ในทางคณิตศาสตร์ชีฟที่ผกผันได้คือชีฟบนปริภูมิวงแหวนที่มีตัวผกผันโดยสัมพันธ์กับผลคูณเทนเซอร์ของชีฟของโมดูลมันเทียบเท่ากับแนวคิดทางโทโพโลยีของบันเดิลเส้นตรง ใน เรขาคณิต เชิงพีชคณิต เนื่องจากปฏิสัมพันธ์กับตัวหารคาร์เทียร์พวกมันจึงมีบทบาทสำคัญในการศึกษาความหลากหลายเชิงพีชคณิต

ให้ ( X , O ) เป็นปริภูมิวงแหวน ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟของ โมดูล O สร้างโมโนอิดภายใต้การดำเนินการของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลO องค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการดำเนินการนี้คือO เอง ชีฟที่ผกผันได้คือองค์ประกอบที่ผกผันได้ของโมโนอิดนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าLเป็นชีฟของ โมดูล O แล้วLเรียกว่า ชีฟ ที่ผกผันได้ถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• มีชีฟM อยู่จริง ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}}$.
• โฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม โดยที่${\displaystyle L^{\vee }}$แสดงถึงชีฟคู่${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})}$.
• ฟังก์ชันจากไปยังที่กำหนดโดย${\displaystyle F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L}$เป็นความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่

ชีฟอิสระเฉพาะที่ทุก ตัว ที่มีอันดับหนึ่งสามารถผกผันได้ ถ้าXเป็นปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่Lจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับหนึ่งเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ ชีฟที่ผกผันได้จึงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับบันเดิล เส้นตรง จนถึงขั้นที่บางครั้งทั้งสองอย่างถูกเข้าใจผิดว่าเป็นสิ่งเดียวกัน

ให้Xเป็นสกีมเชิงเส้นตรงSpec Rแล้วชีฟที่ผกผันได้บนX คือชีฟที่เชื่อมโยงกับ โมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่งเหนือRตัวอย่างเช่น สิ่งนี้รวมถึงไอเดียลเศษส่วนของฟิลด์จำนวนพีชคณิตเนื่องจากไอเดียลเหล่านี้เป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟอันดับหนึ่งเหนือวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน

โดยทั่วไปแล้ว ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟผกผันได้บนXนั้นเองจะก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนภายใต้ผลคูณเทนเซอร์ กลุ่มนี้เป็นการขยายกลุ่มชั้นอุดมคติโดยทั่วไปแล้วจะเขียนได้ว่า

${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)\ }$

โดยใช้Picซึ่งเป็นฟังก์ชัน Picardเนื่องจากฟังก์ชันนี้ยังรวมถึงทฤษฎีของวาไรตี้ Jacobianของเส้นโค้งพีชคณิตด้วย การศึกษาฟังก์ชันนี้จึงเป็นประเด็นสำคัญในเรขาคณิตพีชคณิต

การสร้างชีฟที่ผกผันได้โดยตรงโดยใช้ข้อมูลเกี่ยวกับXนำไปสู่แนวคิดของตัวหารคาร์เทียร์

• ชั้นเฟิร์สเชิร์น
• ทฤษฎีบทเบิร์คฮอฟฟ์-โกรเทนดิค