วิธีการโคจร
ในทางคณิตศาสตร์วิธีการวงโคจร (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีของคิริลลอฟวิธีการวงโคจรร่วมสมมาตรและชื่ออื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน) สร้างความสัมพันธ์ระหว่างการแสดงแทนเอกภาพ ที่ลดทอนไม่ได้ ของกลุ่มลีและวงโคจรร่วมสมมาตร ของกลุ่มลี : วงโคจรของการกระทำของกลุ่มบนปริภูมิคู่ของพีชคณิตลีทฤษฎีนี้ได้รับการแนะนำโดยคิริลลอฟ( 1961 , 1962 )สำหรับกลุ่มนิลโพ เทนต์ และต่อมาได้รับการขยายโดยเบอร์แทรม คอสแตนต์หลุยส์ ออสแลนเดอร์ลาโยส ปูคานสกีและคนอื่นๆ ไปสู่กรณีของกลุ่มที่แก้ได้โรเจอร์ โฮว์พบเวอร์ชันของวิธีการวงโคจรที่ใช้ได้กับกลุ่มลีp -adic [ 1 ]เดวิด โวแกนเสนอว่าวิธีการวงโคจรควรทำหน้าที่เป็นหลักการรวมในการอธิบายคู่เอกภาพของกลุ่มลีลดรูปจริง[ 2 ]
ความสัมพันธ์กับเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก
หนึ่งในข้อสังเกตที่สำคัญของคิริลอฟคือ วงโคจรโคแอดจอยต์ของกลุ่มลีGมีโครงสร้างตามธรรมชาติของแมนิโฟลด์เชิงซิม เพล็ก ติก ซึ่งโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Gถ้าวงโคจรเป็นปริภูมิเฟสของระบบกลศาสตร์คลาสสิกที่ไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้ G แล้ว ระบบกลศาสตร์ควอนตัมที่สอดคล้องกันควรจะถูกอธิบายผ่านการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ของGตัวแปรทางเรขาคณิตของวงโคจรจะแปลงเป็นตัวแปรทางพีชคณิตของการแสดงแทนที่สอดคล้องกัน ด้วยวิธีนี้ วิธีการของวงโคจรอาจถูกมองว่าเป็นปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำของหลักการทางฟิสิกส์ที่ไม่ชัดเจนของการควอนตัม ในกรณีของกลุ่มนิลโพเทนต์G ความสอดคล้องกันนั้นเกี่ยวข้องกับวงโคจรทั้งหมด แต่สำหรับ Gทั่วไปจำเป็นต้องมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวงโคจร (ความสามารถในการโพลาไรซ์ ความเป็นจำนวนเต็ม เงื่อนไขของปูคานสกี) มุมมองนี้ได้รับการพัฒนาอย่างมีนัยสำคัญโดยคอสแตนต์ในทฤษฎีการควอนตัมเชิงเรขาคณิตของ วงโคจรโคแอดจอยต์
สูตรตัวละครคิริลลอฟ
สำหรับกลุ่มโกหกวิธีวงโคจรของคิริลลอฟ ( Kirillov orbit method)เป็นวิธีการเชิงอนุมานในทฤษฎีการแทนค่า (representation theory ) โดยเชื่อมโยงการแปลงฟูริเยร์ของวงโคจรร่วมสมมาตร (coadjoint orbits ) ซึ่งอยู่ในปริภูมิคู่ (dual space)ของพีชคณิตลี (Lie algebra)ของGเข้ากับ อักขระอนันต์ (infinitesimal characters ) ของการแทนค่าที่ไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible representations ) วิธีการนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียอเล็กซานเดอร์ คิริลลอฟ (Alexandre Kirillov )
โดยสรุปอย่างง่ายที่สุด ทฤษฎีนี้กล่าวว่า อักขระของกลุ่มลี (Lie group) อาจกำหนดได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ ฟังก์ชันเดลต้าของ ดิแรก (Dirac delta function) ที่รองรับบนวงโคจรร่วมสมมาตร (coadjoint orbits) โดยมีน้ำหนักถ่วงด้วยรากที่สองของเมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian)ของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล (exponential map)ซึ่งแสดงด้วยวิธีการนี้ใช้ไม่ได้กับกลุ่ม Lie ทุกกลุ่ม แต่ใช้ได้กับ กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันหลายประเภท รวมถึงกลุ่ม นิลโพเทนต์ กลุ่ม กึ่ง ง่าย บางกลุ่ม และกลุ่มกระชับ
กรณีพิเศษ
กรณีกลุ่มนิลโพเทนต์
ให้Gเป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันอย่างง่าย และเป็น กลุ่ม นิล โพเทนต์ คิริลอฟพิสูจน์ว่าชั้นสมมูลของการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ของG นั้น ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยวงโคจรร่วมของGนั่นคือวงโคจรของการกระทำGบนปริภูมิคู่ขนานของพีชคณิตลีสูตรลักษณะเฉพาะของคิริลลอฟแสดงถึงลักษณะเฉพาะของฮาริช-จันทราของการแทนค่าในรูปของปริพันธ์บางอย่างเหนือวงโคจรที่สอดคล้องกัน
เคสกลุ่ม Compact Lie
การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ที่ซับซ้อนของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดได้รับการจำแนกอย่างสมบูรณ์แล้ว การแทนเหล่านี้มีมิติจำกัดเสมอ สามารถทำให้เป็นแบบเอกภาพได้ (กล่าวคือ ยอมรับรูปแบบเฮอร์มิเชียนบวก แน่นอนที่ไม่เปลี่ยนแปลง ) และถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยน้ำหนักสูงสุดซึ่งก็คือน้ำหนักจำนวนเต็มที่เด่นที่สุดสำหรับกลุ่มนั้น หากGเป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่ายขนาด กะทัดรัด ที่มีพีชคณิตย่อย Cartan hแล้ว วงโคจรร่วมสมมาตรของมันจะเป็นวงโคจรปิดและแต่ละวงโคจรจะตัดกับห้อง Weyl บวกh * ที่จุดเดียว วงโคจรจะเป็นจำนวนเต็มหากจุดนี้อยู่ในแลตทิซน้ำหนักของGทฤษฎีน้ำหนักสูงสุดสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของวงโคจรร่วมสมมาตรจำนวนเต็มและเซตของชั้นสมมูลของการแทนแบบเอกภาพที่สามารถลดทอนไม่ได้ของG : การแทนน้ำหนักสูงสุดL ( λ ) ที่มีน้ำหนักสูงสุดλ ∈ h * สอดคล้องกับวงโคจรร่วมสมมาตรจำนวนเต็มG · λ สูตรตัวอักษรคิริลลอฟนั้นเทียบเท่ากับสูตรตัวอักษรที่ฮาริช-จันทราได้ พิสูจน์ไว้ก่อนหน้านี้