ในทางดาราศาสตร์กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ให้ค่าประมาณที่ดีสำหรับวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ กฎเหล่านี้ได้รับการตีพิมพ์โดยโยฮันเนส เคปเลอร์ตั้งแต่ปี 1608 ถึง 1621 ในผลงานสามชิ้น ได้แก่Astronomia nova , Harmonice MundiและEpitome Astronomiae Copernicanaeกฎเหล่านี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดของเคปเลอร์เกี่ยวกับเส้นใยสุริยะที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลทางดาราศาสตร์ที่แม่นยำของไทโค บราเฮกฎเหล่านี้แทนที่วงโคจรวงกลมและวงโคจรย่อยของแบบจำลองเฮลิโอสแตติกของดาวเคราะห์ของโคเปอร์นิคัสด้วย แบบจำลอง เฮลิโอเซนทริกที่อธิบายวงโคจรวงรีที่มีความเร็วของดาวเคราะห์ที่แปรผันตามนั้น กฎทั้งสามข้อระบุว่า: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส จุด ใดจุด หนึ่งในสองจุด
2. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน
3. กำลังสองของ คาบการโคจรของดาวเคราะห์แปรผันตรงกับกำลังสามของความยาวกึ่งแกนเอกของวงโคจร

วงโคจรวงรีของดาวเคราะห์ได้รับการยืนยันจากการคำนวณวงโคจรของดาวอังคารจากนั้นเคปเลอร์จึงสรุปได้ว่าวัตถุอื่นๆ ในระบบสุริยะรวมถึงวัตถุที่อยู่ไกลจากดวงอาทิตย์ออกไป ก็มีวงโคจรวงรีเช่นกัน กฎข้อที่สองระบุว่า เมื่อดาวเคราะห์อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากขึ้น มันจะเคลื่อนที่เร็วขึ้น และกฎข้อที่สามระบุว่า ยิ่งดาวเคราะห์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากเท่าใด คาบการโคจรของมันก็จะยิ่งนานขึ้นเท่านั้น

กฎของ โยฮันเนส เคปเลอร์ได้ปรับปรุงแบบจำลองของโคเปอร์นิคัสตามที่โคเปอร์นิคัสกล่าวไว้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

1. วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงกลมที่มีวงโคจรย่อยล้อมรอบ
2. ดวงอาทิตย์อยู่ประมาณกึ่งกลางของวงโคจร
3. ความเร็วของดาวเคราะห์ในวงโคจรหลักนั้นคงที่

แม้ว่าโคเปอร์นิคัสจะกล่าวถูกต้องว่าดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่เขากลับกำหนดวงโคจรของดาวเคราะห์ผิดพลาด เคปเลอร์ได้นำเสนอคำอธิบายทางฟิสิกส์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในอวกาศที่นอกเหนือไปจากเรขาคณิต และกำหนดวงโคจรของดาวเคราะห์ได้อย่างถูกต้องดังนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ] : 53–54}

1. วงโคจรของดาวเคราะห์ไม่ใช่รูปวงกลมที่มีวงโคจรย่อย แต่เป็นรูปวงรี
2. ดวงอาทิตย์ไม่ได้อยู่ตรงกลาง แต่Hอยู่ตรงจุดโฟกัสของวงโคจรวงรี
3. ทั้งความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมของดาวเคราะห์ในวงโคจรไม่คงที่ แต่ความเร็วเชิงพื้นที่ (ซึ่งมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องโมเมนตัมเชิงมุม ในเชิงประวัติศาสตร์ ) นั้นคงที่

ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลกทำให้ช่วงเวลาจากจุดวิษุวัตในเดือนมีนาคมถึงจุดวิษุวัตในเดือนกันยายนซึ่งประมาณ 186 วัน ไม่เท่ากับช่วงเวลาจากจุดวิษุวัตในเดือนกันยายนถึงจุดวิษุวัตในเดือนมีนาคม ซึ่งประมาณ 179 วัน หากใช้เส้นผ่านศูนย์กลางมาตัดวงโคจรออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน แต่ระนาบที่ลากผ่านดวงอาทิตย์ขนานกับเส้นศูนย์สูตรของโลกจะตัดวงโคจรออกเป็นสองส่วน โดยมีพื้นที่ในอัตราส่วน 186 ต่อ 179 พื้นที่ที่กวาดไปในรูปวงรีจะแตกต่างกันเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดโฟกัสและจุดสองจุดบนแกนรองเป็นจุดยอด รูปสามเหลี่ยมนี้มีพื้นที่โดยที่คือความยาวของแกนกึ่งรอง และคือความเยื้องศูนย์กลางเชิงเส้น ดังนั้นความแตกต่างของพื้นที่คือเนื่องจากความเยื้องศูนย์กลางกำหนดโดย(โดยที่คือแกนกึ่งหลัก) เราจึงได้โดยที่คือความแตกต่างของพื้นที่ที่กวาดไป เนื่องจากพื้นที่ของวงรีคือดังนั้นค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลกจึงมีค่าประมาณ ซึ่ง ยังคงคลาดเคลื่อนจากค่าที่ถูกต้องอยู่สองเท่า (0.016710218) ความแม่นยำของการคำนวณนี้จำเป็นต้องเลือกสองวันที่อยู่ตามแนวแกนรองของวงโคจรวงรี และจุดกึ่งกลางของแต่ละครึ่งวงโคจรต้องอยู่ตามแนวแกนหลัก เนื่องจากสองวันที่เลือกไว้ในที่นี้เป็นวันวิษุวัต ดังนั้นค่านี้จะถูกต้องเมื่อ จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (perihelion)ตรงกับวันเหมายัน จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดในปัจจุบัน ซึ่งอยู่ใกล้กับวันที่ 4 มกราคม ค่อนข้างใกล้กับวันเหมายันในวันที่ 21 หรือ 22 ธันวาคม แต่ความแตกต่างนี้ (14-15 วัน) นั้นมากกว่าความแตกต่างของช่วงเวลาระหว่างวันวิษุวัต (7 วัน) ซึ่งอธิบายถึงข้อผิดพลาดที่สำคัญของเรา ${\displaystyle bc,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 2bc.}$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e={\frac {A_{\เดลต้า }}{2ab}},}$${\displaystyle A_{\Delta }}$${\displaystyle A=\pi ab,}$${\displaystyle e={\frac {A_{\Delta }}{2(\pi ab)/\pi }}={\frac {\pi }{2}}{\frac {A_{\Delta }}{A}},}$$${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{2}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.030,}$$

กฎของเคปเลอร์ได้รับการพัฒนาขึ้นโดยอิงจากทฤษฎีทางฟิสิกส์ของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ โดยที่ดวงอาทิตย์ปล่อยเส้นใยแม่เหล็กออกมาซึ่งดึงดาวเคราะห์เข้าสู่วงโคจร เส้นใยเหล่านี้มีความยืดหยุ่นในระดับหนึ่ง ทำให้เกิดการเคลื่อนที่ที่ไม่เป็นวงกลมโดยอาศัยแรงเฉื่อยของดาวเคราะห์^{[ 6 ] : 5}

ในAstronomia nova (1609) เคปเลอร์ได้กำหนดกฎข้อแรกของเขา โดยแสดงให้เห็นว่าวงโคจรของดาวอังคารเป็นรูปวงรี ^{[ 7 ]}โดยค้นพบจากการวิเคราะห์การสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ของไทโค บราเฮ [ ^{8 ] เค}ปเลอร์เชื่อในแบบจำลองระบบสุริยะของโคเปอร์นิคัส ซึ่งเรียกร้องให้วงโคจรเป็นวงกลม แต่เขาไม่สามารถประนีประนอมการสังเกตการณ์ที่แม่นยำสูงของบราเฮกับวงโคจรที่เป็นวงกลมของดาวอังคารได้ – ดาวอังคารบังเอิญมีค่า ความเยื้องศูนย์กลางสูงสุดในบรรดาดาวเคราะห์ทั้งหมด ยกเว้นดาวพุธ^{[ 9 ]}กฎข้อแรกของเขาสะท้อนถึงการค้นพบนี้

ในหนังสือ Astronomia nova (1609) ของเขา เคปเลอร์ไม่ได้นำเสนอกฎข้อที่สองในรูปแบบที่ทันสมัย ​​เขาทำเช่นนั้นเฉพาะในหนังสือEpitome Astronomiae Copernicanaeในปี 1621 เท่านั้น ^{[ 5 ] : 53} เคปเลอร์มีกฎข้อที่สองสองเวอร์ชันที่เกี่ยวข้องกันในเชิงคุณภาพ คือ "กฎระยะทาง" ฉบับแรก และต่อมาคือ "กฎพื้นที่" รูปแบบระยะทางนั้นถูกต้องเฉพาะกับวงโคจรที่เกือบเป็นวงกลม แต่รูปแบบพื้นที่นั้นถูกต้องสำหรับวงโคจรวงรีทั้งหมด "กฎพื้นที่" คือสิ่งที่กลายเป็นกฎข้อที่สองในชุดกฎสามข้อ กฎนี้มีผลกระทบต่อดาราศาสตร์น้อยมาก เพราะการคำนวณตำแหน่งของดาวเคราะห์โดยใช้กฎนี้เป็นการประมาณและใช้เวลานาน^{[ 6 ] : 3 [ 10 ]}กฎข้อที่สองในรูปแบบ "กฎพื้นที่" ถูกโต้แย้งโดยนิโคลาอุส เมอร์เคเตอร์ในหนังสือจากปี 1664 แต่ในปี 1670 Philosophical Transactions ของเขา กลับสนับสนุนกฎข้อนี้^{[ 11 ] [ 12 ]}เมื่อศตวรรษดำเนินไปก็ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้น^{[ 13 ]}

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1619 ในหนังสือ Harmonice Mundi ของเขา[ 14 ^{] [ 8 ]ในปี} 1621 เคปเลอร์ได้สังเกตว่ากฎข้อที่สามของเขาใช้ได้กับดวงจันทร์ที่สว่างที่สุดสี่ดวงของดาวพฤหัสบดี^{[หมายเหตุ 1 ]}โกเดอฟรอย เวนเดลินนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงคนแรกที่นำกฎของเคปเลอร์มาใช้ ได้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับกฎข้อที่สามในปี 1652 ^{[ 6 ] [หมายเหตุ 2 ]}

งานของเคปเลอร์มีผลกระทบเพียงเล็กน้อยในช่วงแรก งานของเขาเป็นการปกป้องทฤษฎีโคเปอร์นิคัส อย่างแข็งขัน ซึ่งเสื่อมความนิยมลงไปส่วนหนึ่งเนื่องจากการต่อต้านของไทโค บราเฮ ในปี ค.ศ. 1627 เคปเลอร์ได้ตีพิมพ์ตารางรูดอลฟินซึ่งประกอบด้วยการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ที่แม่นยำจำนวนมากที่รวบรวมโดยบราเฮ ความกว้างและความแม่นยำของตารางทำให้เหล่านักดาราศาสตร์สามารถเปรียบเทียบสูตรของเคปเลอร์กับข้อมูลที่มีคุณภาพดีได้ ในตอนแรกการคำนวณที่ยากลำบากเหล่านี้ทำให้รู้สึกท้อแท้ แต่เมื่อได้ลองทำแล้ว นักดาราศาสตร์จำนวนมากขึ้นก็เริ่มเชื่อมั่นในแนวทางของเคปเลอร์^{[ 6 ] : 7}

การตอบรับในเยอรมนีเปลี่ยนแปลงไปอย่างเห็นได้ชัดระหว่างปี 1688 ซึ่งเป็นปีที่หนังสือ Principia ของนิวตัน ได้รับการตีพิมพ์และถือว่าเป็นทฤษฎีโคเปอร์นิคัสโดยพื้นฐาน และปี 1690 ซึ่งเป็นปีที่ผลงานของก็อตฟรีด ไลบ์นิซเกี่ยวกับเคปเลอร์ได้รับการตีพิมพ์^{[ 15 ]} นิวตันเข้าใจว่ากฎข้อที่สองไม่ได้มีความพิเศษเฉพาะกับกฎกำลังสองผกผันของแรงโน้มถ่วงแต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากลักษณะเชิงรัศมีของกฎนั้น ในขณะที่กฎอื่นๆ ขึ้นอยู่กับรูปแบบกำลังสองผกผันของแรงดึงดูดคาร์ล รุนเกและวิลเฮล์ม เลนซ์ได้ระบุหลักการสมมาตรในปริภูมิเฟสของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ( กลุ่มตั้งฉาก O(4) ที่ทำงาน) ซึ่งอธิบายกฎข้อแรกและข้อที่สามในกรณีของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน เช่นเดียวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมผ่านสมมาตรการหมุนสำหรับกฎข้อที่สอง^{[ 16 ]}

ต้องใช้เวลาเกือบสองศตวรรษกว่าที่ผลงานของเคปเลอร์จะได้รับการกำหนดรูปแบบอย่างมั่นคง หนังสือEléments de la philosophie de Newton ( องค์ประกอบของปรัชญาของนิวตัน ) ของ วอลแตร์ในปี 1738 เป็นสิ่งพิมพ์แรกที่ใช้คำว่า "กฎ" ^{[ 17 ] [ 18 ]}สารานุกรมชีวประวัติของนักดาราศาสตร์ในบทความเกี่ยวกับเคปเลอร์ (หน้า 620) ระบุว่าคำศัพท์ของกฎทางวิทยาศาสตร์สำหรับการค้นพบเหล่านี้มีใช้กันอย่างน้อยตั้งแต่สมัยของโจเซฟ เดอ ลาลองด์ [ ^{19 ] การ}อธิบายของโรเบิร์ต สมอลล์ในAn account of the astronomy discoveries of Kepler (1814) ได้สร้างชุดกฎสามข้อขึ้นมา โดยเพิ่มข้อที่สามเข้าไป^{[ 20 ]} สมอลล์ยังอ้างด้วยว่ากฎเหล่านี้เป็น กฎเชิงประจักษ์โดยอิงจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยซึ่งขัดแย้งกับประวัติศาสตร์^{[ 18 ] [ 21 ]}

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ภายใต้กฎดังกล่าว ช่วยให้สามารถคำนวณเพิ่มเติมได้หลากหลายยิ่งขึ้น

กฎข้อแรกของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส จุด ใดจุดหนึ่งในสองจุด

ในทางคณิตศาสตร์ วงรีสามารถแสดงได้ด้วยสูตร โดยที่คือกึ่งลาตัสเรกตัม ε คือความเยื้องศูนย์กลางของวงรีrคือระยะห่างจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์ และθคือมุมที่ตำแหน่งปัจจุบันของดาวเคราะห์จากจุดที่ใกล้ที่สุดเมื่อมองจากดวงอาทิตย์ ดังนั้น ( r ,  θ ) จึงเป็น พิกัด เชิง ขั้ว$${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }},}$$${\displaystyle p}$

สำหรับวงรี0 < ε < 1 ; ในกรณีจำกัดที่ε  = 0 วงโคจรจะเป็นวงกลมโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดศูนย์กลาง (กล่าวคือ มีความเยื้องศูนย์กลางเป็นศูนย์)

ที่θ = 0° ซึ่งเป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดระยะทางจะน้อยที่สุด: $${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$$

ที่θ = 90° และที่θ = 270° ระยะทางจะเท่ากับ. ${\displaystyle p}$

ที่θ = 180° ซึ่งเป็น จุดไกลสุด จากดวงอาทิตย์ (aphelion ) ระยะทางจะมีค่าสูงสุด (ตามคำนิยาม จุดไกลสุดจากดวงอาทิตย์คือจุดใกล้สุดจากดวงอาทิตย์บวก 180° เสมอ): $${\displaystyle r_{\text{max}}={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$$

แกนกึ่งเอกaคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}},\\a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

แกนกึ่งรองbคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}},\\b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$

ค่ากึ่งลาตัสเรคตัมpคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\text{max}}^{-1}+r_{\text{min}}^{-1}}{2}}\right)^{-1},\\pa&=r_{\text{max}}r_{\text{min}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

ค่าความเยื้องศูนย์εคือค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันระหว่างr และr : $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}.}$$

พื้นที่ของวงรีคือ $${\displaystyle A=\pi ab.}$$

กรณีพิเศษของวงกลมคือε = 0ส่งผลให้r  = p  = r  = r  = a  = bและA = πr ²

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

เส้นที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน^{[ 23 ]}

รัศมีวงโคจรและความเร็วเชิงมุมของดาวเคราะห์ในวงโคจรวงรีจะเปลี่ยนแปลงไป ดังแสดงในภาพเคลื่อนไหว: ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ และเคลื่อนที่ช้าลงเมื่ออยู่ไกลจากดวงอาทิตย์ กฎข้อที่สองของเคปเลอร์กล่าวว่า ส่วนสีน้ำเงินมีพื้นที่คงที่

ที่น่าสังเกตคือ เคปเลอร์ได้ข้อสรุปเกี่ยวกับกฎนี้โดยอาศัยสมมติฐานที่อาจเป็นจริงเพียงโดยประมาณหรือเป็นเท็จโดยสิ้นเชิง ซึ่งสามารถสรุปได้ดังนี้:

1. ดาวเคราะห์ถูกผลักดันให้โคจรรอบดวงอาทิตย์ด้วยแรงจากดวงอาทิตย์ ข้อสันนิษฐานที่ผิดพลาดนี้อาศัยหลักฟิสิกส์ของอริสโตเติล ที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งกล่าวว่าวัตถุต้องถูกผลักดันจึงจะเคลื่อนที่ต่อไปได้
2. แรงผลักดันจากดวงอาทิตย์แปรผกผันกับระยะห่างจากดวงอาทิตย์ เคปเลอร์ให้เหตุผลเช่นนี้ โดยเชื่อว่าแรงโน้มถ่วงที่แผ่กระจายในสามมิติจะเป็นการสิ้นเปลือง เนื่องจากดาวเคราะห์อยู่ในระนาบเดียว ดังนั้นจึงใช้กฎผกผันแทนที่จะเป็นกฎกำลังสองผกผัน [ที่ถูกต้อง]
3. เนื่องจากเคปเลอร์เชื่อว่าแรงจะแปรผันตรงกับความเร็ว ดังนั้นจากข้อความที่ 1 และ 2 จึงสรุปได้ว่าความเร็วจะแปรผกผันกับระยะห่างจากดวงอาทิตย์ ข้อเท็จจริงที่ว่าแรงแปรผันตรงกับความเร็วเป็นหลักการที่ไม่ถูกต้องในฟิสิกส์แบบอริสโตเติล แต่ข้อผิดพลาดในสมมติฐานในข้อความที่ 2 และ 3 นั้นหักล้างกันไปโดยปริยาย ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าความเร็วแปรผกผันกับระยะห่างจากดวงอาทิตย์โดยประมาณ
4. เนื่องจากความเร็วแปรผกผันกับเวลา ดังนั้นระยะห่างจากดวงอาทิตย์จึงแปรผันตรงกับเวลาที่ใช้ในการโคจรครอบคลุมเพียงส่วนเล็กๆ ของวงโคจร ซึ่งเป็นความจริงโดยประมาณสำหรับวงโคจรวงรี
5. พื้นที่ที่ถูกกวาดล้างจะแปรผันตรงกับระยะเวลาโดยรวม ซึ่งก็เป็นความจริงโดยประมาณเช่นกัน
6. วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงกลม (เคปเลอร์ค้นพบกฎข้อที่สองก่อนกฎข้อแรก ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงนี้)

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของกฎข้อที่สองนั้นถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจากมีความเทียบเท่าทางตรรกะกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งเป็นจริงสำหรับวัตถุใดๆ ที่ได้รับแรงสมมาตรตามแนวรัศมี^{[ 24 ]}สามารถแสดงการพิสูจน์ที่ถูกต้องได้ผ่านทางนี้ เนื่องจากผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็นเวกเตอร์เหล่านั้น พื้นที่สามเหลี่ยมdAที่กวาดออกไปในช่วงเวลาสั้นๆ จะได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณไขว้ของ เวกเตอร์ rและdxสำหรับส่วนสั้นๆ ของวงโคจรdx : สำหรับส่วนเล็กๆ ของวงโคจรdxและเวลาที่ใช้ในการครอบคลุมdtดังนั้น เนื่องจากนิพจน์สุดท้ายเป็นสัดส่วนกับโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดกฎพื้นที่เท่ากันของเคปเลอร์จะใช้ได้กับระบบใดๆ ที่อนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เนื่องจากแรงตามแนวรัศมีใดๆ จะไม่สร้างแรงบิดต่อการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ โมเมนตัมเชิงมุมจึงจะถูกอนุรักษ์ $${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {dx}})={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt)}$$$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}})={\frac {dA}{dt}}={\frac {({\vec {r}}\times {\vec {p}})}{2m}}.}$$${\displaystyle ({\vec {r}}\times {\vec {p}})}$

ในช่วงเวลาสั้นๆดาวเคราะห์ดวงนี้จะกวาดพื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยมเล็กๆ โดยมีฐานยาวความสูงและพื้นที่เท่ากับ ดังนั้นความเร็วเชิงพื้นที่ คงที่จึง เป็น ${\displaystyle dt}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\,d\theta }$${\displaystyle dA={\tfrac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงโคจรวงรีคือดังนั้นคาบการโคจรจึงเป็นไปตามเงื่อนไข และการเคลื่อนที่เฉลี่ยของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab,}$$$${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$$$${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$$$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

ในภาพเคลื่อนไหวตัวอย่างต่อไปนี้ ลำแสงสีแดงหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่และมีคาบการโคจรเท่ากับดาวเคราะห์S :ดวงอาทิตย์ ณ จุดโฟกัสหลัก, C : จุดศูนย์กลางของวงรี, S ′: จุดโฟกัสรอง ในแต่ละกรณี พื้นที่ของทุกส่วนที่แสดงนั้นเท่ากัน ${\displaystyle T=1}$

วงโคจรของดาวเคราะห์ที่มีความเยื้องศูนย์กลางแตกต่างกัน

ค่า ε ต่ำ	ค่า ε สูง
ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลม (ε = 0.0)	ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε = 0.5
ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε = 0.2	ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε = 0.8

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

อัตราส่วนของกำลังสองของคาบการโคจร ของวัตถุ ต่อกำลังสามของกึ่งแกนเอกของการโคจรของวัตถุนั้น จะมีค่าเท่ากันสำหรับวัตถุทุกชิ้นที่โคจรรอบดาวฤกษ์หลักดวงเดียวกัน

หรือในเชิงสัญลักษณ์:${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

โดยที่ คือ คาบการโคจรของวัตถุและคือกึ่งแกนเอกของการโคจรของวัตถุ ${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$

แผนภาพนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์และคาบการโคจรของพวกมัน

เคปเลอร์ประกาศกฎข้อที่สามนี้ในปี ค.ศ. 1619 ^{[ 14 ]}ในความพยายามอย่างหนักที่จะกำหนดสิ่งที่เขาเห็นว่าเป็น " ดนตรีแห่งทรงกลม " ตามกฎที่แม่นยำ และแสดงออกมาในรูปของสัญลักษณ์ทางดนตรี^{[ 25 ]}ดังนั้นจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อกฎฮาร์มอนิก [ ^{26 ] รูป}แบบดั้งเดิมของกฎนี้ (ไม่ได้หมายถึงแกนกึ่งหลัก แต่หมายถึง "ระยะทางเฉลี่ย") เป็นจริงเฉพาะสำหรับดาวเคราะห์ที่มีความเยื้องศูนย์เล็กน้อยใกล้ศูนย์^{[ 27 ]}

โดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1687) ความสัมพันธ์นี้สามารถพบได้ในกรณีของวงโคจรวงกลมโดยการกำหนดให้แรงสู่ศูนย์กลางเท่ากับแรงโน้มถ่วง: จากนั้น เมื่อแสดงความเร็วเชิงมุมωในรูปของคาบการโคจรแล้วจัดเรียงใหม่ จะได้กฎข้อที่สามของเคปเลอร์: $${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}.}$$${\displaystyle T}$$${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}.}$$

การหาอนุพันธ์ที่ละเอียดกว่าสามารถทำได้โดยใช้วงโคจรวงรีทั่วไปแทนวงกลม รวมถึงการโคจรรอบศูนย์กลางมวล แทนที่จะโคจรรอบมวลขนาดใหญ่เพียงอย่างเดียว ซึ่งจะส่งผลให้รัศมีวงกลมถูกแทนที่ด้วยแกนกึ่งเอกของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์แบบวงรีของมวลหนึ่งเทียบกับอีกมวลหนึ่ง รวมถึงการแทนที่มวลขนาดใหญ่ด้วยอย่างไรก็ตาม เนื่องจากมวลของดาวเคราะห์มีขนาดเล็กกว่าดวงอาทิตย์มาก การแก้ไขนี้จึงมักถูกละเลย สูตรที่สมบูรณ์คือ โดยที่คือ มวลของ ดวงอาทิตย์คือมวลของดาวเคราะห์คือค่าคงที่ความโน้มถ่วงคือคาบการโคจร และคือแกนกึ่งเอกแบบวงรี และคือหน่วยดาราศาสตร์  – ระยะทางเฉลี่ยจากโลกถึงดวงอาทิตย์ ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M+m}$$${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{AU}}}$

ตารางต่อไปนี้แสดงข้อมูลที่เคปเลอร์ใช้ในการอนุมานกฎของเขาโดยอาศัยข้อมูลเชิงประจักษ์:

ข้อมูลที่เคปเลอร์ใช้ (1618)

ดาวเคราะห์	ระยะทางเฉลี่ยถึงดวงอาทิตย์ (AU)	ระยะเวลา(วัน)	${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /วัน2 )
ปรอท	0.389	000 87.77	7.64
ดาวศุกร์	0.724	00 224.70	7.52
โลก	1	00 365.25	7.50
ดาวอังคาร	1.524	00 686.95	7.50
ดาวพฤหัสบดี	5.20	0 4332.62	7.49
ดาวเสาร์	9.510	10759.2	7.43

เคปเลอร์ตระหนักถึง การประดิษฐ์ลอการิทึมและ กราฟลอการิทึมของจอห์น เนเปียร์ เมื่อไม่นานมานี้ ก่อนที่เขาจะค้นพบรูปแบบ^{[ 28 ]}

เมื่อพบรูปแบบนี้ เคปเลอร์จึงเขียนว่า: ^{[ 29 ]}

ตอนแรกฉันคิดว่าตัวเองกำลังฝันอยู่... แต่เป็นที่แน่นอนและแน่นอนว่า อัตราส่วนระหว่างคาบเวลาของดาวเคราะห์สองดวงใดๆ นั้น เท่ากับอัตราส่วนของกำลัง 3/2 ของระยะทางเฉลี่ยอย่างแม่นยำ

เพื่อเป็นข้อมูลเปรียบเทียบ นี่คือประมาณการในปัจจุบัน:

ข้อมูลสมัยใหม่

ดาวเคราะห์	แกน กึ่งเอก(AU)	ระยะเวลา(วัน)	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /วัน2 )
ปรอท	0 0.38710	000 87.9693	7.496
ดาวศุกร์	0 0.72333	00 224.7008	7.496
โลก	0 1	00 365.2564	7.496
ดาวอังคาร	0 1.52366	00 686.9796	7.495
ดาวพฤหัสบดี	0 5.20336	0 4332.8201	7.504
ดาวเสาร์	0 9.53707	10775.599	7.498
ยูเรนัส	19.1913	30687.153	7.506
ดาวเนปจูน	30.0690	60190.03	7.504

ไอแซค นิวตัน คำนวณ ความเร่งของดาวเคราะห์ที่เคลื่อนที่ตามกฎข้อที่หนึ่งและข้อที่สองของเคปเลอร์ไว้ ในหนังสือPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของเขา

1. ทิศทาง ของการ เร่งความเร็วพุ่งเข้าหาดวงอาทิตย์
2. ขนาดของความเร่งแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์ ( กฎกำลังสองผกผัน )

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าดวงอาทิตย์อาจเป็นสาเหตุทางกายภาพของการเร่งความเร็วของดาวเคราะห์ อย่างไรก็ตาม นิวตันกล่าวในPrincipia ของเขา ว่าเขาพิจารณาแรงจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ทางกายภาพ ดังนั้นจึงใช้มุมมองแบบเครื่องมือ^{[ 30 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เขาไม่ได้กำหนดสาเหตุให้กับแรงโน้มถ่วง^{[ 31 ]}

นิวตันนิยามแรงที่กระทำต่อดาวเคราะห์ว่าเป็นผลคูณของมวลและความเร่งของดาวเคราะห์ (ดูกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ) ดังนั้น:

1. ดาวเคราะห์ทุกดวงต่างถูกดึงดูดเข้าหาดวงอาทิตย์
2. แรงที่กระทำต่อดาวเคราะห์นั้นแปรผันตรงกับมวลของดาวเคราะห์ และแปรผันผกผันกับกำลังสองของระยะห่างจากดวงอาทิตย์

ดวงอาทิตย์มีบทบาทที่ไม่สมมาตร ซึ่งไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นเขาจึงตั้งสมมติฐานเช่นนั้นในกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน :

1. วัตถุทุกชิ้นในระบบสุริยะต่างดึงดูดซึ่งกันและกัน
2. แรงระหว่างวัตถุสองชิ้นแปรผันตรงกับผลคูณของมวลของวัตถุทั้งสอง และแปรผันผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง

เนื่องจากดาวเคราะห์มีมวลน้อยเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์ วงโคจรจึงเป็นไปตามกฎของเคปเลอร์โดยประมาณ แบบจำลองของนิวตันปรับปรุงแบบจำลองของเคปเลอร์ให้ดีขึ้น และสอดคล้องกับการสังเกตการณ์จริงได้แม่นยำกว่า (ดูปัญหาวัตถุสองชิ้น )

ด้านล่างนี้คือการคำนวณโดยละเอียดเกี่ยวกับความเร่งของดาวเคราะห์ที่เคลื่อนที่ตามกฎข้อที่หนึ่งและข้อที่สองของเคปเลอร์

จาก มุมมองแบบ เฮลิโอเซนทริกให้พิจารณาเวกเตอร์ไปยังดาวเคราะห์โดยที่คือระยะทางไปยังดาวเคราะห์ และคือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปยังดาวเคราะห์ โดยที่คือเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางทำมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกากับและคือมุมเชิงขั้ว และจุดเหนือตัวแปรหมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }},}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }},}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$

ทำการหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์ตำแหน่งสองครั้ง เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ความเร่ง: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ความเร่งในแนวรัศมีและ ความเร่งในแนวขวางอยู่ ที่ไหน$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$$${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}$$$${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์กล่าวว่า ค่านี้ คงที่ $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$

ความเร่งตามแนวขวางเป็นศูนย์: ดังนั้น ความเร่งของดาวเคราะห์ที่ปฏิบัติตามกฎข้อที่สองของเคปเลอร์จึงมีทิศทางพุ่งเข้าหาดวงอาทิตย์ ${\displaystyle a_{\theta }}$$${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$

ความเร่งในแนวรัศมีคือ ${\displaystyle a_{\text{r}}}$$${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

กฎข้อแรกของเคปเลอร์กล่าวว่า วงโคจรนั้นอธิบายได้ด้วยสมการ เมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาจะได้ หรือ $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$$${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }},}$$$${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

เมื่อเปรียบเทียบอีกครั้ง $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

ความเร่งในแนวรัศมีเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle a_{\text{r}}}$$${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

เมื่อแทนสมการของวงรีลงไปจะได้ $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

ความสัมพันธ์นี้ให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่เรียบง่าย ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ความเร่งของดาวเคราะห์ใดๆ ที่เป็นไปตามกฎข้อที่หนึ่งและข้อที่สองของเคปเลอร์ จะสอดคล้องกับกฎกำลังสองผกผัน โดยที่ เป็นค่าคงที่เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากดวงอาทิตย์ไปยังดาวเคราะห์ และเป็นระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ ${\displaystyle b^{2}=pa}$$${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$$${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle r}$

เนื่องจากการเคลื่อนที่เฉลี่ย โดยที่คือคาบ ตามกฎข้อที่สามของเคปเลอร์มีค่าเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวง ดังนั้นกฎกำลังสองผกผันสำหรับความเร่งของดาวเคราะห์จึงใช้ได้ทั่วทั้งระบบสุริยะ ${\displaystyle n=2\pi /T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$

กฎกำลังสองผกผันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้รวมถึงการเคลื่อนที่แบบเคปเลอร์ ดังที่แสดงไว้ แต่ยังรวมถึงการเคลื่อนที่ที่วงโคจรเป็นไฮเปอร์โบลาพาราโบลาหรือเส้นตรงด้วย (ดูวงโคจรของเคปเลอร์ )

ตามกฎข้อที่สองของนิวตันแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อดาวเคราะห์คือ โดยที่คือมวลของดาวเคราะห์ และมีค่าเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ ตามกฎข้อที่สามของนิวตันดวงอาทิตย์ถูกดึงดูดเข้าหาดาวเคราะห์ด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากัน เนื่องจากแรงเป็นสัดส่วนกับมวลของดาวเคราะห์ ภายใต้การพิจารณาแบบสมมาตร แรงจึงควรเป็นสัดส่วนกับมวลของดวงอาทิตย์ด้วยดังนั้น โดยที่คือ ค่า คง ที่ความโน้มถ่วง$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}{\ddot {\mathbf {r} }}=-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }},}$$${\displaystyle m_{\text{planet}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$$${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}},}$$${\displaystyle G}$

ตามกฎของนิวตัน ความเร่งของวัตถุหมายเลขi ในระบบสุริยะคือ โดยที่คือมวลของวัตถุjคือระยะห่างระหว่างวัตถุiและวัตถุjคือเวกเตอร์หน่วยจากวัตถุiไปยังวัตถุjและผลรวมเวกเตอร์นั้นครอบคลุมวัตถุทั้งหมดในระบบสุริยะ ยกเว้นวัตถุiเอง $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij},}$$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

ในกรณีพิเศษที่มีเพียงสองวัตถุในระบบสุริยะ (โลกและดวงอาทิตย์) ความเร่งจะกลายเป็น ซึ่งเป็นความเร่งของการเคลื่อนที่ของเคปเลอร์ ดังนั้นโลกจึงโคจรรอบดวงอาทิตย์ตามกฎของเคปเลอร์ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}},}$$

ถ้าในระบบสุริยะมีวัตถุสองชิ้นคือดวงจันทร์และโลก ความเร่งของดวงจันทร์จะเป็น ดังนั้น ในการประมาณนี้ ดวงจันทร์จะโคจรรอบโลกตามกฎของเคปเลอร์ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.}$$

ในกรณีสามวัตถุ ความเร่งจะเป็นดังนี้ ความเร่งเหล่านี้ไม่ใช่ความเร่งของวงโคจรแบบเคปเลอร์ และปัญหาสามวัตถุนั้นซับซ้อน แต่การประมาณแบบเคปเลอร์เป็นพื้นฐานสำหรับ การคำนวณ การรบกวน (ดูทฤษฎีดวงจันทร์ ) $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.\end{aligned}}}$$

เคปเลอร์ใช้กฎสองข้อแรกของเขาในการคำนวณตำแหน่งของดาวเคราะห์โดยขึ้นอยู่กับเวลา วิธีการของเขาเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงอดิศัยที่เรียกว่าสมการของเคปเลอร์

ขั้นตอนการคำนวณพิกัดเชิงขั้วแบบเฮลิโอเซนทริก ( r ,  θ ) ของดาวเคราะห์โดยขึ้นอยู่กับเวลาtนับตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดมีทั้งหมดห้าขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. คำนวณการเคลื่อนที่เฉลี่ยn = (2 πเรเดียน)/ Pโดยที่Pคือคาบ
2. คำนวณค่าความผิดปกติเฉลี่ยM = ntโดยที่tคือเวลาตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
3. คำนวณค่าความเยื้องศูนย์Eโดยการแก้สมการของเคปเลอร์: โดยที่คือค่าความเยื้องศูนย์$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E,}$$${\displaystyle \varepsilon }$
4. คำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริงθโดยการแก้สมการ$${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$
5. คำนวณระยะห่างจากดวงอาทิตย์โดยที่คือแกนกึ่งเอก$${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E),}$$${\displaystyle a}$

พิกัดเชิงขั้วตำแหน่ง ( r ,  θ ) สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์คาร์ทีเซียนได้^และเวกเตอร์ความเร็วคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้เป็น โดยที่คือพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน [ ^{32 ]}${\displaystyle \mathbf {p} =r\left\langle \cos {\theta },\sin {\theta }\right\rangle ,}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}{\big \langle }-\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}{\big \rangle }}$${\displaystyle \mu }$

กรณีพิเศษที่สำคัญของการโคจรเป็นวงกลมε  = 0 ทำให้ได้θ = E = Mเนื่องจากการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอถือเป็นปกติการเบี่ยงเบนจากการเคลื่อนที่นี้จึงถือเป็นความผิดปกติ

ตัวอย่างการพิสูจน์กระบวนการนี้แสดงไว้ด้านล่าง

ปัญหาของเคปเลอร์ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าวงโคจรเป็นรูปวงรีโดยมีจุดสี่จุด

s , ดวงอาทิตย์ (ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี)

zคือจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

cซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงรี

พี , ดาวเคราะห์ ,

และพารามิเตอร์

${\displaystyle a=|cz|,}$ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด หรือแกนกึ่งเอก

${\displaystyle \varepsilon =|cs|/a,}$ความแปลกประหลาด

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$แกนกึ่งเล็ก

${\displaystyle r=|sp|,}$ระยะห่างระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$ทิศทางไปยังดาวเคราะห์เมื่อมองจากดวงอาทิตย์ ซึ่ง เป็นค่าความผิดปกติ ที่แท้จริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว ( r ,  θ ) ของดาวเคราะห์จากเวลาที่ผ่านไปนับตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (  t )

ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขเป็นขั้นตอน เคปเลอร์พิจารณาวงกลมโดยมีแกนเอกเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ

${\displaystyle x,}$การฉายภาพของดาวเคราะห์ไปยังวงกลมช่วย

${\displaystyle y,}$จุดบนวงกลมที่พื้นที่ภาคตัดขวาง | zcy | และ | zsx | เท่ากัน

${\displaystyle M=\angle zcy,}$ความผิดปกติเฉลี่ย

พื้นที่ภาคส่วนต่างๆ มีความสัมพันธ์กันโดย${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

พื้นที่ภาควงกลม${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

พื้นที่ที่เคลื่อนที่ไปนับตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด จะแปรผันตรงกับเวลาตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด ตามกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยความคลาดเคลื่อนMจึงแปรผันตรงกับเวลาtตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด โดยที่nคือค่าเฉลี่ยการเคลื่อนที่ $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$$${\displaystyle M=nt,}$$

เมื่อคำนวณค่าความผิดปกติเฉลี่ยMแล้ว เป้าหมายคือการคำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริงθ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันθ  =  f ( M ) ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน^{[ 33 ]}วิธีแก้ปัญหาของเคปเลอร์คือการใช้ x ตามที่เห็นจากจุดศูนย์กลางค่าความผิดปกติแบบเยื้อง ศูนย์ เป็นตัวแปรกลาง และคำนวณEเป็นฟังก์ชันของM ก่อน โดยการแก้สมการของเคปเลอร์ด้านล่าง จากนั้นคำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริงθจากค่าความผิดปกติแบบเยื้องศูนย์Eรายละเอียดมีดังนี้: $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|,\\{\text{with}}\ |scx|&={\frac {|cs|\cdot |dx|}{2}},\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}.\end{aligned}}}$$

การหารด้วย2/2จะได้สมการของเคปเลอร์ สมการนี้ให้^ค่าMเป็นฟังก์ชันของEการหาค่าEสำหรับค่าM ที่กำหนดให้ คือปัญหาผกผัน โดยทั่วไปจะใช้อัลกอริธึมเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำ $${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$

เมื่อคำนวณค่าความผิดปกติแบบเยื้องศูนย์E เสร็จแล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริง  θ

โปรดทราบว่าพิกัดตำแหน่งคาร์ทีเซียนโดยอ้างอิงจากจุดศูนย์กลางของวงรีคือ ( a  cos  E ,  b  sin  E ) ส่วนพิกัดตำแหน่งโดยอ้างอิงจากดวงอาทิตย์ (ซึ่งมีพิกัด ( c , 0) = ( ae , 0)) จะได้ r = ( a  cos  E − ae , b  sin  E )

ค่าความ ผิด ปกติที่แท้จริงจะเป็น arctan( r / r ) และขนาดของrจะเป็น√ r  ·  r

โปรดสังเกตจากรูปภาพว่า ดังนั้น $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|,}$$$${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

เมื่อหารด้วยและแทนค่าจากกฎข้อแรกของเคปเลอร์ จะได้ ผลลัพธ์เป็นความสัมพันธ์ที่ใช้ได้ระหว่างค่าความผิดปกติเชิงวงรีE และค่าความผิดปกติที่แท้จริง  θ${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$$${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$

รูปแบบที่สะดวกต่อการคำนวณมากกว่านั้นได้มาจากการแทนค่าEลงในเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เพื่อให้ได้ $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

การคูณด้วย 1 +  εจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้ นี่คือขั้นตอนที่สามในการเชื่อมโยงระหว่างเวลาและตำแหน่งในวงโคจร $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$

ขั้นตอนที่สี่คือการคำนวณระยะห่างจากดวงอาทิตย์rจากค่าความผิดปกติจริงθโดยใช้กฎข้อแรกของเคปเลอร์: โดยใช้ความสัมพันธ์ข้างต้นระหว่างθและEสมการสุดท้ายสำหรับระยะห่างrคือ $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a(1-\varepsilon ^{2}),}$$$${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$

• ชีวประวัติของเคปเลอร์ได้รับการสรุปไว้ในหน้า 523–627 และหนังสือเล่มที่ห้าของผลงานชิ้นเอก ของเขา Harmonice Mundi ( ความกลมกลืนของโลก ) ได้รับการตีพิมพ์ซ้ำใน: Hawking, Stephen , ed. (2002). On the shoulders of giants: the great works of physics and astronomy . Philadelphia: Running Press . pp.  635– 732. ISBN 978-0-7624-1348-5.
• การพิสูจน์กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อที่สามของเคปเลอร์เป็นหัวข้อมาตรฐานในชั้นเรียนกลศาสตร์วิศวกรรม ดูตัวอย่างเช่น: Meriam, JL (1971) [1966]. Dynamics (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Wiley . หน้า  161–164 . ISBN 978-0-471-59601-1..
• Murray, Carl D. ; Dermott, SF (1999). พลศาสตร์ของระบบสุริยะ . เคมบริดจ์; นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-57295-8.
• Arnolʹd, VI (1997). "บทที่ 2: การตรวจสอบสมการการเคลื่อนที่" วิธีการทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิก ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ (ฉบับ ที่ 2) นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer ISBN 978-0-387-96890-2.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของเคปเลอร์

• การบรรยายวิชาฟิสิกส์ของเฟย์นแมน - กฎของเคปเลอร์
• Crowell, Benjamin, Light and Matterหนังสือออนไลน์ที่พิสูจน์กฎข้อแรกโดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส (ดูหัวข้อ 15.7)
• David McNamara และ Gianfranco Vidali, " กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ – บทเรียนแบบโต้ตอบด้วย Java ", แอปเพล็ต Java แบบโต้ตอบที่ช่วยให้เข้าใจกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ได้ดียิ่งขึ้น
• Cain, Gay (10 พฤษภาคม 2010), Astronomy Cast , " ตอนที่ 189: โยฮันเนส เคปเลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ "
• ภาควิชาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทนเนสซี: ดาราศาสตร์ 161, " โยฮันเนส เคปเลอร์: กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ "
• โปรแกรมจำลองระบบสุริยะ ( แอปเพล็ตแบบโต้ตอบ ) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 13 ธันวาคม 2018 ที่Wayback Machine
• " เคปเลอร์และกฎของเขา " ใน หนังสือ " จากนักดูดาวสู่ยานอวกาศ " โดย เดวิด พี. สเติร์น (10 ตุลาคม 2016)
• วิดีโอ "กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อของเคปเลอร์"บน YouTubeโดย Jens Puhle (27 ธันวาคม 2023) – เป็นวิดีโอที่อธิบายและแสดงภาพกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อของเคปเลอร์