ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทฤษฎีโฮโมโทปีการไฟเบอร์ซ้ายของเซตเชิงซิมพลิเชียลคือแผนที่ที่มีคุณสมบัติการยกขึ้นทางขวาเมื่อเทียบกับการรวมฮอร์น${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}\subset \Delta ^{n},0\leq i<n}$[ ^{1 ]} อาการ หัวใจ เต้นผิด ^{จังหวะ}ด้านขวาถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับเงื่อนไข${\displaystyle 0<i\leq n}$[ ^{1 ]}ไฟเบอร์เรชันของ Kan คือไฟเบอร์เรชันที่มีคุณสมบัติการยกที่ถูกต้องเมื่อเทียบกับการรวมฮอร์ ^นทุกตัว ดังนั้น ไฟเบอร์เรชันของ Kan จึงเป็นแผนที่ที่เป็นทั้งไฟเบอร์เรชันซ้ายและขวา^{[ 2 ]}

การจัดเรียงแบบไฟเบรชันทางขวา คือการ จัด เรียงแบบไฟเบรชันคาร์ทีเซียนโดยที่แต่ละไฟเบรชันเป็นคอมเพล็กซ์ Kan

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหมวดหมู่ที่มีโครงสร้างเป็นไฟเบอร์ในกลุ่มกรุปอยด์เหนือหมวดหมู่อื่นเป็นกรณีพิเศษของไฟเบอร์ขวาของเซตเชิงซิมพลิเชียลในการตั้งค่าหมวดหมู่อนันต์

ส่วนขยายอะโนไดน์ด้านซ้ายคือแผนที่ในการอิ่มตัวของชุดส่วนประกอบฮอร์น${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 1,0\leq k<n}$ในหมวดหมู่ของเซตซิมพลิเชียลซึ่งความอิ่มตัวของคลาสคือคลาสที่เล็กที่สุดที่บรรจุคลาสและมีเสถียรภาพภายใต้พุชเอาท์ รีแทรกต์ และองค์ประกอบทรานส์ไฟไนต์ (องค์ประกอบของแผนที่จำนวนอนันต์) ^{[ 3 ]}ส่วนขยายแอนโนดีนขวาถูกกำหนดโดยการแทนที่เงื่อนไข${\displaystyle 0\leq k<n}$กับ${\displaystyle 0<k\leq n}$แนวคิดดังกล่าวมีที่มาจาก Gabriel–Zisman และใช้ในการศึกษาไฟเบอร์เรชันสำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียล

ส่วนขยายอะโนดีนซ้าย (หรือขวา) เป็นโมโนมอร์ฟิซึม (เนื่องจากคลาสของโมโนมอร์ฟิซึมอิ่มตัวแล้ว^{[ 4 ]}ความอิ่มตัวจึงอยู่ในคลาสของโมโนมอร์ฟิซึม)

เมื่อกำหนดคลาสแล้ว${\displaystyle F}$ของแผนที่ ให้${\displaystyle r(F)}$แทนกลุ่มของแผนที่ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติการยกขึ้นทางขวาโดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle F}$. แล้ว${\displaystyle r(F)=r({\overline {F}})}$สำหรับความอิ่มตัว${\displaystyle {\overline {F}}}$ของ${\displaystyle F}$[ ^{5 ] ดังนั้น แผนที่ จะ}เป็นไฟเบรชันซ้าย (หรือขวา) ก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติการยกขวาโดยสัมพันธ์กับส่วนขยายอะโนดีนซ้าย (หรือขวา) ^{[ 3 ]}

ส่วนขยายอะโนไดน์ภายในคือแผนที่ในการอิ่มตัวของส่วนประกอบภายในฮอร์น${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 1,0<k<n}$[ ^{6 ] แผนที่ที่มีคุณสมบัติการยกที่ถูกต้องเมื่อเทียบกับส่วนขยายภายในที่ไม่ก่อให้เกิดความ เจ็บปวด}หรือเทียบเท่ากับการรวมของฮอร์น${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n},\,n\geq 1,0<k<n}$เรียกว่าไฟเบรชันภายใน^{[ 7 ]} ชุดซิ มพลิเชียลจะเป็นคอมเพล็กซ์ Kan ที่อ่อนแอ (หมวดหมู่ ∞) หากแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันไปยังวัตถุสุดท้ายเป็นไฟเบรชันภายใน

ไอโซไฟเบรชัน${\displaystyle p:X\to Y}$เป็นไฟเบอร์ภายในที่สำหรับแต่ละวัตถุ (0-ซิมเพล็กซ์)${\displaystyle x_{0}}$ใน${\displaystyle X}$และแผนที่ที่ผกผันได้${\displaystyle g:y_{0}\to y_{1}}$กับ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0}}$ใน${\displaystyle Y}$มีแผนที่อยู่${\displaystyle f}$ใน${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle p(f)=g}$[ ^{8 ]}ตัวอย่างเช่น การเกิดไฟเบรชันด้านซ้าย (หรือด้านขวา) ระหว่างคอมเพล็กซ์ Kan ที่อ่อนแอเป็นการ^เกิดไอโซไฟเบรชันแบบอนุรักษ์^{[ 9 ]}

กำหนดให้เป็นโมโนมอร์ฟิซึม${\displaystyle i:A\to B}$และ${\displaystyle k:Y\to Z}$, อนุญาต${\displaystyle i\sqcup _{A\times Y}k}$แสดงถึงการผลักดันของ${\displaystyle i\times \operatorname {id} _{Y}}$และ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\times k}$จากนั้นทฤษฎีบทของกาเบรียลและซิสแมนกล่าวว่า: ^{[ 10 ] [ 11 ]}ถ้า${\displaystyle i}$เป็นการขยายแบบไม่เจ็บปวดทางด้านซ้าย (หรือด้านขวา) จากนั้นแผนที่ที่เหนี่ยวนำ

${\displaystyle i\sqcup _{A\times Y}k\to B\times Z}$

เป็นส่วนขยายที่ไม่ก่อให้เกิดอาการปวดทางด้านซ้าย (หรือด้านขวา) ในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle i}$เป็นการขยายภายในที่ไม่ก่อให้เกิดความเจ็บปวด ดังนั้นแผนที่เหนี่ยวนำข้างต้นจึงเป็นการขยายภายในที่ไม่ก่อให้เกิดความเจ็บปวด^{[ 12 ]}

กรณีพิเศษของข้างต้นคือ คุณสมบัติการขยาย โฮโมโทปีแบบครอบคลุม : ^{[ 13 ]}ไฟเบอร์ Kan มีคุณสมบัติการยกที่ถูกต้องเมื่อเทียบกับ${\displaystyle (Y\times I)\sqcup (Z\times 0)\to Z\times I}$สำหรับโมโนมอร์ฟิซึม${\displaystyle Y\to Z}$และ${\displaystyle 0\to I=\Delta ^{1}}$.

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบท แผนที่${\displaystyle p:X\to Y}$เป็นการจัดเรียงเส้นใยภายในก็ต่อเมื่อสำหรับแต่ละโมโนมอร์ฟิซึม${\displaystyle i:A\to B}$แผนที่เหนี่ยวนำ

${\displaystyle (i^{*},p_{*}):{\underline {\operatorname {Hom} }}(B,X)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(A,X)\times _{{\underline {\operatorname {Hom} }}(A,Y)}{\underline {\operatorname {Hom} }}(B,Y)}$

เป็นเส้นใยภายใน^{[ 14 ] [ 15 ]}ในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle p}$ถ้าเป็นภาวะหัวใจห้องซ้ายสั่น (หรือห้องขวาสั่น) แสดงว่าหัวใจห้องซ้ายสั่น${\displaystyle (i^{*},p_{*})}$เป็นภาวะหัวใจห้องซ้ายสั่น (หรือห้องขวาสั่น) ^{[ 16 ]}

หมวดหมู่ของเซตซิมพลิเชียลsSet มีโครงสร้าง หมวดหมู่โมเดลมาตรฐานที่^{[ 17 ]}

• โคไฟเบรชันคือโมโนมอร์ฟิซึม
• เส้นใยเหล่านี้คือเส้นใยแบบคาน (Kan fibrations)
• ความสมมูลแบบอ่อนคือแผนที่${\displaystyle f}$โดยที่${\displaystyle f^{*}}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงบน คลาส โฮโมโทปีเชิงซิมพลิเชียลสำหรับแต่ละคอมเพล็กซ์ Kan ( วัตถุไฟแบรนต์ )
• ฟิเบรชันจะเป็นฟิเบรชันที่ไม่สำคัญ (กล่าวคือ มีคุณสมบัติการยกที่ถูกต้องเมื่อเทียบกับโมโนมอร์ฟิซึม) ก็ต่อเมื่อมันเป็นสมมูลแบบอ่อนเท่านั้น
• โคไฟเบรชันเป็นส่วนขยายที่ไม่ก่อให้เกิดผลใดๆ ก็ต่อเมื่อมันเป็นสมมูลที่อ่อนแอเท่านั้น

เนื่องจากคุณสมบัติข้อสุดท้าย การขยายแบบอะโนดีนจึงเรียกอีกอย่างว่าโคไฟเบรชันแบบอะไซคลิก (โคไฟเบรชันที่เป็นสมมูลแบบอ่อน) นอกจากนี้ สมมูลแบบอ่อนระหว่างคอมเพล็กซ์ Kan ก็เหมือนกับสมมูลโฮโมโทปีเชิงซิมพลิเชียลระหว่างคอมเพล็กซ์เหล่านั้นด้วย

ภายใต้การรับรู้ทางเรขาคณิต | - |  : sSet → Topเราจะได้ว่า:

• แผนที่${\displaystyle f}$เป็นการสมมูลแบบอ่อนก็ต่อเมื่อ${\displaystyle |f|}$เป็นการสมมูลแบบโฮโมโทปี^{[ 18 ]}
• แผนที่${\displaystyle f}$จะเป็นภาวะไฟเบรชั่นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle |f|}$เป็นการเกิดเส้นใย (ปกติ) ในความหมายของ Hurewicz หรือ Serre ^{[ 19 ]}
• สำหรับส่วนขยายที่ไม่ก่อให้เกิดอาการปวด${\displaystyle i}$,${\displaystyle |i|}$ยอมรับการหดตัวของการเปลี่ยนรูปที่รุนแรง^{[ 20 ]}

อนุญาต${\displaystyle U}$เป็นเซตเชิงซิมพลิเชียล โดยที่ซิมเพล็ก ซ์ n ตัวแต่ละตัว ประกอบด้วย

• แผนที่${\displaystyle p:X\to \Delta ^{n}}$จากเซตเชิงซิมพลิเชียล (ขนาดเล็ก) X
• ส่วนหนึ่ง${\displaystyle s}$ของ${\displaystyle p}$,
• สำหรับจำนวนเต็มแต่ละตัว${\displaystyle m\geq 0}$และสำหรับแผนที่แต่ละแผนที่${\displaystyle f:\Delta ^{m}\to \Delta ^{n}}$ทางเลือกในการดึงกลับ${\displaystyle p}$ตาม${\displaystyle f}$[ ^{21 ]​}

ตอนนี้ ข้อสันนิษฐานของ Nichols-Barrer ซึ่งปัจจุบันเป็นทฤษฎีบทกล่าวว่าUเป็นสิ่งเดียวกันกับ ∞-category ของ ∞-groupoids (Kan complexes) พร้อมกับตัวเลือกบางอย่าง^{[ 22 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีแผนที่ลืม

${\displaystyle p_{univ}:U\to {\textbf {Kan}}}$= หมวดหมู่อนันต์ของคอมเพล็กซ์ Kan

ซึ่งเป็นการจัดเรียงแบบไฟเบรชันทางซ้าย มันเป็นแบบสากลในความหมายดังต่อไปนี้: สำหรับแต่ละเซตเชิงซิมพลิเชียลXจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อ หนึ่งตามธรรมชาติ

${\displaystyle [X,{\textbf {Kan}}]\,{\overset {\sim }{\to }}}$เซตของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของไฟเบรชันซ้ายเหนือX

โดยการดึงกลับ${\displaystyle p_{univ}}$, ที่ไหน${\displaystyle [,]}$หมายถึงคลาสโฮโมโทปีเชิงซิมพลิเชียลของแผนที่^{[ 23 ]}โดยสรุป${\displaystyle {\textbf {Kan}}}$คือปริภูมิจำแนกประเภทของไฟเบรชันซ้าย เมื่อกำหนดไฟเบรชันซ้ายเหนือXแล้ว แผนที่${\displaystyle X\to {\textbf {Kan}}}$สิ่งที่สอดคล้องกับสิ่งนั้นเรียกว่าแผนที่จำแนกประเภทสำหรับการเกิดเส้นใยนั้น

ในหนังสือของซิซินสกี ฟังก์ชันโฮม (hom-functor)${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to {\textbf {Kan}}}$บนหมวดหมู่ ∞-category Cนั้นถูกกำหนดให้เป็นแผนที่จำแนกประเภทสำหรับ fibration ด้านซ้ายอย่างง่ายๆ

${\displaystyle (s,t):S(C)\to C^{op}\times C}$

โดยที่แต่ละn-ซิมเพล็กซ์ใน${\displaystyle S(C)}$เป็นแผนที่${\displaystyle (\Delta ^{n})^{op}*\Delta ^{n}\to C}$[ ^{24 ]ใน}ความเป็นจริง${\displaystyle S(C)}$เป็นหมวดหมู่อนันต์ที่เรียกว่า แนว ^ทแยงบิดเบี้ยวของC [ ^{25 ]}

ในทฤษฎีโทโพสระดับสูง ของเขา ลูรีสร้างไฟเบอร์คาร์ทีเซียนสากลที่คล้ายคลึงกัน^{[ 26 ]}

• การโต้แย้งวัตถุขนาดเล็ก

• https://ncatlab.org/nlab/show/anodyne+morphism
• https://math.stackexchange.com/questions/1061303/history-of-the-term-anodyne-in-homotopy-theory
• https://mathoverflow.net/questions/313635/cellularity-of-anodyne-extensions
• nlab, https://ncatlab.org/nlab/show/inner+fibration