ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมโดยคร่าวๆ คือการบวกพจน์จำนวนอนันต์ต่อกัน^{[ 1 ]}การศึกษาอนุกรมเป็นส่วนสำคัญของแคลคูลัสและการวางนัยทั่วไปของแคลคูลัส นั่น คือ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อนุกรมถูกนำไปใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ แม้กระทั่งสำหรับการศึกษาโครงสร้างจำกัดในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงผ่านฟังก์ชันก่อกำเนิด คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของอนุกรมอนันต์ทำให้สามารถนำ ไป ประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณอื่นๆ เช่นฟิสิกส์วิทยาการคอมพิวเตอร์สถิติและการเงิน

ในหมู่ชาวกรีกโบราณแนวคิดที่ว่าผลรวมอนันต์ที่อาจเกิดขึ้นได้นั้น สามารถให้ผลลัพธ์ที่จำกัดได้นั้นถือเป็นความขัดแย้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปริศนาของซีโน [ ^{2 ] [ 3 ] อย่างไรก็ตาม}อนุกรมอนันต์ถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ รวมถึงอาร์คิมิดีสตัวอย่างเช่น ในการหาพื้นที่ของพาราโบลา^{[ 4 ] [ 5 ]} ด้านคณิตศาสตร์ของปริศนาของซี โนได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดของลิมิตในช่วงศตวรรษที่ 17 โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านแคลคูลัสยุคแรกของไอแซค นิวตัน^{[ 6 ] การแก้ปัญหานี้มีความเข้มงวดมากขึ้นและ ได้}รับการปรับปรุงเพิ่มเติมในศตวรรษที่ 19 ผ่านผลงานของCarl Friedrich GaussและAugustin-Louis Cauchy [ ^{7 ]}และคนอื่นๆ ซึ่งตอบคำถามเกี่ยวกับผลรวมเหล่านี้ที่มีอยู่ผ่านความสมบูรณ์ของจำนวนจริงและว่าพจน์อนุกรมสามารถจัดเรียงใหม่ได้หรือไม่โดยไม่เปลี่ยนแปลงผลรวมโดยใช้การลู่เข้าสัมบูรณ์และการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขของอนุกรม

ในศัพท์สมัยใหม่ลำดับอนันต์ ของพจน์ที่เรียงลำดับ ไม่ว่าพจน์เหล่านั้นจะเป็นตัวเลขฟังก์ชันเมทริกซ์หรือสิ่งอื่นใดที่สามารถบวกกันได้ จะเรียกว่าอนุกรม ซึ่งก็คือการบวกพจน์ ต่อกัน เพื่อเน้นว่ามีพจน์ จำนวนอนันต์อนุกรมจึงมักเรียกว่าอนุกรมอนันต์เพื่อเปรียบเทียบกับอนุกรม จำกัด ซึ่งเป็นคำที่บางครั้งใช้สำหรับผลรวมจำกัดอนุกรมแสดงด้วยนิพจน์เช่น หรือใช้สัญกรณ์ผลรวมซิกมาตัวใหญ่^{[ 8 ]}${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

ลำดับการบวกอนันต์ที่แสดงโดยอนุกรมไม่สามารถดำเนินการตามลำดับได้อย่างชัดเจนภายในระยะเวลาที่จำกัด อย่างไรก็ตาม หากพจน์และผลรวมจำกัดของพจน์เหล่านั้นอยู่ในเซตที่มีลิมิตอาจเป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าให้กับอนุกรม ซึ่งเรียกว่าผลรวมของอนุกรมค่านี้คือลิมิตเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เข้าใกล้อนันต์ของผลรวมจำกัดของพจน์ แรกของ อนุกรม${\displaystyle n}$หากลิมิตมีอยู่^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}ผลรวมจำกัดเหล่านี้เรียกว่าผลรวมย่อยของอนุกรม ใช้สัญลักษณ์ผลรวม ถ้ามีอยู่ ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}เมื่อลิมิตมีอยู่ อนุกรมจะลู่เข้าหรือสามารถหาผลรวมได้และลำดับก็จะรวมได้เช่นกัน ในทางกลับกัน เมื่อลิมิตไม่มีอยู่ อนุกรมจะลู่ออก ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

นิพจน์นี้แสดงถึงทั้งอนุกรม—กระบวนการโดยนัยของการบวกพจน์ทีละพจน์ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด—และหากอนุกรมลู่เข้า ก็จะแสดงถึงผลรวมของอนุกรม—ลิมิตที่ชัดเจนของกระบวนการนี้ นี่เป็นการขยายความของธรรมเนียมที่คล้ายกันในการใช้สัญลักษณ์แทนทั้ง การบวก —กระบวนการของการบวก—และผลลัพธ์—ผลรวมของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

โดยทั่วไป พจน์ของอนุกรมจะมาจากริงซึ่งมักจะเป็นฟิลด์ ของจำนวนจริงหรือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนถ้าเป็นเช่นนั้น เซตของอนุกรมทั้งหมดก็จะเป็นริงเช่นกัน ซึ่งการบวกจะประกอบด้วยการบวกพจน์ของอนุกรมเข้าด้วยกันทีละพจน์ และการคูณจะเป็นผลคูณของโคชี^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

อนุกรมหรืออนุกรมอนันต์คือผลรวมอนันต์ มักจะแสดงเป็น^{[ 8 ] [ 15 ] [ 16 ]} โดยที่พจน์ต่างๆเป็นสมาชิกของลำดับของ ตัวเลขฟังก์ชันหรือสิ่งอื่นๆ ที่สามารถบวกกันได้อนุกรมอาจแสดงด้วยสัญลักษณ์ซิกมาตัวใหญ่ได้ เช่นกัน : ^{[ 8 ] [ 16 ]}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{หรือ}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$${\displaystyle a_{k}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{หรือ}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

นอกจากนี้ ยังเป็นเรื่องปกติที่จะแสดงอนุกรมโดยใช้พจน์แรกไม่กี่พจน์ เครื่องหมายจุดไข่ปลา พจน์ทั่วไป และเครื่องหมายจุดไข่ปลาสุดท้าย โดยพจน์ทั่วไปเป็นการแสดงออกของ พจน์ที่ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เป็นฟังก์ชันของ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ : ตัวอย่างเช่นจำนวนของออยเลอร์สามารถกำหนดได้ด้วยอนุกรม โดยที่แทนผลคูณของจำนวนเต็มบวกแรกและโดยทั่วไปจะเท่ากับ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ หรือ }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0!}$${\displaystyle 1.}$

เมื่อกำหนดอนุกรมผลรวมย่อยลำดับที่⁠ ⁠คือ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

ผู้เขียนบางคนระบุอนุกรมโดยตรงกับลำดับของผลรวมย่อย^{[ 9 ] [ 11 ]}ลำดับของผลรวมย่อยหรือลำดับของพจน์สามารถระบุลักษณะของอนุกรมได้อย่างสมบูรณ์ และลำดับของพจน์สามารถกู้คืนได้จากลำดับของผลรวมย่อยโดยการหาผลต่างระหว่างองค์ประกอบที่ต่อเนื่องกัน $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

การหาผลรวมย่อยของลำดับเป็นตัวอย่างหนึ่งของการแปลงลำดับ เชิงเส้น และ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เรียกอีกอย่างว่าผล รวมนำหน้า การแปลงผกผันสำหรับการกู้คืนลำดับจากผลรวมย่อยคือผลต่างจำกัดซึ่งเป็นการแปลงลำดับเชิงเส้นอีกแบบหนึ่ง

ผลรวมย่อยของอนุกรมบางครั้งมีรูป แบบ ปิดที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่นอนุกรมเลขคณิตมีผลรวมย่อย และอนุกรมเรขาคณิตมีผลรวมย่อย^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} ถ้า⁠ ⁠หรือเพียงแค่⁠ ⁠ถ้า⁠ ⁠$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},}$$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$$${\displaystyle r\neq 1}$${\displaystyle s_{n}=a(n+1)}$${\displaystyle r=1}$

ตามหลักแล้ว อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้าหรือลู่เข้าได้เมื่อลำดับของผลรวมย่อยมี ลิมิต เมื่อ ลิมิตของลำดับของผลรวมย่อยไม่มีอยู่ อนุกรมจะลู่ออกหรือลู่เข้าไม่ได้^{[ 23 ]}เมื่อลิมิตของผลรวมย่อยมีอยู่ จะเรียกว่าผลรวมของอนุกรมหรือค่าของอนุกรม^{[ 9 ] [ 10 ] [} 11 ^{] [ 16 ]} อนุกรมที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดจะลู่เข้าเสมอ อนุกรมดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับการพิจารณาผลรวมจำกัดโดยไม่ต้องคำนึงถึงจำนวนพจน์^{[ 24 ] เมื่อ}ผลรวมมีอยู่ ความแตกต่างระหว่างผลรวมของอนุกรมและผลรวมย่อยที่ th เรียกว่าข้อผิดพลาดการตัดทอน ที่ th ของอนุกรมอนันต์^{[ 25 ] [ 26 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$${\displaystyle n}$${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างของอนุกรมลู่เข้าคืออนุกรมเรขาคณิต $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

สามารถแสดงได้ด้วยการคำนวณทางพีชคณิตว่าผลรวมย่อยแต่ละรายการคือ เนื่องจาก อนุกรมลู่เข้าและลู่เข้าสู่โดยมีข้อผิดพลาดจากการตัดทอน^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle s_{n}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$${\displaystyle 2}$${\textstyle 1/2^{n}}$

ในทางตรงกันข้าม อนุกรมเรขาคณิต จะลู่เข้าในจำนวนจริง^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}อย่างไรก็ตาม มันจะลู่เข้าในเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไปโดยมีเป็นลิมิต และเป็นข้อผิดพลาดในการตัดทอนในแต่ละขั้น^{[ 27 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle +\infty }$

เมื่อลำดับผลรวมย่อยของอนุกรมไม่สามารถคำนวณและประเมินการลู่เข้าได้โดยตรงการทดสอบการลู่เข้าสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

ในการบวกแบบจำกัด ทั่วไป พจน์ของการบวกสามารถจัดกลุ่มและแยกกลุ่มได้อย่างอิสระโดยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ของการบวก อันเป็นผลมาจากคุณสมบัติการสลับที่ของการบวก ในทำนองเดียวกัน ในอนุกรม การจัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมแบบจำกัดใดๆ ก็จะไม่เปลี่ยนแปลงลิมิตของผลรวมย่อยของอนุกรม และดังนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงผลรวมของอนุกรม อย่างไรก็ตาม หากมีการจัดกลุ่มจำนวนอนันต์ครั้งในอนุกรมอนันต์ ผลรวมย่อยของอนุกรมที่จัดกลุ่มแล้วอาจมีลิมิตที่แตกต่างจากอนุกรมเดิม และการจัดกลุ่มที่แตกต่างกันอาจมีลิมิตที่แตกต่างกัน ผลรวมของอาจไม่เท่ากับผลรวมของ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

ตัวอย่างเช่นอนุกรมของแกรนดี⁠ ⁠${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$มีลำดับของผลรวมย่อยที่สลับไปมาระหว่าง⁠ ⁠${\displaystyle 1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$และไม่ลู่เข้า การจัดกลุ่มองค์ประกอบเป็นคู่ๆ จะสร้างอนุกรมที่มีผลรวมย่อยเท่ากับศูนย์ในทุกพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเท่ากับศูนย์ การจัดกลุ่มองค์ประกอบเป็นคู่ๆ โดยเริ่มจากพจน์แรก จะสร้างอนุกรมที่มีผลรวมย่อยเท่ากับหนึ่งในทุกพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเท่ากับหนึ่ง ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$

โดยทั่วไป การจัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมจะสร้างอนุกรมใหม่ที่มีลำดับผลรวมย่อยที่เป็นลำดับย่อยของผลรวมย่อยของอนุกรมเดิม ซึ่งหมายความว่าหากอนุกรมเดิมลู่เข้า อนุกรมใหม่หลังจากการจัดกลุ่มก็จะลู่เข้าด้วยเช่นกัน กล่าวคือ ลำดับย่อยอนันต์ทั้งหมดของอนุกรมที่ลู่เข้าก็จะลู่เข้าสู่ลิมิตเดียวกัน อย่างไรก็ตาม หากอนุกรมเดิมลู่ออก อนุกรมที่จัดกลุ่มแล้วไม่จำเป็นต้องลู่ออกเสมอไป ดังเช่นในตัวอย่างของอนุกรมของ Grandi ข้างต้น อย่างไรก็ตาม การลู่ออกของอนุกรมที่จัดกลุ่มแล้วไม่ได้หมายความว่าอนุกรมเดิมจะต้องลู่ออก เนื่องจากเป็นการพิสูจน์ว่ามีลำดับย่อยของผลรวมย่อยของอนุกรมเดิมที่ไม่ลู่เข้า ซึ่งจะเป็นไปไม่ได้หากอนุกรมเดิมลู่เข้า เหตุผลนี้ถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์การลู่ออกของอนุกรมฮาร์มอนิกของ Oresme [ ^{28 ] และ}เป็นพื้นฐานสำหรับ การ ทดสอบการควบแน่นของ Cauchy ทั่วไป ^{[ 29 ] [ 30 ]}

ในการบวกแบบจำกัดทั่วไป พจน์ของการบวกสามารถจัดเรียงใหม่ได้อย่างอิสระโดยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ของการบวก เนื่องจากสมบัติการสลับที่ของการบวกในทำนองเดียวกัน ในอนุกรม การจัดเรียงพจน์แบบจำกัดใดๆ ของอนุกรมจะไม่เปลี่ยนแปลงลิมิตของผลรวมย่อยของอนุกรม และดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงผลรวมของอนุกรม: สำหรับการจัดเรียงแบบจำกัดใดๆ จะมีพจน์หนึ่งหลังจากนั้นการจัดเรียงจะไม่ส่งผลกระทบต่อพจน์อื่นๆ ผลกระทบใดๆ ของการจัดเรียงสามารถแยกได้เฉพาะการบวกแบบจำกัดจนถึงพจน์นั้น และการบวกแบบจำกัดจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงใหม่ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$

อย่างไรก็ตาม ในส่วนของการจัดกลุ่ม การเรียงลำดับพจน์ของอนุกรมใหม่ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด บางครั้งอาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงลิมิตของผลรวมย่อยของอนุกรมได้ อนุกรมที่มีลำดับของผลรวมย่อยที่ลู่เข้าสู่ค่าหนึ่ง แต่พจน์ต่างๆ สามารถเรียงลำดับใหม่เพื่อให้ได้อนุกรมที่มีผลรวมย่อยที่ลู่เข้าสู่ค่าอื่นได้ เรียกว่า อนุกรม ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ส่วนอนุกรมที่ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงการเรียงลำดับใหม่ เรียกว่าอนุกรม ลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไข

สำหรับอนุกรมของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน อนุกรมจะลู่เข้าอย่างไม่มีเงื่อนไขก็ต่อเมื่ออนุกรมที่รวมค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ นั้นลู่เข้าด้วย ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าการลู่เข้าสัมบูรณ์มิฉะนั้น อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ที่ลู่เข้าแต่ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์ จะลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ผลรวมของจำนวนจริงที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขใดๆ สามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้จำนวนจริงอื่นใดเป็นลิมิต หรือลู่เข้าไม่ได้ ข้อกล่าวอ้างเหล่านี้เป็นเนื้อหาของ ทฤษฎีบท อนุกรมรีมันน์^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$

ตัวอย่างสำคัญทางประวัติศาสตร์ของการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคืออนุกรมฮาร์มอนิกสลับ

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ ซึ่งมีผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติของ 2ในขณะที่ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของพจน์คืออนุกรมฮาร์มอนิกซึ่ง ลู่เข้าตามการลู่เข้าของอนุกรมฮาร์มอนิก^{[ 28 ]}ดังนั้นอนุกรมฮาร์มอนิกสลับจึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น การจัดเรียงพจน์ของอนุกรมฮาร์มอนิกสลับใหม่เพื่อให้พจน์บวกแต่ละพจน์ของอนุกรมเดิมตามด้วยพจน์ลบสองพจน์ของอนุกรมเดิมแทนที่จะเป็นเพียงพจน์เดียวจะให้ผลลัพธ์^{[ 34 ]} ซึ่งเป็นเท่าของอนุกรมเดิม ดังนั้นจะมีผลรวมเป็นครึ่งหนึ่งของลอการิทึมธรรมชาติของ 2 ตามทฤษฎีบทอนุกรมรีมันน์ การจัดเรียงอนุกรมฮาร์มอนิกสลับใหม่เพื่อให้ได้จำนวนจริงอื่นใดก็เป็นไปได้เช่นกัน $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

การบวกอนุกรมสองชุดและกำหนดโดยผลรวมตามพจน์^{[ 13 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}หรือในสัญลักษณ์ผลรวม ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

การใช้สัญลักษณ์และสำหรับผลรวมย่อยของอนุกรมที่บวกกัน และสำหรับผลรวมย่อยของอนุกรมที่ได้ นิยามนี้บ่งชี้ว่าผลรวมย่อยของอนุกรมที่ได้เป็นไปตาม จากนั้นผลรวมของอนุกรมที่ได้ กล่าวคือ ลิมิตของลำดับผลรวมย่อยของอนุกรมที่ได้ จะเป็นไปตาม เมื่อลิมิตมีอยู่ ดังนั้น ประการแรก อนุกรมที่ได้จากการบวกสามารถหาผลรวมได้ ถ้าอนุกรมที่บวกกันสามารถหาผลรวมได้ และประการที่สอง ผลรวมของอนุกรมที่ได้คือผลบวกของผลรวมของอนุกรมที่บวกกัน การบวกอนุกรมลู่เข้าสองอนุกรมอาจให้ผลลัพธ์เป็นอนุกรมลู่เข้า ตัวอย่างเช่น การบวกอนุกรมลู่เข้ากับอนุกรมของพจน์คูณจะได้อนุกรมที่มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมดซึ่งลู่เข้าสู่ศูนย์ อย่างไรก็ตาม สำหรับอนุกรมสองอนุกรมใดๆ ที่อนุกรมหนึ่งลู่เข้าและอีกอนุกรมหนึ่งลู่เข้า ผลลัพธ์ของการบวกอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้า^{[ 35 ]}${\displaystyle s_{a,n}}$${\displaystyle s_{b,n}}$${\displaystyle s_{a+b,n}}$${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$${\displaystyle -1}$

สำหรับการบวกอนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน การบวกอนุกรมมีคุณสมบัติการสลับที่ การจัดกลุ่มและการผกผันได้ดังนั้น การบวกอนุกรมทำให้เซตของอนุกรมลู่เข้าของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมีโครงสร้างเป็นกลุ่มอาเบเลียนและยังทำให้เซตของอนุกรมทั้งหมดของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติการลู่เข้า) มีโครงสร้างเป็นกลุ่มอาเบเลียนด้วย

ผลคูณของอนุกรมกับจำนวนคงที่ซึ่งเรียกว่าสเกลาร์ในบริบทนี้ จะได้รับจากผลคูณแบบเทอม^{[ 35 ]}หรือในสัญลักษณ์ผลรวม ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle c}$${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

โดยใช้สัญลักษณ์สำหรับผลรวมย่อยของอนุกรมดั้งเดิมและสำหรับผลรวมย่อยของอนุกรมหลังจากคูณด้วยนิยามนี้บ่งชี้ว่าสำหรับทุกและดังนั้นเมื่อลิมิตมีอยู่ด้วย ดังนั้น ถ้าอนุกรมสามารถหาผลรวมได้ ผลคูณเชิงสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ของอนุกรมนั้นก็สามารถหาผลรวมได้เช่นกัน และในทางกลับกัน: ถ้าอนุกรมลู่เข้า ผลคูณเชิงสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ของอนุกรมนั้นก็จะลู่เข้าเช่นกัน ${\displaystyle s_{a,n}}$${\displaystyle s_{ca,n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$${\displaystyle n,}$${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$

การคูณสเกลาร์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติการจัดกลุ่ม การสลับที่ การผกผันได้ และการกระจายตัวเหนือการบวกอนุกรม

โดยสรุป การบวกอนุกรมและการคูณด้วยสเกลาร์ทำให้เซตของอนุกรมลู่เข้าและเซตของอนุกรมจำนวนจริงมีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงในทำนองเดียวกัน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสำหรับอนุกรมและอนุกรมลู่เข้าของจำนวนเชิงซ้อน ปริภูมิเวกเตอร์เหล่านี้ทั้งหมดมีมิติอนันต์

การคูณอนุกรมสองชุดเพื่อสร้างอนุกรมชุดที่สามเรียกว่า ผลคูณโคชี^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 36 ] [ 38 ]}สามารถเขียนได้ในรูปแบบสัญกรณ์ผลรวม โดยแต่ละอนุกรมจะลู่เข้า ในที่นี้ การลู่เข้าของผลรวมย่อยของอนุกรมไม่ได้ง่ายเหมือนการบวก อย่างไรก็ตาม หากอนุกรมทั้งสองเป็น อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์อนุกรมที่ได้จากการคูณอนุกรมทั้งสองก็จะลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน โดยมีผลรวมเท่ากับผลคูณของผลรวมสองชุดของอนุกรมที่คูณกัน^{[ 13 ] [ 36 ] [ 39 ]}${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

การคูณอนุกรมของอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม และกระจายตัวเหนือการบวกอนุกรม เมื่อรวมกับการบวกอนุกรม การคูณอนุกรมจะทำให้เซตของอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมีโครงสร้างของวงแหวนสลับที่ และเมื่อรวมกับการคูณสเกลาร์ จะทำให้มีโครงสร้างของพีชคณิตสลับที่การดำเนินการเหล่านี้ยังทำให้เซตของอนุกรมทั้งหมดของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมีโครงสร้างของพีชคณิตแบบจัดกลุ่มด้วย

• อนุกรมเรขาคณิต^{[ 20 ] [ 21 ]}คืออนุกรมที่แต่ละพจน์ถัดไปสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ (เรียกว่าอัตราส่วนร่วมในบริบทนี้) ตัวอย่างเช่น: โดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิตที่มีพจน์เริ่มต้นและอัตราส่วนร่วมจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ซึ่งในกรณีนี้จะลู่เข้าสู่$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},}$${\textstyle |r|<1}$${\textstyle {a \over 1-r}}$
• อนุกรมฮาร์มอนิกคืออนุกรม^{[ 40 ]} อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่เข้า$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$
• อนุกรมสลับเครื่องหมายคืออนุกรมที่พจน์สลับเครื่องหมายกัน^{[ 41 ]}ตัวอย่างเช่นอนุกรมฮาร์มอนิกสลับเครื่องหมายและ สูตร ของไลบ์นิซสำหรับ$${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),}$$$${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},}$$${\displaystyle \pi .}$
• อนุกรม^เทเลสโคปิก^{[ 42 ]} ลู่เข้าหากลำดับลู่เข้าสู่ค่าจำกัดเมื่อเข้าสู่ค่าอนันต์ค่าของอนุกรมจะเป็น^[ 43 ^]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}-b_{n+1}\right)}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{1}-L}$
• อนุกรมเลขคณิตเรขาคณิตคือ อนุกรมที่มีพจน์ซึ่งแต่ละพจน์เป็นผลคูณของสมาชิกในอนุกรมเลขคณิตกับสมาชิกที่สอดคล้องกันในอนุกรมเรขาคณิตตัวอย่าง:$${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• อนุกรมDirichlet ลู่เข้าสำหรับ⁠ ⁠และลู่เข้าสำหรับ⁠ ⁠ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยการทดสอบอินทิกรัลสำหรับการลู่เข้าที่อธิบายไว้ด้านล่างในการทดสอบการลู่เข้าผลรวมของอนุกรมนี้เป็น ฟังก์ชันซีตา ของRiemannเมื่อพิจารณาจาก⁠ ⁠ ^{[ 44 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle p\leq 1}$${\displaystyle p}$
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก และการวางนัยทั่วไปของอนุกรมเหล่านี้ ( เช่นอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานและอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรี ) มักปรากฏในระบบอินทิกรัลและฟิสิกส์คณิตศาสตร์^{[ 45 ]}$${\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{p}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{q}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{r=1}^{p}(a_{r})_{n}}{\prod _{s=1}^{q}(b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$
• มีอนุกรมพื้นฐานบางชุดที่ยังไม่ทราบ/พิสูจน์การลู่เข้า ตัวอย่างเช่น ยังไม่ทราบว่าอนุกรมฟลินท์ฮิลส์ลู่เข้าหรือไม่ การลู่เข้าขึ้นอยู่กับว่าสามารถประมาณค่าด้วยจำนวนตรรกยะ ได้ดีเพียงใด (ซึ่งยังไม่ทราบในขณะนี้) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของที่มีส่วนร่วมเชิงตัวเลขมากต่อผลรวม คือ ตัวเศษของเศษส่วนต่อเนื่องที่ลู่เข้าของลำดับที่เริ่มต้นด้วย 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (ลำดับA046947ในOEIS ) เหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับสำหรับจำนวนเต็ม บางตัวดังนั้นจึงใกล้เคียงกับและส่วนกลับของมันมีค่ามาก$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}},}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\pi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sin n}$${\displaystyle \sin m\pi =0}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle 4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

หนึ่งในการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมที่ง่ายที่สุด ซึ่งใช้ได้กับอนุกรมทั้งหมด คือเงื่อนไขการหายไปหรือการทดสอบพจน์ที่ n : ถ้า${\displaystyle n}$อนุกรมจะลู่เข้า ถ้าการทดสอบจะไม่สามารถสรุปได้^{[ 46 ] [ 47 ]}${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

เมื่อพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เช่น เมื่อพจน์เป็นค่าสัมบูรณ์ของอนุกรมอื่นของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ลำดับของผลรวมย่อยจะไม่ลดลง ดังนั้นอนุกรมที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลรวมย่อยมีขอบเขต ดังนั้นการหาขอบเขตสำหรับอนุกรมหรือสำหรับค่าสัมบูรณ์ของพจน์จึงเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการพิสูจน์การลู่เข้าหรือการลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม^{[ 48 ] [ 49 ] [ 47 ] [ 50 ]}

ตัวอย่างเช่น อนุกรมลู่เข้าและลู่เข้าสัมบูรณ์เพราะสำหรับทุกและ ข้อโต้แย้ง ผลรวมแบบเทเลสโคปิกบ่งชี้ว่าผลรวมย่อยของอนุกรมของพจน์ขอบเขตที่ไม่เป็นลบเหล่านั้นมีขอบเขตบนโดย 2 ^{[ 43 ]}ค่าที่แน่นอนของอนุกรมนี้คือ; ดูปัญหาบาเซิล ${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$

กลยุทธ์การกำหนดขอบเขตประเภทนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการทดสอบการเปรียบเทียบอนุกรมทั่วไป ประการแรกคือการทดสอบการเปรียบเทียบโดยตรง ทั่วไป : ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 47 ]}สำหรับอนุกรมใดๆถ้าเป็น อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์โดยที่สำหรับจำนวนจริงบวกบางจำนวนและสำหรับ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอแล้ว ก็จะลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน ถ้าลู่เข้า และ สำหรับ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมดแล้วก็จะไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน แม้ว่ามันอาจจะยังคงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขได้ เช่น ถ้าสลับเครื่องหมาย ประการที่สองคือการทดสอบการเปรียบเทียบลิมิต ทั่วไป : ^{[ 53 ] [ 54 ]}ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์โดยที่สำหรับ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอแล้ว ก็จะลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน ถ้าลู่เข้า และสำหรับ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมดแล้วก็จะไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน แม้ว่ามันอาจจะยังคงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขได้ ถ้าสลับเครื่องหมาย ${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$

การใช้การเปรียบเทียบกับอนุกรมเรขาคณิตโดยเฉพาะ^{[ 20 ] [ 21 ]}การทดสอบการเปรียบเทียบทั่วไปสองแบบนั้นบ่งชี้ถึงการทดสอบทั่วไปและมีประโยชน์โดยทั่วไปอีกสองแบบสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบหรือสำหรับการลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรมที่มีพจน์ทั่วไป ประการแรกคือการทดสอบอัตราส่วน : ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]}ถ้ามีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งเช่นนั้นสำหรับค่า n ที่มากพอทั้งหมด อนุกรม  จะลู่เข้าสัมบูรณ์ เมื่ออัตราส่วนน้อยกว่าแต่ไม่น้อยกว่าค่าคงที่ที่น้อยกว่าการลู่เข้าเป็นไปได้ แต่การทดสอบนี้ไม่ได้พิสูจน์ ประการที่สองคือการทดสอบราก : ^{[ 55 ] [ 58 ] [ 59 ]}ถ้ามีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งเช่นนั้นสำหรับค่า n ที่มากพอทั้งหมด  อนุกรมจะลู่เข้าสัมบูรณ์ ${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง การใช้การเปรียบเทียบกับการแสดงอนุกรมของอินทิกรัลโดยเฉพาะ จะทำให้ได้การทดสอบอินทิกรัล ดังนี้ : ^{[ 60 ] [ 61 ]}ถ้าเป็น ฟังก์ชัน โมโนโทนลดลงที่ เป็นบวก ซึ่งกำหนดไว้ในช่วง แล้วสำหรับอนุกรมที่มีพจน์สำหรับทุก ๆ  จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออินทิ กรัล มีค่าจำกัด การใช้การเปรียบเทียบกับอนุกรมเวอร์ชันที่แบนราบจะนำไปสู่การทดสอบการควบแน่นของโคชี : ^{[ 29 ] [ 30 ]}ถ้าลำดับของพจน์ไม่เป็นลบและไม่เพิ่มขึ้น อนุกรมทั้งสองและจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [1,\infty )}$${\displaystyle a_{n}=f(n)}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$

ลำดับของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (หรือลู่เข้ากึ่ง ) หากลำดับนั้นลู่เข้าแต่ไม่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ การทดสอบการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขนั้นแตกต่างจากการทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

ตัวอย่างสำคัญอย่างหนึ่งของการทดสอบการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคือการทดสอบอนุกรมสลับหรือการทดสอบของไลบ์นิซ : ^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}อนุกรมในรูปแบบที่มีทั้งหมดเรียกว่าอนุกรมสลับ อนุกรมดังกล่าวลู่เข้าหาก ลำดับที่ไม่เป็นลบเป็นลำดับลดลงแบบโมโนโทนและลู่เข้าสู่ ส่วนกลับ  โดยทั่วไปไม่เป็นจริง ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของการประยุกต์ใช้การทดสอบนี้คืออนุกรมฮาร์มอนิกสลับ ซึ่งลู่เข้าตามการทดสอบอนุกรมสลับ (และผลรวมของมันเท่ากับ  ) แม้ว่าอนุกรมที่เกิดจากการหาค่าสัมบูรณ์ของแต่ละพจน์จะเป็นอนุกรมฮาร์มอนิก ธรรมดา ซึ่งลู่เข้า^{[ 65 ] [ 66 ]}${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$${\displaystyle a_{n}>0}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$${\displaystyle \ln 2}$

การทดสอบอนุกรมสลับสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการทดสอบ Dirichlet ทั่วไปมากกว่า : ^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}ถ้าเป็นลำดับของพจน์จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบที่ลดลงซึ่งลู่เข้าสู่ศูนย์ และเป็นลำดับของพจน์ที่มีผลรวมย่อยที่จำกัด อนุกรมจะลู่เข้า การใช้ จะได้การทดสอบอนุกรมสลับกลับคืนมา ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (\lambda _{n})}$${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$

การทดสอบของ Abelเป็นเทคนิคสำคัญอีกประการหนึ่งสำหรับการจัดการอนุกรมกึ่งลู่เข้า ^{[ 67 ] [ 29 ]}หากอนุกรมมีรูปแบบที่ผลรวมย่อยของอนุกรมที่มีพจน์มีขอบเขตมีการเปลี่ยนแปลงที่มีขอบเขตและมีอยู่จริง: ถ้าและลู่เข้า อนุกรมนั้นจะลู่เข้า ${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$

การทดสอบการบรรจบกันเฉพาะทางอื่นๆ สำหรับอนุกรมประเภทเฉพาะ ได้แก่การทดสอบ Dini ^{[ 70 ]}สำหรับอนุกรม Fourier

การประเมินข้อผิดพลาดจากการตัดทอนของอนุกรมมีความสำคัญในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณเชิงตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบความถูกต้องและการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ) สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การลู่เข้าและวิเคราะห์อัตราการลู่เข้าได้

เมื่อเงื่อนไขของการทดสอบอนุกรมสลับเป็นไปตามที่กำหนดจะมีการประเมินข้อผิดพลาดที่แม่นยำ^{[ 71 ]}กำหนดให้เป็นผลรวมย่อยของอนุกรมสลับที่กำหนด จากนั้นอสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle s_{n}}$${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

โดยใช้อัตราส่วนเราสามารถประเมินค่าเทอมข้อผิดพลาดได้เมื่ออนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกถูกตัดทอน^{[ 72 ]}

สำหรับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

การประเมินข้อผิดพลาดต่อไปนี้ใช้ได้ (วิธีการปรับขนาดและยกกำลังสอง): ^{[ 73 ] [ 74 ] [ 75 ]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):={\biggl (}\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}{\biggr )}^{s},\quad {\bigl \|}\exp(X)-T_{r,s}(X){\bigr \|}\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

ในหลายกรณี เป็นที่พึงปรารถนาที่จะกำหนดผลรวมทั่วไปให้กับอนุกรมที่ไม่ลู่เข้าในความหมายที่แท้จริง กล่าวคือ ลำดับของผลรวมย่อยไม่ลู่เข้าวิธีการหาผลรวมคือวิธีการใดๆ สำหรับการกำหนดผลรวมให้กับอนุกรมลู่เข้าในลักษณะที่ขยายแนวคิดคลาสสิกของผลรวมของอนุกรมอย่างเป็นระบบ วิธีการหาผลรวม ได้แก่ การหาผลรวม แบบCesàro การหาผลรวมแบบCesàroทั่วไป${\displaystyle (C,\alpha )}$ การหาผลรวม แบบAbelและการหาผลรวมแบบ Borelตามลำดับความเหมาะสมกับอนุกรมลู่เข้าที่เพิ่มขึ้น วิธีการเหล่านี้ทั้งหมดขึ้นอยู่กับการแปลงลำดับของอนุกรมดั้งเดิมของพจน์หรือลำดับของผลรวมย่อย มีผลลัพธ์ทั่วไปที่หลากหลายเกี่ยวกับวิธีการหาผลรวมที่เป็นไปได้ทฤษฎีบท Silverman–Toeplitzอธิบายลักษณะของวิธีการหาผลรวมแบบเมทริกซ์ซึ่งเป็นวิธีการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้าโดยการใช้เมทริกซ์อนันต์กับเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ วิธีการทั่วไปที่สุดในการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้าคือวิธีการที่ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์และเกี่ยวข้องกับลิมิตของบานาค

ชุดของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อน

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังลิมิตบนเซต${\displaystyle f(x)}$ถ้าอนุกรม${\displaystyle E}$ลู่เข้าสำหรับแต่ละค่าใน${\displaystyle x}$เซตนั้น${\displaystyle E}$ในฐานะอนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวม ย่อย

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

ลู่ เข้า สู่⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle N}$เข้าสู่∞ สำหรับแต่ละ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ใน⁠ ⁠${\displaystyle E}$

แนวคิดที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชันคือการลู่เข้าแบบสม่ำเสมออนุกรมจะลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในเซต ก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าแบบจุดต่อ จุด ไป ยังฟังก์ชันที่ทุกจุดของและค่าสูงสุดของข้อผิดพลาดแบบจุดต่อจุดเหล่านี้ในการประมาณค่าลิมิตโดยผลรวม ย่อยที่${\displaystyle E}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \sup _{x\in E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}}$$

ลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อเพิ่มขึ้น${\displaystyle N}$โดยไม่ขึ้นอยู่ กับ${\displaystyle x}$

การลู่เข้า อย่างสม่ำเสมอเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาสำหรับอนุกรม เพราะคุณสมบัติหลายอย่างของพจน์ในอนุกรมจะยังคงอยู่เมื่อพิจารณาลิมิต ตัวอย่างเช่น ถ้าอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ฟังก์ชันลิมิตก็จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ถ้าฟังก์ชันสามารถ${\displaystyle f_{n}}$หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิดและมีขอบเขตและลู่${\displaystyle I}$เข้าอย่างสม่ำเสมอ อนุกรมนั้นก็จะสามารถหาปริพันธ์ได้บนช่วงนั้นเช่นกันและสามารถ${\displaystyle I}$หาปริพันธ์ได้ทีละพจน์ การทดสอบการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ได้แก่การทดสอบ M ของไวเออร์สตรัสการทดสอบการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของอาเบลการทดสอบของดินีและเกณฑ์ของโคชี

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดรูปแบบการลู่เข้าที่ซับซ้อนกว่าของอนุกรมฟังก์ชันได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีการวัดอนุกรมฟังก์ชันจะลู่เข้าเกือบทุกที่หากลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ยกเว้นบนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ รูปแบบการลู่เข้าอื่นๆขึ้นอยู่กับ โครงสร้าง ปริภูมิเมตริก ที่แตกต่างกัน ในปริภูมิของฟังก์ชัน ที่กำลัง พิจารณา ตัวอย่างเช่น อนุกรมฟังก์ชัน จะ ลู่เข้าโดยเฉลี่ยไปยังฟังก์ชันลิมิตบน${\displaystyle f}$เซตถ้า${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}^{2}\,dx=0.}$$

อนุกรมกำลังคืออนุกรมที่มีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

อนุกรมเทย์เลอร์ณ จุดใดจุดหนึ่งของ${\displaystyle c}$ฟังก์ชัน คืออนุกรมกำลัง ซึ่งในหลายกรณีจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงตัวอย่างเช่น${\displaystyle c}$อนุกรม

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

คืออนุกรมเทย์เลอร์ของที่ จุดกำเนิด และลู่เข้าสู่จุดกำเนิดสำหรับทุก ๆ⁠ ⁠${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x}$

เว้นแต่ว่ามันจะลู่เข้าเฉพาะที่⁠ ⁠${\displaystyle x=c}$ เท่านั้น อนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้าบนวงกลมเปิดของการลู่เข้าซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle c}$ในระนาบเชิงซ้อน และอาจลู่เข้าที่บางจุดบนขอบของวงกลมด้วย รัศมีของวงกลมนี้เรียกว่ารัศมีของการลู่เข้าและโดยหลักการแล้วสามารถกำหนดได้จากลักษณะเชิงอนุกรมของสัมประสิทธิ์⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}}$การลู่เข้าเป็นแบบสม่ำเสมอใน เซต ย่อยที่ปิดและมีขอบเขต (นั่นคือเซตกระชับ ) ภายในวงกลมของการลู่เข้า กล่าวคือ มันลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตกระชับ

ในอดีต นักคณิตศาสตร์อย่างเลออนฮาร์ด ออยเลอร์มักใช้ชุดอนุกรมอนันต์อย่างเสรี แม้ว่าอนุกรมเหล่านั้นจะไม่ลู่เข้าก็ตาม เมื่อแคลคูลัสได้รับการวางรากฐานอย่างถูกต้องในศตวรรษที่สิบเก้า การพิสูจน์อย่างเข้มงวดเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมจึงเป็นสิ่งจำเป็นเสมอ

แม้ว่าการใช้ชุดอนุกรมกำลังส่วนใหญ่จะหมายถึงผลรวมของอนุกรม แต่ก็สามารถพิจารณาอนุกรมกำลังเป็นผลรวมเชิงรูปแบบได้เช่นกันซึ่งหมายความว่าไม่มีการดำเนินการบวกใดๆ เกิดขึ้นจริง และสัญลักษณ์ "+" เป็นสัญลักษณ์เชิงนามธรรมของการเชื่อมโยง ซึ่งไม่จำเป็นต้องตีความว่าสอดคล้องกับการบวก ในบริบทนี้ ลำดับของสัมประสิทธิ์เองเป็นสิ่งที่น่าสนใจมากกว่าการลู่เข้าของอนุกรมชุดอนุกรมกำลังเชิงรูปแบบใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเพื่ออธิบายและศึกษาลำดับที่ยากต่อการจัดการด้วยวิธีอื่น เช่น การใช้วิธีฟังก์ชันก่อกำเนิด ชุดอนุกรมฮิ ลเบิ ร์ต-ปวงกาเรเป็นชุดอนุกรมกำลังเชิงรูปแบบที่ใช้ในการศึกษาพีชคณิตแบบแบ่งระดับ

แม้ว่าจะไม่พิจารณาขีดจำกัดของอนุกรมกำลังก็ตาม หากเทอมต่างๆ รองรับโครงสร้างที่เหมาะสม ก็สามารถกำหนดการดำเนินการต่างๆ เช่นการบวกการคูณ อนุพันธ์ปฏิอนุพันธ์สำหรับอนุกรมกำลังได้ "อย่างเป็นทางการ" โดยถือว่าสัญลักษณ์ "+" สอดคล้องกับการบวก ในการตั้งค่าทั่วไป เทอมต่างๆ มาจากวงแหวนสลับที่ดังนั้นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการจึงสามารถบวกเทอมต่อเทอมและคูณผ่านผลคูณโคชีได้ ในกรณีนี้ พีชคณิตของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการคือพีชคณิตทั้งหมดของโมโนอิดของจำนวนธรรมชาติเหนือวงแหวนเทอมพื้นฐาน^{[ 76 ]} หากวงแหวนเทอมพื้นฐานเป็นพีชคณิตเชิงอนุพันธ์พีชคณิตของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการก็จะเป็นพีชคณิตเชิงอนุพันธ์เช่นกัน โดยทำการหาอนุพันธ์ทีละเทอม

อนุกรมลอเรนต์เป็นการขยายแนวคิดของอนุกรมกำลัง โดยอนุญาตให้มีพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบและบวกอยู่ในอนุกรม ดังนั้น อนุกรมลอเรนต์จึงเป็นอนุกรมใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

หากอนุกรมดังกล่าวลู่เข้า โดยทั่วไปแล้วจะลู่เข้าในวงแหวนมากกว่าในวงกลม และอาจลู่เข้าที่จุดขอบบางจุดด้วย อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับภายในวงแหวนแห่งการลู่เข้า

อนุกรมดิริชเลต์เป็นรูปแบบหนึ่ง

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle s}$เป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}}$ ทั้งหมด เท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$แล้ว ผลรวมของอนุกรม Dirichlet ก็คือฟังก์ชันซีตาของ Riemann

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

เช่นเดียวกับฟังก์ชันซีตา อนุกรมดิริชเลต์โดยทั่วไปมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์โดยทั่วไปอนุกรมดิริชเลต์จะลู่เข้าหากส่วนจริงของ⁠ ⁠${\displaystyle s}$มากกว่าจำนวนที่เรียกว่าแกนพิกัดของการลู่เข้า ในหลายกรณี ฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรมดิริชเลต์เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ที่สามารถขยายออกไปนอกโดเมนของการลู่เข้าของอนุกรมได้โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ตัวอย่างเช่น อนุกรมดิริชเลต์สำหรับฟังก์ชันซีตาจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$แต่ฟังก์ชันซีตาสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดบน ⁠ โดยมีขั้ว เดี่ยว ที่  ⁠ ⁠ได้ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$${\displaystyle 1}$

อนุกรมนี้สามารถขยายความทั่วไปเป็นอนุกรม Dirichlet ทั่วไป ได้โดยตรง

อนุกรมของฟังก์ชันที่พจน์ต่างๆ เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าอนุกรม ตรีโกณมิติ

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของอนุกรมตรีโกณมิติคืออนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน

อนุกรม เชิงอะซิมโทติก (Asymptotic series)ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าการขยายเชิงอะซิมโทติก (Asymptotic expansions ) คืออนุกรมอนันต์ที่มีพจน์เป็นฟังก์ชันของลำดับเชิงอะซิมโท ติกที่แตกต่างกัน และผลรวมย่อยของพจน์เหล่านั้นเป็นการประมาณค่าของฟังก์ชันอื่นในลิ มิต เชิงอะซิมโทติกโดยทั่วไปแล้วอนุกรมเหล่านี้จะไม่ลู่เข้า แต่ก็ยังคงมีประโยชน์ในฐานะลำดับของการประมาณค่า ซึ่งแต่ละค่าจะให้ค่าที่ใกล้เคียงกับคำตอบที่ต้องการสำหรับจำนวนพจน์ที่จำกัด อนุกรมเหล่านี้เป็นเครื่องมือที่สำคัญในทฤษฎีการรบกวนและการวิเคราะห์อัลกอริทึม

อนุกรมเชิงอะซิมโทติกไม่จำเป็นต้องให้คำตอบที่แม่นยำตามที่ต้องการเมื่ออยู่ห่างจากลิมิตเชิงอะซิมโทติก เหมือนกับอนุกรมลู่เข้าทั่วไปของฟังก์ชัน ที่จริงแล้ว อนุกรมเชิงอะซิมโทติกโดยทั่วไปจะให้ค่าประมาณที่ดีที่สุดเมื่ออยู่ห่างจากลิมิตเชิงอะซิมโทติกหลังจากจำนวนพจน์ที่จำกัด หากมีจำนวนพจน์มากกว่านั้น อนุกรมจะให้ค่าประมาณที่ไม่แม่นยำน้อยลง

อนุกรมอนันต์มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์สมัยใหม่ของปรัชญาการเคลื่อนที่ของกรีกโบราณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปริศนาของซีโน [ ^{77 ] ปริศนา}ของอคิลลีสกับเต่าแสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องจะต้องใช้ช่วงเวลาที่เป็นอนันต์ ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นเรื่องไร้สาระ : อคิลลีสวิ่งไล่ตามเต่า แต่เมื่อเขาไปถึงตำแหน่งของเต่าในตอนเริ่มต้นการแข่งขัน เต่าก็ไปถึงตำแหน่งที่สองแล้ว เมื่อเขาไปถึงตำแหน่งที่สองนี้ เต่าก็อยู่ที่ตำแหน่งที่สาม และเป็นเช่นนี้ เรื่อยไป ซีโนกล่าวว่าเขาจึงไม่ สามารถ ไล่ตามเต่าได้ทัน และดังนั้นการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องจึงต้องเป็นภาพลวงตา ซีโนแบ่งการแข่งขันออกเป็นการแข่งขันย่อยจำนวนอนันต์ ซึ่งแต่ละการแข่งขันต้องใช้เวลาที่จำกัด ดังนั้นเวลาทั้งหมดที่อคิลลีสใช้ในการไล่ตามเต่าจึงกำหนดโดยอนุกรม การแก้ปัญหาความขัดแย้งในเชิงคณิตศาสตร์และจินตนาการล้วนๆ ก็คือ แม้ว่าอนุกรมจะมีจำนวนพจน์อนันต์ แต่ผลรวมกลับมีค่าจำกัด ซึ่งให้เวลาเพียงพอสำหรับอคิลลีสที่จะไล่ทันเต่า อย่างไรก็ตาม ในปรัชญาการเคลื่อนที่สมัยใหม่ ปัญหาด้านฟิสิกส์ยังคงเปิดกว้างอยู่ โดยทั้งนักปรัชญาและนักฟิสิกส์ต่างสงสัยเช่นเดียวกับซีโนว่าการเคลื่อนที่ในอวกาศสามารถแบ่งย่อยได้อย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่ การประนีประนอมสมมติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมและ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมมักจะนำเสนอการควอนตัมของกาลอวกาศที่ระดับพลังค์^{[ 78 ] [ 79 ]}

อาร์คิมิดีสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้สร้างผลรวมแรกของอนุกรมอนันต์ที่รู้จักกันด้วยวิธีการที่ยังคงใช้ในสาขาแคลคูลัสในปัจจุบัน เขาใช้วิธีการหาค่าโดยประมาณเพื่อคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยผลรวมของอนุกรมอนันต์^{[ 5 ]} และให้ค่า ประมาณ ของ πที่แม่นยำอย่างน่าทึ่ง^{[ 80 ] [ 81 ]}

ในศตวรรษที่ 14 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสNicole Oresmeได้พัฒนาการพิสูจน์ครั้งแรกของการล divergenceของอนุกรมฮาร์มอนิก [ ^{82 ] งาน}ของเขาร่วมกับงานร่วมสมัยของRichard Swinesheadเกี่ยวกับอนุกรมอื่น ถือเป็นการปรากฏตัวครั้งแรกของอนุกรมอนันต์อื่นที่ไม่ใช่อนุกรมเรขาคณิตในทางคณิตศาสตร์^{[ 83 ]}

นักคณิตศาสตร์จากสำนักเกรละในอินเดียสมัยกลางกำลังศึกษาอนุกรมอนันต์ราว ค.ศ. 1350ผลงานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของพวกเขา—การขยายอนุกรมสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ—ได้รับการอธิบายเป็น บทกวี ภาษาสันสกฤตในหนังสือของนีลากันตะชื่อตันตระสังคราหะ (ราว ค.ศ. 1500) และอีกครั้งในคำอธิบายประกอบงานนี้ชื่อตันตระสังคราหะ-วักยะซึ่งไม่ทราบผู้แต่ง ทฤษฎีบทถูกกล่าวถึงโดยไม่มีการพิสูจน์ แต่การพิสูจน์อนุกรมสำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ผกผันนั้นมีให้ในอีกหนึ่งศตวรรษต่อมาในงานยุกติภาสะ ( ราว ค.ศ. 1530) ซึ่งเขียนเป็นภาษามาลายา ลัม โดยเชษฐเทวะ และในคำอธิบายประกอบตันตระสังคราหะด้วย^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]}

ในศตวรรษที่ 17 เจมส์ เกรกอรี ได้ทำงานเกี่ยวกับระบบ เลขฐาน สิบแบบ ใหม่กับอนุกรมอนันต์ และตีพิมพ์อนุกรมแมคลาอริน หลายชุด ในปี 1715 บรูค เทย์เลอร์ได้ เสนอ วิธีการทั่วไปในการสร้างอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันทั้งหมดที่สามารถหาอนุกรมนี้ได้ ส่วน ในศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้พัฒนาทฤษฎีอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกและอนุกรมคิว

การตรวจสอบความถูกต้องของอนุกรมอนันต์ถือว่าเริ่มต้นโดยเกาส์ในศตวรรษที่ 19 ก่อนหน้านั้นออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแล้ว

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

ซึ่งเกาส์ได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี ค.ศ. 1812 โดยได้กำหนดเกณฑ์การลู่เข้าที่ง่ายขึ้น รวมถึงคำถามเกี่ยวกับเศษเหลือและช่วงของการลู่เข้า

Cauchy (1821) ยืนยันในการทดสอบการลู่เข้าอย่างเข้มงวด เขาแสดงให้เห็นว่าหากอนุกรมสองอนุกรมลู่เข้า ผลคูณของอนุกรมทั้งสองไม่จำเป็นต้องลู่เข้าเสมอไป และนี่คือจุดเริ่มต้นของการค้นพบเกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพ คำว่าการลู่เข้าและการลู่ออกนั้นถูกนำเสนอมานานก่อนหน้านั้นแล้วโดยGregory (1668) Leonhard EulerและGaussได้ให้เกณฑ์ต่างๆ และColin Maclaurinก็ได้คาดการณ์ถึงการค้นพบบางอย่างของ Cauchy ไว้ก่อนหน้านี้ Cauchy ได้พัฒนาทฤษฎีอนุกรมกำลังโดยการขยายฟังก์ชัน เชิงซ้อน ในรูปแบบดังกล่าว

อาเบล (1826) ในบันทึกความทรงจำของเขาเกี่ยวกับอนุกรมทวินาม

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

เขาได้แก้ไขข้อสรุปบางประการของ Cauchy และได้สรุปอนุกรมทางวิทยาศาสตร์อย่างสมบูรณ์สำหรับค่าเชิงซ้อนของและเขายังแสดงให้เห็นถึงความจำเป็นในการพิจารณาเรื่องความต่อเนื่องในคำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าอีกด้วย ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$

วิธีการของ Cauchy นำไปสู่เกณฑ์เฉพาะมากกว่าเกณฑ์ทั่วไป และอาจกล่าวได้เช่นเดียวกันกับRaabe (1832) ซึ่งทำการตรวจสอบเรื่องนี้อย่างละเอียดเป็นครั้งแรก กับDe Morgan (ตั้งแต่ปี 1842) ซึ่งการทดสอบลอการิทึมของเขาDuBois-Reymond (1873) และPringsheim (1889) แสดงให้เห็นว่าล้มเหลวในบางขอบเขต กับBertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847 โดยที่คนหลังไม่มีการอินทิเกรต); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) และArndt (1853)

หลักเกณฑ์ทั่วไปเริ่มต้นจากงานของ Kummer (1835) และได้รับการศึกษาโดยEisenstein (1847), Weierstrassในงานเขียนต่างๆ ของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชัน, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) และอีกหลายคน บันทึกความทรงจำของ Pringsheim (1889) นำเสนอทฤษฎีทั่วไปที่สมบูรณ์ที่สุด

ทฤษฎีการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอได้รับการกล่าวถึงโดย Cauchy (1821) โดย Abel ได้ชี้ให้เห็นถึงข้อจำกัดของเขา แต่ผู้ที่ประสบความสำเร็จในการวิเคราะห์ทฤษฎีนี้เป็นคนแรกคือSeidelและStokes (1847–48) Cauchy ได้หยิบยกปัญหานี้ขึ้นมาอีกครั้ง (1853) โดยยอมรับคำวิจารณ์ของ Abel และได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับที่ Stokes ได้ค้นพบแล้ว Thomae ได้นำหลักการนี้มาใช้ (1866) แต่ก็มีความล่าช้าอย่างมากในการตระหนักถึงความสำคัญของการแยกแยะระหว่างการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการลู่เข้าแบบไม่สม่ำเสมอ แม้ว่าทฤษฎีฟังก์ชันจะต้องการเช่นนั้นก็ตาม

อนุกรมจะเรียกว่าเป็นอนุกรมกึ่งลู่เข้า (หรือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข) หากอนุกรมนั้นลู่เข้าแต่ไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์

ปัวซง (1823) ได้ศึกษาอนุกรมกึ่งลู่เข้า และยังได้ให้รูปแบบทั่วไปสำหรับเศษเหลือของสูตรแมคลาลินด้วย อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาที่สำคัญที่สุดนั้นมาจากจาโคบี (1834) ซึ่งได้พิจารณาคำถามเกี่ยวกับเศษเหลือจากมุมมองที่แตกต่างออกไปและได้สูตรที่แตกต่างออกไป สูตรนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเช่นกัน และยังมีสูตรอื่น ๆ อีกด้วยโดยมัลม์สเตน (1847) ชโลมิลช์ ( Zeitschrift , Vol.I, p. 192, 1856) ยังได้ปรับปรุงเศษเหลือของจาโคบี และแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเศษเหลือกับฟังก์ชันของเบอร์นูลลี

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Genocchi (1852) ได้มีส่วนช่วยเพิ่มเติมในทฤษฎีนี้

หนึ่งในนักเขียนยุคแรกคือวรอนสกีซึ่งผลงาน "loi suprême" (1815) ของเขานั้นแทบไม่เป็นที่รู้จัก จนกระทั่งเคย์ลีย์ (1873) นำมาเผยแพร่ให้เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง

อนุกรมฟูริเยร์ได้รับการศึกษาโดยพิจารณาจากหลักการทางฟิสิกส์ในขณะเดียวกันกับที่เกาส์ อาเบล และโคชี กำลังพัฒนาทฤษฎีอนุกรมอนันต์ อนุกรมสำหรับการขยายค่าไซน์และโคไซน์ และส่วนโค้งหลายส่วนในกำลังของไซน์และโคไซน์ของส่วนโค้งนั้นได้รับการศึกษาโดยยา คอบ เบอร์นูลลี (1702) และโยฮันน์ เบอร์นูลลี (1701) น้องชายของเขา และก่อนหน้านั้นโดยเวียตาออยเลอร์และลากรองจ์ได้ทำให้เรื่องนี้ง่ายขึ้น เช่นเดียวกับปวงโซต์ชโรเตอร์เกลเชอ ร์ และคุมเมอร์

ฟูริเยร์ (1807) ตั้งปัญหาที่แตกต่างออกไป คือการขยายฟังก์ชันที่กำหนดของ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ในรูปของไซน์หรือโคไซน์ของพหุคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ซึ่งเป็นปัญหาที่เขารวบรวมไว้ในThéorie analytique de la chaleur (1822) ออยเลอร์ได้ให้สูตรสำหรับการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในอนุกรมไว้แล้ว ฟูริเยร์เป็นคนแรกที่ยืนยันและพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไปปัวซง (1820–23) ก็ได้แก้ปัญหานี้จากมุมมองที่แตกต่างออกไปเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ฟูริเยร์ไม่ได้แก้ปัญหาเรื่องการลู่เข้าของอนุกรมของเขา ซึ่งเป็นเรื่องที่โคชี (1826) พยายามแก้ไข และดิริชเลต์ (1829) ได้จัดการอย่างละเอียดถี่ถ้วนในเชิงวิทยาศาสตร์ (ดูการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ ) การวิเคราะห์อนุกรมตรีโกณมิติของ Dirichlet ( Crelle , 1829) ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์และปรับปรุงโดย Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfliและ du Bois-Reymondนอกจากนี้ ผู้มีส่วนร่วมสำคัญในทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติและอนุกรมฟูริเยร์ ได้แก่Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly และAppell

อาจมีการกำหนดคำจำกัดความสำหรับผลรวมอนันต์เหนือเซตดัชนีใดๆ^{[ 87 ]} การวางนัยทั่วไปนี้ทำให้เกิดความแตกต่างหลักสองประการจากแนวคิดปกติของอนุกรม: ประการแรก อาจไม่มีลำดับเฉพาะที่กำหนดบนเซตประการที่สอง เซตอาจนับไม่ได้ แนวคิดของการลู่เข้าจำเป็นต้องได้รับการพิจารณาใหม่สำหรับสิ่งเหล่านี้ เพราะตัวอย่างเช่น แนวคิดของการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับลำดับของเซตดัชนี ${\displaystyle I.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันจากเซตดัชนี หนึ่ง ไปยังอีกเซตหนึ่ง "อนุกรม" ที่เกี่ยวข้องกับคือผลรวมอย่างเป็นทางการขององค์ประกอบต่างๆเหนือองค์ประกอบดัชนีที่แสดงด้วย ${\displaystyle a:I\mapsto G}$${\displaystyle I}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a(x)\in G}$${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

เมื่อเซตดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่เขียนแทนด้วยอนุกรมที่มีดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวมเชิงรูปแบบที่มีลำดับ ดังนั้นเราจึงเขียนใหม่เป็นเพื่อเน้นลำดับที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับอนุกรมที่มีดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

เมื่อทำการบวกกลุ่มของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเหนือเซตดัชนีให้กำหนด ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

ผลรวมใดๆ ของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบเทียบกับมาตรวัดการนับซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้โครงสร้างทั้งสองมีความคล้ายคลึงกันหลายประการ

เมื่อค่าสูงสุดเป็นจำนวนจำกัด เซตของค่าสูงสุดนั้นจะเป็นเซตที่นับได้ อันที่จริง สำหรับทุกค่าสูงสุดของเซตนั้น จำนวนสมาชิกของเซตจะเป็นจำนวนจำกัด เพราะ ${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle a_{i}>0}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$