ทวินไพรม์

Q: คุณสมบัติ

โดยปกติแล้วคู่ (2, 3) จะไม่ถือว่าเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะแฝด [ 6 ] เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ คู่ เดียว คู่นี้จึงเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันหนึ่ง ดังนั้นจำนวนเฉพาะแฝดจึงอยู่ใกล้กันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับจำนวนเฉพาะสองจำนวนอื่น ๆ

จำนวน เฉพาะคู่แฝดคือจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือมากกว่าจำนวนเฉพาะอื่นอยู่ 2 ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะคู่แฝด $(17, 19)$ หรือ $(41, 43)$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเฉพาะคู่แฝดคือ จำนวนเฉพาะที่มีช่องว่างของจำนวนเฉพาะอยู่ 2 บางครั้งคำว่าจำนวนเฉพาะคู่แฝดถูกใช้สำหรับคู่ของจำนวนเฉพาะคู่แฝด ชื่ออื่นสำหรับสิ่งนี้คือคู่จำนวนเฉพาะหรือคู่จำนวนเฉพาะ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

จำนวนเฉพาะคู่แฝดจะหายากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อพิจารณาช่วงที่กว้างขึ้น ซึ่งสอดคล้องกับแนวโน้มทั่วไปของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกันที่จะใหญ่ขึ้นเมื่อตัวเลขนั้นมีขนาดใหญ่ขึ้น อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์หรือไม่ (ที่เรียกว่าสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด ) หรือมีคู่ที่ใหญ่ที่สุดหรือไม่ งานวิจัยที่ก้าวล้ำ^{[ 4 ]} ของYitang Zhangในปี 2013 รวมถึงงานของJames Maynard , Terence Taoและคนอื่นๆ ได้มีความก้าวหน้าอย่างมากในการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์ แต่ในปัจจุบันปัญหานี้ยังไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 5 ]}

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

มีจำนวนเฉพาะแฝดอยู่เป็นจำนวนอนันต์หรือไม่?

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์ยังมีอีกมากมาย

คุณสมบัติ

โดยปกติแล้วคู่ $(2, 3)$ จะไม่ถือว่าเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะแฝด^{[ 6 ]} เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ คู่ เดียวคู่นี้จึงเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันหนึ่ง ดังนั้นจำนวนเฉพาะแฝดจึงอยู่ใกล้กันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับจำนวนเฉพาะสองจำนวนอื่น ๆ

คู่จำนวนเฉพาะแฝดคู่แรกๆ ได้แก่

(3, 5), (5, 7), (11, 13),

(17, 19), (29, 31), (41, 43),

(59, 61), (71 ,

73), (101, 103),

(107, 109), (137, 139), ...

OEIS : A077800

5 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียวที่อยู่ในสองคู่ เนื่องจากจำนวนเฉพาะคู่แฝดทุกคู่ที่มากกว่า $(3, 5)$ จะอยู่ในรูปแบบ $(6n-1,6n+1)$ สำหรับจำนวนธรรมชาติ $n$ บางจำนวน นั่นคือ จำนวนที่อยู่ระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนนั้นเป็นพหุคูณของ 6 ^{[ 7 ]} ด้วยเหตุนี้ ผลรวมของจำนวนเฉพาะคู่แฝดใดๆ (นอกเหนือจาก 3 และ 5) จึงหารด้วย 12 ลงตัว

ทฤษฎีบทของบรุน

ในปี พ.ศ. 2458 วิกโก บรุนแสดงให้เห็นว่าผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะแฝดนั้นลู่เข้า[ ^{8 ] ผลลัพธ์} อันโด่งดังนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของบรุนซึ่งเป็นการใช้ตะแกรงของบรุน เป็นครั้งแรก และช่วยริเริ่มการพัฒนาทฤษฎีตะแกรง สมัยใหม่ เวอร์ชันสมัยใหม่ของข้อโต้แย้งของบรุนสามารถใช้เพื่อแสดงว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะแฝดที่น้อยกว่า $N$ ไม่เกิน

{\frac {CN}{(\log N)^{2}}}

สำหรับค่าคงที่สัมบูรณ์ $C$ > 0 บางค่า^{[ 9 ]} ในความเป็นจริง มันถูกจำกัดไว้ด้านบนโดย ${\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],$ ที่ไหน $C_{2}$ คือค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะคู่แฝด (น้อยกว่า 2/3 เล็กน้อย) ที่ระบุไว้ด้านล่าง^{[ 10 ]}

สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่

คำถามที่ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์หรือไม่นั้น เป็นหนึ่งในคำถามเปิดที่ สำคัญ ในทฤษฎีจำนวนมานานหลายปี นี่คือเนื้อหาของสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดซึ่งระบุว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ อยู่เป็นอนันต์ โดยที่ $p$ $+ 2$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน ในปี ค.ศ. 1849 เดอ โปลิญักได้ตั้งสมมติฐานทั่วไปว่า สำหรับจำนวนธรรมชาติ $k$ ทุกจำนวน จะมีจำนวนเฉพาะ $p$ อยู่เป็นอนันต์ โดยที่ $p$ $+ 2k$ $ก็$ เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน^[¹¹^] กรณี $k$ = 1ของสมมติฐานของเดอ โปลิญักคือสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด

ทฤษฎีบทฮาร์ดี-ลิตเติลวูด ซึ่งเป็นรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะคู่แฝดกำหนดกฎการกระจายสำหรับจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่คล้ายกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ

เมื่อวันที่ 17 เมษายน 2556 Yitang Zhangได้ประกาศการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม $N$ ที่น้อยกว่า 70 ล้าน ซึ่งมีคู่ของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันด้วย $N$ อยู่เป็น อนันต์^[¹²^]บทความของ Zhang ได้รับการยอมรับในช่วงต้นเดือนพฤษภาคม2556 ^[¹³^] ต่อมา Terence Taoได้เสนอโครงการ Polymath Projectซึ่งเป็นความร่วมมือเพื่อปรับปรุงขอบเขตของ Zhang ^[¹⁴^]

หนึ่งปีหลังจากที่ Zhang ประกาศ ขอบเขตดังกล่าวลดลงเหลือ 246 ซึ่งยังคงอยู่ที่ระดับนี้^{[ 15 ]} ขอบเขตที่ได้รับการปรับปรุงเหล่านี้ถูกค้นพบโดยอิสระโดยJames Maynardและ Terence Tao โดยใช้วิธีการที่แตกต่างออกไปซึ่งง่ายกว่าของ Zhang วิธีการที่สองนี้ยังให้ขอบเขตสำหรับ $f$ $($ $m$ $)$ ที่เล็กที่สุด ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าช่วงเวลาจำนวนอนันต์ที่มีความกว้าง $f$ $($ $m$ $)$ มีจำนวนเฉพาะอย่างน้อย $m$ ตัว ยิ่งไปกว่านั้น (ดูส่วนถัดไปด้วย) เมื่อพิจารณาสมมติฐาน Elliott–Halberstamและรูปแบบทั่วไปของมัน วิกิของ Polymath Project ระบุว่าขอบเขตคือ 12 และ 6 ตามลำดับ^[¹⁵^]

ทฤษฎีบทอื่นๆ ที่อ่อนกว่าข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝด

ในปี ค.ศ. 1940 พอล เออร์โดสแสดงให้เห็นว่ามี ค่า คงที่ $c < 1$ และมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่เป็นอนันต์ โดยที่ $p' - p < c ln p$ โดยที่ $p'$ แทนจำนวนเฉพาะถัดจาก $p$ นั่นหมายความว่าเราสามารถหาช่วงที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะสองตัว $(p, p')$ ได้เป็นอนันต์ ตราบ ใดที่เราปล่อยให้ช่วงเหล่านี้ขยายขนาดอย่างช้าๆ เมื่อเราเปลี่ยนไปใช้จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ในที่นี้ "ขยายขนาดอย่างช้าๆ" หมายความว่าความยาวของช่วงเหล่านี้สามารถขยายขนาดแบบลอการิทึมได้ ผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง ในปี ค.ศ. 1986 เฮลมุต ไมเออร์ แสดงให้เห็นว่า สามารถใช้ค่าคงที่ $c < 0.25 ได้ ในปี ค.ศ. 2004$ แดเนียล โกลด์สตันและเซม ยิลดิริมแสดงให้เห็นว่าค่าคงที่สามารถปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นไปได้เป็น $c = 0.085786$ ...ในปี พ.ศ. 2548 Goldston , PintzและYıldırımได้พิสูจน์ว่า $c$ สามารถเลือกให้มีค่าเล็กมากได้ตามอำเภอใจ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} กล่าวคือ

\liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.

ในทางกลับกัน ผลลัพธ์นี้ไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ที่ว่าอาจมีช่วงเวลาจำนวนอนันต์ที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะสองจำนวน หากเราอนุญาตให้ช่วงเวลาเหล่านั้นขยายขนาดได้เพียงเท่า นี้เช่น $c ln ln p$

โดยการใช้สมมติฐานของเอลเลียต-ฮัลเบอร์สแตมหรือสมมติฐานที่อ่อนกว่าเล็กน้อย พวกเขาสามารถแสดงให้เห็นว่ามีจำนวน $n$ ที่เป็นอนันต์ ซึ่งอย่างน้อยสองตัวใน $n$ , $n + 2$ , $n + 6$ , $n + 8$ , $n + 12$ , $n + 18$ หรือ $n + 20$ เป็นจำนวนเฉพาะ ภายใต้สมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า พวกเขาแสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวน $n$ ที่เป็นอนันต์ อย่างน้อยสองตัวใน $n$ , $n + 2$ , $n + 4$ และ $n + 6$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ผลงานของอี้ถังจาง

\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},

นับเป็นการปรับปรุงครั้งสำคัญจากผลลัพธ์ของ Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım การปรับปรุงขอบเขตของ Zhang โดย Polymath Project และงานของ Maynard ได้ลดขอบเขตลง: ขีดจำกัดที่ต่ำกว่ามีค่าสูงสุดไม่เกิน 246 ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}ซึ่งหมายความว่ามีเซตของจำนวนเฉพาะอนันต์ที่จำนวนเฉพาะถัดไปมีค่ามากกว่าไม่เกิน 246 การปรับปรุงขอบเขตให้เป็น 2 จะเป็นการพิสูจน์สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด

ข้อสันนิษฐาน

ข้อสันนิษฐานแรกของฮาร์ดี้-ลิตเติลวูด

ข้อสันนิฐานฮาร์ดี-ลิตเติลวูดข้อ แรก (ตั้งชื่อตาม จี.เอช. ฮาร์ดีและจอห์น ลิตเติลวูด ) เป็นการขยายความของข้อสันนิฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด โดยเกี่ยวข้องกับการกระจายตัวของกลุ่มจำนวนเฉพาะรวมถึงจำนวนเฉพาะคู่แฝด ในทำนองเดียวกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะให้⁠ $\pi _{2}(x)$ ⁠ระบุจำนวนของจำนวนเฉพาะ $p \leq x$ ที่ $p + 2$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน กำหนดค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะคู่ $C$ เป็น^{[ 20 ]} $C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .$ (ในที่นี้ ผลคูณครอบคลุมจำนวนเฉพาะ $p \geq 3$ ทั้งหมด ) จากนั้น กรณีพิเศษของการคาดการณ์ข้อแรกของ Hardy–Littlewood คือ $\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}$ ในแง่ที่ว่าผลหารของนิพจน์ทั้งสองมีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อ $x$ เข้าใกล้อนันต์^{[ 9 ]} (เครื่องหมาย ~ ตัวที่สองไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสมมติฐานและได้รับการพิสูจน์โดยการอินทิเกรตโดยส่วน )

ข้อสันนิษฐานนี้สามารถหาเหตุผลมาสนับสนุนได้ (แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้) โดยการสมมติว่า⁠ ${\tfrac {1}{\ln t}}$ อธิบายถึงฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงจำนวนเฉพาะ สมมติฐานนี้ ซึ่งเสนอแนะโดยทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ บ่งบอกถึงข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝด ดังแสดงในสูตรสำหรับ $\pi _{2}(x)$ ด้านบน

ข้อสันนิษฐานทั่วไปข้อแรกของ Hardy–Littlewood เกี่ยวกับ $k$ -tuple ที่เป็นจำนวนเฉพาะ (ไม่ได้แสดงไว้ที่นี่) บ่งชี้ว่า ข้อสันนิษฐานข้อ ที่สองของ Hardy–Littlewoodเป็นเท็จ

ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการขยายความโดยข้อสันนิษฐานของดิกสัน

ข้อสันนิษฐานของโปลิญัก

ข้อสันนิษฐานของ Polignacจากปี 1849 ระบุว่า สำหรับจำนวนเต็มคู่บวก $k$ ทุกจำนวน จะมีคู่จำนวนเฉพาะ $p$ และ $p'$ ที่อยู่ติดกันเป็นอนันต์ โดยที่ $p' - p = k$ (กล่าวคือ มีช่องว่าง จำนวนเฉพาะ ขนาด $k$ เป็นอนันต์) กรณี $k = 2$ คือข้อสันนิษฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดข้อสันนิษฐานนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้างสำหรับค่า $k ใดๆ โดยเฉพาะ แต่ผลลัพธ์ของ Zhang พิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับค่า$ $k$ อย่างน้อยหนึ่งค่า (ซึ่งยังไม่ทราบในปัจจุบัน) อันที่จริง หาก ไม่มี $k$ ดังกล่าว อยู่จริง สำหรับจำนวนธรรมชาติคู่บวก $N ใดๆ จะมี$ $n$ อย่างมากที่สุดเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ทำให้ $p_{n+1}-p_{n}=m$ สำหรับทุก $m < N$ และดังนั้นสำหรับ $n$ ที่มากพอ เราจะมี $p_{n+1}-p_{n}>N,$ ซึ่งจะขัดแย้งกับผลลัพธ์ของจาง^{[ 11 ]}

จำนวนเฉพาะแฝดขนาดใหญ่

นับตั้งแต่ปี 2007 โครงการประมวลผลแบบกระจายศูนย์ สองโครงการ ได้แก่ Twin Prime SearchและPrimeGridได้สร้างจำนวนเฉพาะคู่ที่ใหญ่ที่สุดเป็นประวัติการณ์หลายรายการณ เดือนมกราคม2025 คู่จำนวนเฉพาะแฝดที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักในปัจจุบันคือ2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1 ^{[ 21 ]}โดยมีตัวเลขทศนิยม 388,342 หลัก ค้นพบในเดือนกันยายน พ.ศ. 2559 ^{[ 22 ]}

มี คู่จำนวนเฉพาะแฝดที่ต่ำกว่า10 จำนวน 808,675,888,577,436 คู่¹⁸ .^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

การวิเคราะห์เชิงประจักษ์ของคู่จำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึง 4.35 × 10^{สมการ ที่ 15}แสดงให้เห็นว่า ถ้าจำนวนคู่ดังกล่าวที่น้อยกว่า $x$ คือ $f (x) \cdot x /(log x) ²$ แล้ว $f (x)$ จะมีค่าประมาณ 1.7 สำหรับ $x$ ที่มีค่าน้อย และจะลดลงไปอยู่ที่ประมาณ 1.3 เมื่อ $x$ มีค่าเข้าสู่อินฟินิตี้ ค่าลิมิตของ $f (x)$ คาดว่าจะเท่ากับสองเท่าของค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะคู่แฝด ( OEIS : A114907 ) (ไม่ควรสับสนกับค่าคงที่ของ Brun ) ตามสมมติฐานของ Hardy–Littlewood

คุณสมบัติพื้นฐานอื่นๆ

จำนวน คี่ที่สามทุกจำนวนจะหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น จำนวนคี่สามจำนวนที่เรียงติดกันจึงไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้ เว้นแต่ว่าหนึ่งในนั้นจะเป็น 3 ด้วยเหตุนี้ 5 จึงเป็นจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียวที่เป็นส่วนหนึ่งของคู่จำนวนเฉพาะแฝดสองคู่ โดยจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าในคู่ดังกล่าว จะเป็นจำนวนเฉพาะของเฉิน ตาม นิยาม

ถ้าm − 4 หรือm + 6 เป็นจำนวนเฉพาะด้วยแล้ว จำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวนนี้จะเรียกว่า กลุ่มจำนวนเฉพาะ (prime triplet )

ได้รับการพิสูจน์แล้ว^{[ 25 ]}ว่าคู่ ( m , m + 2) เป็นจำนวนเฉพาะแฝดก็ต่อเมื่อ

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.

สำหรับคู่จำนวนเฉพาะแฝดในรูปแบบ (6n − 1, 6n + 1) สำหรับจำนวนธรรมชาติn > 1 ใดๆ nจะต้องลงท้ายด้วยเลข 0, 2, 3, 5, 7 หรือ 8 ( OEIS : A002822 ) ถ้าnลงท้ายด้วย 1 หรือ 6 6nจะลงท้ายด้วย 6 และ 6n − 1 จะเป็นพหุคูณของ 5 ซึ่งจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะเว้นแต่n = 1 ในทำนองเดียวกัน ถ้าnลงท้ายด้วย 4 หรือ 9 6nจะลงท้ายด้วย 4 และ6n + 1 จะเป็นพหุคูณของ 5 กฎเดียวกันนี้ใช้ได้กับจำนวนเฉพาะp ≥ 5 ใดๆ ด้วย: ถ้าn ≡ ±6 ^{− 1} (mod p ) แล้วจำนวนหนึ่งในคู่จะหารด้วยp ลงตัว และจะไม่ใช่คู่จำนวนเฉพาะแฝดเว้นแต่6n = p ± 1 ค่า p = 5 บังเอิญสร้างรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษในระบบฐาน 10

ไพรม์เดี่ยวที่แยกเดี่ยว

จำนวนเฉพาะโดดเดี่ยว (หรือที่เรียกว่าจำนวนเฉพาะเดี่ยวหรือจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่คู่แฝด ) คือจำนวนเฉพาะpที่ทั้งp − 2 และp + 2 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ กล่าวอีกนัยหนึ่งpไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคู่จำนวนเฉพาะแฝด ตัวอย่างเช่น 23 เป็นจำนวนเฉพาะโดดเดี่ยว เนื่องจาก 21 และ 25 เป็นจำนวนประกอบ ทั้ง คู่

จำนวนเฉพาะโดดเดี่ยวกลุ่มแรกๆ ได้แก่

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

จากทฤษฎีบทของบรุน สรุปได้ ว่า จำนวนเฉพาะ เกือบทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะโดดเดี่ยว ในแง่ที่ว่าอัตราส่วนของจำนวนจำนวนเฉพาะโดดเดี่ยวที่น้อยกว่าค่าเกณฑ์n ที่กำหนด กับจำนวนจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าnจะมีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อnมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

Sloane, Neil ; Plouffe, Simon (1995). สารานุกรมลำดับจำนวนเต็ม . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.

ลิงก์ภายนอก

"ฝาแฝด" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
20 อันดับคู่ไพรม์ยอดนิยม จาก Prime Pagesของ Chris Caldwell
Xavier Gourdon, Pascal Sebah: บทนำเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่และค่าคงที่ของ Brun
"ข่าวประชาสัมพันธ์อย่างเป็นทางการ"เกี่ยวกับสถิติจำนวนเฉพาะคู่ 58711 หลัก
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จำนวนเฉพาะคู่แฝด" . แมธเวิลด์ .
จำนวนเฉพาะแฝด 20,000 ตัวแรก
ผู้รอบรู้: ช่องว่างที่จำกัดระหว่างจำนวนเฉพาะ
ความคืบหน้าอย่างฉับพลันในการแก้ปัญหาจำนวนเฉพาะ ทำให้นักคณิตศาสตร์ตื่นเต้นกันยกใหญ่

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

8 ] ผลลัพธ์

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[

[

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]