ในทางคณิตศาสตร์ชั้นท็อดด์ (Todd class)เป็นโครงสร้างอย่างหนึ่งที่ปัจจุบันถือเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีชั้นลักษณะเฉพาะ (characteristic classes ) ในโทโพ โลยีเชิงพีชคณิตชั้นท็อดด์ของเวกเตอร์บันเดิล (vector bundle)สามารถนิยามได้โดยใช้ทฤษฎีชั้นเชิร์น (Chern classes ) และพบได้ในที่ที่มีชั้นเชิร์นอยู่ — โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน โทโพโลยีเชิง อนุพันธ์ (differential topology)ทฤษฎีของ แมนิโฟล ด์เชิงซ้อน (complex manifolds)และ เรขาคณิต เชิงพีชคณิต (algebraic geometry ) โดยคร่าว ๆ แล้ว ชั้นท็อดด์ทำหน้าที่เหมือนส่วนกลับของชั้นเชิร์น หรือมีความสัมพันธ์กับชั้นเชิร์นในลักษณะเดียวกับที่ บัน เดิลโคนอร์มัล (conormal bundle ) มีความสัมพันธ์กับบันเดิลปกติ (normal bundle )

คลาส Todd มีบทบาทสำคัญในการขยายทฤษฎีบทRiemann–Roch แบบคลาสสิก ไปสู่มิติที่สูงขึ้น ในทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Rochและทฤษฎีบท Grothendieck–Hirzebruch–Riemann– Roch

ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของเจ.เอ. ทอดด์ผู้ซึ่งนำเสนอแนวคิดกรณีพิเศษในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในปี 1937 ก่อนที่จะมีการกำหนดชั้นเชิร์น แนวคิดทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องนี้บางครั้งเรียกว่าชั้นทอดด์-อีเกอร์ส่วนนิยามทั่วไปในมิติที่สูงกว่านั้นเป็นผลงานของฟรีดริช ฮีร์เซบรุค

เพื่อกำหนดคลาส Todd โดยที่เป็นมัดเวกเตอร์เชิงซ้อนบนปริภูมิโทโพโลยีโดยทั่วไปแล้วสามารถจำกัดคำจำกัดความไว้เฉพาะกรณีผลรวม Whitneyของมัดเส้นตรงได้โดยใช้อุปกรณ์ทั่วไปของทฤษฎีคลาสลักษณะเฉพาะ การใช้ราก Chern (หรือที่เรียกว่าหลักการแบ่งแยก ) สำหรับคำจำกัดความ ให้^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

ให้ เป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการที่มีคุณสมบัติว่าสัมประสิทธิ์ของใน มีค่า เท่ากับ 1 โดยที่แทนจำนวนเบอร์นูลลีลำดับที่(โดยที่) พิจารณาสัมประสิทธิ์ของในผลคูณ ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle Q(x)^{n+1}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle x^{j}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

สำหรับค่าใดๆ ก็ตามสิ่งนี้มีความสมมาตรในs และเป็นเอกพันธุ์ที่มีน้ำหนักดังนั้น จึงสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานของs จากนั้นจึงกำหนดพหุนามท็อดด์ซึ่งเป็นลำดับการคูณที่มี เป็นอนุกรมกำลัง ลักษณะ เฉพาะ ${\displaystyle m>j}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}}$${\displaystyle Q}$

ถ้าหากมี รากฐาน มาจากChernแล้วคลาส Todd ก็จะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

ซึ่งจะต้องคำนวณในวงแหวนโคฮอโมโลยีของ(หรือในการเติมเต็มหากต้องการพิจารณาแมนิโฟลด์มิติอนันต์) ${\displaystyle X}$

คลาส Todd สามารถระบุได้อย่างชัดเจนเป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการในคลาส Chern ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }$

โดยที่ชั้นโคฮอโมโลยีคือชั้นเชิร์นของและอยู่ในกลุ่มโคฮอโมโลยีถ้าเป็นมิติจำกัดแล้ว เทอมส่วนใหญ่จะเป็นศูนย์ และเป็นพหุนามในชั้นเชิร์น ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H^{2i}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$

คลาส Todd เป็นแบบทวีคูณ: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).}$

ให้เป็นชั้นพื้นฐานของส่วนตัดระนาบไฮเปอร์ จากคุณสมบัติการคูณและลำดับที่แน่นอนของออยเลอร์สำหรับมัดสัมผัสของ${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

ได้รับ ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

สำหรับเส้นโค้งพีชคณิตใดๆชั้นท็อดด์ก็คือเนื่องจากเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ จึงสามารถฝังลงในบางเส้นโค้งได้และเราสามารถหาได้โดยใช้ลำดับปกติ${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {td} (C)=1+{\frac {1}{2}}c_{1}(T_{C})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle c_{1}(T_{C})}$

${\displaystyle 0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P^{n}} }|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

และคุณสมบัติของชั้นเชอร์น ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีเส้นโค้งระนาบดีกรีในเราจะพบว่าชั้นเชอร์นทั้งหมดคือ${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}}$

คลาสไฮเปอร์เพลนถูกจำกัดไว้ที่ ใด${\displaystyle [H]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle C}$

สำหรับชีฟที่สอดคล้องกัน ใดๆ Fบนแมนิโฟลด์ เชิงซ้อนแบบเรียบและกะทัดรัด Mจะมี

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),}$

ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์แบบโฮโลมอร์ฟิกของ มันอยู่ที่ไหน${\displaystyle \chi (F)}$

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),}$

และลักษณะเฉพาะของ เชิร์ น ${\displaystyle \operatorname {ch} (F)}$

• สกุลของลำดับทวีคูณ