถุวิสัยนั้นจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปลงพิกัด (โดยเฉพาะการหมุน) และจะต้องแสดงลักษณะสถานะขององค์ประกอบวัสดุเดียวกันในขณะที่มันเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ${\displaystyle {\hat {\sigma }__{ij}}$${\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }__{ij}\Delta t}$${\displaystyle {\hat {\sigma }__{ij}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }__{ij}}$

• การวัดระดับความเครียด
• วัสดุที่มีความยืดหยุ่นสูง
• อัตราความเครียดเชิงวัตถุวิสัย
• หลักการของความเป็นวัตถุวิสัย
• ทฤษฎีความเครียดจำกัด
• ทฤษฎีความเครียดเล็กน้อย

• Truesdell, Clifford (1963), "ข้อสังเกตเกี่ยวกับความยืดหยุ่นต่ำ", วารสารการวิจัยของสำนักงานมาตรฐานแห่งชาติ ส่วน B , 67B (3): 141– 143