ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลุ่มชอว์ ( ตั้งชื่อตามเหวยเหลียง ชอว์โดยโคลด เชอวาลเลย์  ( 1958 )) ของวาไรตีเชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์ ใดๆ เป็นอนาล็อกเชิงพีชคณิตเรขาคณิตของโฮโมโลยีของปริภูมิเชิงทอพอโลยีสมาชิกของกลุ่มชอว์ถูกสร้างขึ้นจากวาไรตีย่อย (ที่เรียกว่าวัฏจักรเชิงพีชคณิต ) ในลักษณะเดียวกับที่กลุ่มโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียลหรือเชิงเซลลูลาร์ถูกสร้างขึ้นจากคอมเพล็กซ์ย่อย เมื่อวาไรตีนั้นเรียบกลุ่มชอว์สามารถตีความได้ว่าเป็นกลุ่มโคโฮโมโลยี (เปรียบเทียบกับทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเร ) และมีการคูณที่เรียกว่าผลคูณตัดกันกลุ่มชอว์มีข้อมูลมากมายเกี่ยวกับวาไรตีเชิงพีชคณิต และด้วยเหตุนี้จึงคำนวณได้ยากโดยทั่วไป

ต่อไปนี้ เราจะนิยามวาไรตี้เหนือฟิลด์ว่าเป็นสกีม เชิง อินทิกรัลชนิดจำกัดเหนือสำหรับสกีมชนิดจำกัดใดๆ เหนือวัฏจักรพีชคณิตบนหมายถึงการรวมเชิงเส้น จำกัด ของซับวาไรตี้ของที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็ม (ในที่นี้และต่อไปนี้ ซับวาไรตี้จะเข้าใจว่าปิดในเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น) สำหรับจำนวนธรรมชาติกลุ่มของวัฏจักร มิติ (หรือวัฏจักรสำหรับเรียกสั้นๆ) บนคือกลุ่ม อา เบ เลียนอิสระบนเซตของซับวาไรตี้ มิติของ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$

สำหรับมิติที่ หลากหลาย และฟังก์ชันตรรกยะ ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ตัวหารของคือวัฏจักร - ${\displaystyle W}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\ชื่อผู้ดำเนินการ {ord} _{Z}(f)Z,}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมซับวาไรตี้มิติ ทั้งหมด ของและจำนวนเต็มแสดงถึงลำดับของการหายไปของตาม(ดังนั้นจะเป็นลบถ้ามีขั้วตาม) นิยามของลำดับของการหายไปต้องใช้ความระมัดระวังสำหรับเอกลักษณ์^{[ 1 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {ord} _{Z}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {ord} _{Z}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

สำหรับโครงร่างประเภทจำกัดบนกลุ่มของวัฏจักรที่สมมูลเชิงตรรกะกับศูนย์คือกลุ่มย่อยของที่สร้างขึ้นโดยวัฏจักรสำหรับส่วนย่อยมิติ ทั้งหมด ของและฟังก์ชันเชิงตรรกะที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดบนกลุ่มChowของวัฏจักรมิติ บนคือกลุ่มผลหารของโดยกลุ่มย่อยของวัฏจักรที่สมมูลเชิงตรรกะกับศูนย์ บางครั้งเราเขียนแทนชั้นของส่วนย่อยในกลุ่ม Chow และถ้าส่วนย่อยสองส่วนและมีแล้วและกล่าวได้ว่าสมมูลเชิงตรรกะกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle (f)}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$${\displaystyle CH_{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle [Z]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [Z]=[W]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อเป็นมิติที่หลากหลายกลุ่ม Chow จะเป็นกลุ่มคลาสตัวหารของเมื่อเรียบเหนือ(หรือโดยทั่วไปแล้ว แผนผังแฟกทอเรียลปกติแบบโลคอลโนเธอร์เรียน^{[ 2 ]} ) สิ่งนี้จะสมมาตรกับกลุ่ม Picardของบันเดิลเส้นบน${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

วัฏจักรที่สมมูลกันเชิงตรรกะซึ่งกำหนดโดยไฮเปอร์เซอร์เฟซนั้นสร้างได้ง่ายในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ เนื่องจากวัฏจักรเหล่านั้นทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ตำแหน่งที่เวกเตอร์บันเดิลเดียวกันเข้าใกล้ศูนย์ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดพหุนามเอกพันธุ์สองตัวที่มีดีกรี n ดังนั้นเราสามารถสร้างตระกูลของไฮเปอร์เซอร์เฟซที่กำหนดโดยตำแหน่งที่เวกเตอร์บันเดิลเข้าใกล้ศูนย์เข้าใกล้ศูนย์ได้ในทางแผนภาพ สามารถสร้างได้ดังนี้ ${\displaystyle d}$${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

โดยใช้การฉายภาพเราจะเห็นว่าไฟเบอร์เหนือจุดหนึ่งคือไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดโดยซึ่งสามารถใช้เพื่อแสดงว่าคลาสวัฏจักรของไฮเปอร์เซอร์เฟซทุกตัวที่มี ดีกรี นั้นเทียบเท่าเชิงตรรกะกับเนื่องจากสามารถใช้เพื่อสร้างความเทียบเท่าเชิงตรรกะได้ สังเกตว่าโลคัสของคือและมีความซ้ำซ้อนซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของคลาสวัฏจักรของมัน ${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle d}$

ถ้าเราพิจารณากลุ่มเส้นตรงสองกลุ่มที่แตกต่างกันของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบ ตำแหน่งที่หายไปของส่วนตัดทั่วไปของกลุ่มเส้นตรงทั้งสองกลุ่มจะกำหนดชั้นวัฏจักรที่ไม่สมมูลกันในเนื่องจากสำหรับวาไรตี้เรียบ ชั้นตัวหารของและ จึง กำหนดชั้นที่ไม่สมมูลกัน ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle CH(C)}$${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

เมื่อโครงร่างเรียบเหนือฟิลด์กลุ่มชอว์จะก่อตัวเป็นวงแหวนไม่ใช่แค่กลุ่มอาเบเลียนแบบแบ่งระดับ กล่าวคือ เมื่อเรียบเหนือให้กำหนดให้ เป็นกลุ่มชอว์ของวัฏจักรโคไดเมนชันบน(เมื่อเป็นวาไรตี้ของมิติหมายความว่า) จากนั้นกลุ่มต่างๆจะก่อตัวเป็นวงแหวนแบบแบ่งระดับ สลับที่ มีผลคูณดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{ni}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

ผลคูณเกิดขึ้นจากการตัดกันของวัฏจักรพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นส่วนย่อยเรียบของที่มีมิติ ร่วม และตามลำดับ และถ้าและตัดกันในแนวตั้งฉากผลคูณในคือผลรวมของส่วนประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ของการตัดกันซึ่งทั้งหมดมีมิติร่วม ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle i+j}$

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีต่างๆทฤษฎีการตัดกันจะสร้างวงจรที่ชัดเจนซึ่งแสดงถึงผลคูณในวงแหวน Chow ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นซับวาไรตี้ที่มีมิติเสริมกัน (หมายความว่าผลรวมของมิติของพวกมันเท่ากับมิติของ) ซึ่งการตัดกันมีมิติเป็นศูนย์ แล้วจะเท่ากับผลรวมของจุดของการตัดกันที่มีสัมประสิทธิ์ที่เรียกว่าจำนวนการตัดกันสำหรับซับวาไรตี้และ ใดๆ ของสกีมเรียบเหนือโดยไม่มีข้อสมมติเกี่ยวกับมิติของการตัดกัน ทฤษฎีการตัดกันของ William FultonและRobert MacPhersonจะสร้างองค์ประกอบแคนอนิกของกลุ่ม Chow ของซึ่งภาพของ ในกลุ่ม Chow ของคือผลคูณ^{[ 3 ]}${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$

วงแหวน Chow ของปริภูมิเชิงฉาย เหนือฟิลด์ใดๆคือวงแหวน ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

โดยที่คือคลาสของไฮเปอร์เพลน (โลคัสศูนย์ของฟังก์ชันเชิงเส้นเดี่ยว) ยิ่งไปกว่านั้น สับวาไรตีใดๆ ที่มีดีกรีและโคไดเมนชันในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ จะสมมูลเชิงตรรกะกับดังนั้น สำหรับสับวาไรตีสองสับวาไรตีใดๆและที่มีมิติเสริมกันในและดีกรี, , ตามลำดับ ผลคูณของสับวาไรตีทั้งสองในวงแหวนชอว์ คือ ${\displaystyle H}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle dH^{a}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

โดยที่คือคลาสของจุด -ตรรกยะในตัวอย่างเช่น ถ้าและตัดกันแบบตั้งฉาก จะได้ว่าเป็นวัฏจักรศูนย์ที่มีดีกรีถ้าฟิลด์ฐานเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตนั่นหมายความว่ามีจุดตัดอยู่ ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทของเบซูต์ผลลัพธ์คลาสสิกของเรขาคณิตเชิงนับ ${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ab}$

กำหนดให้เวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับเหนือสกีมที่เหมาะสมและเรียบเหนือฟิลด์หนึ่ง วงแหวนโชว์ของบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้องสามารถคำนวณได้โดยใช้วงแหวนโชว์ของและชั้นเชิร์นของถ้าเราให้และชั้นเชิร์นของแล้วจะมีไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน ${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}__{\mathbb {P} (E)}(1))}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

ตัวอย่างเช่น วงแหวน Chow ของพื้นผิว Hirzebruchสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ โปรดจำไว้ว่ามันถูกสร้างขึ้นเหนือดังนั้น ชั้น Chern ที่ไม่ธรรมดาเพียงชั้นเดียวของบันเดิลเวกเตอร์นี้คือซึ่งหมายความว่าวงแหวน Chow สม isomorphic กับ ${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

สำหรับวาไรตี้พีชคณิตอื่นๆ กลุ่ม Chow อาจมีพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ให้เป็นเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์แล้วกลุ่ม Chow ของวัฏจักรศูนย์บนจะสอดคล้องกับลำดับที่แน่นอน${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

ดังนั้น กลุ่มชอว์ของเส้นโค้งวงรีจึงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกลุ่มของจุดตรรกยะ nของn เมื่อ n เป็นฟิลด์จำนวน n จะเรียกว่ากลุ่มมอร์เดลล์-ไวล์ของn และปัญหาที่ลึกซึ้งที่สุดบางส่วนในทฤษฎีจำนวนคือความพยายามที่จะทำความเข้าใจกลุ่มนี้ เมื่อ n เป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างของเส้นโค้งวงรีแสดงให้เห็นว่ากลุ่มชอว์สามารถเป็นกลุ่มอาเบเลียน ที่นับไม่ได้${\displaystyle X}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

สำหรับมอร์ฟิซึมที่เหมาะสม ของสกีมเหนือจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบพุชฟอร์เวิร์ดสำหรับแต่ละจำนวนเต็มตัวอย่างเช่น สำหรับสกีมที่เหมาะสมเหนือจะให้โฮโมมอร์ฟิซึมซึ่งแปลงจุดปิดในเป็นดีกรีของจุดปิดนั้นเหนือ(จุดปิดในมีรูปแบบสำหรับฟิลด์ส่วนขยายจำกัดของและดีกรีของจุดปิดนั้นหมายถึงดีกรีของฟิลด์เหนือ) ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$

สำหรับ การแปลง แบบราบ ของสกีมเหนือที่มีไฟเบอร์มิติ(อาจว่างเปล่า) จะมีโฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

เครื่องมือคำนวณที่สำคัญสำหรับกลุ่ม Chow คือลำดับการหาตำแหน่งดังต่อไปนี้ สำหรับสกีมเหนือฟิลด์และซับสกีมปิดของจะมีลำดับที่แน่นอน${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

โดยที่โฮโมมอร์ฟิซึมแรกคือการผลักดันไปข้างหน้าซึ่งเกี่ยวข้องกับมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมและโฮโมมอร์ฟิซึมที่สองคือการดึงกลับโดยสัมพันธ์กับมอร์ฟิซึมแบบราบ[ ^{4 ] ลำดับ}โลคัลไลเซชันสามารถขยายไปทางซ้ายได้โดยใช้การวางนัยทั่วไปของกลุ่ม Chow (Borel–Moore) กลุ่ม โฮโมโลจีโมทีฟหรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่ม Chow ระดับสูง^{[ 5 ]}${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle X-Z\to X}$

สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆของสกีมเรียบเหนือจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบพูลแบ็กซึ่งแท้จริงแล้วคือโฮโมมอร์ฟิซึมของริง ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

โปรดทราบว่าสามารถสร้างตัวอย่างที่ไม่ใช่ตัวอย่างได้โดยใช้การเป่าลม ตัวอย่างเช่น หากเราเป่าลมจุดกำเนิดในแล้วไฟเบอร์เหนือจุดกำเนิดจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

พิจารณาการคลุมเส้นโค้งแบบแตกแขนง

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

เนื่องจากมอร์ฟิซึมจะแตกแขนงออกไปทุกครั้งที่เราได้การแยกตัวประกอบ ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

โดยที่หนึ่งในนั้นหมายความว่าจุดต่างๆมีจำนวนซ้ำกันตามลำดับ การดึงกลับแบบราบของจุดนั้นคือ ${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

ลองพิจารณาตระกูลพันธุ์ที่มีลักษณะแบนราบ

${\displaystyle X\to S}$

และสายพันธุ์ย่อยจากนั้นใช้ช่องสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน ${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

เราพบว่าภาพของเป็นชนิดย่อยของดังนั้นเราจึงมี ${\displaystyle S'\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

มีโฮโมมอร์ฟิซึมหลายแบบ (ที่เรียกว่าแผนที่วัฏจักร ) จากกลุ่มชอว์ไปยังทฤษฎีที่คำนวณได้ง่ายกว่า

ประการแรก สำหรับโครงร่างXเหนือจำนวนเชิงซ้อน มีโฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่ม Chow ไปยังโฮโมโลยี Borel–Moore : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

ตัวประกอบ 2 ปรากฏขึ้นเนื่องจาก ซับวาไร ตีมิติ i ของXมีมิติจริง 2i เมื่อ X เรียบเหนือจำนวนเชิงซ้อน แผนที่วัฏจักรนี้สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้ทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

ในกรณีนี้ ( XเรียบเหนือC ) โฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านี้ก่อให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนจากวงแหวนชอว์ไปยังวงแหวนโคโฮโมโลยี โดยสัญชาตญาณแล้ว นี่เป็นเพราะผลคูณในทั้งวงแหวนชอว์และวงแหวนโคโฮโมโลยีอธิบายถึงจุดตัดของวัฏจักร

สำหรับวา ไรตี้เชิงโปรเจกที ฟ ที่ซับซ้อนเรียบแผนที่วงจรจากวงแหวน Chow ไปยังโคฮอโมโลยีธรรมดาจะแยกตัวประกอบผ่านทฤษฎีที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โคฮอโมโล ยีDeligne ^{[ 7 ]}ซึ่งรวมแผนที่ Abel–Jacobiจากวงจรที่เทียบเท่าทางโฮโมโลยีกับศูนย์ไปยังJacobian ระหว่างกลาง ลำดับเลขชี้กำลังแสดงให้เห็นว่าCH ¹ ( X ) แมปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังโคฮอโมโลยี Deligne แต่ล้มเหลวสำหรับCH ^j ( X ) โดยที่j > 1

สำหรับโครงร่างXเหนือฟิลด์k ใดๆ จะมีแผนที่วงจรที่คล้ายคลึงกันจากกลุ่ม Chow ไปยังโฮโมโลยี etale (Borel–Moore) เมื่อXเรียบเหนือkโฮโมมอร์ฟิซึมนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนจากวงแหวน Chow ไปยังโคโฮโมโลยี etale ^{[ 8 ]}

บันเดิลเวกเตอร์ (พีชคณิต) EบนแผนผังเรียบXเหนือฟิลด์มีคลาส Chern c _i ( E ) ในCH ⁱ ( X ) ที่มีคุณสมบัติอย่างเป็นทางการเช่นเดียวกับในโทโพโลยี^{[ 9 ]}คลาส Chern ให้ความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างบันเดิลเวกเตอร์และกลุ่ม Chow กล่าวคือ ให้K ₀ ( X ) เป็นกลุ่ม Grothendieckของบันเดิลเวกเตอร์บนXในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Roch Grothendieck แสดงให้เห็นว่าอักขระ Chernให้ไอโซมอร์ฟิ ซึม

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

ความสมมาตรนี้แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของความสมมูลเชิงตรรกะ เมื่อเปรียบเทียบกับ ความสัมพันธ์สมมูลที่เหมาะสมอื่นๆบนวัฏจักรพีชคณิต

ข้อสันนิษฐานที่ลึกซึ้งที่สุดบางส่วนในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนนั้น เป็นความพยายามที่จะทำความเข้าใจกลุ่มชอว์ (Chow groups) ตัวอย่างเช่น:

• ทฤษฎีบทMordell–Weilบ่งชี้ว่ากลุ่มชั้นตัวหารCH _{n -1} ( X ) ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดสำหรับวาไรตี้X ใดๆ ที่มีมิติnบนฟิลด์จำนวน เป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ว่ากลุ่ม Chow ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดสำหรับทุกวาไรตี้บนฟิลด์จำนวนหรือไม่ข้อสันนิษฐานBloch – Kato เกี่ยวกับ ค่าของฟังก์ชัน Lทำนายว่ากลุ่มเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ยิ่งไปกว่านั้น อันดับของกลุ่มวัฏจักรโมดูลัสความสมมูลเชิงโฮโมโลยี และของกลุ่มวัฏจักรที่สมมูลเชิงโฮโมโลยีกับศูนย์ ควรเท่ากับอันดับของการหายไปของฟังก์ชัน L ของวาไรตี้ที่กำหนด ณ จุดจำนวนเต็มบางจุด ความจำกัดของอันดับเหล่านี้จะสืบเนื่องมาจากข้อสันนิษฐาน Bassในทฤษฎี K พีชคณิต ด้วย
• สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเรียบX สมมติฐานของ Hodge ทำนายภาพ ( ที่เทนเซอร์ด้วยจำนวนตรรกยะQ ) ของแผนที่วัฏจักรจากกลุ่ม Chow ไปยังโคฮอโมโลยีเอกฐาน สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบเหนือฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด (เช่นฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์จำนวน) สมมติฐานของ Tateทำนายภาพ (ที่เทนเซอร์ด้วยQ _l ) ของแผนที่วัฏจักรจากกลุ่ม Chow ไปยัง โคฮอโมโล ยีl-adic
• สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบXเหนือฟิลด์ใดๆ ข้อสันนิษฐานของ Bloch – Beilinsonทำนายการกรองบนกลุ่ม Chow ของX (เทนเซอร์กับจำนวนตรรกยะ) ที่มีคุณสมบัติที่แข็งแกร่ง^{[ 10 ]}ข้อสันนิษฐานนี้จะบ่งบอกถึงการเชื่อมต่อที่แน่นแฟ้นระหว่างโคฮอโมโลยีเอกฐานหรือเอทาลของXและกลุ่ม Chow ของX

ตัวอย่างเช่น ให้Xเป็นพื้นผิวเชิงซ้อนแบบเรียบเชิงโปรเจกทีฟ กลุ่ม Chow ของวงจรศูนย์บนXแมปไปยังจำนวนเต็มโดยโฮโมมอร์ฟิซึมระดับ ให้Kเป็นเคอร์เนล ถ้าจีนัสทางเรขาคณิตh ⁰ ( X , Ω ² ) ไม่เป็นศูนย์Mumfordแสดงให้เห็นว่าKเป็น "มิติอนันต์" (ไม่ใช่ภาพของตระกูลวงจรศูนย์มิติจำกัดใดๆ บนX ) ^{[ 11 ]}ข้อสันนิษฐานของ Bloch–Beilinson จะบ่งชี้ถึงบทกลับที่น่าพอใจข้อสันนิษฐานของ Bloch เกี่ยวกับวงจรศูนย์ : สำหรับพื้นผิวเชิงซ้อนแบบเรียบเชิงโปร เจกทีฟ Xที่มีจีนัสทางเรขาคณิตเป็นศูนย์^Kควรมีมิติจำกัด กล่าวคือ ควรแมปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังกลุ่มของจุดเชิงซ้อนของวาไรตี้ AlbaneseของX [ ^{12 ]}

ฟุลตันและแมคเฟอร์สันขยายวงแหวนชอว์ไปยังวาไรตี้เอกฐานโดยการกำหนด " วงแหวนชอว์เชิงปฏิบัติการ " และโดยทั่วไปแล้วทฤษฎีไบแวเรียนต์ที่เกี่ยวข้องกับมอร์ฟิซึมของสกีมใดๆ^{[ 13 ]}ทฤษฎีไบแวเรียนต์คือคู่ของฟังก์ชัน โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ ที่กำหนดให้กับแผนที่กลุ่มและวงแหวนตามลำดับ มันเป็นการขยายทฤษฎีโคฮอโมโลยีซึ่งเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์ที่กำหนดวงแหวนให้กับปริภูมิ กล่าวคือวงแหวนโคฮอโมโลยีชื่อ "ไบแวเรียนต์" หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีนี้มีทั้งฟังก์ชันโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์^{[ 14 ]}

ในแง่หนึ่ง นี่คือการขยายวงแหวน Chow ขั้นพื้นฐานที่สุดไปยังวาไรตี้เอกลักษณ์ ทฤษฎีอื่นๆ เช่นโคฮอโมโลยีเชิงโมทีฟจะแมปไปยังวงแหวน Chow เชิงปฏิบัติการ^{[ 15 ]}

กลุ่ม Chow ทางเลขคณิตคือการรวมกันของกลุ่ม Chow ของวาไรตี้เหนือQพร้อมกับส่วนประกอบที่เข้ารหัส ข้อมูล ทางทฤษฎี Arakelovซึ่งก็คือรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีกลุ่ม Chow ของสกีมประเภทจำกัดเหนือฟิลด์สามารถขยายไปยังทฤษฎีกลุ่ม Chow ของ ปริภูมิพีชคณิต ได้อย่างง่ายดาย ข้อได้เปรียบที่สำคัญของการขยายนี้คือการสร้างผลหารในหมวดหมู่หลังนั้นง่ายกว่า และด้วยเหตุนี้จึงเป็นธรรมชาติมากกว่าที่จะพิจารณา กลุ่ม Chow สมมาตร ของปริภูมิพีชคณิต การขยายที่ยากกว่ามากคือการขยายกลุ่ม Chow ของสแต็กซึ่งสร้างขึ้นได้เฉพาะในกรณีพิเศษบางกรณีเท่านั้น และจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องทำความเข้าใจคลาสพื้นฐานเสมือน

ความสมมูลเชิงตรรกะของตัวหาร (ที่รู้จักกันในชื่อความสมมูลเชิงเส้น ) ได้รับการศึกษาในรูปแบบต่างๆ ในช่วงศตวรรษที่ 19 ซึ่งนำไปสู่กลุ่มชั้นอุดมคติในทฤษฎีจำนวนและวาไรตี้จาโคเบียนในทฤษฎีเส้นโค้งพีชคณิต สำหรับวัฏจักรที่มีมิติร่วมสูงกว่า ความสมมูลเชิงตรรกะได้รับการแนะนำโดยFrancesco Severiในช่วงทศวรรษที่ 1930 ในปี 1956 Wei-Liang Chowได้ให้การพิสูจน์ที่มีอิทธิพลว่าผลคูณของการตัดกันนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีบนวัฏจักรโมดูลัสความสมมูลเชิงตรรกะสำหรับวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟเรียบ โดยใช้เลมมาเคลื่อนที่ของ Chowตั้งแต่ทศวรรษที่ 1970 FultonและMacPhersonได้ให้พื้นฐานมาตรฐานปัจจุบันสำหรับกลุ่ม Chow โดยทำงานกับวาไรตี้เอกฐานทุกที่ที่เป็นไปได้ ในทฤษฎีของพวกเขา ผลคูณของการตัดกันสำหรับวาไรตี้เรียบถูกสร้างขึ้นโดยการเปลี่ยนรูปเป็นกรวยปกติ^{[ 16 ]}

• ทฤษฎีจุดตัด
• ทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Roch
• สมมติฐานของฮอดจ์
• แรงจูงใจ (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต)