ชั้นเชิร์น (Chern classes) คือชั้นลักษณะเฉพาะ (characteristic classes ) เป็นค่าคงที่ทางโทโพโลยีที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเวกเตอร์ (vector bundles) บนแมนิโฟลด์เรียบ คำถามที่ว่ากลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มที่ดูเหมือนแตกต่างกันนั้นเป็นกลุ่มเดียวกันหรือไม่นั้นตอบได้ยาก ชั้นเชิร์นให้การทดสอบที่ง่าย: ถ้าชั้นเชิร์นของกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มไม่ตรงกัน แสดงว่ากลุ่มเวกเตอร์ทั้งสองนั้นแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง

ในวิชาโทโพโลยี เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การนับจำนวน ส่วนที่เป็น อิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์บันเดิลนั้นมักมีความสำคัญ คลาสเชิร์นให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้ เช่น ผ่านทฤษฎีบทรีมันน์-รอชและทฤษฎีบทดัชนีอาติยาห์-ซิงเกอร์

ชั้นเชิร์นสามารถคำนวณได้ในทางปฏิบัติเช่นกัน ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบางประเภท) ชั้นเชิร์นสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในสัมประสิทธิ์ของรูปแบบความโค้ง

มีหลายวิธีในการเข้าถึงหัวข้อนี้ โดยแต่ละวิธีจะเน้นไปที่ลักษณะเฉพาะของชั้นเชิร์นที่แตกต่างกันเล็กน้อย

แนวทางดั้งเดิมในการศึกษาชั้นเชิร์นนั้นมาจากการใช้โทโพโลยีเชิงพีชคณิต: ชั้นเชิร์นเกิดขึ้นจากทฤษฎีโฮโมโทปีซึ่งให้การแมปที่เชื่อมโยงกับกลุ่มเวกเตอร์ไปยังปริภูมิจำแนก ( ในกรณีนี้คือ กราสส์มัน เนียนอนันต์ ) สำหรับกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนV ใดๆ บนแมนิโฟลด์Mจะมีแผนที่fจากMไปยังปริภูมิจำแนกเช่นนั้น กลุ่มVจะเท่ากับพูลแบ็กโดยfของกลุ่มสากลบนปริภูมิจำแนก และชั้นเชิร์นของVจึงสามารถนิยามได้ว่าเป็นพูลแบ็กของชั้นเชิร์นของกลุ่มสากล ในทางกลับกัน ชั้นเชิร์นสากลเหล่านี้สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนในรูปของวัฏจักรชูเบิร์ต

สามารถแสดงได้ว่า สำหรับแผนที่สองแผนที่ใดๆfและgจากMไปยังปริภูมิจำแนกประเภท ซึ่งการดึงกลับ (pullback) เป็นกลุ่มเดียวกันVแผนที่ทั้งสองจะต้องเป็นโฮโมโทปิกกัน ดังนั้น การดึงกลับโดยfหรือgของชั้นเชิร์นสากลใดๆ ไปยังชั้นโคโฮโมโลยีของMจะต้องเป็นชั้นเดียวกัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชั้นเชิร์นของVนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี

แนวทางของเชิร์นใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยอาศัยวิธีการหาความโค้งซึ่งอธิบายไว้ในบทความนี้เป็นหลัก เขาแสดงให้เห็นว่านิยามก่อนหน้านี้เทียบเท่ากับนิยามของเขา ทฤษฎีที่ได้จึงเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีเชิร์น-ไวล์

นอกจากนี้ยังมีแนวทางของAlexander Grothendieckที่แสดงให้เห็นว่าโดยหลักการแล้วเราจำเป็นต้องกำหนดเฉพาะกรณีของกลุ่มเส้นตรงเท่านั้น

ชั้นเชิร์นเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ชั้นเชิร์นแบบทั่วไปในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสามารถกำหนดได้สำหรับเวกเตอร์บันเดิล (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือชีฟอิสระเฉพาะที่ ) เหนือวาไรตีที่ไม่เอกฐานใดๆ ชั้นเชิร์นในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตไม่จำเป็นต้องให้ฟิลด์พื้นฐานมีคุณสมบัติพิเศษใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์บันเดิลไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ไม่ว่าจะเป็นรูปแบบใดก็ตาม ความหมายโดยสัญชาตญาณของชั้นเชิร์นเกี่ยวข้องกับ 'ศูนย์ที่จำเป็น' ของส่วนหนึ่งของกลุ่มเวกเตอร์ เช่น ทฤษฎีบทที่กล่าวว่าไม่สามารถหวีลูกบอลที่มีขนให้แบนได้ ( ทฤษฎีบทลูกบอลมีขน ) แม้ว่าโดยหลักแล้วจะเป็นคำถามเกี่ยวกับ กลุ่มเวกเตอร์ จริง ('ขน' บนลูกบอลนั้นแท้จริงแล้วเป็นสำเนาของเส้นจำนวนจริง) แต่ก็มีการวางนัยทั่วไปที่ขนเป็นจำนวนเชิงซ้อน (ดูตัวอย่างของทฤษฎีบทลูกบอลมีขนเชิงซ้อนด้านล่าง) หรือสำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 1 มิติเหนือฟิลด์อื่นๆ อีกมากมาย

โปรดดูทฤษฎี Chern–Simonsสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

กำหนดให้มี เวกเตอร์บันเดิล เชิงซ้อนVที่มีอันดับเชิงซ้อนnบนแมนิโฟลด์เรียบMจงกำหนดการเชื่อมต่อเวกเตอร์บันเดิล${\displaystyle \nabla }$จากนั้นตัวแทนของแต่ละชั้นเชิร์น (หรือเรียกว่ารูปแบบเชิร์น )${\displaystyle c_{k}(V)}$ค่า ของVจะถูกกำหนดให้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะของรูปแบบความโค้ง${\displaystyle \Omega }$ของ${\displaystyle \nabla }$.

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

ตัวกำหนดอยู่เหนือวงแหวนของ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นพหุนามในtโดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในพีชคณิตสลับที่ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนดีกรีคู่บนMรูปแบบความโค้ง${\displaystyle \Omega }$ของVถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$ โดยที่ ω คือรูปแบบการเชื่อมต่อ และdคืออนุพันธ์ภายนอกหรือผ่านนิพจน์เดียวกันซึ่ง ω คือฟิลด์เกจสำหรับกลุ่มเกจของVสเกลาร์tในที่นี้ใช้เป็นเพียงตัวแปรที่ไม่แน่นอนเพื่อสร้างผลรวมจากดีเทอร์มิแนนต์ และIแทน เมท ริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด n × n

การกล่าวว่านิพจน์ที่กำหนดเป็นตัวแทนของชั้นเชิร์น แสดงให้เห็นว่า 'ชั้น' ในที่นี้หมายถึงการเพิ่มรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่แน่นอน เข้าไปด้วย นั่นคือ ชั้นเชิร์นเป็นชั้นโคฮอโมโลยีในความหมายของโคฮอโมโลยีของเดอแรมสามารถแสดงได้ว่าชั้นโคฮอโมโลยีของรูปแบบเชิร์นไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกการเชื่อมต่อ${\displaystyle \nabla }$.

เป็นผลมาจากเอกลักษณ์ของเมทริกซ์${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$ที่${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$ตอนนี้กำลังใช้ ชุดอนุกรมแมคลาอรินสำหรับ${\displaystyle \ln(X+I)}$เราจึงได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับรูปแบบเชิร์น:

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

เราสามารถกำหนดคลาส Chern ในแง่ของคลาส Euler ได้ นี่คือแนวทางในหนังสือของ Milnor และ Stasheff ซึ่งเน้นบทบาทของการวางแนวของเวกเตอร์บันเดิล

ข้อสังเกตพื้นฐานคือว่ากลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนนั้นมาพร้อมกับการวางแนวแบบมาตรฐาน ในที่สุดแล้วเนื่องจาก${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$มีการเชื่อมต่อกัน ดังนั้น จึงสามารถกำหนดชั้นเชิร์นสูงสุดของบันเดิลให้เป็นชั้นออยเลอร์ (ชั้นออยเลอร์ของบันเดิลเวกเตอร์จริงพื้นฐาน) และจัดการกับชั้นเชิร์นที่ต่ำกว่าในลักษณะอุปนัยได้

โครงสร้างที่แม่นยำมีดังนี้ แนวคิดคือการเปลี่ยนฐานเพื่อให้ได้กลุ่มที่มีลำดับน้อยลงหนึ่งระดับ ให้${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ให้ E เป็นเวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อนเหนือปริภูมิพาราคอมแพ็กต์Bโดยคิดว่าBฝังตัวอยู่ในEในรูปของส่วนศูนย์ ให้ E เป็นเวกเตอร์ บันเดิลเชิงซ้อน${\displaystyle B'=E\setminus B}$และกำหนดชุดเวกเตอร์ใหม่: $${\displaystyle E'\to B'}$$ โดยที่แต่ละไฟเบอร์เป็นผลหารของไฟเบอร์FของEโดยเส้นที่เกิดจากเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์vในF (จุดของB′ถูกกำหนดโดยไฟเบอร์FของEและเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์บนF ) ^{[ 4 ]}จากนั้น${\displaystyle E'}$มีลำดับต่ำกว่าE หนึ่งลำดับ จากลำดับของ Gysinสำหรับมัดเส้นใย${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$: $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$ เราเห็นว่า${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับ${\displaystyle k<2n-1}$. อนุญาต $${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

จากนั้นจึงต้องใช้ความพยายามในการตรวจสอบว่าสัจพจน์ของชั้นเชิร์นเป็นไปตามนิยามนี้หรือไม่

ดูเพิ่มเติม: ไอโซมอร์ฟิซึมของทอม

อนุญาต${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ให้ R เป็นทรงกลมรีมันน์ : ปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ 1 มิติสมมติว่าzเป็นพิกัดท้องถิ่นแบบโฮโลมอร์ฟิก สำหรับทรงกลมรีมันน์ ให้${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$เป็นกลุ่มของเวกเตอร์สัมผัสเชิงซ้อนที่มีรูปแบบดังนี้${\displaystyle a\partial /\partial z}$ณ แต่ละจุด โดยที่aเป็นจำนวนเชิงซ้อนเราพิสูจน์ทฤษฎีลูกบอลขนปุยในรูป แบบเชิงซ้อน : Vไม่มีส่วนใดที่ทุกจุดไม่เป็นศูนย์

เพื่อการนี้ เราจำเป็นต้องใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ชั้นเชิร์นแรกของบันเดิลที่ไม่สำคัญมีค่าเป็นศูนย์ กล่าวคือ $${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วจากข้อเท็จจริงที่ว่าบันเดิลที่ไม่สำคัญจะยอมรับการเชื่อมต่อแบบราบเสมอ ดังนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่า $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

พิจารณาเมตริก Kähler$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่ารูปแบบ 2-ฟอร์มความโค้งนั้นกำหนดโดย $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

นอกจากนี้ ตามนิยามของชั้นเชิร์นชั้นแรก $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

เราต้องแสดงให้เห็นว่าชั้นโคฮอโมโลยีนี้ไม่ใช่ศูนย์ เพียงแค่คำนวณปริพันธ์ของมันบนทรงกลมรีมันน์ก็เพียงพอแล้ว: $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$ หลังจากเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้วแล้ว ตามทฤษฎีบทของสโตกส์รูปแบบที่แน่นอนจะอินทิเกรตได้เป็น 0 ดังนั้นชั้นโคฮอโมโลยีจึงไม่เป็นศูนย์

นี่เป็นการพิสูจน์ว่า${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$ไม่ใช่กลุ่มเวกเตอร์ที่ไม่สำคัญ

มีลำดับที่แน่นอนของมัด/มัด: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$คือโครงสร้างชีฟ (เช่น บันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญ)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$คือชีฟบิดของ Serre (เช่นบันเดิลระนาบไฮเปอร์ ) และพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์สุดท้ายคือชีฟ /บันเดิลสัมผัส

มีสองวิธีที่จะได้ผลลำดับข้างต้น:

โดยอาศัยคุณสมบัติการบวกของชั้นเชิร์นทั้งหมด${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$(เช่น สูตรผลรวมของวิทนีย์) $${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$ โดยที่aคือตัวสร้างมาตรฐานของกลุ่มโคฮอโมโลยี${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$กล่าวคือ เนกาทีฟของคลาสเชิร์นแรกของกลุ่มเส้นตรรกะ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$(บันทึก:${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$เมื่อไร${\displaystyle E^{*}}$(คือคู่ของE )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับทุก ๆ${\displaystyle k\geq 0}$, $${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

เราสามารถใช้คุณสมบัติเชิงนามธรรมเหล่านี้ในการคำนวณคลาสเชอร์นที่เหลือของกลุ่มเส้นบน${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$โปรดจำไว้ว่า${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$แสดง${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$จากนั้นโดยใช้กำลังเทนเซอร์ เราสามารถเชื่อมโยงพวกมันเข้ากับคลาสเชอร์นของ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$สำหรับจำนวนเต็มใดๆ

คลาส Chern เป็นไปตามสัจพจน์สี่ข้อต่อไปนี้:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$สำหรับEทั้งหมด
2. ความเป็นธรรมชาติ: ถ้า${\displaystyle f:Y\to X}$ถ้า E เป็นค่าต่อเนื่องและf*Eเป็นเวกเตอร์บันเดิลพูลแบ็กของEแล้ว${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$[ ^{15 ]​}
3. สูตรผลรวม ของวิทนีย์ : ถ้า${\displaystyle F\to X}$เป็นชุดเวกเตอร์เชิงซ้อนอีกชุดหนึ่ง จากนั้นจึงเป็นชั้นเชอร์นของผลรวมโดยตรง${\displaystyle E\oplus F}$ได้รับจาก^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$นั่นคือ$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. การทำให้เป็นมาตรฐาน: คลาส Chern ทั้งหมดของกลุ่มเส้นตรงที่เป็น จริง เหนือ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$คือ 1− Hโดยที่Hเป็นคู่ปวงกาเรกับไฮเปอร์เพลน${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$.

อีกทางเลือกหนึ่งอเล็กซานเดอร์โกรเทนดิค( 1958 )ได้แทนที่สิ่งเหล่านี้ด้วยชุดสัจพจน์ที่เล็กกว่าเล็กน้อย: 

• ความเป็นธรรมชาติ: (เช่นเดียวกับข้างต้น)
• คุณสมบัติการบวก: ถ้า${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$เป็นลำดับที่แน่นอนของกลุ่มเวกเตอร์ ดังนั้น${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$.
• การทำให้เป็นมาตรฐาน: ถ้าEเป็นกลุ่มเส้นตรงแล้ว${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$ที่ไหน${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$คือคลาสออยเลอร์ของบันเดิลเวกเตอร์จริงพื้นฐาน

เขาแสดงให้เห็นโดยใช้ทฤษฎีบทเลอเรย์-เฮิร์ชว่า ชั้นเชิร์นทั้งหมดของบันเดิลเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีอันดับจำกัดใดๆ สามารถกำหนดได้โดยใช้ชั้นเชิร์นแรกของบันเดิลเส้นตรงที่กำหนดโดยสัจนิรันดร์

กล่าวคือ การนำเสนอแนวคิดเรื่องการสร้างภาพเชิงโปรเจกต์${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ของชุดเวกเตอร์เชิงซ้อน อันดับ n E → Bเป็นชุดไฟเบอร์บนBซึ่งมีไฟเบอร์ที่จุดใดๆ${\displaystyle b\in B}$คือปริภูมิเชิงฉายของไฟเบอร์E ปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลนี้${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ประกอบด้วยกลุ่มเส้นเชิงซ้อนแบบสัจนิรันดร์ ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทน${\displaystyle \tau }$และเรือชั้นเชิร์นลำแรก $${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$ ข้อจำกัดในแต่ละเส้นใย${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$เพื่อลบชั้น (คู่ปวงกาเร) ของไฮเปอร์เพลน ซึ่งครอบคลุมโคฮอโมโลยีของไฟเบอร์ โดยพิจารณาจากโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อน

ชั้นเรียน $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$ ดังนั้นจึงก่อตัวเป็นกลุ่มของชั้นโคฮอโมโลยีแวดล้อมที่จำกัดอยู่บนฐานของโคฮอโมโลยีของไฟเบอร์ทฤษฎีบทเลอเรย์-เฮิร์ชกล่าวว่าชั้นใด ๆ ใน${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$สามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1, a , a ² , ..., a ^{n −1}โดยมีคลาสบนฐานเป็นสัมประสิทธิ์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราอาจกำหนดชั้นเชิร์นของEในความหมายของโกรเทนดีค ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$โดยการขยายคลาสด้วยวิธีนี้${\displaystyle -a^{n}}$โดยมีความสัมพันธ์ดังนี้: $${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

จากนั้นจึงตรวจสอบว่าคำจำกัดความทางเลือกนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความอื่นที่ตนชื่นชอบหรือไม่ หรือใช้ลักษณะเฉพาะเชิงสัจพจน์ก่อนหน้านี้ก็ได้

อันที่จริง คุณสมบัติเหล่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของคลาส Chern อย่างแท้จริง ซึ่งหมายความว่า:

• ถ้าnคืออันดับเชิงซ้อนของVแล้ว${\displaystyle c_{k}(V)=0}$สำหรับทุกk > nดังนั้นชั้น Chern ทั้งหมดจึงสิ้นสุดลง
• ชั้นเชิร์นสูงสุดV (หมายความว่า${\displaystyle c_{n}(V)}$โดยที่nคืออันดับของVจะเท่ากับคลาสออยเลอร์ของกลุ่มเวกเตอร์จริงพื้นฐาน เสมอ

นอกจากนี้ยังมีการสร้างชั้นเชิร์นอีกแบบหนึ่งซึ่งมีค่าอยู่ในอนาล็อกเชิงพีชคณิตเรขาคณิตของวงแหวนโคฮอโมโลยี นั่นคือวงแหวนโชว์

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟที่ไม่เอกฐานของมิติ${\displaystyle n}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ามีทฤษฎีเฉพาะของชั้นเชิร์นซึ่งกำหนดกลุ่มเวกเตอร์เชิงพีชคณิต${\displaystyle E\to X}$ถึงองค์ประกอบ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$เรียกว่าชั้นเชิร์น พร้อมด้วยพหุนามเชิร์น${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$โดยตอบสนองเงื่อนไขต่อไปนี้ (คล้ายกับแนวทางเชิงสัจพจน์ของ Grothendieck ) ^{[ 18 ]}

1. ถ้าเป็นตัวหารของคาร์เทียร์${\displaystyle D}$เรามี${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$, แล้ว${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$.
2. ถ้า${\displaystyle f:X'\to X}$เป็นมอร์ฟิซึม ดังนั้น${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$.
3. ถ้า${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$เป็นลำดับที่แน่นอนของกลุ่มเวกเตอร์บน${\displaystyle X}$สูตรผลรวมของวิทนีย์ยังคงใช้ได้ดังนี้:${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$.

การคำนวณชั้นลักษณะเฉพาะสำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณชั้นลักษณะเฉพาะหลายอย่าง เนื่องจากสำหรับปริภูมิย่อยเชิงโปรเจกทีฟเรียบใดๆ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$มีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

คลาสเชิร์นสามารถใช้สร้างโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากทฤษฎี K ทางทอพอโลยีของปริภูมิหนึ่งไปยัง (ส่วนเติมเต็มของ) โคฮอโมโลยีเชิงตรรกะของมัน สำหรับบันเดิลเส้นตรงLอักขระเชิร์น ch ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้า${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มเส้นตรง โดยมีชั้นเชิร์นแรก${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ลักษณะของเชิร์นถูกกำหนดแบบบวก $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

นิพจน์สุดท้ายนี้ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยการอ้างถึงหลักการแบ่งแยกถูกนำมาใช้เป็นนิยามch(V)สำหรับกลุ่มเวกเตอร์V ใด ๆ

ถ้าใช้การเชื่อมต่อเพื่อกำหนดคลาส Chern เมื่อฐานเป็นแมนิโฟลด์ (เช่นทฤษฎี Chern–Weil ) รูปแบบที่ชัดเจนของอักขระ Chern คือ $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$ โดยที่Ωคือความโค้งของการเชื่อมต่อ

อักขระ Chern มีประโยชน์ส่วนหนึ่งเพราะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณคลาส Chern ของผลคูณเทนเซอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปตามเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การใช้สัจพจน์การบวกของ Grothendieck สำหรับชั้น Chern ทำให้เอกลักษณ์แรกสามารถสรุปได้ว่าchเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนจากทฤษฎี K K ( X ) ไปยังโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะของXเอกลักษณ์ที่สองแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมนี้ยังเคารพผลคูณในK ( X ) ด้วย ดังนั้นch จึง เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน

อักขระเชิร์นถูกนำมาใช้ในทฤษฎีบทฮิร์เซบรุค-รีมันน์-รอค

ถ้าเราทำงานบนแมนิโฟลด์เชิงทิศทางที่มีมิติ${\displaystyle 2n}$จากนั้น ผลิตภัณฑ์ใดๆ ของคลาส Chern ที่มีดีกรีรวมทั้งหมด${\displaystyle 2n}$(กล่าวคือ ผลรวมของดัชนีของชั้นเชิร์นในผลคูณควรจะเป็น)${\displaystyle n}$) สามารถจับคู่กับคลาสโฮโมโลยีเชิงทิศทาง (หรือ "บูรณาการเหนือแมนิโฟลด์") เพื่อให้ได้จำนวนเต็ม ซึ่งเป็นเลขเชิร์นของเวกเตอร์บันเดิล ตัวอย่างเช่น ถ้าแมนิโฟลด์มีมิติ 6 จะมีเลขเชิร์นที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามตัว ซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle c_{1}^{3}}$,${\displaystyle c_{1}c_{2}}$, และ${\displaystyle c_{3}}$โดยทั่วไปแล้ว ถ้าแมนิโฟลด์มีมิติ${\displaystyle 2n}$จำนวนของเลขเชิร์นอิสระที่เป็นไปได้คือจำนวนของพาร์ติชันของ${\displaystyle n}$.

จำนวนเชิร์นของกลุ่มเส้นสัมผัสของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน (หรือเกือบเชิงซ้อน) เรียกว่า จำนวนเชิร์นของแมนิโฟลด์ และเป็นค่าคงที่ที่สำคัญ

มีการขยายทฤษฎีของชั้นเชิร์น โดยที่โคฮอโมโลยีแบบธรรมดาถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบทั่วไปทฤษฎีที่สามารถขยายความได้เช่นนี้เรียกว่าทฤษฎีเชิงซ้อนที่สามารถกำหนดทิศทางได้ คุณสมบัติเชิงรูปธรรมของชั้นเชิร์นยังคงเหมือนเดิม โดยมีข้อแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่งคือ กฎที่ใช้คำนวณชั้นเชิ ร์นแรกของผลคูณเทนเซอร์ของบันเดิลเส้นตรงในแง่ของชั้นเชิร์นแรกของตัวประกอบนั้นไม่ใช่การบวก (แบบธรรมดา) แต่เป็นกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต มีทฤษฎีที่คล้ายกันเกี่ยวกับชั้นเชิร์นของบันเดิลเวกเตอร์ ซึ่งมีรูปแบบที่แตกต่างกันหลายแบบขึ้นอยู่กับว่าชั้นเชิร์นเหล่านั้นอยู่ในกลุ่มใด:

• สำหรับวาไรตี้เชิงซ้อน ชั้นเชิร์นสามารถมีค่าในโคฮอโมโลยีปกติได้ ดังที่กล่าวมาข้างต้น
• สำหรับวาไรตี้บนฟิลด์ทั่วไป คลาสเชิร์นสามารถรับค่าในทฤษฎีโคฮอโมโลยี เช่นโคฮอโมโลยีเอทาลหรือโคฮอโมโลยีแอล-อะดิกได้
• สำหรับวาไรตี้Vบนฟิลด์ทั่วไป ชั้นเชิร์นยังสามารถรับค่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโชว์ CH(V) ได้ด้วย ตัวอย่างเช่น ชั้นเชิร์นแรกของบันเดิลเส้นบนวาไรตี้Vเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจาก CH( V ) ไปยัง CH( V ) ที่ลดระดับลง 1 ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มโชว์เป็นเหมือนอนาล็อกของกลุ่มโฮโมโลจี และองค์ประกอบของกลุ่มโคโฮโมโลจีสามารถคิดได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโฮโมโลจีโดยใช้ผลคูณแคป

ทฤษฎีของชั้นเชิร์นก่อให้เกิด ค่าคงที่ โคบอร์ดิซึมสำหรับ แมนิโฟล ด์เกือบเชิงซ้อน

ถ้าM เป็นแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อน บันเดิลสัมผัสของมันจะเป็นบันเดิลเวกเตอร์เชิงซ้อน ดังนั้น ชั้นเชิร์นของMจึงถูกกำหนดให้เป็นชั้นเชิร์นของบันเดิลสัมผัสของมัน ถ้าMเป็น แมนิโฟลด์ กระชับและมีมิติ 2d ด้วยแล้วเอกนาม แต่ละตัว ที่มีดีกรีรวม2dในชั้นเชิร์นสามารถจับคู่กับชั้นพื้นฐานของMได้ ทำให้ได้จำนวนเต็ม ซึ่งก็คือจำนวนเชิร์นของMถ้าM ′ เป็นแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่งที่มีมิติเดียวกัน มันจะโคบอร์แดนท์กับMก็ต่อเมื่อจำนวนเชิร์นของM ′ ตรงกับจำนวนเชิร์นของM

ทฤษฎีนี้ยังขยายไปถึง กลุ่มเวกเตอร์ เชิงซิมเพล็กติก จริงได้ด้วย โดยผ่านโครงสร้างเชิงซ้อนเกือบที่เข้ากันได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกมีชั้นเชิร์นที่กำหนดไว้อย่างดี

(ดูเรขาคณิตของอาราเคโลฟ )