ในทฤษฎีการแทนค่า ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันการแบ่งส่วน ของKostantที่Bertram Kostant  ( 1958 , 1959 ) นำเสนอ คือจำนวนวิธีที่สามารถแทนเวกเตอร์ ( น้ำหนัก ) เป็นผลรวม จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของรากบวก Kostant ใช้ฟังก์ชันนี้ในการเขียนสูตรอักขระของ Weyl ใหม่เป็นสูตร ( สูตรความหลากหลายของ Kostant ) สำหรับความหลากหลายของน้ำหนักของ การแทนค่า ที่ไม่สามารถลดทอนได้ของพีชคณิต Lie กึ่งง่ายสูตรทางเลือกอื่นที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณมากกว่าในบางกรณี คือสูตรของ Freudenthal ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta ^{+}\subset \Delta }$

ฟังก์ชันการแบ่งส่วนของ Kostant สามารถกำหนดได้สำหรับพีชคณิต Kac–Moodyและมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกัน

พิจารณาระบบราก A2 ที่มีรากบวก, , และถ้าองค์ประกอบใดสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ของ, , และแล้ว เนื่องจากจึงสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของรากเดี่ยวบวกและด้วย เช่นกัน${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

โดยที่และเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ นิพจน์นี้แสดง วิธี หนึ่งในการเขียนเป็นผลรวมของรากบวกที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ นิพจน์อื่นๆ สามารถหาได้โดยการแทนที่ด้วยจำนวนครั้งหนึ่ง เราสามารถทำการแทนที่ได้ครั้ง โดยที่ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันพาร์ติชันของ Kostant ถูกกำหนดโดยเราจะได้สูตร ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$.

ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นเป็นภาพกราฟิกในภาพด้านขวา หากองค์ประกอบไม่ได้อยู่ในรูปแบบแล้ว. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle p(\mu )=0}$

ฟังก์ชันการแบ่งส่วนสำหรับระบบรากอันดับ 2 อื่นๆ นั้นซับซ้อนกว่า แต่ทราบได้อย่างชัดเจน^{[ 1 ] [ 2 ]}

สำหรับ B รากเดี่ยวที่เป็นบวกคือและรากที่เป็นบวกคือรากเดี่ยวรวมกับและฟังก์ชันการแบ่งส่วนสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสองจำนวนและซึ่งแทนองค์ประกอบจากนั้นฟังก์ชันการแบ่งส่วนสามารถกำหนดได้แบบเป็นช่วงๆ โดยใช้ฟังก์ชันเสริมสองฟังก์ชัน ${\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)}$${\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}$${\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})}$

ถ้าแล้วถ้าแล้วถ้าแล้วฟังก์ชันเสริมถูกกำหนดไว้สำหรับและกำหนดโดยและสำหรับจำนวนคู่สำหรับจำนวนคี่ ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}$${\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}$${\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$${\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}$${\displaystyle n}$

สำหรับ G รากบวกคือและโดยที่แทนรากเดี่ยวสั้น และแทนรากเดี่ยวยาว ${\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}$${\displaystyle (3,2)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$

ฟังก์ชันการแบ่งส่วนถูกกำหนดแบบเป็นช่วง โดยแบ่งโดเมนออกเป็นห้าส่วน โดยใช้ฟังก์ชันเสริมสองฟังก์ชัน

สำหรับแต่ละรากและแต่ละค่าเราสามารถ ใช้สูตร ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตเพื่อหาค่าได้ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }$

โดยที่เราไม่ต้องกังวลเรื่องการลู่เข้า—นั่นคือ ความเท่าเทียมกันนั้นเข้าใจได้ในระดับของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมโดยใช้สูตรตัวส่วนของ Weyl

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

เราได้รับนิพจน์อย่างเป็นทางการสำหรับส่วนกลับของตัวหาร Weyl: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}$

ในที่นี้ ความเท่าเทียมกันแรกมาจากการหาผลคูณของรากบวกของสูตรอนุกรมเรขาคณิต และความเท่าเทียมกันที่สองมาจากการนับวิธีทั้งหมดที่เลขชี้กำลังที่กำหนดสามารถปรากฏในผลคูณได้ ฟังก์ชันจะมีค่าเป็นศูนย์ถ้าตัวแปรเป็นการหมุน และมีค่าเป็นหนึ่งถ้าตัวแปรเป็นการสะท้อน ${\displaystyle e^{\mu (H)}}$${\displaystyle \ell (w)}$

ข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็นว่าเราสามารถแปลงสูตรลักษณะเฉพาะของ Weylสำหรับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่มีน้ำหนักสูงสุดได้: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \operatorname {ch} V={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

จากผลหารเป็นผลคูณ:

${\displaystyle \operatorname {ch} V=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

การใช้การเขียนสูตรอักขระใหม่ก่อนหน้านี้ ทำให้สามารถเขียนอักขระเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังได้ค่อนข้างง่าย สัมประสิทธิ์ของเลขชี้กำลังเหล่านี้คือความซ้ำซ้อนของน้ำหนักที่สอดคล้องกัน ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับความซ้ำซ้อนของน้ำหนักที่กำหนดในการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่มีน้ำหนักสูงสุด: ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \operatorname {mult} \mu =\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

ผลลัพธ์นี้คือ สูตรความหลากหลาย ของ Kostant

พจน์เด่นในสูตรนี้คือพจน์; การมีส่วนร่วมของพจน์นี้คือซึ่งก็คือความซ้ำซ้อนของในโมดูลเวอร์มาที่มีน้ำหนักสูงสุดถ้าอยู่ภายในห้องเวล์พื้นฐานมากพอ และอยู่ใกล้กับ มากพออาจเกิดขึ้นได้ว่าพจน์อื่นๆ ทั้งหมดในสูตรเป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เว้นแต่ว่าจะสูงกว่าค่าของฟังก์ชันพาร์ติชันของ Kostant บนจะเป็นศูนย์ ดังนั้น แม้ว่าผลรวมจะครอบคลุมกลุ่มเวล์ทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ จำนวนพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์จะน้อยกว่าอันดับของกลุ่มเวล์ ${\displaystyle w=1}$${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$${\displaystyle \mu +\rho }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$