ต้องใช้เวลาเกือบสองศตวรรษกว่าที่ผลงานของเคปเลอร์จะได้รับการกำหนดรูปแบบอย่างมั่นคง หนังสือEléments de la philosophie de Newton ( องค์ประกอบของปรัชญาของนิวตัน ) ของ วอลแตร์ในปี 1738 เป็นสิ่งพิมพ์แรกที่ใช้คำว่า "กฎ" ^{[ 17 ] [ 18 ]}สารานุกรมชีวประวัติของนักดาราศาสตร์ในบทความเกี่ยวกับเคปเลอร์ (หน้า620) ระบุว่าคำศัพท์ของกฎทางวิทยาศาสตร์สำหรับการค้นพบเหล่านี้มีใช้กันอย่างน้อยตั้งแต่สมัยของโจเซฟ เดอ ลาลองด์ [ ^{19 ] การ}อธิบายของโรเบิร์ต สมอลล์ในAn account of the astronomy discoveries of Kepler (1814) ได้สร้างชุดกฎสามข้อขึ้นมา โดยเพิ่มข้อที่สามเข้าไป^{[ 20 ]} สมอลล์ยังอ้างด้วยว่ากฎเหล่านี้เป็น กฎเชิงประจักษ์โดยอิงจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยซึ่งขัดแย้งกับประวัติศาสตร์^{[ 18 ] [ 21 ]} 

กฎข้อแรกของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัส จุดใดจุดหนึ่งในสองจุด

ในทางคณิตศาสตร์ วงรีสามารถแสดงได้ด้วยสูตร $${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }},}$$ ที่ไหน${\displaystyle p}$โดยที่ r คือค่ากึ่งลาตัสเรกตัม , εคือค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี, rคือระยะห่างจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์ และθคือมุมที่ดาวเคราะห์ทำกับตำแหน่งปัจจุบันจากจุดที่เข้าใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด ดังนั้น ( r , θ ) จึงเป็นพิกัดเชิงขั้ว 

สำหรับวงรี0 < ε < 1 ; ในกรณีจำกัดที่ε  =  0 วงโคจรจะเป็นวงกลมโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดศูนย์กลาง (กล่าวคือ มีความเยื้องศูนย์กลางเป็นศูนย์)

ที่θ = 0° ซึ่งเป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดระยะทางจะน้อยที่สุด: $${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$$

ที่θ = 90° และที่θ = 270° ระยะทางจะเท่ากับ${\displaystyle p}$.

ที่θ = 180° ซึ่งเป็น จุดไกลสุด จากดวงอาทิตย์ (aphelion ) ระยะทางจะมีค่าสูงสุด (ตามคำนิยาม จุดไกลสุดจากดวงอาทิตย์คือจุดใกล้สุดจากดวงอาทิตย์บวก 180° เสมอ):   $${\displaystyle r_{\text{max}}={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$$

แกนกึ่งเอกaคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}},\\a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

แกนกึ่งรองbคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}},\\b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$

ค่ากึ่งลาตัสเรคตัมpคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกระหว่างr และr : $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\text{max}}^{-1}+r_{\text{min}}^{-1}}{2}}\right)^{-1},\\pa&=r_{\text{max}}r_{\text{min}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

ค่าความเยื้องศูนย์εคือค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันระหว่างr และr : $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}.}$$

พื้นที่ของวงรีคือ $${\displaystyle A=\pi ab.}$$

กรณีพิเศษของวงกลมคือε = 0ส่งผลให้r  = p  = r   = r   = a  = bและA = πr ²

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

เส้นที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน^{[ 23 ]}

รัศมีวงโคจรและความเร็วเชิงมุมของดาวเคราะห์ในวงโคจรวงรีจะเปลี่ยนแปลงไป ดังแสดงในภาพเคลื่อนไหว: ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ และเคลื่อนที่ช้าลงเมื่ออยู่ไกลจากดวงอาทิตย์ กฎข้อที่สองของเคปเลอร์กล่าวว่า ส่วนสีน้ำเงินมีพื้นที่คงที่

ในแง่ของพารามิเตอร์วงรี

ในเวลาอันสั้น${\displaystyle dt}$ดาวเคราะห์ดวงนั้นกวาดพื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยมเล็กๆ โดยมีเส้นฐานเป็นแกน${\displaystyle r}$และความสูง${\displaystyle r\,d\theta }$และพื้นที่${\displaystyle dA={\tfrac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$ดังนั้นความเร็วเชิงพื้นที่ คงที่ คือ $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงโคจรวงรีคือ${\displaystyle \pi ab}$ดังนั้นช่วงเวลานั้น${\displaystyle T}$พอใจ $${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab,}$$ และการเคลื่อนที่เฉลี่ยของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ $${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$$ พอใจ $${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$$ ดังนั้น $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

ในภาพเคลื่อนไหวตัวอย่างต่อไปนี้ ลำแสงสีแดงหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่และมีคาบการโคจรเท่ากับดาวเคราะห์${\displaystyle T=1}$S : ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหลัก, C : จุดศูนย์กลางของวงรี, S ′: จุดโฟกัสรอง ในแต่ละกรณี พื้นที่ของทุกส่วนที่แสดงในภาพมีขนาดเท่ากัน

วงโคจรของดาวเคราะห์ที่มีความเยื้องศูนย์กลางแตกต่างกัน

ค่า ε ต่ำ	ค่า ε สูง
ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลม (ε  =  0.0)	ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε  =  0.5
ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε  =  0.2	ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ในวงโคจรที่มีค่า ε  =  0.8

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ระบุว่า: ^{[ 22 ] : 3}

อัตราส่วนของกำลังสองของคาบการโคจร ของวัตถุ ต่อกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจรจะมีค่าเท่ากันสำหรับวัตถุทุกชิ้นที่โคจรรอบดาวฤกษ์หลักดวงเดียวกัน

หรือในเชิงสัญลักษณ์:${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

ที่ไหน${\displaystyle T}$คือ คาบการโคจรของวัตถุและ${\displaystyle a}$คือแกนกึ่งเอกของวงโคจร

แผนภาพนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์และคาบการโคจรของพวกมัน

เคปเลอร์ประกาศกฎข้อที่สามนี้ในปี ค.ศ. 1619 ^{[ 14 ]}ในความพยายามอย่างหนักที่จะกำหนดสิ่งที่เขาเห็นว่าเป็น " ดนตรีแห่งทรงกลม " ตามกฎที่แม่นยำ และแสดงออกมาในรูปของสัญลักษณ์ทางดนตรี^{[ 25 ]}ดังนั้นจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อกฎฮาร์มอนิก [ ^{26 ] รูป}แบบดั้งเดิมของกฎนี้ (ไม่ได้หมายถึงแกนกึ่งหลัก แต่หมายถึง "ระยะทางเฉลี่ย") เป็นจริงเฉพาะสำหรับดาวเคราะห์ที่มีความเยื้องศูนย์เล็กน้อยใกล้ศูนย์^{[ 27 ]}

โดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1687) ความสัมพันธ์นี้สามารถพบได้ในกรณีของวงโคจรวงกลมโดยการกำหนดให้แรงสู่ศูนย์กลางเท่ากับแรงโน้มถ่วง: $${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}.}$$ จากนั้นจึงแสดงความเร็วเชิงมุมωในรูปของคาบการโคจร${\displaystyle T}$จากนั้น เมื่อจัดเรียงใหม่ จะได้กฎข้อที่สามของเคปเลอร์: $${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}.}$$

สามารถหาที่มาโดยละเอียดได้มากขึ้นโดยใช้วงโคจรวงรีทั่วไปแทนวงกลม รวมถึงการโคจรรอบจุดศูนย์กลางมวลแทนที่จะโคจรรอบมวลขนาดใหญ่เพียงอย่างเดียว ซึ่งจะส่งผลให้รัศมีวงกลมถูกแทนที่ด้วยรัศมีวงกลม${\displaystyle r}$ด้วยแกนกึ่งเอก${\displaystyle a}$เกี่ยวกับการเคลื่อนที่สัมพัทธ์แบบวงรีของมวลหนึ่งเทียบกับอีกมวลหนึ่ง รวมถึงการแทนที่มวลขนาดใหญ่ด้วย${\displaystyle M}$กับ${\displaystyle M+m}$อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมวลของดาวเคราะห์นั้นน้อยกว่าดวงอาทิตย์มาก การแก้ไขนี้จึงมักถูกละเลย สูตรเต็มที่เกี่ยวข้องคือ $${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle M}$คือมวลของดวงอาทิตย์${\displaystyle m}$คือมวลของดาวเคราะห์${\displaystyle G}$คือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง${\displaystyle T}$คือคาบการโคจรและ${\displaystyle a}$คือแกนกึ่งเอกของวงรี และ${\displaystyle {\text{AU}}}$คือหน่วยดาราศาสตร์ซึ่งเป็นระยะทางเฉลี่ยจากโลกถึงดวงอาทิตย์ 

โต๊ะ

ตารางต่อไปนี้แสดงข้อมูลที่เคปเลอร์ใช้ในการอนุมานกฎของเขาโดยอาศัยข้อมูลเชิงประจักษ์:

ข้อมูลที่เคปเลอร์ใช้ (1618)

ดาวเคราะห์	ระยะทางเฉลี่ยถึงดวงอาทิตย์ (AU)	ระยะเวลา(วัน)	${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /วัน2 )
ปรอท	0.389	000 87.77	7.64
ดาวศุกร์	0.724	00 224.70	7.52
โลก	1	00 365.25	7.50
ดาวอังคาร	1.524	00 686.95	7.50
ดาวพฤหัสบดี	5.20	0 4332.62	7.49
ดาวเสาร์	9.510	10759.2	7.43

เคปเลอร์ตระหนักถึง การประดิษฐ์ลอการิทึมและ กราฟลอการิทึมของจอห์น เนเปียร์ เมื่อไม่นานมานี้ ก่อนที่เขาจะค้นพบรูปแบบ^{[ 28 ]}

เมื่อพบรูปแบบนี้ เคปเลอร์จึงเขียนว่า: ^{[ 29 ]}

ตอนแรกฉันคิดว่าตัวเองกำลังฝันอยู่... แต่เป็นที่แน่นอนและแน่นอนว่า อัตราส่วนระหว่างคาบเวลาของดาวเคราะห์สองดวงใดๆ นั้น เท่ากับอัตราส่วนของกำลัง 3/2 ของระยะทางเฉลี่ยอย่างแม่นยำ

— แปลจากหนังสือ ความกลมกลืนของโลกโดย เคปเลอร์ (ค.ศ. 1619)

เพื่อเป็นข้อมูลเปรียบเทียบ นี่คือประมาณการในปัจจุบัน:

ข้อมูลสมัยใหม่

ดาวเคราะห์	แกน กึ่งเอก(AU)	ระยะเวลา(วัน)	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /วัน2 )
ปรอท	0 0.38710	000 87.9693	7.496
ดาวศุกร์	0 0.72333	00 224.7008	7.496
โลก	0 1	00 365.2564	7.496
ดาวอังคาร	0 1.52366	00 686.9796	7.495
ดาวพฤหัสบดี	0 5.20336	0 4332.8201	7.504
ดาวเสาร์	0 9.53707	10775.599	7.498
ยูเรนัส	19.1913	30687.153	7.506
ดาวเนปจูน	30.0690	60190.03	7.504

จาก มุมมอง แบบเฮลิโอเซนทริกให้พิจารณาเวกเตอร์ที่ชี้ไปยังดาวเคราะห์${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }},}$ที่ไหน${\displaystyle r}$คือระยะทางไปยังดาวเคราะห์ และ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปยังดาวเคราะห์ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$คือเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางทำมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกากับ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$, และ${\displaystyle \theta }$คือมุมเชิงขั้ว และจุดที่อยู่เหนือตัวแปรหมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา

ทำการหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์ตำแหน่งสองครั้ง เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ความเร่ง: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$ โดยที่ความเร่งในแนวรัศมีคือ $${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}$$ และความเร่งตามแนวขวางคือ $${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

กฎข้อที่สองของเคปเลอร์กล่าวว่า $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$ มีค่าคงที่

ความเร่งตามแนวขวาง${\displaystyle a_{\theta }}$คือศูนย์: $${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$ ดังนั้น ความเร่งของดาวเคราะห์ที่ปฏิบัติตามกฎข้อที่สองของเคปเลอร์จึงมีทิศทางพุ่งเข้าหาดวงอาทิตย์

ความเร่งในแนวรัศมี${\displaystyle a_{\text{r}}}$เป็น $${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

กฎข้อแรกของเคปเลอร์กล่าวว่า วงโคจรนั้นอธิบายได้ด้วยสมการ $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$ การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }},}$$ หรือ $${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

เมื่อเปรียบเทียบอีกครั้ง $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

ความเร่งในแนวรัศมี${\displaystyle a_{\text{r}}}$พอใจ $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

เมื่อแทนสมการของวงรีลงไปจะได้ $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

ความสัมพันธ์${\displaystyle b^{2}=pa}$ให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่เรียบง่าย $${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$ นี่หมายความว่าเวกเตอร์ความเร่ง${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ดาวเคราะห์ใดๆ ที่ปฏิบัติตามกฎข้อที่หนึ่งและข้อที่สองของเคปเลอร์ จะเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผัน$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ ที่ไหน $${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$ เป็นค่าคงที่${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$คือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากดวงอาทิตย์ไปยังดาวเคราะห์ และ${\displaystyle r}$คือระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์

เนื่องจากการเคลื่อนที่เฉลี่ย${\displaystyle n=2\pi /T}$, ที่ไหน${\displaystyle T}$คือช่วงเวลาตามกฎข้อที่สามของเคปเลอร์${\displaystyle \alpha }$มีค่าเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวง ดังนั้นกฎกำลังสองผกผันสำหรับความเร่งของดาวเคราะห์จึงใช้ได้ทั่วทั้งระบบสุริยะ

กฎกำลังสองผกผันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้รวมถึงการเคลื่อนที่แบบเคปเลอร์ ดังที่แสดงไว้ แต่ยังรวมถึงการเคลื่อนที่ที่วงโคจรเป็นไฮเปอร์โบลาพาราโบลาหรือเส้นตรงด้วย (ดูวงโคจรของเคปเลอร์ )

ตามกฎข้อที่สองของนิวตันแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อดาวเคราะห์คือ $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}{\ddot {\mathbf {r} }}=-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ ที่ไหน${\displaystyle m_{\text{planet}}}$คือมวลของดาวเคราะห์ และ${\displaystyle \alpha }$มีค่าเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ ตามกฎข้อที่สามของนิวตันดวงอาทิตย์ถูกดึงดูดเข้าหาดาวเคราะห์ด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากัน เนื่องจากแรงแปรผันตรงกับมวลของดาวเคราะห์ ภายใต้การพิจารณาแบบสมมาตร แรงนั้นจึงควรแปรผันตรงกับมวลของดวงอาทิตย์ด้วย${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$. ดังนั้น $${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle G}$คือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง

ตามกฎของนิวตัน ความเร่งของวัตถุหมายเลขi ในระบบสุริยะคือ$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij},}$$ ที่ไหน${\displaystyle m_{j}}$คือมวลของวัตถุj${\displaystyle r_{ij}}$คือระยะห่างระหว่างวัตถุi และวัตถุj${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$คือเวกเตอร์หน่วยจากวัตถุiไปยังวัตถุjและผลรวมของเวกเตอร์นั้นครอบคลุมวัตถุทั้งหมดในระบบสุริยะ ยกเว้นวัตถุiเอง

ในกรณีพิเศษที่มีเพียงสองวัตถุในระบบสุริยะ (โลกและดวงอาทิตย์) ความเร่งจะกลายเป็น $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}},}$$ ซึ่งก็คือความเร่งของการเคลื่อนที่ของเคปเลอร์ ดังนั้นโลกจึงโคจรรอบดวงอาทิตย์ตามกฎของเคปเลอร์

ถ้าวัตถุสองชิ้นในระบบสุริยะคือดวงจันทร์และโลก ความเร่งของดวงจันทร์จะเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.}$$ ดังนั้น ในการประมาณค่านี้ ดวงจันทร์จึงโคจรรอบโลกตามกฎของเคปเลอร์

ในกรณีที่มีวัตถุสามชิ้น ความเร่งจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.\end{aligned}}}$$ ความเร่งเหล่านี้ไม่ใช่ความเร่งของวงโคจรแบบเคปเลอร์ และปัญหาวัตถุสามชิ้น นั้น ซับซ้อน แต่การประมาณแบบเคปเลอร์เป็นพื้นฐานสำหรับ การคำนวณ การรบกวน (ดูทฤษฎีดวงจันทร์ )

ปัญหาของเคปเลอร์ตั้งอยู่บนสมมติฐานของวงโคจรวงรีโดยมีจุดสี่จุด

s , ดวงอาทิตย์ (ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี)

zคือจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

cคือจุดศูนย์กลางของวงรี

พี , ดาวเคราะห์ ,

และพารามิเตอร์

${\displaystyle a=|cz|,}$ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด หรือแกนกึ่งเอก

${\displaystyle \varepsilon =|cs|/a,}$ความแปลกประหลาด

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$แกนกึ่งเล็ก

${\displaystyle r=|sp|,}$ระยะห่างระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$ทิศทางไปยังดาวเคราะห์เมื่อมองจากดวงอาทิตย์ ซึ่ง เป็นค่าความผิดปกติ ที่แท้จริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว ( r , θ ) ของดาวเคราะห์จากเวลาที่ผ่านไปนับตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด ( t )  

ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขเป็นขั้นตอน เคปเลอร์พิจารณาวงกลมโดยมีแกนเอกเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ

${\displaystyle x,}$การฉายภาพของดาวเคราะห์ไปยังวงกลมช่วย

${\displaystyle y,}$จุดบนวงกลมที่พื้นที่ภาคตัดขวาง | zcy | และ | zsx | เท่ากัน

${\displaystyle M=\angle zcy,}$ความผิดปกติเฉลี่ย

พื้นที่ภาคส่วนต่างๆ มีความสัมพันธ์กันโดย${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

พื้นที่ภาควงกลม${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

พื้นที่ที่ถูกกวาดล้างนับตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$ ตามกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ ค่าความคลาดเคลื่อนเฉลี่ย (M) จะแปรผันตรงกับเวลาตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด ดังนั้น ค่าความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยMจึงแปรผันตรงกับเวลาtตั้งแต่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด: $${\displaystyle M=nt,}$$ โดยที่nคือ การ เคลื่อนที่เฉลี่ย

เมื่อคำนวณค่าความผิดปกติเฉลี่ยMแล้ว เป้าหมายคือการคำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริงθ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันθ  = f ( M ) ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน^{[ 33 ]}วิธีแก้ปัญหาของเคปเลอร์คือการใช้  $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$ โดยที่xคือค่าที่มองจากจุดศูนย์กลางความผิดปกติเชิงวงรีเป็นตัวแปรกลาง และคำนวณEเป็นฟังก์ชันของM ก่อน โดยการแก้สมการของเคปเลอร์ด้านล่าง จากนั้นคำนวณความผิดปกติที่แท้จริงθจากความผิดปกติเชิงวงรีEรายละเอียดมีดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|,\\{\text{with}}\ |scx|&={\frac {|cs|\cdot |dx|}{2}},\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}.\end{aligned}}}$$

การหารด้วย2/2 ^จะได้สมการของเคปเลอร์$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$ สมการนี้แสดงค่าMเป็นฟังก์ชันของEการหาค่าEสำหรับค่าM ที่กำหนดให้ คือปัญหาผกผัน โดยทั่วไปจะใช้อัลกอริธึมเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำ

เมื่อคำนวณค่าความผิดปกติแบบเยื้องศูนย์E เสร็จแล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณค่าความผิดปกติที่แท้จริงθ 

โปรดทราบว่าพิกัดตำแหน่งคาร์ทีเซียนโดยอ้างอิงจากจุดศูนย์กลางของวงรีคือ ( a  cos E , b sin E ) ส่วนพิกัดตำแหน่งโดยอ้างอิงจากดวงอาทิตย์ (ซึ่งมีพิกัด ( c , 0) = ( ae , 0)) จะได้ r = ( a cos E − ae , b sin E )          

ค่าความ ผิดปกติที่แท้จริงจะเป็น arctan( r / r ) และขนาดของrจะเป็น√ r  · r 

โปรดสังเกตจากรูปภาพว่า $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|,}$$ ดังนั้น $${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

การหารด้วย${\displaystyle a}$และแทรกจากกฎข้อแรกของเคปเลอร์ $${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$ ให้ $${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$ ผลลัพธ์ที่ได้คือความสัมพันธ์ที่ใช้งานได้ระหว่างความผิดปกติแบบเยื้องศูนย์E และความผิดปกติที่แท้จริงθ 

รูปแบบที่สะดวกต่อการคำนวณมากกว่านั้นได้มาจากการแทนค่าEลงในเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$$ เพื่อให้ได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

การคูณด้วย 1  + εจะได้ผลลัพธ์ดังนี้  $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$ นี่คือขั้นตอนที่สามในการเชื่อมโยงระหว่างเวลาและตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นตอนที่สี่คือการคำนวณระยะห่างจากดวงอาทิตย์rจากค่าความผิดปกติจริงθโดยใช้กฎข้อแรกของเคปเลอร์: $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a(1-\varepsilon ^{2}),}$$ เมื่อใช้ความสัมพันธ์ระหว่างθและE ข้างต้น สมการสุดท้ายสำหรับระยะทางrคือ $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$