ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีหมวดหมู่กฎการสลับเปลี่ยน (หรือกฎการแลกเปลี่ยน^{[ 1 ]} ) เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบแนวตั้งและ แนวนอน ของ การ แปลงธรรมชาติ

ให้และโดยที่เป็นฟังก์ชันและเป็นหมวดหมู่ นอกจากนี้ ให้และในขณะที่และโดยที่เป็นการแปลงธรรมชาติ เพื่อความเรียบง่ายและเพื่อประโยชน์ของบทความนี้ ให้และเป็นการแปลงธรรมชาติ "รอง" และและเป็นการแปลงธรรมชาติ "หลัก" จากที่กล่าวมาข้างต้น เรามีกฎการสลับเปลี่ยน ซึ่งกล่าวว่าองค์ประกอบแนวนอน ( ) ขององค์ประกอบแนวตั้งหลัก ( ) และองค์ประกอบแนวตั้งรอง ( ) เท่ากับองค์ประกอบแนวตั้ง ( ) ของแต่ละองค์ประกอบแนวนอนรองหลังหลัก ( ); กล่าวโดยย่อคือ. ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังปรากฏในหมวดหมู่โมโนอิดัลซึ่งองค์ประกอบคลาสสิก ( ) และผลคูณเทนเซอร์ ( ) เข้ามาแทนที่การเป็นหุ้นส่วนขององค์ประกอบแนวนอนและองค์ประกอบแนวตั้ง และแสดงด้วย. ^{[ 3 ]}${\textstyle \mathbf {F,\,G,\,H}$ :\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {D} } ${\textstyle \mathbf {{\bar {F}},\,{\bar {G}},\,{\bar {H}}}$ :\mathbb {D} \longrightarrow \mathbb {E} } ${\textstyle \mathbf {F,\,G,\,H,\,{\bar {F}},\,{\bar {G}},\,{\bar {H}}} }$${\textstyle \mathbb {C} ,\,\mathbb {D} ,\,\mathbb {E} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}:\mathbf {F\longrightarrow G} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}:\mathbf {G\longrightarrow H} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}:\mathbf {{\bar {F}}\longrightarrow {\bar {G}}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\beta }}}:\mathbf {{\bar {G}}\longrightarrow {\bar {H}}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},\,{\boldsymbol {\bar {\alpha }}},\,{\boldsymbol {\bar {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\bar {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\alpha }}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\beta }}}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \bullet }$${\displaystyle \bullet }$${\displaystyle \bullet }$${\displaystyle \circ }$${\textstyle ({\bar {\boldsymbol {\beta }}}\ \bullet \ {\bar {\boldsymbol {\alpha }}})\circ \ ({\boldsymbol {\beta }}\ \bullet \ {\boldsymbol {\alpha }})\ =({\bar {\boldsymbol {\beta }}}\ \circ \ {\boldsymbol {\beta }})\ \bullet \ ({\bar {\boldsymbol {\alpha }}}\ \circ \ {\boldsymbol {\alpha }})}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle (g\circ f)\otimes (j\circ h)=(g\otimes j)\circ (f\otimes h)}$

คำว่า "การแลกเปลี่ยน" มาจากการสังเกตว่าองค์ประกอบและการเปลี่ยนแปลงทางธรรมชาติในด้านหนึ่งนั้นถูกสลับหรือ "แลกเปลี่ยน" กับอีกด้านหนึ่ง ความสัมพันธ์ทั้งหมดสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพต่อไปนี้

ถ้าเรานำบริบทนี้ไปใช้กับหมวดหมู่ฟังก์ชันและสังเกตการแปลงธรรมชาติภายในหมวดหมู่และภายในหมวดหมู่เราสามารถจินตนาการถึงฟังก์ชันได้เช่นนั้น${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}:\mathbf {F\longrightarrow G} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}:\mathbf {G\longrightarrow H} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}:\mathbf {{\bar {F}}\longrightarrow {\bar {G}}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\beta }}}:\mathbf {{\bar {G}}\longrightarrow {\bar {H}}} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Gamma :V\longrightarrow W}$

การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติถูกแสดงไว้ดังนี้:

• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\alpha }})\longrightarrow {\boldsymbol {\bar {\alpha }}},\,}$
• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\beta }})\longrightarrow {\boldsymbol {\bar {\beta }}},\,}$
• และ;${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\beta }}\ \bullet \ {\boldsymbol {\alpha }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\bar {\beta }}}\ \bullet \ {\boldsymbol {\bar {\alpha }}})}$

ฟังก์ชันต่างๆ ก็ได้รับการแมปตามนั้นเช่นกัน:

• ${\displaystyle \Gamma ({\boldสัญลักษณ์ {\mathbf {F} }})\longrightarrow ({\boldสัญลักษณ์ {\mathbf {\bar {F}} }}),\,}$
• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\mathbf {G} }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\mathbf {\bar {G}} }}),\,}$
• และ.${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\mathbf {H} }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\mathbf {\bar {H}} }})}$

• ให้เป็นผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์และเมทริกซ์ที่กำหนดโดย${\displaystyle \sigma '\circ \sigma }$${\displaystyle \sigma ',\sigma }$${\displaystyle \tau \cdot \sigma }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\tau &\,\\\,&\sigma \end{bmatrix}}}$จากนั้นคู่ดังกล่าวจะสอดคล้องกับกฎการแลกเปลี่ยน^{[ 2 ]}${\displaystyle \circ ,\cdot }$

• ให้เป็นกลุ่มทางทอพอโลยี และสำหรับลูปบนให้เป็นการต่อกันของลูปสองลูปและผลคูณแบบจุดต่อจุด กล่าวคือ. จากนั้นกฎการสลับเปลี่ยนจะใช้ได้กับ. ^{[ 4 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle \อัลฟา ,\เบต้า }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \beta \circ \alpha }$${\displaystyle \beta \cdot \alpha }$${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)=\beta (t)\alpha (t)}$${\displaystyle \circ ,\cdot }$

ข้อโต้แย้ง ของEckmann–Hiltonระบุข้อเท็จจริงที่น่าประหลาดใจดังต่อไปนี้: ให้เป็นเซต และสมมติว่าเป็นโมโนอิดในสองวิธี: มีการดำเนินการทวิภาคสองแบบถ้าเอกลักษณ์ทั้งสองเหมือนกัน และถ้ากฎการสลับเปลี่ยนเป็นจริงสำหรับแล้วและการดำเนินการร่วมกันเป็นแบบสลับที่ได้^{[ 5 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle *,\cdot }$${\displaystyle e_{\cdot }=e_{*}}$${\displaystyle *,\cdot }$${\displaystyle \cdot =*}$