ในพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนพีชคณิตรีส์หรือวงแหวนรีส์ของไอเดียลIในวงแหวนเชิงสลับเปลี่ยนRถูกนิยามว่า

${\displaystyle R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].}$

พีชคณิตรีส์แบบขยายของI (ซึ่งผู้เขียนบางคน^{[ 1 ]}เรียกมันว่าพีชคณิตรีส์ของI ) ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{-1}].}$

โครงสร้างนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากโครงร่างเชิง โปรเจกทีฟที่กำหนดโดยพีชคณิตของรีสของ อุดมคติในวงแหวนคือการเป่าสเปกตรัมของวงแหวนตามโครงร่างย่อยที่กำหนดโดยอุดมคติ (ดูชีฟอุดมคติ § เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ) ^{[ 2 ]}

พีชคณิตของรีส์เป็นพีชคณิตเหนือและถูกนิยามไว้ว่า เมื่อหารด้วยหรือt=λโดยที่λ เป็น สมาชิกที่ผกผันได้ใดๆ ในRเราจะได้${\displaystyle \mathbb {Z} [t^{-1}]}$${\displaystyle t^{-1}=0}$

${\displaystyle {\text{gr}}_{I}R\ \leftarrow \ R[It]\ \to \ R.}$

ดังนั้นจึงเป็นการประมาณค่าระหว่างR และวงแหวนไล่ระดับที่เกี่ยวข้องgr R

• สมมติว่าRเป็นNoetherianดังนั้นR[It]ก็เป็น Noetherian เช่นกันมิติ Krullของพีชคณิต Rees คือถ้าIไม่อยู่ในอุดมคติเฉพาะP ใดๆ ที่มีมิฉะนั้นมิติ Krull ของพีชคณิต Rees ที่ขยายคือ^{[ 3 ]}${\displaystyle \dim R[It]=\dim R+1}$${\displaystyle \dim(R/P)=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It]=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1}$
• ถ้าเป็นอุดมคติในวงแหวนโนเธอร์เรียน^Rแล้วการขยายวงแหวนจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อJเป็นการลดรูปของI [ ^{3 ]}${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle R[Jt]\subseteq R[It]}$
• ถ้าIเป็นไอเดียลในวงแหวนโนเธอร์เรียนRแล้ว พีชคณิตรีส์ของIคือผลหารของพีชคณิตสมมาตรของIโดยโมดูลย่อยทอร์ชั่น ของมัน

วงแหวนระดับที่เกี่ยวข้องของIอาจกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].}$

ถ้าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบ โนเธอร์เรียน ที่มีอุดมคติสูงสุดวงแหวนไฟเบอร์พิเศษของIจะกำหนดโดย${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].}$

มิติ Krull ของวงแหวนไฟเบอร์พิเศษเรียกว่า การ แพร่ กระจายเชิงวิเคราะห์ของI

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "วงแหวนรีส์" . แมธเวิลด์ . สืบค้นเมื่อ31 สิงหาคม 2024 .
• พีชคณิตรีส์ของโมดูลคืออะไร?
• เรขาคณิตเบื้องหลังพีชคณิตของรีส์ (การเปลี่ยนรูปของกรวยปกติ)