ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทArtin–Reesเป็นผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับโมดูลเหนือวงแหวน Noetherianพร้อมกับผลลัพธ์อื่นๆ เช่นทฤษฎีบทฐาน Hilbertได้รับการพิสูจน์ในช่วงทศวรรษ 1950 ในงานอิสระของนักคณิตศาสตร์Emil ArtinและDavid Rees [ ^{1 ] [ 2 ] กรณี}พิเศษเป็นที่รู้จักของOscar Zariskiก่อนงานของพวกเขา

ลักษณะโดยสัญชาตญาณของบทพิสูจน์ย่อยนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ว่าโมดูลย่อยNของโมดูลM เหนือริง Aบางริงที่มีอุดมคติ I ที่กำหนดไว้จะมี โทโพโลยีสองแบบ โดยปริยาย : แบบหนึ่งเกิดจากโทโพโลยีบนMและอีกแบบหนึ่งเมื่อพิจารณาร่วมกับ โทโพโลยี I-adicเหนือAจากนั้น Artin-Rees ระบุว่าโทโพโลยีทั้งสองแบบนี้จะตรงกันอย่างแท้จริง อย่างน้อยที่สุดเมื่อAเป็น Noetherian และM เป็นโมดูล ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของบทตั้งนี้คือทฤษฎีบทการตัดกันของ Krullผลลัพธ์นี้ยังใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติความแม่นยำของการทำให้สมบูรณ์ [ ^{3 ] บท}ตั้งนี้ยังมีบทบาทสำคัญในการศึกษาชีฟ ℓ-adicอีก ด้วย

ให้Iเป็นไอเดียลในวงแหวนโนเธอร์เรียน R ;ให้Mเป็นโมดูลRที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดและให้Nเป็นโมดูลย่อยของMแล้วจะมีจำนวนเต็มk  ≥ 1 อยู่จริง โดยที่สำหรับn  ≥  k

${\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{nk}(I^{k}M\cap N).}$

บทพิสูจน์นี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าRเป็นแบบ Noetherian ทันทีที่แนวคิดและสัญลักษณ์ที่จำเป็นได้รับการกำหนด^{[ 4 ]}

สำหรับริงR ใดๆ และไอเดียล IในRเรากำหนด( Bสำหรับการระเบิด) เรากล่าวว่าลำดับที่ลดลงของโมดูลย่อยเป็นI-ฟิลเทรชัน ถ้า; ยิ่งไปกว่านั้น มันมีเสถียรภาพถ้า สำหรับ nที่มากพอถ้าMเป็นI-ฟิลเทรชัน เรากำหนด; มันเป็นโมดูลแบบแบ่งระดับ เหนือ${\textstyle B_{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}}$${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$${\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}}$${\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$${\textstyle B_{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}}$${\displaystyle B_{I}R}$

ต่อไปนี้ ให้Mเป็นR-โมดูลที่มีการกรองแบบIโดยR-โมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เราจะสังเกตสิ่งหนึ่ง ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle B_{I}M}$เป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือก็ต่อเมื่อการกรองมีเสถียรภาพแบบ I เท่านั้น${\displaystyle B_{I}R}$

อันที่จริง ถ้าการกรองมี เสถียรภาพแบบ Iแล้ว จะถูกสร้างขึ้นโดย พจน์แรกๆและพจน์เหล่านั้นถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ดังนั้น จึงถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ในทางกลับกัน ถ้ามันถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด มันก็จะถูกสร้างขึ้นโดยสำหรับบางค่าแล้วสำหรับแต่ละfในสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่ในนั่น คือ${\displaystyle B_{I}M}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}}$${\displaystyle B_{I}M}$${\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle n>k}$${\displaystyle M_{n}}$$${\displaystyle f=\sum a_{j}g_{j},\quad a_{j}\in I^{nj}}$$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle M_{j},j\leq k}$${\displaystyle f\in I^{nk}M_{k}}$

ตอนนี้เราสามารถพิสูจน์บทตั้งได้แล้ว โดยสมมติว่าRเป็นโนเธอร์เรียน ให้. แล้วเป็นการ กรองแบบ I-เสถียร ดังนั้น จากการสังเกตจึงถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือแต่เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนเนื่องจากRเป็น (วงแหวนนี้เรียกว่าพีชคณิตรีส์ ) ดังนั้นเป็นโมดูลโนเธอร์เรียน และโมดูลย่อยใด ๆ ก็ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดยเฉพาะอย่างยิ่งถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเมื่อNได้รับการกรองแบบเหนี่ยวนำ กล่าวคือ. จากนั้นการกรองแบบเหนี่ยวนำจะเป็นI-เสถียรอีกครั้งจากการสังเกต ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle B_{I}M}$${\displaystyle B_{I}R}$${\displaystyle B_{I}R\simeq R[It]}$${\displaystyle R[It]}$${\displaystyle B_{I}M}$${\displaystyle B_{I}R}$${\displaystyle B_{I}N}$${\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N}$

นอกจากการใช้ในการเติมเต็มวงแหวนแล้ว การประยุกต์ใช้เลมมาทั่วไปคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทการตัดกันของ Krull ซึ่งกล่าวว่า: สำหรับอุดมคติที่เหมาะสมIในวงแหวน Noetherian แบบสลับที่ได้ซึ่งเป็นวงแหวนเฉพาะที่หรือโดเมนอินทิกรัลโดยเลมมาที่ใช้กับการตัดกันเราพบkเช่นนั้นสำหรับเมื่อ พิจารณาหมายความว่าหรือดังนั้น ถ้าAเป็นวงแหวนเฉพาะที่โดยเลมมาของ Nakayamaถ้าAเป็นโดเมนอินทิกรัล จะใช้กลวิธีดีเทอร์มิแนนต์^{[ 5 ]} (นั่นคือ รูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบท Cayley–Hamiltonที่ให้เลมมาของ Nakayama ): ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq k}$$${\displaystyle I^{n}\cap N=I^{nk}(I^{k}\cap N).}$$${\displaystyle n=k+1}$${\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)}$${\displaystyle N=IN}$${\displaystyle N=0}$

ในการตั้งค่านี้ ให้uเป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์บนNซึ่งจะทำให้ได้องค์ประกอบx ที่ไม่เป็นศูนย์ ในAโดยที่ซึ่งหมายความว่าเนื่องจากเป็นตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle xN=0}$${\displaystyle N=0}$${\displaystyle x}$

สำหรับทั้งวงแหวนเฉพาะที่และโดเมนเชิงอินทิกรัลนั้น ไม่สามารถละทิ้งสมมติฐาน "โนเธอร์เรียน" ได้: สำหรับกรณีวงแหวนเฉพาะที่ โปรดดูที่ วงแหวนเฉพาะที่#กรณีสลับที่สำหรับกรณีโดเมนเชิงอินทิกรัล ให้ถือว่าเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต (กล่าวคือ การปิดเชิงอินทิกรัลของใน) ถ้าเป็นอุดมคติเฉพาะของAแล้วเราจะได้ว่า: สำหรับทุกจำนวนเต็มที่จริงแล้ว ถ้าแล้วสำหรับจำนวนเชิงซ้อนบางตัวตอนนี้เป็นอินทิกรัลเหนือดังนั้น ในและจากนั้นใน ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้าง ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle y=\alpha ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ทั้งกรณีที่วงแหวน Noetherian เป็นโลคัลและวงแหวน Noetherian เป็นโดเมนอินทิกรัลล้วนเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทการตัดกันของ Krull เวอร์ชันทั่วไป ซึ่งเป็นผลมาจากเลมมาตา Artin–Rees และ Nakayama ด้วยเช่นกัน: ^{[ 6 ]}

• "ทฤษฎีบทอาร์ติน-รีส์" PlanetMath