ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันโมโนโทนิก (หรือฟังก์ชันโมโนโทน ) คือฟังก์ชันระหว่างเซตที่มีลำดับซึ่งรักษาหรือกลับลำดับที่กำหนด^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แนวคิดนี้เกิดขึ้นครั้งแรกในแคลคูลัสและต่อมาได้รับการขยายไปสู่บริบทที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของทฤษฎีลำดับ

ในแคลคูลัสฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยของจำนวนจริงที่มีค่าเป็นจำนวนจริงเรียกว่า ฟังก์ชันโมโนโทนิกหากฟังก์ชันนั้นไม่ลดลงเลย หรือไม่เพิ่มขึ้นเลย^{[ 2 ]}กล่าวคือ ตามรูปที่ 1 ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิกไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นอย่างเดียว แต่ต้องไม่ลดลง

ฟังก์ชันเรียกว่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (หรือเพิ่มขึ้นหรือไม่ลดลง ) ^{[ 3 ]}ถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$โดยที่${\displaystyle x\leq y}$หนึ่งมี ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$, ดังนั้น${\displaystyle f}$รักษาลำดับ (ดูรูปที่ 1) ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันเรียกว่าลดลงอย่างต่อเนื่อง (หรือลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น ) ^{[ 3 ]}ถ้าเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle x\leq y}$, แล้ว${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$ดังนั้นจึงเป็นการสลับลำดับ (ดูรูปที่ 2)

หากคำสั่งซื้อ${\displaystyle \leq }$ในนิยามของความเป็นเอกรูปนั้น ถูกแทนที่ด้วยลำดับที่เข้มงวด${\displaystyle <}$เมื่อเพิ่มฟังก์ชันที่มีเงื่อนไขที่เข้มงวดมากขึ้น ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด (หรือฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ) ^{[ 3 ] [ 4 ]}อีกครั้ง เมื่อกลับสัญลักษณ์ลำดับ จะได้แนวคิดที่สอดคล้องกันเรียกว่าฟังก์ชันลดลงอย่างเคร่งครัด (หรือฟังก์ชันลดลง ) ^{[ 3 ] [ 4 ]}ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติใดคุณสมบัติหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันโมโนโทนอย่างเคร่งครัดฟังก์ชันที่เป็นโมโนโทนอย่างเคร่งครัดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (เพราะสำหรับ${\displaystyle x}$ไม่เท่ากับ${\displaystyle y}$, ทั้ง${\displaystyle x<y}$หรือ${\displaystyle x>y}$และด้วยเหตุนี้ โดยอาศัยคุณสมบัติความเป็นเอกรูป จึงอาจเป็นไปได้ว่า${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$หรือ${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$, ดังนั้น${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$.

เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม คำว่า"โมโนโทนอ่อน" " เพิ่มขึ้นอ่อน"และ"ลดลงอ่อน"มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงความเป็นโมโนโทนที่ไม่เข้มงวด

คำว่า "ไม่ลดลง" และ "ไม่เพิ่มขึ้น" ไม่ควรสับสนกับคำคุณศัพท์เชิงลบ (ที่อ่อนกว่ามาก) อย่าง "ไม่ลดลง" และ "ไม่เพิ่มขึ้น" ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามลำดับที่แสดงในรูปที่ 3 ลดลงก่อน จากนั้นเพิ่มขึ้น แล้วลดลงอีกครั้ง ดังนั้นจึงไม่ลดลงและไม่เพิ่มขึ้น แต่ก็ไม่ลดลงและไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$กล่าวกันว่ามีความเป็นเอกรูปอย่างสมบูรณ์ในช่วงเวลาหนึ่ง${\displaystyle \left(a,b\right)}$ถ้าอนุพันธ์ทุกอันดับของ${\displaystyle f}$มีค่าไม่เป็นลบหรือมีค่าไม่เป็นบวก ทั้งหมด ณ ทุกจุดบนช่วงดังกล่าว

แอปพลิเคชันพื้นฐานและผลลัพธ์บางส่วน

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันโมโนโทนิก${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$:

• ${\displaystyle f}$มีขอบเขตจากด้านขวาและด้านซ้ายในทุกจุดของขอบเขตนั้น
• ${\displaystyle f}$มีขีดจำกัดที่ค่าอนันต์บวกหรือลบ (${\displaystyle \pm \infty }$) ของจำนวนจริงใดจำนวนหนึ่ง${\displaystyle \infty }$, หรือ${\displaystyle -\infty }$.
• ${\displaystyle f}$สามารถมีได้เฉพาะการกระโดดและความไม่ต่อเนื่องที่สามารถแก้ไขได้เท่านั้น
• ${\displaystyle f}$สามารถมีจุดไม่ต่อเนื่องได้ เพียง จำนวนนับ ได้ ในโดเมนของมัน อย่างไรก็ตาม จุดไม่ต่อเนื่องเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องประกอบด้วยจุดที่แยกเดี่ยว และอาจหนาแน่นในช่วง ( a , b ) ก็ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับที่สามารถหาผลรวมได้ ใดๆ$(AI})$ของจำนวนบวกและการนับใดๆ${\displaystyle (q_{i})}$ของจำนวนตรรกยะฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง$${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$มีค่าต่อเนื่องที่จำนวนอตรรกยะทุกจำนวน (ดูภาพประกอบ) มันคือฟังก์ชันการกระจายสะสมของการวัดแบบไม่ ต่อเนื่อง บนจำนวนตรรกยะ โดยที่${\displaystyle a_{i}}$น้ำหนักของ${\displaystyle q_{i}}$.
• ถ้า${\displaystyle f}$สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$และ${\displaystyle f'(x^{*})>0}$ดังนั้นจึงมีช่วงเวลาI ที่ไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว${\displaystyle x^{*}\in I}$และ${\displaystyle f}$กำลังเพิ่มขึ้นบนI .
• ในทางกลับกันบางส่วน ถ้าหาก${\displaystyle f}$สามารถหาอนุพันธ์ได้และเป็นค่าเพิ่มขึ้นในช่วงหนึ่ง${\displaystyle I}$ดังนั้นอนุพันธ์ของมันจะมีค่าไม่เป็นลบที่ทุกจุดใน${\displaystyle I}$นอกจากนี้ ชุดดังกล่าว${\displaystyle A=\{x\in I:f'(x)>0\}}$มีความหนาแน่นสูงและมีมาตรวัดเลเบสบวก คง ไม่มีอะไรจะกล่าวเพิ่มเติมไปมากกว่านี้แล้ว${\displaystyle A}$ตัวอย่างเช่น${\displaystyle A}$อาจน้อยนิดดังเช่นในกรณีของอนุพันธ์ปอมเปอีและสำหรับค่าคงที่${\displaystyle I}$การวัดแบบเลเบสก์ของ${\displaystyle A}$สามารถทำให้ใกล้เคียงกับค่าที่กำหนดได้${\displaystyle 0}$โดยการเลือกที่เหมาะสม${\displaystyle f}$.

คุณสมบัติเหล่านี้เป็นเหตุผลที่ทำให้ฟังก์ชันโมโนโทนิกมีประโยชน์ในงานวิเคราะห์ ทางเทคนิค คุณสมบัติสำคัญอื่นๆ ของฟังก์ชันเหล่านี้ ได้แก่:

• ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกที่กำหนดบนช่วง${\displaystyle I}$, แล้ว${\displaystyle f}$สามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่บน${\displaystyle I}$กล่าวคือ เซตของตัวเลข${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle I}$โดยที่${\displaystyle f}$ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ใน${\displaystyle x}$มีมาตรวัดเลเบส เป็นศูนย์ นอกจากนี้ ผลลัพธ์นี้ไม่สามารถปรับปรุงให้เป็นจำนวนนับได้: ดูฟังก์ชันแคนเตอร์
• ถ้าเซตนี้เป็นเซตที่นับได้แล้ว${\displaystyle f}$ต่อเนื่องอย่างแน่นอน
• ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกที่กำหนดบนช่วง${\displaystyle \left[a,b\right]}$, แล้ว${\displaystyle f}$สามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันโมโนโทนิกที่สำคัญอย่างหนึ่งคือในทฤษฎีความน่าจะเป็นถ้า${\displaystyle X}$เป็นตัวแปรสุ่มฟังก์ชันการกระจายสะสมของมัน${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชัน แบบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว ( unimodal function) หากฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องจนถึงจุดหนึ่ง ( จุดสูงสุด ) แล้วจึงลดลงอย่างต่อเนื่อง

เมื่อไร${\displaystyle f}$ถ้าเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด แล้ว${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในโดเมนของมัน และถ้า${\displaystyle T}$คือช่วงของ${\displaystyle f}$จากนั้นจะมีฟังก์ชันผกผันบน${\displaystyle T}$สำหรับ${\displaystyle f}$ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันคงที่แต่ละฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก แต่ไม่ใช่แบบอินเจกทีฟ^{[ ​​7 ]}และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน

กราฟแสดงฟังก์ชันโมโนโทนิกหกฟังก์ชัน รูปแบบที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันเหล่านี้แสดงอยู่ในพื้นที่กราฟ และนิพจน์ที่ใช้ในการสร้างฟังก์ชันเหล่านี้แสดงอยู่บนแกนy

แผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$กล่าวได้ว่าเป็นแบบโมโนโทน หาก เส้นใยแต่ละเส้นเชื่อมต่อกันนั่นคือ สำหรับแต่ละองค์ประกอบ${\displaystyle y\in Y,}$เซต (ซึ่งอาจว่างเปล่า)${\displaystyle f^{-1}(y)}$เป็นปริภูมิย่อย ที่เชื่อมต่อกัน ของ${\displaystyle X.}$

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$ตัวดำเนินการ (ซึ่งอาจไม่ใช่เชิงเส้น)${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$กล่าวกันว่าเป็นตัวดำเนินการเสียงเดียวถ้า

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$ทฤษฎีบทของคาชูรอฟสกีแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันนูนบนปริภูมิบานาคมีตัวดำเนินการโมโนโทนิกเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

เซตย่อย${\displaystyle G}$ของ${\displaystyle X\times X^{*}}$กล่าวกันว่าเป็นชุดสีเดียวหากสำหรับทุกคู่${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$และ${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$ใน${\displaystyle G}$,

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$${\displaystyle G}$เรียกว่าเซตโมโนโทนสูงสุด (maximal monotone)ถ้าเป็นเซตโมโนโทนสูงสุดในแง่ของการรวมเซต กราฟของตัวดำเนินการโมโนโทน${\displaystyle G(T)}$เป็นเซตโมโนโทน ตัวดำเนินการโมโนโทนจะเรียกว่าเป็นโมโนโทนสูงสุด ก็ ต่อเมื่อกราฟของมันเป็นเซตโมโนโทนสูงสุด

ทฤษฎีลำดับเกี่ยวข้องกับเซตที่มีลำดับบางส่วนและเซตที่มีลำดับก่อนหน้าโดยพลการ ซึ่งเป็นการขยายความของจำนวนจริง นิยามของความเป็นเอกภาคข้างต้นมีความเกี่ยวข้องในกรณีเหล่านี้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม คำว่า "เพิ่มขึ้น" และ "ลดลง" จะถูกหลีกเลี่ยง เนื่องจากภาพแทนแบบดั้งเดิมของคำเหล่านี้ใช้ไม่ได้กับลำดับที่ไม่ใช่ลำดับสมบูรณ์นอกจากนี้ความสัมพันธ์ที่เข้มงวด${\displaystyle <}$และ${\displaystyle >}$มีประโยชน์น้อยในคำสั่งซื้อที่ไม่ครบถ้วนหลายประเภท ดังนั้นจึงไม่มีการนำคำศัพท์เพิ่มเติมมาใช้สำหรับคำสั่งซื้อเหล่านั้น

ให้เช่า${\displaystyle \leq }$แสดงถึงความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนของเซตที่มีลำดับบางส่วนใดๆ ซึ่ง เป็นฟังก์ชัน เอกภาคหรือเรียกว่าไอโซโทนหรือรักษาความเป็นระเบียบเรียบร้อย ตรงตามคุณสมบัติ

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

สำหรับทุกค่าxและyในโดเมนของมัน ฟังก์ชันประกอบของฟังก์ชันโมโนโทนสองฟังก์ชันก็จะเป็นฟังก์ชันโมโนโทนเช่นกัน

แนวคิดคู่ขนานมักเรียกว่าแอนติโทนแอนติโมโนโทนหรือการกลับลำดับดังนั้น ฟังก์ชันแอนติโทนf จึง มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

สำหรับทุกค่าxและyในโดเมนของมัน

ฟังก์ชันคงที่นั้นเป็นทั้งฟังก์ชันเอกโทนและฟังก์ชันปฏิโทน ในทางกลับกัน ถ้าfเป็นทั้งฟังก์ชันเอกโทนและฟังก์ชันปฏิโทน และถ้าโดเมนของfเป็นแลตทิซแล้วfจะต้องเป็นฟังก์ชันคงที่

ฟังก์ชันโมโนโทนเป็นหัวใจสำคัญในทฤษฎีลำดับ ฟังก์ชันเหล่านี้ปรากฏอยู่ในบทความส่วนใหญ่เกี่ยวกับเรื่องนี้ และตัวอย่างจากการประยุกต์ใช้งานเฉพาะด้านก็พบได้ในที่เหล่านั้น ฟังก์ชันโมโนโทนพิเศษที่น่าสนใจบางอย่าง ได้แก่การฝังลำดับ (ฟังก์ชันสำหรับ ซึ่ง${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$และไอโซมอร์ฟิซึมลำดับ ( การฝังลำดับ แบบทั่วถึง )

ในบริบทของอัลกอริธึมการค้นหาความเป็นเอกรูป (หรือเรียกว่าความสอดคล้อง) เป็นเงื่อนไขที่ใช้กับฟังก์ชันฮิวริสติกฮิวริสติ ก${\displaystyle h(n)}$จะเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกโหนดnและทุกโหนดถัดไปn'ของnที่สร้างขึ้นโดยการกระทำใดๆaต้นทุนโดยประมาณของการไปถึงเป้าหมายจากnจะไม่เกินต้นทุนของขั้นตอนในการไปถึงn'บวกกับต้นทุนโดยประมาณของการไปถึงเป้าหมายจากn '

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของอสมการสามเหลี่ยมโดยมีn , n'และเป้าหมายG ที่อยู่ใกล้n ที่สุด เนื่องจากฮิวริสติกแบบโมโนโทนิกทุกตัวยังยอมรับได้ ด้วย ดังนั้น ความเป็นโมโนโทนิกจึงเป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าการยอมรับได้ อัลก อริทึมฮิวริสติก บางตัว เช่นA*สามารถพิสูจน์ได้ว่าเหมาะสมที่สุดหากฮิวริสติกที่ใช้เป็นแบบโมโนโทนิก^{[ 8 ]}

ในพีชคณิตบูลีนฟังก์ชันโมโนโทนิกคือฟังก์ชันที่สำหรับทุกค่าa และb ใน{0,1}ถ้าa ≤ b , a ≤ b , ..., a ≤ b (กล่าวคือ ผลคูณคาร์ทีเซียน{0, 1} ⁿเรียงลำดับตามพิกัด ) แล้วf( a , ..., a ) ≤ f( b , ..., b )กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันบูลีนเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกการรวมกันของอินพุต การเปลี่ยนอินพุตตัวใดตัวหนึ่งจากเท็จเป็นจริง จะทำให้เอาต์พุตเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริงเท่านั้น ไม่ใช่จากจริงเป็นเท็จ ในทางกราฟิก หมายความว่า ฟังก์ชันบูลี น n -ary เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกเมื่อการแสดงฟังก์ชันนั้นในรูปของ ลูกบาศก์ nมิติที่กำกับด้วยค่าความจริง ไม่มีขอบขึ้นจากจริงไปเป็นเท็จ ( แผนภาพ Hasseที่มีป้ายกำกับนี้เป็นแผนภาพคู่ขนาน ของ แผนภาพ Vennที่มีป้ายกำกับของฟังก์ชันซึ่งเป็นการแสดงผลที่พบได้บ่อยกว่าสำหรับn ≤ 3 )

ฟังก์ชันบูลีนแบบโมโนโทนิก คือฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้ด้วยนิพจน์ที่รวมอินพุต (ซึ่งอาจปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง) โดยใช้เฉพาะตัวดำเนินการandและor เท่านั้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งห้าม ใช้ not ) ตัวอย่างเช่น "อย่างน้อยสองในa , b , cเป็นจริง" ( ฟังก์ชันเสียงข้างมากแบบไตร ภาค ) เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกของa , b , cเนื่องจากสามารถเขียนได้ เช่น (( aและb ) หรือ ( aและc ) หรือ ( bและc ))

จำนวนฟังก์ชันดังกล่าวที่มีตัวแปรnตัว เรียกว่าจำนวนเดเดคินด์ของn

การแก้ปัญหา SATซึ่งโดยทั่วไปเป็น งาน NP-hardสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพเมื่อฟังก์ชันและตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเป็นแบบโมโนโทนิกและบูลีน^{[ 9 ]}

• การแทรกสอดลูกบาศก์แบบโมโนโทน
• ตัวดำเนินการแบบเสมือนโมโนโทน
• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมน - การวัดความเป็นเอกรูปในชุดข้อมูล
• ความโมโนโทนทั้งหมด
• ความสม่ำเสมอแบบวัฏจักร
• ฟังก์ชันโมโนโทนของตัวดำเนินการ
• ฟังก์ชันการตั้งค่าแบบโมโนโทน
• ฟังก์ชันและลำดับโมโนโทนิกโดยสมบูรณ์และแน่นอน

• บาร์เทิล, โรเบิร์ต จี. (1976). องค์ประกอบของการวิเคราะห์เชิงจริง (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง)
• Grätzer, George (1971). ทฤษฎีแลตติส: แนวคิดเบื้องต้นและแลตติสแบบกระจาย . WH Freeman. ISBN 0-7167-0442-0.
• เพมเบอร์ตัน, มัลคอล์ม; ราว, นิโคลัส (2001). คณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์: ตำราเบื้องต้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์. ISBN 0-7190-3341-1.
• เรนาร์ดี, ไมเคิล และ โรเจอร์ส, โรเบิร์ต ซี. (2004). บทนำเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย . ตำราคณิตศาสตร์ประยุกต์ 13 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก. หน้า 356. ISBN 0-387-00444-0.
• รีสซ์, ฟริเกซ และเบลา ซโซเคฟัลวี-นากี (1990) การวิเคราะห์เชิงหน้าที่ สิ่งพิมพ์ Courier Dover ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). ปัญญาประดิษฐ์: แนวทางสมัยใหม่ (  ฉบับที่ 3). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• ไซมอน, คาร์ล พี.; บลูม, ลอว์เรนซ์ (เมษายน 1994). คณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์ (  ฉบับพิมพ์ครั้งแรก). นอร์ตัน. ISBN 978-0-393-95733-4.(นิยาม 9.31)

• "ฟังก์ชันโมโนโทน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press, 2001 [1994]
• การลู่เข้าของลำดับโมโนโทนิกโดย Anik Debnath และ Thomas Roxlo (โรงเรียนฮาร์เกอร์) โครงการสาธิต Wolfram
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันโมโนโทนิก" . แมธเวิลด์ .