ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันปัญหาของปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนเป็นปัญหาที่ยังแก้ไม่ตก โดยถามว่าตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ทุกตัว บนปริภูมิบานาคเชิงซ้อน ส่ง ปริภูมิย่อยปิดที่ไม่เป็นศูนย์ไปยังตัวมันเองหรือไม่ มีการแก้ปัญหาในรูปแบบต่างๆ มากมาย โดยการจำกัดประเภทของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตที่พิจารณา หรือโดยการระบุประเภทของปริภูมิบานาคที่เฉพาะเจาะจง ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ (กล่าวคือ ตัวอย่างแต่ละตัวดำเนินการที่พบจนถึงปัจจุบันที่ไม่มีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เป็นศูนย์ คือตัวดำเนินการที่กระทำบนปริภูมิบานาคที่ไม่สมมาตรกับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้)

ปัญหาดูเหมือนจะถูกกล่าวถึงในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 หลังจากงานของBeurlingและvon Neumann [ ^{1 ]}ซึ่งพบ (แต่ไม่เคยตีพิมพ์) วิธีแก้ปัญหาเชิงบวกสำหรับกรณีของตัวดำเนินการแบบกระชับ จากนั้น Paul Halmosได้ตั้งคำถามสำหรับกรณีของตัวดำเนินการ^ที่เป็นแบบกระชับ ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขในเชิงบวกสำหรับคลาสทั่วไปของตัวดำเนินการแบบกระชับพหุนาม (ตัวดำเนินการที่ เป็นตัวดำเนินการแบบกระชับสำหรับ พหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ที่เลือกอย่างเหมาะสม) โดยAllen R. BernsteinและAbraham Robinsonในปี 1966 (ดูการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน § ปัญหาพื้นที่ย่อยไม่แปรเปลี่ยนสำหรับบทสรุปของการพิสูจน์) ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$

สำหรับปริภูมิบานาคตัวอย่างแรกของตัวดำเนินการที่ไม่มีปริภูมิย่อยคงที่ถูกสร้างขึ้นโดยPer Enfloเขาเสนอตัวอย่างค้านสำหรับปัญหาปริภูมิย่อยคงที่ในปี 1975 และตีพิมพ์โครงร่างในปี 1976 Enflo ส่งบทความฉบับเต็มในปี 1981 และความซับซ้อนและความยาวของบทความทำให้การตีพิมพ์ล่าช้าไปจนถึงปี 1987 ^{[ 2 ]} "ต้นฉบับยาวของ Enflo มีการเผยแพร่ไปทั่วโลกในหมู่นักคณิตศาสตร์" ^{[ 1 ]}และแนวคิดบางส่วนได้รับการอธิบายในสิ่งพิมพ์อื่นนอกเหนือจาก Enflo (1976) ^{[ 3 ]}ผลงานของ Enflo เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการสร้างตัวดำเนินการที่ไม่มีปริภูมิย่อยคงที่ในลักษณะเดียวกันโดยBernard Beauzamyซึ่งยอมรับแนวคิดของ Enflo ^{[ 2 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1990 Enflo ได้พัฒนาแนวทาง "เชิงสร้างสรรค์" สำหรับปัญหาพื้นที่ย่อยไม่เปลี่ยนแปลงบนพื้นที่ฮิลเบิร์ต^{[ 4 ]}

ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2566 เอกสารฉบับร่างของ Enflo ปรากฏบน arXiv ^{[ 5 ]}ซึ่งหากถูกต้อง จะช่วยแก้ปัญหาสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตและทำให้ภาพรวมสมบูรณ์

ในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2566 เอกสารฉบับร่างอิสระฉบับที่สองของ Neville ปรากฏบน arXiv ^{[ 6 ]}ซึ่งอ้างว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้

ในทางทฤษฎีปัญหาของปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนสำหรับปริภูมิบานาค เชิงซ้อน ที่มีมิติ  > 1 คือคำถามว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ทุกตัวมี ปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนแบบปิดที่ ไม่ใช่ปริภูมิ ย่อยศูนย์หรือไม่ กล่าว คือ ปริภูมิย่อยเชิงเส้นแบบปิดของซึ่งแตกต่างจากและจากโดยที่${\displaystyle H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle W}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T(W)\subset W}$

คำตอบเชิงลบสำหรับปัญหานี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคุณสมบัติของวงโคจร ถ้าเป็นสมาชิกของปริภูมิบานาควงโคจรของภายใต้การกระทำของซึ่งแทนด้วยคือปริภูมิย่อยที่สร้างขึ้นโดยลำดับสิ่งนี้เรียกว่าปริภูมิย่อยแบบ -ไซคลิกที่สร้างขึ้นโดยจากนิยามจะเห็นได้ว่าเป็นปริภูมิย่อยแบบ -อินแวเรียนต์ ยิ่งไปกว่านั้น มันเป็นปริภูมิ ย่อยแบบ -อินแวเรียนต์ ที่เล็กที่สุดที่มี: ถ้าเป็นปริภูมิย่อยแบบอินแวเรียนต์อีกอันที่มีแล้วจำเป็นต้องเป็นสำหรับทุก(เนื่องจากเป็น-อินแวเรียนต์) และดังนั้นถ้าไม่เป็นศูนย์ แล้วไม่เท่ากับดังนั้นส่วนปิดของมันจึงเป็นปริภูมิทั้งหมด(ในกรณีนี้จะเรียกว่าเวกเตอร์ไซคลิกสำหรับ) หรือเป็นปริภูมิย่อยแบบ - อินแวเรียนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ตัวอย่างค้านสำหรับปัญหาปริภูมิย่อยแบบอินแวเรียนต์คือ ปริภูมิบานาคและตัวดำเนินการที่มีขอบเขตซึ่งเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวเป็นเวกเตอร์ไซคลิกสำหรับ(โดยที่ "เวกเตอร์วัฏจักร" สำหรับตัวดำเนินการบนปริภูมิบานาคหมายถึง เวกเตอร์ที่วงโคจรของ ตัวดำเนินการนั้น มีความหนาแน่นใน ปริภูมิบานาค ) ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{n}(x)\in W}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle W}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [x]\subset W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$

แม้ว่าปัญหาของปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนได้ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ก็มีกรณีอื่นๆ อีกหลายกรณีที่ได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (เหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน):

• สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด ตัวดำเนินการทุกตัวยอมรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ดังนั้นจึงมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่มีมิติเดียว
• ข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่สามารถแยกได้ (กล่าวคือ หากมีฐานเชิงตั้งฉากปกติที่นับไม่ได้ ) ในความเป็นจริง ถ้าเป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในการปิดบรรทัดฐานของวงโคจรเชิงเส้นจะสามารถแยกได้ (โดยการสร้าง) และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิย่อยที่เหมาะสมและไม่เปลี่ยนแปลงด้วย${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$
• ฟอน นอยมันน์แสดงให้เห็น^{[ 7 ]}ว่าตัวดำเนินการกระชับใดๆ บนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอย่างน้อย 2 จะมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เป็นศูนย์
• ทฤษฎีบทสเปกตรัม แสดงให้เห็นว่า ตัวดำเนินการปกติทั้งหมดมีปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลง
• Aronszajn & Smith (1954)พิสูจน์ว่าตัวดำเนินการกระชับ ทุกตัว บนปริภูมิบานาคใดๆ ที่มีมิติอย่างน้อย 2 จะมีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง
• เบิร์นสไตน์และโรบินสัน (1966)พิสูจน์โดยใช้การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานว่า ถ้าตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นแบบกระชับเชิงพหุนาม (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นแบบกระชับสำหรับพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์บางตัว) แล้วจะมีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง การพิสูจน์ของพวกเขาใช้แนวคิดดั้งเดิมของการฝังปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอนันต์ลงใน ปริภูมิฮิลเบิร์ต มิติไฮเปอร์ไฟไนต์ (ดูการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน#ปัญหาปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง )${\displaystyle T}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$
• Halmos (1966)หลังจากได้เห็นฉบับร่างของ Robinson แล้ว ได้ตัดการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐานออกไป และได้จัดทำฉบับแก้ไขที่สั้นกว่าในวารสารฉบับเดียวกัน
• Lomonosov (1973)ได้ให้การพิสูจน์ที่สั้นมากโดยใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Schauderว่าถ้าตัวดำเนินการบนปริภูมิ Banach สลับกับตัวดำเนินการกระชับที่ไม่เป็นศูนย์แล้วจะมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งรวมถึงกรณีของตัวดำเนินการกระชับพหุนามด้วย เพราะตัวดำเนินการจะสลับกับพหุนามใดๆ ในตัวมันเอง โดยทั่วไปแล้ว เขาแสดงให้เห็นว่าถ้าสลับกับตัวดำเนินการที่ไม่ใช่สเกลาร์ที่สลับกับตัวดำเนินการกระชับที่ไม่เป็นศูนย์แล้วจะมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยน^{[ 8 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$
• ตัวอย่างแรกของตัวดำเนินการบนปริภูมิบานาคที่ไม่มีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อยธรรมดาถูกค้นพบโดย Per Enflo  ( 1976 , 1987 ) และตัวอย่างของเขาได้รับการทำให้ง่ายขึ้นโดยBeauzamy (1985 )
• ตัวอย่างค้านแรกในปริภูมิบานาคแบบ "คลาสสิก" ถูกค้นพบโดยCharles Read  ( 1984 , 1985 ) ซึ่งได้อธิบายตัวดำเนินการในปริภูมิบานาคแบบคลาสสิกที่ไม่มีปริภูมิย่อยคงที่${\displaystyle l_{1}}$
• ต่อมาชาร์ลส์ รีด  ( 1988 ) ได้สร้างตัวดำเนินการบน โดยไม่มี เซตย่อยคงที่ปิดที่ไม่ใช่เซตย่อยธรรมดานั่นคือ สำหรับทุกเวกเตอร์เซตนั้นมีความหนาแน่น ซึ่งในกรณีนี้ เวกเตอร์นั้นเรียกว่าไฮเปอร์ไซคลิก (ความแตกต่างกับกรณีของเวกเตอร์ไซคลิกคือ ในกรณีนี้เราไม่ได้พิจารณาพื้นที่ย่อยที่สร้างขึ้นโดยจุดต่างๆ)${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$
• Atzmon (1983)ได้ยกตัวอย่างตัวดำเนินการที่ไม่มีปริภูมิย่อยคงที่บนปริภูมิFréchet นิวเคลียร์
• Śliwa (2008)พิสูจน์ว่าปริภูมิ Banach มิติอนันต์ใดๆ ที่มีประเภทนับได้เหนือฟิลด์ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนยอมรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตโดยไม่มีปริภูมิย่อยคงที่แบบปิดที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งแก้ปัญหาเวอร์ชันที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนของปัญหานี้ได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งเสนอโดย van Rooij และ Schikhof ในปี 1992
• Argyros & Haydon (2011)ได้เสนอการสร้างปริภูมิ Banach มิติอนันต์ โดยที่ตัวดำเนินการต่อเนื่องทุกตัวเป็นผลรวมของตัวดำเนินการกระชับและตัวดำเนินการสเกลาร์ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวดำเนินการทุกตัวจะมีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง