ในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์หมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle D^{C}}$เป็นหมวดหมู่ที่วัตถุคือฟังก์ชัน${\displaystyle F:C\to D}$และมอร์ฟิซึมคือการแปลงทางธรรมชาติ${\displaystyle \eta :F\to G}$ระหว่างฟังก์ชัน (ในที่นี้${\displaystyle G:C\to D}$(เป็นวัตถุอีกชิ้นหนึ่งในหมวดหมู่) หมวดหมู่ฟังก์ชันมีความน่าสนใจด้วยเหตุผลหลักสองประการ:

• หมวดหมู่ที่พบได้ทั่วไปจำนวนมากเป็นหมวดหมู่ฟังก์ชัน (ที่ปลอมตัวมา) ดังนั้นข้อความใดๆ ที่พิสูจน์ได้สำหรับหมวดหมู่ฟังก์ชันทั่วไปจึงสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง
• ทุกหมวดหมู่สามารถฝังตัวอยู่ในหมวดหมู่ฟังก์ชัน (ผ่านการฝังตัวแบบโยเนดะ ) ได้ โดยหมวดหมู่ฟังก์ชันมักมีคุณสมบัติที่ดีกว่าหมวดหมู่ดั้งเดิม ทำให้สามารถดำเนินการบางอย่างที่ไม่มีในบริบทดั้งเดิมได้

สมมติ${\displaystyle C}$เป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก (กล่าวคือ วัตถุและมอร์ฟิซึมก่อตัวเป็นเซตแทนที่จะเป็นคลาสที่แท้จริง ) และ${\displaystyle D}$เป็นหมวดหมู่ที่กำหนดขึ้นเอง หมวดหมู่ของฟังก์ชันจาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle D}$เขียนเป็น Fun(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$), ฟังก์ชัน(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$),${\displaystyle [C,D]}$, หรือ${\displaystyle D^{C}}$โดยมีวัตถุเป็นฟังก์ชันร่วมแปรจาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle D}$และในฐานะมอร์ฟิซึมคือการแปลงธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันดังกล่าว โปรดทราบว่าการแปลงธรรมชาติสามารถประกอบกันได้: ถ้า${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$เป็นการแปลงตามธรรมชาติจากฟังก์ชันเตอร์${\displaystyle F:C\to D}$ไปยังฟังก์ชัน${\displaystyle G:C\to D}$, และ ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$เป็นการแปลงตามธรรมชาติจากฟังก์ชันเตอร์${\displaystyle G}$ไปยังฟังก์ชัน${\displaystyle H}$จากนั้นจึงเป็นการเรียบเรียง${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$นิยามการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติจาก${\displaystyle F}$ถึง${\displaystyle H}$ด้วยองค์ประกอบของการแปลงทางธรรมชาติแบบนี้ (เรียกว่าองค์ประกอบแนวตั้ง ดูการแปลงทางธรรมชาติ ) ${\displaystyle D^{C}}$สอดคล้องกับสัจพจน์ของหมวดหมู่

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ของ ฟังก์ชัน คอนทราแวเรียนต์ ทั้งหมด จาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle D}$; เราเขียนสิ่งนี้เป็น Funct(${\displaystyle C^{\text{op}},D}$)

ถ้า${\displaystyle C}$และ${\displaystyle D}$ถ้าทั้งสองเป็นหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟ (กล่าวคือ เซตมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มอาเบเลียนและการประกอบมอร์ฟิซึมเป็นแบบทวิเชิงเส้น ) เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ของฟังก์ชันแอดดิที ฟทั้งหมด จาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle D}$ซึ่งแสดงด้วย Add(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$)

• ถ้า${\displaystyle I}$ถ้าเป็น หมวดหมู่แบบแยกส่วนขนาดเล็ก(กล่าวคือ มีเพียงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้น) แล้วจะเป็นฟังก์ชันจาก${\displaystyle I}$ถึง${\displaystyle C}$โดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยกลุ่มของวัตถุต่างๆ${\displaystyle C}$จัดทำดัชนีโดย${\displaystyle I}$หมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle C^{I}}$สามารถระบุได้ด้วยหมวดหมู่ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้อง: องค์ประกอบต่างๆ คือกลุ่มของวัตถุใน${\displaystyle C}$และมอร์ฟิซึมของมันคือตระกูลของมอร์ฟิซึมใน${\displaystyle C}$.

• หมวดหมู่ลูกศร${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$(ซึ่งวัตถุของมันคือมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และมอร์ฟิซึมของพวกมันเป็นกำลังสองที่สลับกันได้ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) ก็แค่${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$โดยที่2คือหมวดหมู่ที่มีวัตถุสองชิ้นและมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของวัตถุทั้งสอง รวมถึงลูกศรจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่ง (แต่ไม่มีลูกศรย้อนกลับมาอีกทาง)
• กราฟทิศทางประกอบด้วยเซตของลูกศรและเซตของจุดยอด และฟังก์ชันสองฟังก์ชันจากเซตของลูกศรไปยังเซตของจุดยอด โดยระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของลูกศรแต่ละอัน ดังนั้น หมวดหมู่ของกราฟทิศทางทั้งหมดจึงไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากหมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}^{C}}$, ที่ไหน${\displaystyle C}$คือหมวดหมู่ที่มีวัตถุสองชิ้นเชื่อมต่อกันด้วยมอร์ฟิซึมคู่ขนานสองตัว (ต้นทางและปลายทาง) และSetหมายถึงหมวดหมู่ของเซตเมื่อมองจากมุมมองนี้ กราฟแบบมีทิศทางดังกล่าวจึงมักเรียกว่าควีเวอร์ (quivers )
• กลุ่มใด ๆ${\displaystyle G}$สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียวซึ่งทุกมอร์ฟิซึมสามารถผกผันได้ หมวดหมู่ของทั้งหมด${\displaystyle G}$-setsเหมือนกับหมวดหมู่ฟังก์ชันSet^{${\displaystyle G}$}การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติคือ${\displaystyle G}$- แผนที่
• เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ หมวดหมู่ของการแสดงแทนเชิงเส้นKของกลุ่ม${\displaystyle G}$เหมือนกับหมวดหมู่ฟังก์ชันVect ^{${\displaystyle G}$}(โดยที่Vect หมายถึงหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ ทั้งหมด เหนือฟิลด์K )
• แหวนวงใดก็ได้${\displaystyle R}$สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกที่มีวัตถุเดียว หมวดหมู่ของโมดูล ด้านซ้าย เหนือ${\displaystyle R}$เหมือนกับหมวดหมู่ฟังก์ชันบวก Add(${\displaystyle R}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) (ที่ไหน${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$(หมายถึงหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ) และหมวดหมู่ของสิทธิ์${\displaystyle R}$-โมดูลคือ Add(${\displaystyle R^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). เนื่องจากตัวอย่างนี้ สำหรับหมวดหมู่ก่อนการบวกใดๆ${\displaystyle C}$หมวดหมู่ เพิ่ม(${\displaystyle C}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) บางครั้งเรียกว่า "หมวดหมู่ของโมดูลด้านซ้ายเหนือ"${\displaystyle C}$" และเพิ่ม(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) คือ "หมวดหมู่ของโมดูลด้านขวาเหนือ${\displaystyle C}$".
• หมวดหมู่ของพรีชีฟบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$เป็นหมวดหมู่ฟังก์ชัน: เราเปลี่ยนปริภูมิเชิงทอพอโลยีให้เป็นหมวดหมู่${\displaystyle C}$มีชุดเปิดใน${\displaystyle X}$ในฐานะวัตถุและการแปลงรูปเดียวจาก${\displaystyle U}$ถึง${\displaystyle V}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle U}$บรรจุอยู่ใน${\displaystyle V}$หมวดหมู่ของพรีชีฟของเซต (กลุ่มอาเบเลียน วงแหวน) บน${\displaystyle X}$ดังนั้น จึงเหมือนกับหมวดหมู่ของฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}}$(หรือ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$หรือ${\displaystyle {\textbf {แหวน}}}$). เนื่องจากตัวอย่างนี้ หมวดหมู่ Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}}$) บางครั้งเรียกว่า " หมวดหมู่ของพรีชีฟของเซตบน"${\displaystyle C}$"แม้แต่สำหรับหมวดหมู่ทั่วไป"${\displaystyle C}$ไม่ได้เกิดขึ้นจากปริภูมิเชิงทอพอโลยี เพื่อกำหนดชีฟบนหมวดหมู่ทั่วไป${\displaystyle C}$จำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติม: โครงสร้างแบบ Grothendieckบน${\displaystyle C}$(ผู้เขียนบางท่านอ้างถึงหมวดหมู่ที่ เทียบเท่ากับ... )${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}^{C}}$ในฐานะหมวดหมู่ก่อนรวงข้าว^{[ 1 ]} )

งานก่อสร้างส่วนใหญ่ที่สามารถดำเนินการได้ใน${\displaystyle D}$สามารถดำเนินการได้ใน${\displaystyle D^{C}}$โดยดำเนินการ "ทีละส่วน" แยกกันสำหรับแต่ละวัตถุใน${\displaystyle C}$ตัวอย่างเช่น หากวัตถุสองชิ้นใดๆ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ใน${\displaystyle D}$มีผลิตภัณฑ์${\displaystyle X\times Y}$จากนั้นฟังก์ชันสองตัวใดๆ${\displaystyle F}$และ${\displaystyle G}$ใน${\displaystyle D^{C}}$มีผลิตภัณฑ์${\displaystyle F\times G}$กำหนดโดย${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ สำหรับวัตถุทุกชิ้น${\displaystyle c}$ใน${\displaystyle C}$ในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$เป็นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ และแต่ละครั้ง${\displaystyle \eta _{c}}$มีเคอร์เนล${\displaystyle K_{c}}$ในหมวดหมู่${\displaystyle D}$จากนั้นแกนกลางของ${\displaystyle \eta }$ในหมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle D^{C}}$คือฟังก์ชัน${\displaystyle K}$กับ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$สำหรับวัตถุทุกชิ้น${\displaystyle c}$ใน${\displaystyle C}$.

ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีกฎทั่วไปคร่าวๆว่าหมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle D^{C}}$มีคุณสมบัติ "ดี" ส่วนใหญ่เหมือนกันกับ${\displaystyle D}$:

• ถ้า${\displaystyle D}$ถ้าสมบูรณ์ (หรือสมบูรณ์ร่วมกัน) แล้ว ถ้าสมบูรณ์เช่นกัน ก็เช่นกัน${\displaystyle D^{C}}$;
• ถ้า${\displaystyle D}$ถ้าเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียนแล้ว ก็เป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียนเช่นกัน${\displaystyle D^{C}}$;

นอกจากนี้เรายังมี:

• ถ้า${\displaystyle C}$หากเป็นหมวดหมู่เล็กๆ หมวดหมู่นั้นก็จะเป็นหมวดหมู่เล็กๆ เช่นกัน${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}^{C}}$ของพรีชีฟเป็นโทโพส

ดังนั้นจากตัวอย่างข้างต้น เราจึงสรุปได้ทันทีว่า ประเภทของกราฟแบบมีทิศทาง${\displaystyle G}$-เซตและพรีชีฟบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีล้วนเป็นทอพอยีที่สมบูรณ์และโคคอมพลีท และหมวดหมู่ของการแทนของ${\displaystyle G}$โมดูลเหนือวงแหวน${\displaystyle R}$และพรีชีฟของกลุ่มอาเบเลียนบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$ทั้งหมดเป็นอาเบเลียน สมบูรณ์ และโคคอมพลีท

การฝังหมวดหมู่${\displaystyle C}$ในหมวดหมู่ฟังก์ชันที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ใช้ทฤษฎีบทโยเนดะเป็นเครื่องมือหลัก สำหรับทุกวัตถุ${\displaystyle X}$ของ${\displaystyle C}$, อนุญาต${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$เป็นฟังก์ชันแทนแบบคอนทราแวเรียนต์จาก${\displaystyle C}$ถึง${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}}$ทฤษฎีบทโยเนดะกล่าวว่า การกำหนดค่า

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

เป็นการ ฝัง หมวดหมู่แบบสมบูรณ์${\displaystyle C}$เข้าสู่หมวดหมู่ Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {ตั้งค่า}}}$). ดังนั้น${\displaystyle C}$โดยธรรมชาติแล้วจะอยู่ภายในภูมิประเทศ

สามารถดำเนินการเช่นเดียวกันนี้ได้สำหรับหมวดหมู่ก่อนการบวกใดๆ${\displaystyle C}$: จากนั้นโยเนดะจึงสร้างการฝังตัวแบบสมบูรณ์ของ${\displaystyle C}$เข้าสู่หมวดหมู่ฟังก์ชัน Add(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). ดังนั้น${\displaystyle C}$โดยธรรมชาติแล้วจะอยู่ในหมวดหมู่แบบอาเบเลียน

สัญชาตญาณที่กล่าวถึงข้างต้น (ที่ว่าโครงสร้างที่สามารถดำเนินการได้ใน${\displaystyle D}$สามารถ "ยก" ขึ้นได้${\displaystyle D^{C}}$) สามารถระบุให้แม่นยำได้หลายวิธี วิธีที่กระชับที่สุดคือการใช้ภาษาของฟังก์ชันผกผันฟังก์ชันทุกตัว${\displaystyle F:D\to E}$เหนี่ยวนำฟังก์ชัน${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$(โดยการเรียบเรียงร่วมกับ)${\displaystyle F}$). ถ้า${\displaystyle F}$และ${\displaystyle G}$ถ้าเป็นคู่ของฟังก์ชันผกผันแล้ว${\displaystyle F^{C}}$และ${\displaystyle G^{C}}$นอกจากนี้ยังเป็นคู่ของฟังก์ชันผกผันอีกด้วย

หมวดหมู่ฟังก์ชัน${\displaystyle D^{C}}$มีคุณสมบัติเชิงรูปแบบทั้งหมดของวัตถุเลขชี้กำลังโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันจาก${\displaystyle E\times C\to D}$ ยืนหยัดในความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติกับฟังก์ชันจาก${\displaystyle E}$ถึง${\displaystyle D^{C}}$หมวดหมู่${\displaystyle {\textbf {แมว}}}$ดังนั้น หมวดหมู่ย่อยทั้งหมดที่มีฟังก์ชันเป็นมอร์ฟิซึมจึงเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียน

• แผนภาพ (ทฤษฎีหมวดหมู่)