ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและทฤษฎีสารสนเทศ ข้อมูลปฏิสัมพันธ์เป็นการขยายความของข้อมูลร่วมกัน สำหรับ ตัวแปรมากกว่าสองตัว

มีชื่อเรียกมากมายสำหรับข้อมูลปฏิสัมพันธ์ รวมถึงปริมาณข้อมูล [ ^{1 ] ความ} สัมพันธ์ ของข้อมูล^{[ 2 ]} ข้อมูลร่วม^{[ 3 ]}และเรียกง่ายๆ ว่าข้อมูลร่วมกัน^{[ 4 ]}ข้อมูลปฏิสัมพันธ์แสดงถึงปริมาณข้อมูล (ความซ้ำซ้อนหรือการทำงานร่วมกัน) ที่ผูกติดอยู่กับชุดของตัวแปรนอกเหนือจากที่มีอยู่ในชุดย่อยใดๆ ของตัวแปรเหล่านั้น แตกต่างจากข้อมูลร่วมกัน ข้อมูลปฏิสัมพันธ์สามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกหรือค่าลบ ฟังก์ชันเหล่านี้ ความเป็นลบ และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเหล่านี้มีการตีความโดยตรงในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 5 ]}

ข้อมูลร่วมแบบมีเงื่อนไขสามารถนำมาใช้กำหนดข้อมูลปฏิสัมพันธ์แบบอุปนัยสำหรับตัวแปรจำนวนจำกัดใดๆ ได้ดังนี้:

${\displaystyle I(X_{1};\ldots ;X_{n+1})=I(X_{1};\ldots ;X_{n})-I(X_{1};\ldots ;X_{n}\mid X_{n+1}),}$

ที่ไหน

${\displaystyle I(X_{1};\ldots ;X_{n}\mid X_{n+1})=\mathbb {E} _{X_{n+1}}{\big (}I(X_{1};\ldots ;X_{n})\mid X_{n+1}{\big )}.}$

ผู้เขียนบางคน^{[ 6 ]}กำหนดข้อมูลปฏิสัมพันธ์แตกต่างกัน โดยสลับสองเทอมที่ถูกลบในสมการก่อนหน้า ซึ่งมีผลทำให้เครื่องหมายกลับกันสำหรับจำนวนตัวแปรคี่

สำหรับตัวแปรสามตัว${\displaystyle \{X,Y,Z\}}$ข้อมูลการโต้ตอบ${\displaystyle I(X;Y;Z)}$ได้รับจาก

${\displaystyle I(X;Y;Z)=I(X;Y)-I(X;Y\mid Z)}$

ที่ไหน${\displaystyle I(X;Y)}$คือข้อมูลร่วมกันระหว่างตัวแปร${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$, และ${\displaystyle I(X;Y\mid Z)}$คือข้อมูลร่วมแบบมีเงื่อนไขระหว่างตัวแปร${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ที่ให้ไว้${\displaystyle Z}$ข้อมูลปฏิสัมพันธ์มีความสมมาตรดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าตัวแปรใดเป็นตัวกำหนดเงื่อนไข สามารถเห็นได้ง่ายเมื่อเขียนข้อมูลปฏิสัมพันธ์ในรูปของเอนโทรปีและเอนโทรปีร่วมดังนี้:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}I(X;Y;Z)&=&&\;{\bigl (}H(X)+H(Y)+H(Z){\bigr )}\\&&&-{\bigl (}H(X,Y)+H(X,Z)+H(Y,Z){\bigr )}\\&&&+H(X,Y,Z)\end{alignedat}}}$

โดยทั่วไป สำหรับชุดตัวแปร${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}}$ข้อมูลการปฏิสัมพันธ์สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ (เปรียบเทียบกับการประมาณค่าของ Kirkwood ):

${\displaystyle I({\mathcal {V}})=\sum _{{\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {V}}}(-1)^{\left\vert {\mathcal {T}}\right\vert -1}H({\mathcal {T}})}$

สำหรับตัวแปรสามตัว ข้อมูลปฏิสัมพันธ์จะวัดอิทธิพลของตัวแปรนั้น ๆ${\displaystyle Z}$ขึ้นอยู่กับปริมาณข้อมูลที่แบ่งปันระหว่างกัน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เพราะว่าคำนั้น${\displaystyle I(X;Y\mid Z)}$อาจมีขนาดใหญ่กว่า${\displaystyle I(X;Y)}$ข้อมูลการปฏิสัมพันธ์อาจเป็นได้ทั้งด้านลบและด้านบวก ตัวอย่างเช่น จะเกิดขึ้นเมื่อ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เป็นอิสระต่อกัน แต่ไม่ใช่เป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนด${\displaystyle Z}$ข้อมูลปฏิสัมพันธ์เชิงบวกบ่งชี้ว่าตัวแปรนั้น${\displaystyle Z}$ยับยั้ง (กล่าวคืออธิบายหรือชี้แจงบางส่วนของ) ความสัมพันธ์ระหว่าง${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ในขณะที่ข้อมูลปฏิสัมพันธ์เชิงลบบ่งชี้ว่าตัวแปรนั้น${\displaystyle Z}$ช่วยส่งเสริมหรือเสริมสร้างความสัมพันธ์นั้นให้ดียิ่งขึ้น

ความเป็นไปได้ที่ข้อมูลปฏิสัมพันธ์จะเป็นลบอาจเป็นสาเหตุของความสับสนบางประการ^{[ 3 ]}ผู้เขียนหลายคนถือว่าข้อมูลปฏิสัมพันธ์เป็นศูนย์เป็นสัญญาณว่าตัวแปรสุ่มสามตัวขึ้นไปไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน แต่การตีความนี้ผิด^{[ 7 ]}

เพื่อให้เห็นภาพว่าการตีความนั้นยากเพียงใด ลองพิจารณาชุดตัวแปรไบนารี อิสระแปดตัว${\displaystyle \{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},X_{7},X_{8}\}}$รวบรวมตัวแปรเหล่านี้เข้าด้วยกันดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}&=\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},X_{7}\}\\Y_{2}&=\{X_{4},X_{5},X_{6},X_{7}\}\\Y_{3}&=\{X_{5},X_{6},X_{7},X_{8}\}\end{aligned}}}$

เพราะว่า${\displaystyle Y_{i}}$ค่าต่างๆ เหล่านั้นทับซ้อนกัน (ซ้ำซ้อน) ในตัวแปรไบนารีทั้งสามตัว${\displaystyle \{X_{5},X_{6},X_{7}\}}$เราคาดหวังว่าจะได้รับข้อมูลการโต้ตอบ${\displaystyle I(Y_{1};Y_{2};Y_{3})}$เท่ากับ${\displaystyle 3}$บิต ซึ่งมันก็ทำได้ อย่างไรก็ตาม ลองพิจารณาตัวแปรที่รวมกันแล้วดู

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}&=\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},X_{7}\}\\Y_{2}&=\{X_{4},X_{5},X_{6},X_{7}\}\\Y_{3}&=\{X_{5},X_{6},X_{7},X_{8}\}\\Y_{4}&=\{X_{7},X_{8}\}\end{aligned}}}$

ตัวแปรเหล่านี้เหมือนกับก่อนหน้านี้ แต่เพิ่มเติมเข้ามาคือ${\displaystyle Y_{4}=\{X_{7},X_{8}\}}$. อย่างไรก็ตาม,${\displaystyle I(Y_{1};Y_{2};Y_{3};Y_{4})}$ในกรณีนี้ เท่ากับ${\displaystyle +1}$บิต ซึ่งบ่งชี้ถึงความซ้ำซ้อนที่น้อยลง นี่ถูกต้องในแง่ที่ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}I(Y_{1};Y_{2};Y_{3};Y_{4})&=I(Y_{1};Y_{2};Y_{3})-I(Y_{1};Y_{2};Y_{3}|Y_{4})\\&=3-2\\&=1\end{aligned}}}$

แต่ก็ยังคงตีความได้ยากอยู่ดี

• Jakulin และ Bratko (2003b) นำเสนอ อัลกอริทึม การเรียนรู้ของเครื่องที่ใช้ข้อมูลปฏิสัมพันธ์
• Killian, Kravitz และ Gilson (2007) ใช้การขยายข้อมูลร่วมกันเพื่อดึงค่าประมาณเอนโทรปีจากการจำลองโมเลกุล^{[ 8 ]}
• LeVine และ Weinstein (2014) ใช้ข้อมูลปฏิสัมพันธ์และมาตรวัดข้อมูล N-body อื่นๆ เพื่อหาปริมาณการเชื่อมโยงแบบอัลโลสเตอริกในการจำลองโมเลกุล^{[ 9 ]}
• Moore et al. (2006), Chanda P, Zhang A, Brazeau D, Sucheston L, Freudenheim JL, Ambrosone C, Ramanathan M. (2007) และ Chanda P, Sucheston L, Zhang A, Brazeau D, Freudenheim JL, Ambrosone C, Ramanathan M. (2008) แสดงให้เห็นถึงการใช้ข้อมูลปฏิสัมพันธ์ในการวิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ระหว่างยีนกับยีนและยีนกับสิ่งแวดล้อมที่เกี่ยวข้องกับโรคที่ซับซ้อน
• Pandey และ Sarkar (2017) ใช้ข้อมูลปฏิสัมพันธ์ในจักรวาลวิทยาเพื่อศึกษาอิทธิพลของสภาพแวดล้อมขนาดใหญ่ที่มีต่อคุณสมบัติของกาแล็กซี
• มี แพ็กเกจ Python สำหรับคำนวณข้อมูลปฏิสัมพันธ์หรือข้อมูลร่วมกันแบบหลายตัวแปร ข้อมูลร่วมกันแบบมีเงื่อนไข เอนโทรปีร่วม ความสัมพันธ์ทั้งหมดระยะทางข้อมูลในชุดข้อมูลที่มีตัวแปร n ตัว^{[ 10 ]}

• ข้อมูลร่วมกัน
• ความสัมพันธ์โดยรวม
• ความสัมพันธ์รวมคู่
• การแยกส่วนข้อมูลบางส่วน