ในทฤษฎีเซตเซตย่อยของปริภูมิโปแลนด์ เรียกว่าเซตอนันต์-บอเรลถ้าสามารถได้มาโดยเริ่มต้นจากเซตเปิดของและทำซ้ำการดำเนินการเติมเต็มและการรวมกันแบบมีลำดับ อย่างไม่ จำกัด แนวคิดนี้มักถูกพิจารณาโดยไม่มีการสมมติสัจพจน์ของการเลือกซึ่งหมายความว่าเซตอนันต์-บอเรลอาจไม่ปิดภายใต้การรวมกันแบบมีลำดับที่ดี ดูด้านล่าง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

เรากำหนดเซตของรหัส ∞-Borel และฟังก์ชันการตีความไว้ด้านล่างเซต ∞-Borelคือเซตย่อยของซึ่งอยู่ในภาพของฟังก์ชันการตีความ ${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\|-\right\|:C\to {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\|-\right\|}$

เซตของรหัส ∞-Borel เป็นประเภทอุปนัย ที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันและสำหรับแต่ละ; ฟังก์ชันการตีความถูกกำหนดแบบอุปนัยเป็นและโดยที่แทนจำนวน Hartogsของ : จำนวน เชิงอันดับที่มีขนาดใหญ่พอสมควรซึ่งไม่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ไปยังการจำกัดเฉพาะยูเนียนที่มีความยาวต่ำกว่าไม่ส่งผลกระทบต่อยูเนียนที่เป็นไปได้ (เนื่องจากยูเนียนใดๆ ที่มีความยาวสามารถแทนที่ด้วยยูเนียนที่มีความยาวโดยการลบรายการที่ซ้ำกัน) แต่รับประกันว่ารหัส ∞-Borel ก่อตัวเป็นเซต ไม่ใช่คลาสที่แท้จริง ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathtt {open}}:{\mathcal {O}}(X)\to C}$${\displaystyle {\mathtt {comp}}:C\to C}$${\displaystyle {\mathtt {union}}_{\alpha }:C^{\alpha }\to C}$${\displaystyle \alpha <\Xi }$${\displaystyle \left\|{\mathtt {open}}(U)\right\|=U}$${\displaystyle \left\|{\mathtt {comp}}(c)\right\|=X\setminus \left\|c\right\|}$${\displaystyle \left\|{\mathtt {union}}_{\alpha }({\vec {c}})\right\|=\cup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \geq \Xi }$${\displaystyle <\Xi }$

สามารถอธิบายในเชิงทฤษฎีเซตได้โดยใช้การเรียกซ้ำแบบ อนันต์ ดังนี้:

• สำหรับเซตย่อยเปิดทุกเซตคู่ลำดับจะเป็นรหัสบอเรลอนันต์ การตีความคือ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \left\langle 0,U\right\rangle }$${\displaystyle U}$
• ถ้าเป็นรหัสบอเรลอนันต์แล้วคู่ลำดับก็เป็นรหัสบอเรลอนันต์เช่นกัน การตีความของมันคือส่วนเติมเต็มของนั่นคือ${\displaystyle c}$${\displaystyle \left\langle 1,c\right\rangle }$${\displaystyle \left\|c\right\|}$${\displaystyle X\setminus \left\|c\right\|}$
• ถ้า เป็น ลำดับ ของรหัส ∞-Borel ที่มีความยาว α สำหรับลำดับ α < Ξ บางค่า (นั่นคือ ถ้าสำหรับทุก β < α, เป็นรหัส ∞-Borel) แล้วคู่ลำดับเป็นรหัส ∞-Borel และการตีความคือ${\displaystyle {\vec {c}}}$${\displaystyle c_{\beta }}$${\displaystyle \left\langle 2,{\vec {c}}\right\rangle }$${\displaystyle \bigcup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|}$

สัจพจน์ของการเลือกบ่งชี้ว่าทุกเซตสามารถเรียงลำดับได้ดี และด้วยเหตุนี้ ทุกเซตย่อยของปริภูมิ Polish ทุกปริภูมิจึงเป็น ∞-Borel ดังนั้น แนวคิดนี้จึงน่าสนใจเฉพาะในบริบทที่สัจพจน์ของการเลือกไม่เป็นจริง (หรือไม่เป็นที่ทราบกันว่าเป็นจริง) น่าเสียดายที่หากไม่มีสัจพจน์ของการเลือก ก็ไม่ชัดเจนว่าเซต ∞-Borel ปิดภายใต้การรวมกันที่เรียงลำดับได้ดีหรือไม่ เนื่องจากเมื่อกำหนดการรวมกันที่เรียงลำดับได้ดีของเซต ∞-Borel แต่ละเซตอาจมี รหัส ∞-Borel หลายรหัส และอาจไม่มีวิธีใดที่จะเลือกรหัสหนึ่งรหัสสำหรับแต่ละเซต เพื่อสร้างรหัสสำหรับการรวมกันได้

ข้อสมมติฐานที่ว่าเซตของจำนวนจริงทุกเซตเป็น ∞-Borel เป็นส่วนหนึ่งของAD ⁺ซึ่งเป็นการขยายสัจพจน์ของความแน่นอน ที่ ศึกษา โดยWoodin

เป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างยิ่งที่จะตีความคำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการในตอนต้นของบทความนี้ว่า เซต ∞-Borel เป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของเซตที่ประกอบด้วยเซตเปิดทั้งหมด และปิดภายใต้การเติมเต็มและการรวมกันแบบเรียงลำดับที่ดี นั่นคือ เราอาจต้องการละทิ้งรหัส ∞-Borel ไปเลย และลองใช้คำจำกัดความแบบนี้แทน: ${\displaystyle X}$

สำหรับลำดับที่ α แต่ละตัวที่กำหนดโดยการเวียนเกิดแบบอนันต์ B ดังต่อไปนี้:

1. B คือกลุ่มของเซตย่อยเปิดทั้งหมดของ${\displaystyle X}$
2. สำหรับลำดับคู่ α ที่กำหนดให้ B คือการรวมกันของ B กับเซตของส่วนเติมเต็ม ทั้งหมด ของเซตในB
3. สำหรับลำดับคู่ α ที่กำหนดให้ B คือเซตของการรวมกันแบบมีลำดับที่ดี ของเซตใน B ทั้งหมด
4. สำหรับลำดับลิมิต ที่กำหนด แล, B คือการรวมกันของ B ทั้งหมด สำหรับ α<แล

B เท่ากับ B สำหรับทุก β>Ξ; จากนั้น B จะเป็นชุดของ "เซตบอเรลอนันต์"

เซตนี้ปิดอย่างชัดเจนภายใต้การรวมกันแบบเรียงลำดับที่ดี แต่หากปราศจากสัจพจน์ของการเลือก ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเท่ากับเซต ∞-Borel (ตามที่นิยามไว้ในส่วนก่อนหน้า) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตนี้อาจประกอบด้วยการรวมกันของลำดับของเซต ∞-Borel ซึ่งไม่สามารถเลือกโค้ดสำหรับแต่ละเซตได้เซตนี้คือการปิดของเซต ∞-Borel ภายใต้การ รวมกันแบบเรียงลำดับที่ดี ทั้งหมด (และส่วนเติมเต็ม) แม้แต่เซตที่ไม่สามารถเลือกโค้ดได้ก็ตาม ${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle b_{\beta }}$

สำหรับเซตย่อยของปริภูมิแบร์หรือปริภูมิแคนเตอร์มีนิยามทางเลือกที่กระชับกว่า (แม้จะไม่ชัดเจนเท่า) ซึ่งปรากฏว่าเทียบเท่ากัน เซตย่อยAของปริภูมิแบร์เป็นเซตอนันต์-โบเรลก็ต่อเมื่อมีเซตของลำดับSและสูตรอันดับหนึ่งφในภาษาของทฤษฎีเซตซึ่งสำหรับทุกxในปริภูมิแบร์

${\displaystyle x\in A\iff L[S,x]\models \phi (S,x)}$

โดยที่L [ S , x ] คือเอกภพที่สร้างได้ของเกอเดลซึ่งสัมพันธ์กับSและxเมื่อใช้นิยามนี้ รหัส ∞-Borel จะประกอบขึ้นจากเซตSและสูตรφรวมกัน