ในกลศาสตร์ต่อเนื่องอัตราความเค้นเชิงวัตถุวิสัยคืออนุพันธ์ของความเค้นเทียบ กับเวลา ที่ไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง^{[ 1 ]}สมการเชิงโครงสร้างจำนวนมากถูกออกแบบในรูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างอัตราความเค้นและอัตราความเครียด (หรือ เทนเซอร์ อัตราการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ) การตอบสนองทางกลของวัสดุไม่ควรขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการเชิงโครงสร้างของวัสดุควรไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิง (เชิงวัตถุวิสัย)หาก การวัด ความเค้นและความเครียดเป็น ปริมาณ ของวัสดุความเป็นวัตถุวิสัยจะได้รับการตอบสนองโดยอัตโนมัติ อย่างไรก็ตาม หากปริมาณเป็นเชิงพื้นที่ความเป็นวัตถุวิสัยของอัตราความเค้นจะไม่ได้รับการรับประกัน แม้ว่าอัตราความเครียดจะเป็นวัตถุวิสัยก็ตาม

ในกลศาสตร์ต่อเนื่อง มีอัตราความเค้นเชิงวัตถุอยู่มากมาย ซึ่งทั้งหมดสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นรูปแบบพิเศษของอนุพันธ์ของลี (Lie derivatives ) อัตราความเค้นเชิงวัตถุที่ใช้กันอย่างแพร่หลายบางส่วน ได้แก่:

1. อัตราTruesdellของเทนเซอร์ความเค้น Cauchy
2. อัตราความเครียดของ Cauchy ตามทฤษฎี Green –Naghdiและ
3. อัตราZaremba-Jaumannของความเค้น Cauchy ^{[ 2 ]}

รูปที่อยู่ติดกันแสดงประสิทธิภาพของอัตราวัตถุประสงค์ต่างๆ ใน การทดสอบ แรงเฉือนแบบง่ายโดยที่แบบจำลองวัสดุเป็น แบบ ไฮโปอีลา สติกที่มี โมดูลัสความยืดหยุ่นคง ที่ อัตราส่วนของ ความเค้น เฉือนต่อการกระจัดจะถูกพล็อตเป็นฟังก์ชันของเวลา โมดูลัสเดียวกันนี้ถูกใช้กับอัตราความเค้นวัตถุประสงค์ทั้งสามอัตรา เห็นได้ชัดว่ามีการแกว่งที่ไม่พึงประสงค์เกิดขึ้นสำหรับอัตราความเค้นของ Zaremba-Jaumann ^{[ 3 ]} นี่ไม่ใช่เพราะอัตราหนึ่งดีกว่าอีกอัตราหนึ่ง แต่เป็นเพราะเป็นการใช้แบบจำลองวัสดุอย่างไม่ถูกต้องโดยใช้ค่าคงที่เดียวกันกับอัตราวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}ด้วยเหตุนี้ แนวโน้มล่าสุดจึงเป็นการหลีกเลี่ยงอัตราความเค้นวัตถุประสงค์โดยสิ้นเชิงหากเป็นไปได้

ภายใต้การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง (${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {Q}}}$), เทนเซอร์ความเค้นโคชี${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$แปลงเป็น $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{r}={\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}~;~~{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ เนื่องจาก${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$เป็นปริมาณเชิงพื้นที่ และการแปลงเป็นไปตามกฎของการแปลงเทนเซอร์${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$มีความเป็นกลาง อย่างไรก็ตาม $${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}({\boldsymbol {\sigma }}_{r})={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}_{r}={\dot {\boldsymbol {Q}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}+{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\dot {\boldsymbol {Q}}}^{T}\neq {\boldsymbol {Q}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}\,.}$$ ดังนั้น อัตราความเครียดจึงไม่เป็นกลางเว้นแต่ว่าอัตราการหมุนจะเป็นศูนย์ กล่าวคือ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {Q}}}$มีค่าคงที่

เพื่อให้เข้าใจในเชิงกายภาพมากขึ้น ลองพิจารณาสถานการณ์ที่แสดงในรูปที่ 1 ในรูปนั้น ส่วนประกอบของเทนเซอร์ความเค้นของโคชี (หรือความเค้นจริง) จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ${\displaystyle S_{ij}}$เทนเซอร์นี้ ซึ่งอธิบายแรงที่กระทำต่อชิ้นส่วนวัสดุขนาดเล็กที่สมมติว่าถูกตัดออกมาจากวัสดุที่กำลังเสียรูปอยู่นั้น ไม่เป็นกลางในกรณีการเสียรูปขนาดใหญ่ เนื่องจากมันแปรผันตามการหมุนแบบแข็งเกร็งของวัสดุ จุดของวัสดุจะต้องถูกกำหนดลักษณะโดยพิกัดลากรางจ์เริ่มต้นของมัน${\displaystyle X_{i}}$ดังนั้นจึงจำเป็นต้องนำอัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์มาใช้${\displaystyle {\overset {\circ }{S}__{ij}}$หรือส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกัน${\displaystyle \Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}__{ij}\Delta t}$ความเที่ยงธรรมเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ${\displaystyle {\overset {\circ }{S}__{ij}}$เพื่อให้มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันกับการเปลี่ยนรูปขององค์ประกอบ นั่นหมายความว่า${\displaystyle {\overset {\circ }{S}__{ij}}$จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปลงพิกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหมุนของวัตถุแข็ง และจะต้องแสดงลักษณะสถานะขององค์ประกอบวัสดุเดียวกันในขณะที่มันเสียรูป

อัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์สามารถหาได้สองวิธี:

• โดยการแปลงพิกัดเทนเซอร์^{[ 5 ]}ซึ่งเป็นวิธีมาตรฐานในตำราไฟไนต์เอเลเมนต์^{[ 6 ]}
• แปรผันจากความหนาแน่นของพลังงานความเครียดในวัสดุที่แสดงในรูปของเทนเซอร์ความเครียด (ซึ่งเป็นวัตถุประสงค์ตามนิยาม) ^{[ 7 ] [ 8 ]}

ในขณะที่วิธีแรกให้ความรู้และข้อมูลเชิงลึกทางเรขาคณิตที่เป็นประโยชน์ วิธีหลังนั้นสั้นกว่าในทางคณิตศาสตร์และมีข้อได้เปรียบเพิ่มเติมคือรับประกันการอนุรักษ์พลังงาน โดยอัตโนมัติ กล่าวคือ รับประกันว่างานลำดับที่สองของเทนเซอร์การเพิ่มขึ้นของความเค้นต่อเทนเซอร์การเพิ่มขึ้นของความเครียดนั้นถูกต้อง (ข้อกำหนดการสมมูลของงาน)

ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นโคชีและความเค้นพีเคลำดับที่ 2 เรียกว่าการแปลงปิโอลาการแปลงนี้สามารถเขียนได้ในรูปของการดึงกลับของ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$หรือการผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {S}}}$เช่น $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~\phi ^{*}[{\boldsymbol {\sigma }}]~;~~{\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~\phi _{*}[{\boldsymbol {S}}]}$$

อัตราTruesdellของความเค้น Cauchy คือการแปลง Piola ของอนุพันธ์เวลา เชิงวัสดุ ของความเค้น PK อันดับที่ 2 ดังนั้นเราจึงกำหนด $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}=J^{-1}~\phi _{*}[{\dot {\boldสัญลักษณ์ {S}}}]}$$

เมื่อขยายความแล้ว หมายความว่า

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\dot {\boldsymbol {S}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}~{\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]}$$ โดยที่ความเครียดของ Kirchhoff${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$และอนุพันธ์ลีของความเค้นเคิร์ชฮอฟฟ์คือ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$$

สามารถลดรูปนิพจน์นี้ให้เหลือเป็นนิพจน์ที่รู้จักกันดีสำหรับอัตราทรูสเดลล์ของความเค้นโคชีได้

สามารถพิสูจน์ได้ว่าอัตรา Truesdell เป็นอัตราที่เป็นกลาง

อัตรา Truesdell ของความเค้น Kirchhoff สามารถหาได้โดยสังเกตว่า $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\phi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]~;~~{\boldsymbol {\tau }}=\phi _{*}[{\boldsymbol {S}}]}$$ และการกำหนด $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}=\phi _{*}[{\dot {\boldsymbol {S}}}]}$$ เมื่อขยายความแล้ว หมายความว่า $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\dot {\boldsymbol {S}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\tau }}]}$$ ดังนั้นอนุพันธ์ลีของ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$มีค่าเท่ากับอัตรา Truesdell ของความเค้น Kirchhoff

เมื่อใช้กระบวนการเดียวกันกับความเค้นโคชีข้างต้น เราสามารถแสดงได้ว่า

นี่เป็นรูปแบบพิเศษของอนุพันธ์ของ Lie (หรืออัตรา Truesdell ของความเค้น Cauchy) โปรดจำไว้ว่าอัตรา Truesdell ของความเค้น Cauchy กำหนดโดย $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left(J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$$ จาก ทฤษฎีบท การแยกส่วนเชิงขั้วเรามี $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$คือเทนเซอร์การหมุนเชิงตั้งฉาก (${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}}$) และ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$เป็นการยืดแบบสมมาตร บวกแน่นอน และขวา

ถ้าเราสมมติว่า${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$เราได้รับ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}}$นอกจากนี้ เนื่องจากไม่มีการยืดตัว${\displaystyle J=1}$และเรามี${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\sigma }}}$โปรดทราบว่านี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีการยืดตัวในร่างกายจริง ๆ การทำให้ง่ายขึ้นนี้เป็นเพียงเพื่อวัตถุประสงค์ในการกำหนดอัตราความเครียดที่เป็นกลางเท่านั้น ดังนั้น $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\sigma }}}={\boldsymbol {R}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {R}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ เราสามารถแสดงให้เห็นว่านิพจน์นี้สามารถลดรูปให้เป็นรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปของอัตรากรีน-นากห์ดีได้

อัตรา Green–Naghdi ของความเค้น Kirchhoff ก็มีรูปแบบเช่นกัน เนื่องจากไม่ได้พิจารณาการยืดตัว กล่าวคือ $${\displaystyle {\overset {\square }{\boldsymbol {\tau }}}={\dot {\boldsymbol {\tau }}}+{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}-{\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}}$$

อัตรา Zaremba-Jaumann ของความเค้น Cauchy เป็นการปรับใช้เพิ่มเติมของอนุพันธ์ Lie (อัตรา Truesdell) อัตรานี้มีรูปแบบดังนี้

อัตราความเค้นโคชีของซาเรมบา-เชามานน์ $${\displaystyle {\overset {\triangle }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$คือเทนเซอร์สปิน

อัตรา Zaremba-Jaumann ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณ โดยมีเหตุผลหลักสองประการ

1. การนำไปปฏิบัติค่อนข้างง่าย
2. ซึ่งนำไปสู่ค่าสัมประสิทธิ์สัมผัสแบบสมมาตร

โปรดจำไว้ว่าเทนเซอร์สปิน${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$(ส่วนเบี่ยงเบนของความชันความเร็ว) สามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}+{\frac {1}{2}}~{\boldsymbol {R}}\cdot ({\dot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\boldsymbol {U}}^{-1}-{\boldsymbol {U}}^{-1}\cdot {\dot {\boldsymbol {U}}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ ดังนั้นสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งบริสุทธิ์ $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {\Omega }}}$$ อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถพิจารณากรณีของการรับแรงแบบสัดส่วนเมื่อทิศทางหลักของความเครียดคงที่ ตัวอย่างของสถานการณ์นี้คือการรับแรงตามแนวแกนของแท่งทรงกระบอก ในสถานการณ์นั้น เนื่องจาก $${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\lambda _{X}\\&\lambda _{Y}\\&&\lambda _{Z}\end{bmatrix}}}$$ เรามี $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {U}}}={\begin{bmatrix}{\dot {\lambda }}_{X}\\&{\dot {\lambda }}_{Y}\\&&{\dot {\lambda }}_{Z}\end{bmatrix}}}$$ อีกด้วย, $${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{bmatrix}1/\lambda _{X}\\&1/\lambda _{Y}\\&&1/\lambda _{Z}\end{bmatrix}}}$$ ของความเค้นโคชี ดังนั้น $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\dot {\lambda }}_{X}/\lambda _{X}\\&{\dot {\lambda }}_{Y}/\lambda _{Y}\\&&{\dot {\lambda }}_{Z}/\lambda _{Z}\end{bmatrix}}=U^{-1}{\dot {U}}}$$ สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์อีกครั้งหนึ่ง $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {\Omega }}}$$ โดยทั่วไป ถ้าเราประมาณค่า $${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\approx {\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}}$$ อัตรากรีน-นากห์ดีกลายเป็นอัตราซาเรมบา-เชามานน์ของความเค้นโคชี $${\displaystyle {\overset {\triangle }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$

อัตราความเค้นเชิงวัตถุอาจมีได้หลากหลายนับไม่ถ้วน หนึ่งในนั้นคืออัตราความเค้นของโอลด์รอยด์$${\displaystyle {\overset {\triangledown }{\boldsymbol {\sigma }}}={\mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\sigma }}]={\boldsymbol {F}}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$$ ในรูปแบบที่ง่ายกว่า อัตราดอกเบี้ย Oldroyd กำหนดโดย $${\displaystyle {\overset {\triangledown }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}-{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

หากถือว่าการกำหนดค่าปัจจุบันเป็นการกำหนดค่าอ้างอิง การดำเนินการดึงกลับและผลักไปข้างหน้าสามารถทำได้โดยใช้${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}}$และ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}}$ตามลำดับ อนุพันธ์ของความเค้นโคชีแบบลีจึงเรียกว่าอัตราความเค้นการพาความร้อน$${\displaystyle {\overset {\diamond }{\boldsymbol {\sigma }}}={\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \left[{\cfrac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}}$$ ในรูปแบบที่ง่ายกว่า อัตราการพาความร้อนจะกำหนดโดย $${\displaystyle {\overset {\diamond }{\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {l}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {l}}^{T}}$$

วัสดุหลายชนิดเกิดการเสียรูปที่ไม่ยืดหยุ่นเนื่องจากความเป็นพลาสติกและความเสียหาย พฤติกรรมของวัสดุเหล่านี้ไม่สามารถอธิบายได้ในแง่ของศักยภาพ นอกจากนี้ มักจะไม่มีความทรงจำเกี่ยวกับสถานะเริ่มต้นก่อนการเปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเกี่ยวข้องกับการเสียรูปขนาดใหญ่ในกรณีเช่นนี้ ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างมักถูกกำหนดในรูปแบบเพิ่มขึ้นเพื่อทำให้การคำนวณความเค้นและการเสียรูปง่ายขึ้น

อัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์ที่สอดคล้องกับพลังงาน

พิจารณาองค์ประกอบวัสดุที่มีปริมาตรเริ่มต้นหนึ่งหน่วย โดยเริ่มต้นจากสถานะเริ่มต้นภายใต้ความเค้นโคชี (หรือความเค้นจริง) เริ่มต้น${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}}$และปล่อยให้${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ให้ เป็นความเค้นโคชีในโครงสร้างสุดท้าย ให้${\displaystyle W}$ให้งานที่ทำ (ต่อหน่วยปริมาตรเริ่มต้น) โดยแรงภายในระหว่างการเปลี่ยนรูปทีละน้อยจากสถานะเริ่มต้นนี้ จากนั้นการเปลี่ยนแปลง${\displaystyle \delta W}$สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของงานที่ทำอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนแปลงของการกระจัด${\displaystyle \delta \mathbf {u} }$การเปลี่ยนแปลงการกระจัดจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตของการกระจัด

อนุญาต${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{(m)}}$ให้เป็นเทนเซอร์ความเค้นเชิงวัตถุในสถานะเริ่มต้น กำหนดค่าการเพิ่มขึ้นของความเค้นโดยสัมพันธ์กับสถานะเริ่มต้นดังนี้${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}_{(m)}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}}$หรืออีกทางเลือกหนึ่ง หาก${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ความเค้น Piola–Kirchhoff แรกที่ไม่สมมาตรนั้นอ้างอิงถึงการกำหนดค่าเริ่มต้น โดยการเพิ่มขึ้นของความเค้นสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}}$.

ความหลากหลายของงานที่ทำ

จากนั้น ความแปรผันของงานที่ทำสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}={\boldsymbol {P}}:\delta \nabla \mathbf {u} }$$ โดยที่การวัดความเครียดแบบจำกัด${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{(m)}}$พลังงานเป็นคู่ควบกับการวัดความเครียด${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{(m)}}$ขยายออก $${\displaystyle \delta W=\left({\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\right):\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}=\left({\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\right):\delta \nabla \mathbf {u} \,.}$$ ความเที่ยงตรงของเทนเซอร์ความเครียด${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{(m)}}$ได้รับการรับรองโดยการแปลงเป็นเทนเซอร์อันดับสองภายใต้การหมุนพิกัด (ซึ่งทำให้ความเค้นหลักไม่ขึ้นอยู่กับการหมุนพิกัด) และโดยความถูกต้องของ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}}$ในรูปของการแสดงออกทางพลังงานอันดับสอง

จากความสมมาตรของความเค้นโคชี เราจะได้ว่า $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\delta \nabla \mathbf {u} ={\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\delta {\boldsymbol {e}}\,.}$$ สำหรับการเปลี่ยนแปลงความเครียดเล็กน้อย ให้ใช้การประมาณค่า $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}\approx {\boldsymbol {S}}:\delta \nabla \mathbf {u} }$$ และการขยายตัว $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}={\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]~,~~{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\delta {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]}$$ เราได้สมการ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]+{\boldsymbol {S}}:\delta \nabla \mathbf {u} ={\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}:\delta \nabla \mathbf {u} \right]+{\boldsymbol {T}}:\delta \nabla \mathbf {u} \,.}$$ โดยกำหนดเงื่อนไขการแปรผันว่าสมการที่ได้จะต้องใช้ได้กับความชันของความเครียดทุกระดับ${\displaystyle \delta \nabla \mathbf {u} }$เรามี^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {T}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}-{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}\right]}$$

1

เราสามารถเขียนสมการข้างต้นได้ดังนี้

$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{(m)}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:{\frac {\partial }{\partial \nabla \mathbf {u} }}\left[{\boldsymbol {E}}_{(m)}-{\boldsymbol {e}}\right]\,.}$$

2

อนุพันธ์เทียบกับเวลา

ความเค้นโคชีและความเค้นไพโอลา-เคิร์ชฮอฟฟ์แรกมีความสัมพันธ์กันโดย (ดูการวัดความเค้น ) $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}J^{-1}=({\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T})J^{-1}\,.}$$ สำหรับการเปลี่ยนแปลงรูปทรงทีละน้อยๆ $${\displaystyle J^{-1}\approx 1-\nabla \cdot \mathbf {u} \,.}$$ ดังนั้น, $${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\approx ({\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T})(1-\nabla \cdot \mathbf {u} )-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\,.}$$ การแทนที่${\displaystyle {\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {P}}}$, $${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\sigma }}\approx [{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+({\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0})\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}](1-\nabla \cdot \mathbf {u} )-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\,.}$$ สำหรับความเครียดที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อย${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$เมื่อเทียบกับความเค้นเริ่มต้น${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}}$ซึ่งข้างต้นจะลดรูปเหลือดังนี้

$${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\sigma }}\approx {\boldsymbol {T}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}\,.}$$

3

จากสมการ (1) และ (3) เราจะได้ว่า

$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\Delta {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}(\nabla \cdot \mathbf {u} )-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\cdot \nabla \mathbf {u} ^{T}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}-{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}\right]}$$

4

โปรดจำไว้ว่า${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$เป็นการเพิ่มขึ้นของการวัดเทนเซอร์ความเครียด${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{(m)}}$การกำหนดอัตราความเครียด $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=:{\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(m)}\Delta t}$$ และสังเกตว่า $${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\sigma }}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\Delta t}$$ เราสามารถเขียนสมการ (4) ได้ดังนี้

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(m)}\Delta t={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\Delta t+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}(\nabla \cdot \mathbf {v} )\Delta t-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\cdot \nabla \mathbf {v} ^{T}\Delta t-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}:\left[{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}_{(m)}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}-{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}}{\partial \nabla \mathbf {u} }}\right]}$$

5

การหาค่าลิมิตที่${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$และสังเกตว่า${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}}$ณ ขีดจำกัดนี้ จะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับอัตราความเค้นเชิงวัตถุประสงค์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดความเครียด${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{(m)}}$:

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(m)}={\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\boldsymbol {\sigma }}(\nabla \cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \mathbf {v} ^{T}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial }{\partial \nabla \mathbf {u} }}\left({\boldsymbol {E}}_{(m)}-{\boldsymbol {e}}\right)\right]\,.}$$

6

ที่นี่${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t}$= อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเค้นโคชี (กล่าวคือ อัตราในพิกัดลากรางจ์ของสถานะความเค้นเริ่มต้น)

อัตราความเครียดแบบควบคู่การทำงาน

อัตราที่ไม่มีเทนเซอร์ความเครียดจำกัดที่ถูกต้องตามกฎหมาย${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{(m)}}$ที่เกี่ยวข้องตามสมการ (6) นั้นไม่สอดคล้องกันทางพลังงาน กล่าวคือ การใช้งานนั้นขัดกับสมดุลพลังงาน (กล่าวคือกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกส์ )

การประเมินสมการ (6) สำหรับทั่วไป${\displaystyle m}$และสำหรับ${\displaystyle m=2}$ซึ่งทำให้ได้นิพจน์ทั่วไปสำหรับอัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(m)}={\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(2)}+{\tfrac {1}{2}}(2-m)[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\dot {\boldsymbol {e}}}+({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\dot {\boldsymbol {e}}})^{T}]}$$

7

ที่ไหน${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(2)}}$คืออัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์ที่เกี่ยวข้องกับความเครียดแบบกรีน-ลากรางจ์ (${\displaystyle m=2}$)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

• ${\displaystyle m=2}$ให้ค่าอัตราความเครียดของ Truesdell
• ${\displaystyle m=0}$ให้ค่าอัตราความเค้น Kirchhoff ของ Zaremba-Jaumann
• ${\displaystyle m=1}$ให้ค่าอัตราความเครียดของไบโอต์

(โปรดทราบว่า m = 2 จะนำไปสู่สูตรของ Engesserสำหรับภาระวิกฤตในการโก่งตัวเนื่องจากแรงเฉือน ในขณะที่ m = -2 จะนำไปสู่สูตรของ Haringxซึ่งอาจทำให้ภาระวิกฤตแตกต่างกันมากกว่า 100%)

อัตราความเค้นที่ไม่สัมพันธ์กับงาน

อัตราอื่นๆ ที่ใช้ในรหัสเชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่ ซึ่งไม่สอดคล้องกับเทนเซอร์ความเครียดจำกัดใดๆ ได้แก่: ^{[ 8 ]}

• อัตราความเค้นโคชีแบบซาเรมบา-เชามานน์ หรือแบบโคโรเทชันัล : แตกต่างจากอัตราความเค้นเคิร์ชฮอฟฟ์แบบซาเรมบา-เชามานน์ตรงที่ไม่ได้พิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรสัมพัทธ์ของวัสดุ การขาดความสัมพันธ์เชิงงานมักไม่ใช่ปัญหาใหญ่ เนื่องจากค่าดังกล่าวมีขนาดเล็กมากจนสามารถละเลยได้สำหรับวัสดุหลายชนิด และเป็นศูนย์สำหรับวัสดุที่ไม่สามารถบีอัดได้ (แต่ในการทดสอบการกดแผ่นแซนด์วิชที่มีแกนโฟม อัตรานี้อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากกว่า 30% ในแรงกด)
• อัตราCotter–Rivlinสอดคล้องกับ${\displaystyle m=-2}$แต่ก็ยังขาดคำศัพท์เกี่ยวกับปริมาตรอยู่ดี
• อัตราGreen–Naghdi : อัตราความเค้นเชิงวัตถุประสงค์นี้ไม่สอดคล้องกับเทนเซอร์ความเครียดจำกัดใดๆ ไม่เพียงเพราะขาดเทอมปริมาตร แต่ยังเพราะความเร็วการหมุนของวัสดุไม่เท่ากับเทนเซอร์การหมุน อย่างแม่นยำ ในการใช้งานส่วนใหญ่ ข้อผิดพลาดในการคำนวณพลังงานที่เกิดจากความแตกต่างเหล่านี้ถือว่าเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม ต้องชี้ให้เห็นว่ามีการแสดงให้เห็นข้อผิดพลาดของพลังงานขนาดใหญ่แล้วสำหรับกรณีที่มีความเครียดเฉือนและการหมุนเกินประมาณ 0.25 ^{[ 9 ]}
• อัตราOldroyd​

อัตราวัตถุประสงค์และอนุพันธ์ของ Lie

อัตราความเครียดตามวัตถุประสงค์อาจถือได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของ Lie ของเทนเซอร์ความเครียดประเภทต่างๆ (เช่น ส่วนประกอบโคแวเรียนต์ คอนทราแวเรียนต์ และส่วนประกอบผสมที่เกี่ยวข้องของความเครียด Cauchy) และการรวมเชิงเส้นของพวกมัน^{[ 10 ]}อนุพันธ์ของ Lie ไม่รวมแนวคิดของงาน-การผันแปร

ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดในแนวสัมผัสโดยทั่วไปมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle {\dot {S}}_{ij}^{(m)}=C_{ijkl}^{(m)}{\dot {e}}_{kl}}$$

6

ที่ไหน${\displaystyle C_{ijkl}^{(m)}}$คือโมดูลัสสัมผัส (ส่วนประกอบของเทนเซอร์ลำดับที่ 4) ที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์ความเครียด${\displaystyle \epsilon _{ij}^{(m)}}$พวกมันแตกต่างกันไปตามตัวเลือกที่แตกต่างกัน${\displaystyle m}$และมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

$${\displaystyle \left[C_{ijkl}^{(m)}-C_{ijkl}^{(2)}-{\tfrac {1}{4}}(2-m)(S_{ik}\delta _{jl}+S_{jk}\delta _{il}+S_{il}\delta _{jk}+S_{jl}\delta _{ik})\right]v_{k,l}=0}$$

7

จากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการ (7) จะต้องเป็นจริงสำหรับความชันความเร็วใดๆ${\displaystyle v_{k,l}}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle C_{ijkl}^{(m)}=C_{ijkl}^{(2)}+(2-m)[S_{ik}\delta _{jl}]_{\mathrm {sym} },~~[S_{ik}\delta _{jl}]_{\mathrm {sym} }={\tfrac {1}{4}}(S_{ik}\delta _{jl}+S_{jk}\delta _{il}+S_{il}\delta _{jk}+S_{jl}\delta _{ik})}$$

8

ที่ไหน${\displaystyle C_{ijkl}^{(2)}}$คือโมดูลัสสัมผัสที่เกี่ยวข้องกับความเครียดแบบกรีน-ลากรางจ์ (${\displaystyle m=2}$(โดยนำมาเป็นข้อมูลอ้างอิง)${\displaystyle S_{ij}}$= ความเครียดโคชีปัจจุบัน และ${\displaystyle \delta _{ij}}$= เดลต้าโครเนกเกอร์ (หรือหน่วยเทนเซอร์)

สมการ (8) สามารถใช้แปลงอัตราความเครียดเป้าหมายหนึ่งไปเป็นอีกอัตราหนึ่งได้ เนื่องจาก${\displaystyle S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}}$การแปลง^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle C_{ijkl}^{\mathrm {conj} }=C_{ijkl}^{\mathrm {nonconj} }+S_{ij}\delta _{kl}}$$

9

สามารถแก้ไขเพิ่มเติมสำหรับการขาดหายไปของคำนั้นได้${\displaystyle S_{ij}v_{k,k}}$(โปรดทราบว่าคำศัพท์)${\displaystyle S_{ij}\delta _{km}}$ไม่อนุญาตให้สลับตัวห้อย${\displaystyle ij}$กับ${\displaystyle kl}$ซึ่งหมายความว่าการขาดหายไปของมันจะทำลายสมมาตรหลักของเทนเซอร์โมดูลัสสัมผัส${\displaystyle C_{ijkl}^{\mathrm {nonconj} }}$)

ความเครียดขนาดใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อพฤติกรรมของวัสดุไม่เป็นเชิงเส้น เนื่องมาจากความเป็นพลาสติกหรือความเสียหาย ดังนั้นสาเหตุหลักของการพึ่งพาความเค้นของโมดูลัสสัมผัสคือพฤติกรรมทางกายภาพของวัสดุ สมการ (8) หมายความว่าการพึ่งพาที่ไม่เป็นเชิงเส้นของ${\displaystyle C_{ijkl}}$ความเครียดที่เกิดขึ้นจะต้องแตกต่างกันไปตามอัตราความเครียดเชิงวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ไม่มีอัตราความเครียดใดที่เหนือกว่าโดยพื้นฐาน เว้นแต่จะมีอัตราความเครียดเพียงอัตราเดียว${\displaystyle m}$ซึ่งสามารถถือว่าค่าสัมบูรณ์คงที่ได้

• เทนเซอร์ความเค้นของคอชี
• การวัดระดับความเครียด
• หลักการของความเป็นวัตถุวิสัย
• วัสดุไฮโปอีลาสติก
• ทฤษฎีความเครียดจำกัด
• ทฤษฎีความเครียดเล็กน้อย