นี่คือคำศัพท์เฉพาะทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ดูเพิ่มเติมได้ในอภิธานศัพท์พีชคณิตเชิงสลับที่ , อภิธานศัพท์เรขาคณิตพีชคณิตคลาสสิกและอภิธานศัพท์ทฤษฎีวงแหวนสำหรับการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีจำนวน โปรดดูที่อภิธานศัพท์เลขคณิตและเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

เพื่อความง่าย มักจะละเว้นการอ้างอิงถึงโครงร่างพื้นฐาน กล่าวคือ โครงร่างจะเป็นโครงร่างบนโครงร่างพื้นฐานS ที่กำหนดไว้ และมอร์ฟิซึมจะเป็นมอร์ฟิซึม ของ S

${\displaystyle \eta }$

จุดทั่วไปตัวอย่างเช่น จุดที่เกี่ยวข้องกับอุดมคติศูนย์สำหรับแผนผังเชิงเส้นแบบอินทิกรัลใดๆ

F ( n ), F ( D )

1. ถ้าXเป็นสกีมเชิงโปรเจกทีฟที่มีชีฟบิดของ Serre  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$และถ้าFเป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูล จากนั้น${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. ถ้าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ และFเป็น  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูล ( Xใดๆ ก็ได้) จากนั้น${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$ถ้าDเป็นตัวหาร Weil และFเป็นสมบัติสะท้อนกลับ เราจะแทนที่F ( D ) ด้วยเปลือกสมบัติสะท้อนกลับของมัน (และเรียกผลลัพธ์ว่าF ( D ) เช่นกัน)

| ง |

ระบบเชิงเส้นสมบูรณ์ของตัวหาร Weil Dบนวาไรตี้สมบูรณ์ปกติXเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkกล่าวคือ${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}__{X}(D)))}$มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของ^จุด k-rational ของ | D |และเซตของตัวหาร Weil ที่มีประสิทธิภาพบนXซึ่งเทียบเท่าเชิงเส้นกับD ^{[ 1} ] นิยามเดียวกันนี้ใช้ในกรณีที่Dเป็นตัวหาร Cartier บนวาไรตี้ ที่สมบูรณ์เหนือk

[X/G]

สแต็กผลหารของปริภูมิพีชคณิตXโดยการกระทำของโครงร่างกลุ่มGเป็นต้น

${\displaystyle X/\!/G}$

ผลหาร GITของแผนการXโดย การ กระทำของแผนการกลุ่มG

ล^น

สัญลักษณ์ที่ไม่ชัดเจน โดยปกติหมายถึง กำลังเทนเซอร์ลำดับที่ nของLแต่ก็อาจหมายถึงจำนวนจุดตัดตัวเองของL ได้เช่น กัน ถ้า${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$โครงสร้างชีฟบนXหมายความว่าผลรวมโดยตรงของ สำเนา nชุดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

กลุ่มเส้นตรรกะซ้ำซ้อนมันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับมัดเส้นบิดของแซร์${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

มัดกระดาษบิดเกลียวของแซร์มันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับมัดเส้นตรรกะ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$เรียกอีกอย่างว่า มัดระนาบไฮเปอร์ (hyperplane bundle)

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. ถ้าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพบนXแล้ว D จะเป็นตัวผกผันของชีฟอุดมคติของD  

2. ส่วนใหญ่แล้ว  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$คือภาพของDภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มธรรมชาติจากกลุ่มตัวหารคาร์เทียร์ไปยังกลุ่มปิการ์ด${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ของXซึ่งเป็นกลุ่มของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเส้นตรงบนX

3. โดยทั่วไปแล้ว  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$คือชีฟที่สอดคล้องกับตัวหาร Weil D (บนสกีมปกติ ) ไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระในระดับท้องถิ่น เพียงแค่เป็นรีเฟล็กซีฟก็พอ

4. ถ้าDเป็น  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร จากนั้น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$เป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ของส่วนอินทิกรัลของD

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.  ${\displaystyle \โอเมก้า _{X}^{1}}$คือชีฟของอนุพันธ์คาห์เลอร์บนX

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$คือกำลังภายนอกลำดับที่pของ${\displaystyle \โอเมก้า _{X}^{1}}$.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. ถ้าpเท่ากับ 1 นี่คือชีฟของอนุพันธ์คาห์เลอร์เชิงลอการิทึมบนXตามD (โดยประมาณคือรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีขั้วแบบง่ายตามตัวหารD )  

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$คือ กำลังภายนอกลำดับที่ pของ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$.

พี ( วี )

สัญลักษณ์นี้มีความกำกวม ความหมายดั้งเดิมคือการฉายภาพ ของ ปริภูมิเวกเตอร์kมิติจำกัดVกล่าวคือ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\ชื่อผู้ดำเนินการ {Proj} (k[V])=\ชื่อผู้ดำเนินการ {Proj} (\ชื่อผู้ดำเนินการ {Sym} (V^{*}))}$ ( Projของวงแหวนของฟังก์ชันพหุนามk [ V ]) และ จุด k ของมัน สอดคล้องกับเส้นในVในทางตรงกันข้าม Hartshorne และ EGA เขียนP ( V ) สำหรับ Proj ของพีชคณิตสมมาตรของV

คิวแฟกทอเรียล

พันธุ์ปกติคือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-แฟกทอเรียล ถ้าทุกๆ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหารของ Weil คือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์

สเปค( อาร์ )

เซตของไอเดียลเฉพาะทั้งหมดในริงR ที่มีโทโพโลยีแบบซาริสกี เรียกว่าสเปกตรัมเฉพาะของR

สเปค ( F )

ค่าSpec สัมพัทธ์ของ OX Fนอกจากนี้ยังใช้สัญลักษณ์ Spec ( F ) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า Spec ( F )

ระบุ( R )^​

เซตของค่าประเมินทั้งหมดสำหรับวงแหวนRที่มีโทโพโลยีแบบอ่อนบางอย่าง เรียกว่าสเปกตรัมเบอร์โควิชของR

อาเบเลียน

1. วาไรตี้แบบ อาเบเลียนเป็นวาไรตี้แบบกลุ่มสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาวาไรตี้เชิงซ้อน  ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$หรือเส้นโค้งวงรี${\displaystyle E}$บนฟิลด์จำกัด${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$.

2. โครงร่างอาเบเลียนคือตระกูล (แบนราบ) ของวาไรตี้อาเบเลียน  

สูตรการเชื่อมต่อ

1. ถ้าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพบนวาไรตีพีชคณิตXซึ่งทั้งสองยอมรับชีฟคู่ขนาน  ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$จากนั้นสูตรการเชื่อมโยงจะกล่าวว่า: ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$.

2. นอกจากนี้ ถ้าXและDเป็นพื้นผิวเรียบ สูตรดังกล่าวจะเทียบเท่ากับการกล่าวว่า:   ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ ที่ไหน${\displaystyle K_{D},K_{X}}$เป็น ตัว หารมาตรฐานบนDและX

แอฟฟิน

1. ปริภูมิแอฟฟินโดยประมาณแล้วก็คือปริภูมิเวกเตอร์ที่เราลืมไปแล้วว่าจุดใดคือจุดกำเนิด  

2. วาไรตี้เชิงเส้นตรง (Affine variety)คือวาไรตี้ในปริภูมิเชิงเส้นตรง (Affine space)  

3. แผนผังเชิงเส้นตรง (affine scheme ) คือแผนผังที่เป็นสเปกตรัมเฉพาะของวงแหวนสลับที่บางวง  

4. มอร์ฟิซึมเรียกว่าเป็นมอร์ฟิซึมแบบแอฟฟินถ้าภาพผกผันของเซตย่อยแอฟฟินแบบเปิดใดๆ ก็เป็นแอฟฟินอีกด้วย ในแง่ที่ซับซ้อนกว่านั้น มอร์ฟิซึมแบบแอฟฟินถูกนิยามโดย การสร้าง Specแบบทั่วโลกสำหรับชีฟของ พีชคณิต O ซึ่งนิยามโดยการเปรียบเทียบกับสเปกตรัมของริง มอร์ฟิซึมแบบแอฟฟินที่สำคัญ ได้แก่เวกเตอร์บันเดิลและ มอร์ฟิ ซึมจำกัด  

5. กรวยแอฟฟินเหนือส่วนย่อยปิดX ของปริภูมิ เชิงโปรเจกทีฟคือ Spec ของวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของX  

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ผ่านมา ผลงานที่ลึกซึ้งที่สุดของอาเบล รีมันน์ ไวเออร์สตรัส และบทความสำคัญหลายชิ้นของไคลน์และปวงกาเร ล้วนอยู่ในขอบเขตนี้ ในช่วงปลายศตวรรษที่แล้วและต้นศตวรรษปัจจุบัน ทัศนคติที่มีต่อเรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้เปลี่ยนแปลงไปอย่างฉับพลัน ... รูปแบบความคิดที่พัฒนาอย่างเต็มที่ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในเวลานั้น ห่างไกลจากจิตวิญญาณเชิงเซตและสัจพจน์ ซึ่งเป็นตัวกำหนดการพัฒนาของคณิตศาสตร์ในขณะนั้นมากเกินไป ... ประมาณกลางศตวรรษปัจจุบัน เรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้ผ่านกระบวนการปรับเปลี่ยนรูปร่างครั้งใหญ่ ส่งผลให้สามารถกลับมามีบทบาทในตำแหน่งที่เคยมีในคณิตศาสตร์ได้อีกครั้ง

— จากคำนำของหนังสือBasic Algebraic Geometry โดย IR Shafarevich

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการแก้สมการเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียว

เป้าหมายหนึ่งคือการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ [ ^{2 ] ดู}เพิ่มเติมที่ฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวและPeña, Javier López; Lorscheid, Oliver (2009-08-31) "Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element". arXiv : 0909.0069 [ math.AG ]รวมถึง^{[ 3 ] [ 4 ]} ด้วย

กลุ่มพีชคณิต

กลุ่มพีชคณิตคือ วาไรตี้พีชคณิต ที่เป็นกลุ่ม ด้วย เช่นกัน โดยที่การดำเนินการของกลุ่มเป็นมอร์ฟิซึมของวาไรตี้

แผนผังพีชคณิต

แผนผังแยกส่วนที่มีชนิดจำกัดบนฟิลด์ ตัวอย่างเช่น วาไรตี้เชิงพีชคณิตคือแผนผังเชิงพีชคณิตแบบลดรูปที่ไม่สามารถลดรูปได้

เซตพีชคณิต

เซตพีชคณิตเหนือฟิลด์kคือแผนผังแยกย่อยแบบลดรูปชนิดจำกัดเหนือ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$เซตพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้เรียกว่า วาไรตี้พีชคณิต

พื้นที่พีชคณิต

ปริภูมิพีชคณิตคือผลหารของสกีมโดยความสัมพันธ์สมมูลแบบเอตาเล

ความหลากหลายทางพีชคณิต

วาไรตี้เชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์kคือ แผนผังแยกเชิงอินทิกรัลแบบจำกัดประเภทเหนือ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$โปรดทราบว่า การไม่สมมติว่าkเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตจะก่อให้เกิดปัญหาบางอย่าง ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$ไม่ใช่ความหลากหลายเนื่องจากวงแหวนพิกัด${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ไม่ใช่โดเมนจำนวนเต็ม

บันเดิลเวกเตอร์พีชคณิต

ชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับจำกัด

มากมาย

บันเดิลเส้นบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟนั้นถือว่าเพียงพอหากกำลังเทนเซอร์บางส่วนของบันเดิลนั้นเป็นแบบเพียงพอมาก

เรขาคณิตอาราเคโลฟ

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือการทำให้กระชับของ Spec ของวงแหวนจำนวนเต็มตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. ดูเรขาคณิตของ Arakelov ^{[ 5 ]}

สกุลเลขคณิต

เจนัสทางเลขคณิตของวาไรตี้เชิงโปรเจกที ฟ Xที่มีมิติrคือ${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$.

กองอาร์ติน

อีกคำหนึ่งที่ใช้เรียกโครงสร้างข้อมูลเชิงพีชคณิต (algebraic stack )

อาร์ติเนียน

เป็นมิติศูนย์และเป็นแบบโนเธอร์เรียน คำจำกัดความนี้ใช้ได้ทั้งกับสกีมและริง

การเปลี่ยนแปลงฐาน

ผลิตภัณฑ์ไฟเบอร์ของรูปแบบต่างๆโดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบk - scheme Xที่มี Spec Eสำหรับส่วนขยายฟิลด์E / k 

ฟังก์ชันเบห์เรนด์

ลักษณะ เฉพาะของออยเลอร์แบบถ่วงน้ำหนักของสแต็ก (ที่ดี) Xเมื่อเทียบกับฟังก์ชันเบห์เรนด์คือระดับของคลาสพื้นฐานเสมือนของX

สูตรร่องรอยของเบห์เรนด์

สูตรร่องรอยของ Behrendเป็นการขยายความของสูตรร่องรอยของ Grothendieckโดยทั้งสองสูตรใช้คำนวณร่องรอยของFrobeniusบนl -adic cohomology

ใหญ่

บัน เดิลเส้นขนาดใหญ่LบนXที่มีมิติnคือบันเดิลเส้นที่มีคุณสมบัติว่า${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\ชื่อผู้ดำเนินการ {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$.

มอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัล

มอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลระหว่างสกีม คือมอร์ฟิซึมที่กลายเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหลังจากถูกจำกัดให้อยู่ในเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่นบางเซต ตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดอย่างหนึ่งของแผนที่แบบไบราชันนัลคือแผนที่ที่เกิดจากการระเบิด (blowup)

ระเบิด

การขยาย (blow-up)คือการแปลงแบบไบราชันแนลที่แทนที่สับสกีมปิดด้วยตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ กล่าวคือ เมื่อกำหนดสกีมโนเธอร์เรียนXและสับสกีมปิด${\displaystyle Z\subset X}$การขยายXตามZเป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสม${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} โดยที่ (1)${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$เป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ เรียกว่าตัวหารพิเศษและ (2)${\displaystyle \pi }$เป็นสากลโดยสัมพันธ์กับ (1) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันถูกสร้างขึ้นเป็น Proj สัมพัทธ์ของพีชคณิต Rees ของ${\displaystyle O_{X}}$โดยสัมพันธ์กับชีฟในอุดมคติที่กำหนดZ

คาลาบี-เยา

เมตริกCalabi–Yauเป็นเมตริก Kähler ที่มีค่าความโค้ง Ricci เป็นศูนย์

หลักการ

1. ชีฟแคนอนิกบนวาไรตี้ปกติXที่มีมิติnคือ  ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$โดยที่iคือการรวมโลคัสเรียบUและ${\displaystyle \โอเมก้า _{U}^{n}}$คือชีฟของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนUที่มีดีกรีnถ้าฟิลด์ฐานมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์แทนที่จะเป็นลักษณะปกติ เราอาจแทนที่iด้วยการแก้ปัญหาของจุดเอกฐานได้

2. คลาสมาตรฐาน  ${\displaystyle K_{X}}$บนวาไรตี้ปกติXคือคลาสตัวหารซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$.

3. ตัวหารมาตรฐานเป็นตัวแทนของกลุ่มมาตรฐาน  ${\displaystyle K_{X}}$ใช้สัญลักษณ์เดียวกัน (และไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน)

4. วงแหวนแคนอนิกของวาไรตี้ปกติXคือวงแหวนส่วนของชีฟแคนอนิก  

แบบจำลองมาตรฐาน

แบบจำลองมาตรฐานคือโปรเจกต์ของวงแหวนมาตรฐาน (โดยสมมติว่าวงแหวนนั้นสร้างขึ้นจากจำนวนจำกัด)

คาร์เทียร์

ตัว หารคาร์เทียร์ที่ มีประสิทธิภาพDบนสกีมXเหนือSคือสกีมย่อยปิดของXที่แบนราบเหนือSและชีฟอุดมคติของมันสามารถผกผันได้ (เป็นอิสระเฉพาะที่ของอันดับหนึ่ง)

ความสม่ำเสมอของ Castelnuovo–Mumford

ความสม่ำเสมอ ของCastelnuovo–Mumfordของชีฟที่สอดคล้องกันFบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$บนโครงร่างSคือจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดrเช่นนั้น

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(ri)=0}$

สำหรับทุกi > 0

เส้นโค้งแคทเทนารี

แผนผังแบบแคทเทนารี (catenary scheme) คือแผนผังแบบแคทเทนารีถ้าสายโซ่ทั้งหมดระหว่างแผนผังย่อยปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้อีกสองแผนผังมีความยาวเท่ากัน ตัวอย่างของแผนผังแบบแคทเทนารี ได้แก่ แทบทุกอย่าง เช่น วาไรตี้เหนือฟิลด์ และเป็นการยากที่จะสร้างตัวอย่างที่ไม่ใช่แบบแคทเทนารี

เส้นใยกลาง

เส้นใยชนิดพิเศษ

กลุ่มโจว

กลุ่มโจวที่k${\displaystyle A_{k}(X)}$กลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นจากกลุ่มย่อยปิดที่มีมิติ k (กลุ่มของวัฏจักรk ) ของวาไรตี้เรียบXคือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นจากวาไรตี้ปิดที่มีมิติk (กลุ่มของวัฏจักร k ) โดยพิจารณาความสมมูลเชิง ตรรกะ

การจำแนกประเภท

1. การจำแนกประเภทเป็นหลักการชี้นำในคณิตศาสตร์ทุกแขนง โดยพยายามอธิบายวัตถุทั้งหมดที่มีคุณสมบัติบางอย่างจนถึงความเท่าเทียมกันที่กำหนดไว้ ด้วยข้อมูลที่เข้าถึงได้ง่ายกว่า เช่นตัวแปรคงที่หรือแม้แต่กระบวนการสร้างบางอย่าง ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เราแยกแยะระหว่างตัวแปรคงที่แบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง สำหรับตัวแปรคงที่แบบต่อเนื่องที่ใช้ในการจำแนกประเภทนั้น เรายังพยายามสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิตเพิ่มเติม ซึ่งนำไปสู่ปริภูมิโมดูลัส  

2. เส้นโค้งเรียบสมบูรณ์บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจะถูกจำแนกตามความสมมูลเชิงตรรกะ โดยพิจารณาจาก จีนัส ของเส้นโค้ง นั้น  ${\displaystyle g}$(ก)${\displaystyle g=0}$เส้นโค้ง เชิงตรรกะ กล่าวคือเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้ง เชิง ตรรกะคู่ขนานกับเส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(ข)${\displaystyle g=1}$เส้นโค้งวงรี กล่าวคือ เส้นโค้งนั้นเป็น โครงร่างกลุ่ม 1 มิติที่สมบูรณ์หลังจากเลือกจุดใดๆ บนเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ (ค)${\displaystyle g\geq 2}$เส้นโค้งไฮเปอร์โบลิกหรือเรียกอีกอย่างว่าเส้นโค้งประเภททั่วไปดูตัวอย่างได้จากเส้นโค้งพีชคณิตการจำแนกประเภทของเส้นโค้งเรียบสามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นได้ด้วยดีกรีสำหรับ เส้นโค้ง ที่ฝังตัวในปริภูมิเชิงโปร เจกทีฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อจำกัดเฉพาะเส้นโค้งระนาบโปรดทราบว่าเส้นโค้งเรียบสมบูรณ์ทั้งหมดเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟในแง่ที่ว่าพวกมันยอมรับการฝังตัวในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ แต่เพื่อให้ดีกรีมีความชัดเจน การเลือกการฝังตัวดังกล่าวจะต้องระบุอย่างชัดเจน พีชคณิตของเส้นโค้งเรียบสมบูรณ์เหนือฟิลด์จำนวน (โดยเฉพาะจำนวนและโครงสร้างของจุดตรรกยะ) ถูกควบคุมโดยการจำแนกประเภทของฐานเส้นโค้งที่เกี่ยวข้องซึ่งเปลี่ยนไปเป็นการปิดเชิงพีชคณิต ดูทฤษฎีบทของฟัลติงส์สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับนัยยะทางพีชคณิต

3. การจำแนกประเภทของ พื้นผิวเรียบสมบูรณ์บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจนถึงความสมมูลเชิงตรรกะ ดูภาพรวมของการจำแนกประเภทหรือการจำแนกประเภทของ Enriques–Kodairaสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม  

4. การจำแนกประเภทของจุดเอกฐานหรือย่านซาริสกี ที่เกี่ยวข้อง บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม (ก) ในลักษณะเฉพาะ 0 ผลลัพธ์การแก้ปัญหาของฮิโรนากะจะแนบค่าคงที่กับจุดเอกฐานซึ่งใช้ในการจำแนกประเภท (ข) สำหรับเส้นโค้งและพื้นผิว การแก้ปัญหาเป็นที่รู้จักในลักษณะเฉพาะใดๆ ซึ่งให้การจำแนกประเภทเช่นกัน ดูที่นี่สำหรับเส้นโค้งหรือที่นี่สำหรับเส้นโค้งและพื้นผิว  

5. การจำแนกพันธุ์ฟาโนในขนาดเล็ก  

6. โปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำเป็นแนวทางในการจำแนกประเภทแบบไบราชันนัลของวาไรตี้เรียบสมบูรณ์ในมิติที่สูงกว่า (อย่างน้อย 2 มิติ) แม้ว่าเป้าหมายดั้งเดิมจะเกี่ยวกับวาไรตี้เรียบ แต่เอกลักษณ์ปลายทางก็ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติและเป็นส่วนหนึ่งของการจำแนกประเภทที่กว้างขึ้น  

7. การจำแนกกลุ่มรีดิวซ์แบบแยกส่วนโดยพิจารณาถึงไอโซมอร์ฟิซึมเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต  

สแต็กการจำแนกประเภท

เป็นอนาล็อกของปริภูมิจำแนกประเภทสำหรับทอร์เซอร์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ดูที่ สแต็กจำแนกประเภท

ปิด

สับสกีมปิดของสกีมXถูกกำหนดให้เป็นสับสกีมที่เกิดขึ้นในการสร้างต่อไปนี้ ให้Jเป็น ชีฟ กึ่งสอดคล้องของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- อุดมคติการสนับสนุนของกลุ่มผลหาร${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$Zเป็นเซตย่อยปิดของXและ${\displaystyle (Z,({\คณิตศาสตร์ {O}__{X}/J)|_{Z})}$เป็นโครงร่างที่เรียกว่าโครงร่างย่อยปิดที่กำหนดโดยชีฟกึ่งสอดคล้องของอุดมคติJ [ ^{6 ] เหตุผลที่คำจำกัดความของโครงร่างย่อยปิดอาศัยการ สร้าง}ดังกล่าวก็คือ แตกต่างจากเซตย่อยเปิด เซตย่อยปิดของโครงร่างไม่มีโครงสร้างเฉพาะตัวในฐานะโครงร่างย่อย

โคเฮน–แมคออลีย์

แผนผังจะเรียกว่า Cohen-Macaulay ก็ต่อเมื่อวงแหวนท้องถิ่นทั้งหมดเป็นCohen-Macaulayตัวอย่างเช่น แผนผังปกติ และSpec k [ x,y ]/( xy ) เป็น Cohen-Macaulay แต่ ไม่ใช่

มัดที่สอดคล้องกัน

ชีฟที่สอดคล้องกันบนโครงร่างโนเธอร์เรียนXคือชีฟกึ่งที่สอดคล้องกันซึ่งถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูลO

ทรงกรวย

เส้นโค้งพีชคณิตดีกรีสอง

เชื่อมต่อ

โครงร่างนี้เชื่อมต่อกันในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี เนื่องจากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจะปรับปรุงส่วนประกอบที่ไม่สามารถ ลดทอนได้ ดังนั้น โครงร่างที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆ จึงเชื่อมต่อกัน แต่ในทางกลับกันไม่เป็นเช่นนั้นโครงร่างเชิงเส้นตรงSpec(R)เชื่อมต่อกัน ก็ต่อ เมื่อวงแหวนRไม่มีตัวผกผันอื่นนอกจาก 0 และ 1 วงแหวนดังกล่าวเรียกว่าวงแหวนที่เชื่อมต่อกันตัวอย่างของโครงร่างที่เชื่อมต่อกัน ได้แก่ปริภูมิเชิงเส้นตรงปริภูมิเชิงโปรเจก ที ฟ และตัวอย่างของโครงร่างที่ไม่เชื่อมต่อกันคือ Spec ( k [ x ]× k [ x ])

การอัดแน่น

ดูตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทการทำให้เป็นขนาดกะทัดรัดของนากาตะ

แหวนค็อกซ์

เป็นการขยายแนวคิดของวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ ดูที่วงแหวนค็อกซ์

เสียงแหลม

การเปลี่ยนแปลงรูปร่างแบบ crepant${\displaystyle f:X\to Y}$ระหว่างพันธุ์ปกติจะมีมอร์ฟิซึมอยู่ชนิดหนึ่งซึ่งมีลักษณะดังนี้${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$.

เส้นโค้ง

วาไรตี้เชิงพีชคณิตที่มีมิติหนึ่ง

การเปลี่ยนรูป

อนุญาต${\displaystyle S\to S'}$ให้ X เป็นมอร์ฟิซึมของสกีม และXเป็น สกีม Sจากนั้น การแปลงรูปX ' ของXจะเป็น สกีม S ' พร้อมกับสี่เหลี่ยมดึงกลับซึ่งXเป็นสี่เหลี่ยมดึงกลับของX ' (โดยทั่วไป จะถือว่า X ' แบนราบ )

ตำแหน่งความเสื่อม

กำหนดให้แผนที่เวกเตอร์บันเดิล${\displaystyle f:E\to F}$บนวาไรตี้X (นั่นคือ แผนผังX-มอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิทั้งหมดของบันเดิล) ตำแหน่งความเสื่อมคือตำแหน่ง (เชิงทฤษฎีแผนผัง) ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$.

ความเสื่อม

1. แผนการXกล่าวได้ว่าเสื่อมสภาพไปเป็นแผนการอื่น  ${\displaystyle X_{0}}$(เรียกว่าลิมิตของX ) หากมีแผนการอยู่${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$โดยใช้ไฟเบอร์ทั่วไปXและไฟเบอร์พิเศษ${\displaystyle X_{0}}$.

2. การเสื่อมสภาพแบบราบคือการเสื่อมสภาพในลักษณะที่ว่า  ${\displaystyle \pi }$แบนราบ

มิติ

มิติซึ่งตามคำนิยามคือความยาวสูงสุดของสายโซ่ของสับสกีมปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้ เป็นคุณสมบัติโดยรวม สามารถมองเห็นได้ในระดับท้องถิ่นว่าสกีมนั้นไม่สามารถลดทอนได้หรือไม่ มันขึ้นอยู่กับโทโพโลยีเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับชีฟโครงสร้าง ดูเพิ่มเติมที่ มิติ โดยรวม ตัวอย่าง: สกีมที่มีมิติเท่ากันในมิติ 0: สกีมอาร์ ทิเนียน , 1: เส้นโค้งพีชคณิต , 2: พื้น ผิวพีชคณิต

ระดับ

1. ระดับของกลุ่มเส้นตรงLบนวาไรตี้สมบูรณ์คือจำนวนเต็มdโดยที่  ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$.

2. ถ้าxเป็นวัฏจักรบนวาไรตี้สมบูรณ์  ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$เมื่อพิจารณาฟิลด์kแล้ว ดีกรีของฟิลด์นั้นคือ${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$.

3. สำหรับระดับของมอร์ฟิซึมจำกัด โปรดดูที่ มอร์ฟิซึมของวาไรตี้#ระดับของมอร์ฟิซึมจำกัด  

เรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์

แนวทางในการศึกษาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยใช้สเปกตรัมของวงแหวน ( แบบสลับที่ได้ ) แทนวงแหวนแบบสลับที่ได้โปรดดู ที่ เรขาคณิตเชิงพีชคณิตอนุพันธ์

หาร

1. ชีฟตัวหารบนวาไรตี้ปกติคือชีฟสะท้อนกลับในรูปแบบO ( D ) สำหรับตัวหาร Weil บางตัว D  

2. แผนผังแบบหาร (divisorial scheme)คือแผนผังที่ยอมรับกลุ่มชีฟผกผันได้แบบกว้างขวาง (ample family of invertible sheaves) แผนผังที่ยอมรับชีฟผกผันได้แบบกว้างขวางเป็นตัวอย่างพื้นฐาน  

ที่เด่น

มอร์ฟิซึมf  : X → Yเรียกว่าโดมิแนนท์ถ้าภาพf ( X ) เป็นเดนเซส มอร์ฟิซึมของแผนผังเชิงเส้นตรงSpec A → Spec B เป็นเดนเซส ก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของแผนที่ B → Aที่สอดคล้องกันนั้นบรรจุอยู่ในนิลราดิคัลของB

คอมเพล็กซ์คู่

ดู ความเป็นคู่ ที่สอดคล้องกัน

ชีฟคู่

บนแผนผังโคเฮน-แมคออลีย์เชิงโปร เจกทีฟ ที่มีมิติบริสุทธิ์nนั้นชีฟคู่ขนานเป็นชีฟที่สอดคล้องกัน${\displaystyle \omega }$บนXโดยที่ ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$ ใช้ได้กับชีฟอิสระเฉพาะที่F ใดๆ บนXตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ ชีฟนั้นก็จะเป็นชีฟแคนอนิก

Éléments de géométrie algébrique

EGA เป็นความพยายามที่ไม่สมบูรณ์ในการวางรากฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยแนวคิดของสกีม ซึ่ง เป็นการขยายความของวาไรตี้เชิงพีชคณิตSéminaire de géométrie algébriqueได้สานต่อจาก EGA และปัจจุบันเป็นหนึ่งในหนังสืออ้างอิงมาตรฐานในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เส้นโค้งวงรี

เส้นโค้งวงรีเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ เรียบ ที่มีจีนัสเท่ากับหนึ่ง

โดยพื้นฐานแล้วเป็นประเภทจำกัด

การกำหนดตำแหน่งของแผนผังประเภทจำกัด

มิติเท่ากัน

แผนผังที่มีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีมิติเดียวกัน ดูเพิ่มเติมที่§ มิติ บริสุทธิ์

étale

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเรียกว่าเอทาล (étale ) ถ้ามันแบนราบและไม่มีการแตกแขนง นอกจากนี้ยังมีนิยามอื่นๆ ที่เทียบเท่ากันอีกหลายแบบ ในกรณีของวาไรตี้เรียบ (smooth varieties)${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$บนฟิลด์ ปิดเชิงพีชคณิต การแปลงแบบเอทา ล (étale morphisms) คือการแปลงที่เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิสัมผัส (tangent spaces)${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดปกติของแผนที่เอตาลในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ มอร์ฟิซึมเอตาลเป็นกลุ่มมอร์ฟิซึมที่สำคัญมาก พวกมันถูกใช้ในการสร้างสิ่งที่เรียกว่าโทโพโลยีเอตาลและด้วยเหตุนี้จึงสร้างโคฮอโมโลยีเอตาลซึ่งปัจจุบันเป็นหนึ่งในรากฐานสำคัญของเรขาคณิตเชิง พีชคณิต

ลำดับออยเลอร์

ลำดับที่แน่นอนของมัดข้าว:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

โดยที่P ⁿคือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ และพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์สุดท้ายคือชีฟ สัมผัส เรียกว่าลำดับออยเลอร์

ทฤษฎีจุดตัดสมมาตร

ดูบทที่ 2 ได้ที่http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

เอฟ -ปกติ

เกี่ยวข้องกับมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุส^{[ 7 ]}

ฟาโน่

วาไรตี้ฟาโน (Fano variety)คือวาไรตี้เชิงฉายภาพ เรียบ Xที่มีชีฟแอนติแคนอนิก (anticanonical sheaf)${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$เพียงพอแล้ว

เส้นใย

ที่ให้ไว้${\displaystyle f:X\to Y}$ระหว่างแผนการต่างๆ ไฟเบอร์ของfเหนือyคือเซตที่เป็นภาพต้นแบบ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$มันมีโครงสร้างตามธรรมชาติของแบบแผนเหนือฟิลด์ตกค้างของyในฐานะผลคูณของเส้นใย${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$, ที่ไหน${\displaystyle \{y\}}$มีโครงสร้างตามธรรมชาติของแบบแผนเหนือYในฐานะ Spec ของฟิลด์ส่วนเหลือของy

ผลิตภัณฑ์เส้นใย

1. อีกคำหนึ่งที่ใช้เรียก " การดึงกลับ " (pullback) ในทฤษฎีหมวดหมู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลคูณไฟเบอร์ของแผนผัง (schemes )  

2. กองซ้อน  ${\displaystyle F\times _{G}H}$มอบให้สำหรับ${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$: วัตถุบนBคือสามสิ่ง ( x , y , ψ) โดยที่xอยู่ในF ( B ), yอยู่ในH ( B ), และ ψ เป็นไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ในG ( B ); ลูกศรจาก ( x , y , ψ) ไปยัง ( x' , y ' , ψ') คือคู่ของมอร์ฟิซึม${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$โดยที่${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้ซึ่งมีการฉายภาพอย่างชัดเจนนั้นไม่สลับที่กัน แต่จะสลับที่กันได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ กล่าวคือสลับที่กันได้ 2ระดับ

สุดท้าย

หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของ Grothendieck คือการเน้น แนวคิด เชิงสัมพัทธ์ กล่าวคือ เงื่อนไขบนมอร์ฟิซึมมากกว่าเงื่อนไขบนสกีมเอง หมวดหมู่ของสกีมมีวัตถุสุดท้ายคือ สเปกตรัมของริง${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็ม ดังนั้นแผนการใดๆ ก็ตาม${\displaystyle S}$จบแล้ว${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$และในรูปแบบที่ไม่เหมือนใคร

จำกัด

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเป็นแบบจำกัดถ้า${\displaystyle X}$อาจครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้นตรง${\displaystyle {\text{Spec }}B}$โดยที่แต่ละ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น — เช่น ในรูปแบบ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$— และยิ่งไปกว่านั้น${\displaystyle A}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ${\displaystyle B}$-โมดูล ดูที่มอร์ฟิซึมจำกัดมอร์ฟิซึมจำกัดเป็นกึ่งจำกัด แต่ไม่ใช่ว่ามอร์ฟิซึมทั้งหมดที่มีไฟเบอร์จำกัดจะเป็นกึ่งจำกัด และมอร์ฟิซึมประเภทจำกัดมักจะไม่ใช่กึ่งจำกัด

ประเภทจำกัด (เฉพาะที่)

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเป็นประเภทจำกัดเฉพาะที่ถ้า${\displaystyle X}$อาจครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้นตรง${\displaystyle {\text{Spec }}B}$โดยที่ภาพผกผันแต่ละภาพ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้น${\displaystyle {\text{Spec }}A}$โดยที่แต่ละ${\displaystyle A}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ${\displaystyle B}$-พีชคณิต มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเป็นประเภทจำกัดถ้า${\displaystyle X}$อาจครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้นตรง${\displaystyle {\text{Spec }}B}$โดยที่ภาพผกผันแต่ละภาพ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ถูกปกคลุมด้วยเซตเปิดเชิงเส้นจำนวนจำกัด${\displaystyle {\text{Spec }}A}$โดยที่แต่ละ${\displaystyle A}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ${\displaystyle B}$-พีชคณิต.

เส้นใยจำกัด

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xมีไฟเบอร์จำกัดถ้าไฟเบอร์เหนือแต่ละจุด${\displaystyle x\in X}$เป็นเซตจำกัด มอร์ฟิซึมเรียกว่ากึ่งจำกัดได้ก็ต่อเมื่อเป็นประเภทจำกัดและมีไฟเบอร์จำกัด

การนำเสนอแบบจำกัด

ถ้าyเป็นจุดในYแล้ว มอร์ฟิซึมfจะมีการนำเสนอแบบจำกัดที่y (หรือนำเสนอแบบจำกัดที่y ) ก็ต่อเมื่อมีย่านใกล้เคียงแบบแอฟฟินเปิดUของf(y)และย่านใกล้เคียงแบบแอฟฟินเปิดVของyที่f ( V )  ⊆ Uและ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$เป็นพีชคณิตที่นำเสนออย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$มอร์ฟิซึมfนั้นมีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อมีการนำเสนอแบบจำกัดที่ทุกจุดของYถ้าXเป็นโนเธอร์เรียนในระดับท้องถิ่น มอร์ฟิซึมfจะมีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อมีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่น^{[ 8 ]} มอร์ฟิซึมf  : Y → Xมีการนำเสนอแบบจำกัด (หรือYมีการนำเสนอแบบจำกัดเหนือX ) ก็ต่อเมื่อมีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่น กึ่งกระชับ และกึ่งแยก ถ้าXเป็นโนเธอร์เรียนในระดับท้องถิ่น มอร์ฟิซึมfจะมีการนำเสนอแบบจำกัดก็ต่อเมื่อมีการนำเสนอแบบจำกัด^{[ 9 ]}

ความหลากหลายของธง

รูปแบบธง (flag variety ) กำหนดพารามิเตอร์ให้กับธงของปริภูมิเวกเตอร์

แบน

มอร์ฟิซึม${\displaystyle f}$เรียกว่าแบนราบหากก่อให้เกิดแผนที่แบนราบบนก้าน เมื่อพิจารณามอร์ฟิซึมf  : Y → Xในฐานะตระกูลของแผนผังที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจุดของ${\displaystyle X}$ความหมายทางเรขาคณิตของความเรียบนั้น อาจอธิบายได้คร่าว ๆ ว่า เส้นใย${\displaystyle f^{-1}(x)}$ไม่แตกต่างกันมากนัก

เป็นทางการ

ดูแผนงานอย่างเป็นทางการ

จี^อาร์

กำหนดให้เส้นโค้งCตัวหารDบนเส้นโค้งนั้น และปริภูมิย่อยเวกเตอร์${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$หนึ่งในนั้นกล่าวว่าเป็นระบบเชิงเส้น${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$C จะมี ag ^r เมื่อVมีมิติr +1 และDมีดีกรีdและกล่าวได้ว่าCมี ag ^r เมื่อมีระบบเชิงเส้นดังกล่าวอยู่จริง

ทฤษฎีการสร้างใหม่ของกาเบรียล-โรเซนเบิร์ก

ทฤษฎีบทการสร้างใหม่ของ Gabriel–Rosenberg ระบุว่า สามารถกู้คืนแผนผังX ได้จากหมวดหมู่ของ ชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนX ^{[ 10 ]}ทฤษฎีบทนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับเรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่เนื่องจากหากใช้ทฤษฎีบทนี้เป็นสัจพจน์ การกำหนดแผนผังแบบไม่สลับที่จึงเท่ากับการกำหนดหมวดหมู่ของชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนแผนผังนั้น ดูเพิ่มเติมที่https://mathoverflow.net/q/16257

จีบันเดิล

บันเดิล G หลัก

จุดทั่วไป

จุดที่มีความหนาแน่นสูง

ประเภท

ดู#arithmetic genus , #geometric genus

สูตรสกุล

สูตรจีนัสสำหรับเส้นโค้งปมในระนาบเชิงฉายระบุว่า จีนัสของเส้นโค้งนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$ โดยที่dคือระดับของเส้นโค้ง และ δ คือจำนวนจุด (ซึ่งจะเป็นศูนย์หากเส้นโค้งเรียบ)

จีโนมเรขาคณิต

เจนัสเชิงเรขาคณิตของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบXที่มีมิติnคือ ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ (โดยที่ความเท่าเทียมกันนั้นคือทฤษฎีบททวิภาวะของแซร์ )

จุดเรขาคณิต

1. สเปกตรัมเฉพาะของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต  

2. จุดที่สมเหตุสมผล  

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

คุณสมบัติของโครงร่างXบนฟิลด์kเรียกว่า " เชิงเรขาคณิต " ถ้าคุณสมบัตินั้นเป็นจริงสำหรับ${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$สำหรับการขยายสาขา ใดๆ${\displaystyle E/k}$.

ผลหารทางเรขาคณิต

ผลหารเชิงเรขาคณิตของแผนผังXกับการกระทำของแผนผังกลุ่มGเป็นผลหารที่ดี โดยที่เส้นใยเป็นวงโคจร

เจอร์บี

เกอร์เบ (Gerbe ) คือ (โดยประมาณ) สแต็กที่ไม่ว่างเปล่าในระดับท้องถิ่น และวัตถุสองชิ้นในสแต็กนี้มีสมบัติสมมาตรในระดับท้องถิ่น

ดัชนี GIT

อัตราส่วนGIT${\displaystyle X/\!/G}$เป็น${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$เมื่อไร${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$และ${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$เมื่อไร${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$.

ดัชนีที่ดี

ผลหารที่ดีของแผนผังXกับการกระทำของแผนผังกลุ่มGคือมอร์ฟิซึมที่ไม่เปลี่ยนแปลง${\displaystyle f:X\to Y}$โดยที่${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

โกเรนสไตน์

1. โครงสร้างGorensteinคือโครงสร้าง Noetherian เฉพาะที่ซึ่งวงแหวนเฉพาะที่ของโครงสร้างนี้คือวงแหวน Gorenstein  

2. โดยทั่วไปแล้วพันธุ์ปกติจะเรียกว่า...  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-โกเรนสไตน์ ถ้าตัวหารมาตรฐานบนนั้นคือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์ (และไม่จำเป็นต้องเป็นโคเฮน-แมคออลีย์)

3. ผู้เขียนบางคนเรียกพันธุ์ปกติว่า Gorenstein หากตัวหารมาตรฐานคือ Cartier; โปรดทราบว่าการใช้งานนี้ไม่สอดคล้องกับความหมายข้อ 1  

เกราแอร์ต-รีเมนชไนเดอร์ ทฤษฎีบทการหายตัวไป

ทฤษฎีบทการหายไปของ Grauert–Riemenschneiderขยายทฤษฎีบทการหายไปของ Kodairaไปสู่ชีฟภาพโดยตรงที่สูงกว่า ดูเพิ่มเติมได้ที่https://arxiv.org/abs/1404.1827

วงแหวนพันธุ์ Grothendieck

วงแหวนแห่งวาไรตี้ของโกรเทนดีค (Grothendieck ring of varieties)คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดยคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้: ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ โดยที่Zเป็นวาไรตี้ย่อยแบบปิดของวาไรตี้Xและมีคุณสมบัติการคูณ ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

ทฤษฎีบทการหายไปของโกรเทนดีค

ทฤษฎีบทการหายไปของ Grothendieckเกี่ยวข้องกับ โคฮอโมโล ยีเฉพาะที่

แผนกลุ่ม

แผนผังกลุ่ม (Group scheme)คือแผนผังที่มีเซตของจุดต่างๆ ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนแผนผังกลุ่ม

กลุ่มหลากหลาย

เป็นคำศัพท์เก่าที่ใช้เรียกกลุ่มพีชคณิตที่ "เรียบ"

พหุนามฮิลเบิร์ต

พหุ นามฮิลเบิร์ตของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟXเหนือฟิลด์ คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$.

มัดฮอดจ์

บันเดิลฮอดจ์บนปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้ง (ที่มีจีนัสคงที่) โดยประมาณแล้วคือบันเดิลเวกเตอร์ซึ่งไฟเบอร์เหนือเส้นโค้งCคือปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$.

ไฮเปอร์อิลิปติก

เส้นโค้งเรียกว่าไฮเปอร์อิลิปติกถ้ามีg ¹ (กล่าวคือ มีระบบเชิงเส้นที่มีมิติ 1 และดีกรี 2)

มัดระนาบไฮเปอร์

อีกคำหนึ่งที่ใช้เรียกมัดฟ่อนข้าวบิดของแซร์${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$มันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับกลุ่มเส้นตรงที่กล่าวซ้ำ (ซึ่งเป็นที่มาของคำนี้)

ภาพ

ถ้าf  : Y → Xเป็นมอร์ฟิซึมของสกีมใดๆภาพเชิงทฤษฎีสกีมของfคือซับสกีมปิดi  : Z → X ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติสากล ต่อไปนี้ :

1. fปัจจัยผ่านi ,
2. ถ้าj  : Z ′ → Xเป็นสับสกีมปิดใดๆ ของ^Xที่ f แยกตัวประกอบผ่านjแล้วiก็แยกตัวประกอบผ่านj เช่นกัน ^{[ 11} ] ^{[ 12 ]}

แนวคิดนี้แตกต่างจากภาพเชิงเซตตามปกติของf , f ( Y ) ตัวอย่างเช่น พื้นที่พื้นฐานของZจะประกอบด้วย (แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ) การปิดแบบ Zariski ของf ( Y ) ในX เสมอ ดังนั้นหากYเป็นสับสกีมแบบเปิดใดๆ (และไม่ใช่แบบปิด) ของXและfเป็นแผนที่การรวมZจะแตกต่างจากf ( Y ) เมื่อYถูกลดรูปZจะเป็นการปิดแบบ Zariski ของf ( Y ) ที่มีโครงสร้างของสับสกีมแบบปิดที่ลดรูปแล้ว แต่โดยทั่วไป เว้นแต่ว่าfจะเป็นกึ่งกระชับ การสร้างZ จะไม่เป็นแบบเฉพาะ ที่บนX

การจุ่ม

การฝังf  : Y → Xเป็นแผนที่ที่แยกตัวประกอบผ่านไอโซมอร์ฟิซึมกับซับสกีม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการฝังแบบเปิด จะแยกตัวประกอบ ผ่านไอโซมอร์ฟิซึมกับซับสกีมแบบเปิด และ การฝัง แบบปิดจะแยกตัวประกอบผ่านไอโซมอร์ฟิซึมกับซับสกีมแบบปิด^{[ 13 ]} หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง fเป็นการฝังแบบปิดก็ต่อเมื่อมันเหนี่ยวนำโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากปริภูมิโทโพโลยีพื้นฐานของYไปยังเซตย่อยปิดของปริภูมิโทโพโลยีพื้นฐานของXและถ้ามอร์ฟิซึม${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$เป็นการส่งแบบทั่วถึง^{[ 14 ]}การประกอบของการฝังตัวเป็นการฝังตัวอีกครั้ง^{[ 15 ]} ผู้เขียนบางคน เช่น Hartshorne ในหนังสือAlgebraic Geometryและ Q. Liu ในหนังสือAlgebraic Geometry and Arithmetic Curvesกำหนดการฝังตัวเป็นการประกอบของการฝังตัวแบบเปิดตามด้วยการฝังตัวแบบปิด การฝังตัวเหล่านี้เป็นการฝังตัวในความหมายข้างต้น แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จริง ยิ่งไปกว่านั้น ภายใต้นิยามนี้ การประกอบของการฝังตัวสองครั้งไม่จำเป็นต้องเป็นการฝังตัว อย่างไรก็ตาม นิยามทั้งสองจะเทียบเท่ากันเมื่อfเป็นกึ่งกระชับ^{[ 16 ]} โปรดทราบว่าการฝังตัวแบบเปิดนั้นอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยภาพของมันในความหมายของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในขณะที่การฝังตัวแบบปิดนั้นไม่ใช่:${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$และ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$อาจเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกแต่ไม่ใช่ไอโซเมอร์ฟิก ตัวอย่างเช่น หากIเป็นรากของJแต่Jไม่ใช่ไอเดียลราก เมื่อระบุเซตย่อยปิดของสกีมโดยไม่กล่าวถึงโครงสร้างของสกีม โดยปกติแล้วจะหมายถึงโครงสร้างสกีมแบบลดรูปซึ่งก็คือโครงสร้างสกีมที่สอดคล้องกับไอเดียลรากที่ไม่ซ้ำกันซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดที่หายไปบนเซตย่อยปิดนั้น

โครงการอุตสาหกรรม

ind -schemeคือลิมิตเชิงอุปนัยของการฝังตัวแบบปิดของ schemes

ชีฟที่ผกผันได้

ชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับหนึ่ง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือทอร์เซอร์สำหรับกลุ่มการคูณ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$(เช่น กลุ่มสายส่ง)

อินทิกรัล

แผนผังที่ทั้งลดรูปได้และลดรูปไม่ได้เรียกว่าแผนผังแบบอินทิกรัลสำหรับแผนผังแบบโนเธอร์เรียนเฉพาะที่ การเป็นแผนผังแบบอินทิกรัลเทียบเท่ากับการเป็นแผนผังที่เชื่อมต่อกันซึ่งครอบคลุมโดยสเปกตรัมของโดเมนแบบอินทิกรัล (โดยเคร่งครัดแล้ว นี่ไม่ใช่คุณสมบัติเฉพาะที่ เพราะการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของแผนผังแบบอินทิกรัลสองแผนผังไม่ใช่แบบอินทิกรัล อย่างไรก็ตาม สำหรับแผนผังที่ลดรูปไม่ได้ มันเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่) ตัวอย่างเช่น แผนผังSpec k [ t ]/ f , f พหุนามที่ลดรูปไม่ได้เป็นแบบอินทิกรัล ในขณะที่Spec A × B ( A , B ≠ 0) ไม่ใช่

ไม่สามารถลดทอนได้

กล่าวได้ว่าแผนผังX นั้น ไม่สามารถลดทอนได้เมื่อ (ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี) มันไม่ใช่การรวมกันของเซตย่อยปิดสองเซต ยกเว้นเซตหนึ่งที่เท่ากับXโดยใช้ความสอดคล้องกันของอุดมคติเฉพาะและจุดในแผนผังเชิงเส้นตรง นั่นหมายความว่าXไม่สามารถลดทอนได้ก็ต่อเมื่อXเชื่อมต่อกัน และวงแหวน A ทั้งหมดมีอุดมคติ เฉพาะขั้นต่ำสุดเพียงหนึ่งเดียว (ดังนั้น วงแหวนที่มีอุดมคติเฉพาะขั้นต่ำสุดเพียงหนึ่งเดียวจึงเรียกว่าไม่สามารถลดทอนได้ ) แผนผังโนเธอร์เรียนใดๆ สามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปของการรวมกันของเซตย่อยปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้สูงสุดที่ไม่ว่างเปล่าจำนวนจำกัด ซึ่งเรียกว่าส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ปริภูมิเชิงเส้นตรงและปริภูมิเชิงฉายไม่สามารถลดทอนได้ ในขณะที่ Spec k [ x,y ]/( xy ) = ไม่ใช่

ความหลากหลายแบบจาโคเบียน

วาไรตี้จาโคเบียนของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟXคือส่วนดีกรีศูนย์ของวาไรตี้ปิการ์ด${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$.

ทฤษฎีบทการหายไปของเคมป์ฟ

ทฤษฎีบทการหายไปของ Kempfเกี่ยวข้องกับการหายไปของโคฮอโมโลยีระดับสูงของแฟล็กวาไรตี้

เคลท

คำย่อของ " kawamata log terminal "

มิติโคไดระ

1. มิติKodaira (หรือที่เรียกว่ามิติIitaka ) ของมัดเส้นกึ่งแอมเพิลLคือมิติของ Proj ของวงแหวนหน้าตัดของL  

2. มิติโคไดระของวาไรตี้ปกติXคือมิติโคไดระของชีฟแคนอนิกของมัน  

ทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระ

ดูทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระ

แผนที่คุรานิชิ

ดูโครงสร้างของ Kuranishi

หมายเลขเลลอง

ดูหมายเลข Lelong

โครงสร้างระดับ

ดูได้ที่http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

การทำให้เป็นเส้นตรง

อีกคำหนึ่งที่ใช้เรียกโครงสร้างของ ชีฟ /เวกเตอร์บันเดิลแบบสมมาตร

ท้องถิ่น

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของแผนผังส่วนใหญ่มีลักษณะเฉพาะในระดับท้องถิ่นกล่าวคือ แผนผังX มีคุณสมบัติ Pบางอย่างก็ต่อเมื่อ สำหรับการครอบคลุมใดๆ ของXโดยแผนผังย่อยแบบเปิดX กล่าวคือX =${\displaystyle \cup }$สำหรับ X ทุกX มีคุณสมบัติPโดยปกติแล้ว การตรวจสอบการครอบคลุมเพียงหนึ่งเดียวก็เพียงพอแล้ว ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบการครอบคลุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราอาจกล่าวได้ว่าคุณสมบัติบางอย่างเป็นแบบZariski-localหากเราต้องการแยกแยะความแตกต่างระหว่างโทโพโลยี Zariskiกับโทโพโลยีอื่นๆ ที่เป็นไปได้ เช่นโทโพโลยี étaleพิจารณาสกีมXและการครอบคลุมโดยซับสกีมแบบเปิดเชิงเส้นตรงSpec A โดยใช้พจนานุกรมระหว่างวงแหวน (แบบสลับที่ได้)และสกีมเชิงเส้นตรงคุณสมบัติเฉพาะที่จึงเป็นคุณสมบัติของวงแหวนA คุณสมบัติPเป็นแบบเฉพาะที่ในความหมายข้างต้น ก็ต่อเมื่อคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของวงแหวนมีเสถียรภาพภายใต้การทำให้เป็นเฉพาะที่ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดถึง สกีม แบบ Noetherianเฉพาะที่ได้ กล่าวคือ สกีมที่ถูกครอบคลุมโดยสเปกตรัมของวงแหวน Noetherianข้อเท็จจริงที่ว่าการทำให้เป็นเฉพาะที่ของวงแหวน Noetherian ยังคงเป็น Noetherian หมายความว่าคุณสมบัติของสกีมที่เป็น Noetherian เฉพาะที่นั้นเป็นแบบเฉพาะที่ในความหมายข้างต้น (จึงเป็นที่มาของชื่อ) อีกตัวอย่างหนึ่ง: ถ้าวงแหวนถูกลดรูป (กล่าวคือ ไม่มี สมาชิก นิลโพ เทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ ) การทำให้เป็นโลคัลไลเซชันของวงแหวนนั้นก็จะถูกลดรูปด้วยเช่นกัน ตัวอย่างของคุณสมบัติที่ไม่ใช่โลคัลคือการแยกออกจากกัน (ดูคำจำกัดความด้านล่าง) แผนผังเชิงเส้นตรงใดๆ ก็ตามจะแยกออกจากกัน ดังนั้นแผนผังใดๆ ก็ตามจึงแยกออกจากกันในระดับโลคัล อย่างไรก็ตาม ชิ้นส่วนเชิงเส้นตรงอาจเชื่อมต่อกันอย่างผิดปกติจนทำให้เกิดแผนผังที่ไม่แยกออกจากกัน ต่อไปนี้เป็นรายการ (ที่ไม่ครบถ้วน) ของคุณสมบัติโลคัลของวงแหวน ซึ่งนำไปใช้กับแผนผัง ให้X =${\displaystyle \cup }$กำหนดให้ A ครอบคลุมของโครงร่างด้วยโครงร่างย่อยเชิงเส้นเปิด เพื่อความชัดเจน ให้kแทนฟิลด์ในต่อไปนี้ ตัวอย่างส่วนใหญ่ยังใช้ได้กับจำนวนเต็มZเป็นฐาน หรือแม้แต่ฐานทั่วไปอื่นๆ ด้วย เชื่อมต่อกัน, ลดทอนไม่ได้, ลดรูป, จำนวนเต็ม, ปกติ, สม่ำเสมอ, โคเฮน-แมคออลีย์, โนเธอร์เรียนเฉพาะที่, มิติ, แคทเทนารี, โกเรนสไตน์

จุดตัดสมบูรณ์ในพื้นที่

วงแหวนท้องถิ่นเหล่านี้เป็นวงแหวนที่มีจุดตัดสมบูรณ์ดูเพิ่มเติม: การ ฝังแบบปกติ

การทำให้สม่ำเสมอในระดับท้องถิ่น

การทำให้เป็นแบบสม่ำเสมอในระดับท้องถิ่นเป็นวิธีการสร้างรูปแบบที่อ่อนกว่าของการแก้ปัญหาความผิดปกติโดยใช้แหวนประเมินค่า

แฟกทอเรียลท้องถิ่น

วงแหวนท้องถิ่นเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน

ในระดับท้องถิ่นของการนำเสนอแบบจำกัด

เปรียบเทียบกับการนำเสนอแบบจำกัดด้านบน

ในระดับท้องถิ่นของประเภทจำกัด

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเป็นประเภทจำกัดเฉพาะที่ถ้า${\displaystyle X}$อาจครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้นตรง${\displaystyle {\text{Spec }}B}$โดยที่ภาพผกผันแต่ละภาพ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ครอบคลุมโดยเซตเปิดเชิงเส้น${\displaystyle {\text{Spec }}A}$โดยที่แต่ละ${\displaystyle A}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ${\displaystyle B}$-พีชคณิต.

โนเธอร์เรียนในท้องถิ่น

โครงร่างXครอบคลุมโดยสเปกตรัมA โดยที่A เป็น วงแหวน โนเธอร์เรียนถ้านอกจากนี้ สเปกตรัมเชิงเส้นจำนวนจำกัดครอบคลุมXด้วย โครงร่างนั้นเรียกว่าโครงร่างโนเธอร์เรียนแม้ว่าจะเป็นความจริงที่ว่าสเปกตรัมของวงแหวนโนเธอร์เรียนเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโนเธอร์เรียนแต่ข้อความกลับเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่น โครงร่างส่วนใหญ่ในเรขาคณิตพีชคณิตมิติจำกัดเป็นโครงร่างโนเธอร์เรียนเฉพาะที่ แต่ ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$ไม่ใช่

เรขาคณิตเชิงลอการิทึม

โครงสร้างบันทึก

ดูโครงสร้างบันทึกแนวคิดนี้มาจาก Fontaine-Illusie และ Kato

กลุ่มลูป

ดูที่กลุ่มลูป (บทความที่เชื่อมโยงไม่ได้กล่าวถึงกลุ่มลูปในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต สำหรับตอนนี้ โปรดดูที่ind-scheme แทน )

โมดูลัส

ดูตัวอย่างเช่นปริภูมิโมดูลัส

ในขณะที่งานวิจัยในช่วงแรกเกี่ยวกับโมดูลัส โดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่ [Mum65] เน้นไปที่การสร้างพื้นที่โมดูลัสแบบละเอียดหรือแบบหยาบ แต่เมื่อเร็วๆ นี้ การเน้นได้เปลี่ยนไปสู่การศึกษาตระกูลของวาไรตี้ นั่นคือ โมดูลัสฟังก์ชันและโมดูลัสสแต็ก งานหลักคือการทำความเข้าใจว่าวัตถุประเภทใดที่ประกอบเป็นตระกูล "ที่ดี" เมื่อสร้างแนวคิดที่ดีเกี่ยวกับ "ตระกูลที่ดี" แล้ว การมีอยู่ของพื้นที่โมดูลัสแบบหยาบควรจะเป็นไปโดยอัตโนมัติ พื้นที่โมดูลัสแบบหยาบไม่ใช่วัตถุพื้นฐานอีกต่อไป แต่เป็นเพียงวิธีที่สะดวกในการติดตามข้อมูลบางอย่างที่แฝงอยู่ในโมดูลัสฟังก์ชันหรือโมดูลัสสแต็กเท่านั้น

— Kollár, János, บทที่ 1 , "หนังสือเกี่ยวกับ Moduli of Surfaces"

โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำของโมริ

โครงการแบบจำลองขั้นต่ำเป็นโครงการวิจัยที่มีเป้าหมายเพื่อทำการจำแนกประเภทแบบไบราชันนัลของวาไรตี้พีชคณิตที่มีมิติมากกว่า 2

มอร์ฟิซึม

1. มอร์ฟิซึมของวาไรตี้พีชคณิตนั้นกำหนดโดยพหุนามในระดับท้องถิ่น  

2. มอร์ฟิซึมของสกีม คือมอ ร์ฟิซึมของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่  

3. มอร์ฟิซึม  ${\displaystyle f:F\to G}$ของสแต็ก (เช่น บนหมวดหมู่ของS -schemes) เป็นฟังก์ชันเช่นนั้น${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$ที่ไหน${\displaystyle P_{F},P_{G}}$เป็นแผนที่โครงสร้างไปยังหมวดหมู่พื้นฐาน

เนฟ

ดูชุดสาย nef

ไม่เอกพจน์

เป็นคำโบราณที่หมายถึง "เรียบ" เช่น ในพันธุ์ที่เรียบลื่น

ปกติ

1. โครงร่างเชิงปริพันธ์เรียกว่าปกติถ้าวงแหวนเฉพาะที่ (local rings) เป็นโดเมนปิดเชิงปริพันธ์ตัวอย่างเช่น โครงร่างปกติทั้งหมดเป็นโครงร่างปกติ ในขณะที่เส้นโค้งเอกฐาน (singular curves) ไม่ใช่โครงร่างปกติ  

2. เส้นโค้งเรียบ  ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$กล่าวกันว่าเป็นk-นอร์มัล ถ้าพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีดีกรีkตัดผ่านอนุกรมเชิงเส้นทั้งหมด${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$เส้นโค้ง นั้นเป็นเส้นโค้งปกติเชิงโปรเจ คทีฟก็ต่อ เมื่อเป็น เส้นโค้งปกติ kสำหรับทุกk > 0 ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า "เส้นโค้งเป็นเส้นโค้งปกติเชิงโปรเจคทีฟก็ต่อเมื่อระบบเชิงเส้นที่ฝังเส้นโค้งนั้นเป็นระบบสมบูรณ์" คำว่า "เส้นโค้งปกติเชิงเส้น" มีความหมายเหมือนกับ "เส้นโค้งปกติ 1"

3. พันธุ์ย่อยแบบปิด  ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$กล่าวได้ว่า X เป็นแบบปกติเชิงโปรเจกทีฟ หากการคลุมเชิงเส้นเหนือXเป็นโครงร่างปกติกล่าวคือ วงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของXเป็นโดเมนปิดแบบสมบูรณ์ ความหมายนี้สอดคล้องกับความหมายของ 2

ปกติ

1. ถ้าXเป็นสับสกีมปิดของสกีมYที่มีชีฟอุดมคติIแล้วชีฟปกติของXคือ  ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$ถ้าการฝังตัวของXลงในYเป็นแบบปกติมันจะเป็นอิสระในระดับท้องถิ่นและเรียกว่า บันเดิ ลปกติ

2. กรวยปกติ ที่ลาก ไปยังแกน Xคือ  ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$ถ้าXถูกฝังลงในY อย่างสม่ำเสมอ แล้ว กรวยปกติจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$พื้นที่ทั้งหมดของมัดปกติไปยังX

ทางข้ามปกติ

ตัวย่อnc ย่อ มาจาก normal crossing และsnc ย่อ มาจาก simple normal crossing หมายถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดหลายอย่าง เช่น ตัวหาร nc, จุดเอกฐาน nc, ตัวหาร snc และจุดเอกฐาน snc ดูที่normal crossings

โดยปกติสร้างขึ้น

กล่าวได้ว่าบันเดิลเส้นตรงLบนวาไรตี้X ถูกสร้างขึ้นตามปกติถ้าสำหรับจำนวนเต็มn > 0 แต่ละตัว แผนที่ธรรมชาติ${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)

เปิด

1. มอร์ฟิซึมf : Y → Xของสกีม เรียกว่าเปิด ( ปิด ) ถ้าแผนที่พื้นฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นแบบเปิด (ปิด ตามลำดับ) กล่าวคือ ถ้าสกีมย่อยแบบเปิดของYถูกแมปไปยังสกีมย่อยแบบเปิดของX (และในทำนองเดียวกันสำหรับแบบปิด) ตัวอย่างเช่น มอร์ฟิซึมแบบแฟลตที่นำเสนออย่างจำกัดเป็นแบบเปิด และแผนที่แบบเหมาะสมเป็นแบบปิด   

2. สับสกีมแบบเปิดของสกีมXคือ สับเซตแบบเปิดUที่มีโครงสร้างชีฟ  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$[ ^{14 ]​}

ออร์บิโฟลด์

ปัจจุบันorbifoldมักถูกกำหนดให้เป็นDeligne–Mumford stackเหนือหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้^{[ 17 ]}

กลุ่มที่หารลงตัวด้วยp

ดูกลุ่มที่หารลงตัวด้วยp (โดยคร่าวๆ แล้วเป็นกลุ่มที่คล้ายคลึงกับจุดบิดของวาไรตี้อาเบเลียน)

ดินสอ

ระบบเชิงเส้นที่มีมิติหนึ่ง

กลุ่มปิการ์ด

กลุ่มPicardของXคือกลุ่มของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเส้นตรงบนXโดยการคูณเป็นการคูณแบบเทนเซอร์

การฝังแบบ Plücker

การฝังแบบ Plückerคือการฝังแบบปิดของวาไรตี้ Grassmannianลงในปริภูมิเชิงฉาย

พลูริเจนัส

พลูริเจนัสลำดับที่n ของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบคือ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$ดูเพิ่มเติมที่หมายเลขHodge

แผนที่ตกค้างของปวงกาเร

ดูเศษเหลือของปวงกาเร (Poincaré residue )

จุด

แผนการ${\displaystyle S}$เป็นปริภูมิที่มีวงแหวนล้อมรอบในระดับท้องถิ่นดังนั้นจึงเป็นปริภูมิเชิงทอพอ โล ยีแต่ความหมายของจุดของ${\displaystyle S}$มีอยู่ 3 ประการ:

1. จุดหนึ่ง${\displaystyle P}$ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐาน;
2. เอ${\displaystyle T}$-จุดที่มีค่าของ${\displaystyle S}$เป็นมอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle T}$ถึง${\displaystyle S}$สำหรับโครงการใดๆ ก็ตาม${\displaystyle T}$;
3. จุดทางเรขาคณิตโดยที่${\displaystyle S}$ถูกกำหนดไว้เหนือ (มีมอร์ฟิซึมไปยัง)${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$, ที่ไหน${\displaystyle K}$เป็นฟิลด์เป็นมอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$ถึง${\displaystyle S}$ที่ไหน${\displaystyle {\overline {K}}}$เป็นการปิดเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle K}$.

จุดทางเรขาคณิต คือสิ่งที่ในกรณีคลาสสิกที่สุด เช่นวาไรตี้พีชคณิตที่เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนจะเป็นจุดในความหมายทั่วไป จุดเหล่านั้น${\displaystyle P}$ของปริภูมิพื้นฐานนั้นรวมถึงสิ่งที่คล้ายคลึงกันของจุดทั่วไป (ในความหมายของZariskiไม่ใช่ของAndré Weil ) ซึ่งจำเพาะเจาะจงไปที่จุดในความหมายปกติ${\displaystyle T}$จุดที่มีค่า -valued นั้น ถือได้ว่าเป็นวิธีหนึ่งในการระบุตัวตน โดยอาศัย ทฤษฎีบทของโยเนดะ${\displaystyle S}$ด้วยฟังก์ชันตัวแทน${\displaystyle h_{S}}$มันถูกสร้างขึ้น ในอดีตมีกระบวนการที่เรขาคณิตเชิงฉายเพิ่มจุดมากขึ้น ( เช่นจุดเชิงซ้อนเส้นตรงที่ระยะอนันต์ ) เพื่อทำให้เรขาคณิตง่ายขึ้นโดยการปรับปรุงวัตถุพื้นฐาน${\displaystyle T}$คะแนนที่มีมูลค่านั้นถือเป็นก้าวสำคัญอีกก้าวหนึ่ง

ตามแนวทางของ Grothendieck ที่โดดเด่นนั้น มีแนวคิดเกี่ยวกับไฟเบอร์ของมอร์ฟิซึมอยู่สามแบบ ได้แก่ แบบแรกคือภาพผกผัน อย่างง่าย ของจุด และอีกสองแบบเกิดจากการสร้างผลคูณไฟเบอร์ของมอร์ฟิซึมสองตัว ตัวอย่างเช่นไฟเบอร์เชิงเรขาคณิตของมอร์ฟิซึม${\displaystyle S^{\prime }\to S}$ถูกมองว่าเป็น ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$.

สิ่งนี้ทำให้การขยายจากโครงร่างเชิงเส้นตรง (affine schemes ) ซึ่งเป็นเพียงผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต Rไปสู่โครงร่างทั้งหมดของการดำเนินการผลคูณไฟเบอร์ (fiber product operation) เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญ (แม้ในทางเทคนิคจะดูไม่ซับซ้อน)

การโพลาไรเซชัน

การฝังตัวลงในพื้นที่ฉายภาพ

โครงการ

ดู การ ก่อสร้างโครงการ

สูตรการฉายภาพ

สูตรการฉายภาพกล่าวว่า สำหรับมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:X\to Y}$ของโครงการต่างๆ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูล${\displaystyle {\mathcal {F}}}$และฟรีในท้องถิ่น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-โมดูล${\displaystyle {\mathcal {E}}}$สำหรับอันดับจำกัด จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ (โดยสรุป)${\displaystyle f_{*}}$(เป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับการกระทำของชีฟอิสระเฉพาะที่)

ฉายภาพ

1. วาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟคือ วาไรตี้ย่อยแบบปิดของปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟ  

2. แผนผังเชิงโปรเจคทีฟบนแผนผังSคือ แผนผัง Sที่แยกตัวประกอบผ่านปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟบางส่วน  ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$ในฐานะโครงการย่อยแบบปิด

3. มอร์ฟิซึมเชิงโปรเจคทีฟถูกนิยามในลักษณะเดียวกับมอร์ฟิซึมเชิงแอฟฟิน: f : Y → Xเรียกว่ามอร์ฟิ ซึมเชิงโปรเจคทีฟ ถ้ามันแยกตัวประกอบได้เป็นการฝังตัวแบบปิด ตามด้วยการฉายภาพของปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟ   ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$ถึง${\displaystyle X}$^{[ 18 ]} โปรดทราบ ว่าคำจำกัดความนี้เข้มงวดกว่าคำจำกัดความของEGA , II.5.5.2 ซึ่งคำจำกัดความหลังนี้กำหนดไว้ว่า${\displaystyle f}$จะเป็นเชิงโปรเจคทีฟได้ก็ต่อเมื่อกำหนดโดยProjทั่วโลก ของ พีชคณิตO แบบเกรด กึ่งสอดคล้องกัน${\displaystyle {\mathcal {S}}}$โดยที่${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดและสร้างพีชคณิต${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ทั้งสองนิยามตรงกันเมื่อ${\displaystyle X}$เป็นแบบแอฟฟินหรือโดยทั่วไปแล้วถ้าเป็นแบบกึ่งคอมแพ็ก แยกออกจากกัน และยอมรับชีฟที่กว้างขวาง^{[ 19 ]}เช่น ถ้า${\displaystyle X}$เป็นโครงร่างย่อยแบบเปิดของปริภูมิเชิงฉาย${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$เหนือแหวน${\displaystyle A}$.

บันเดิลเชิงฉาย

ถ้าEเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่บนสกีมXบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟP ( E ) ของEคือProj ทั่วโลกของพีชคณิตสมมาตรของคู่ของE : ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$ โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้เป็นมาตรฐานในปัจจุบัน (เช่นทฤษฎีจุดตัด ของฟุลตัน ) แต่แตกต่างจาก EGA และ Hartshorne (ซึ่งไม่มีคู่)

ปกติเชิงฉาย

ดู#normal​

เหมาะสม

มอร์ฟิซึมแบบเหมาะสม ( proper morphism ) คือมอร์ฟิซึม ที่แยกออกจากกันได้ (separated) ปิดอย่างทั่วถึง (universally closed ) (กล่าวคือ ผลคูณไฟเบอร์กับมอร์ฟิซึมนี้เป็นแผนที่ปิด) และมีชนิดจำกัด (finite type) มอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟ (projective morphisms) เป็นมอร์ฟิซึมแบบเหมาะสม แต่โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ดูเพิ่มเติมที่ วาไรตี้สมบูรณ์ (complete variety ) คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของมอร์ฟิซึมแบบเหมาะสมคือการมีอยู่ของ การแยกตัวประกอบแบบ สไตน์ (Stein factorization ) กล่าวคือ การมีอยู่ของโครงร่างระดับกลาง (intermediate scheme) ที่ทำให้มอร์ฟิซึมสามารถแสดงได้ในรูปของมอร์ฟิซึมที่มีไฟเบอร์เชื่อมต่อกัน ตามด้วยมอร์ฟิซึมแบบจำกัด

ทรัพย์สิน P

ให้Pเป็นคุณสมบัติของสกีมที่เสถียรภายใต้การเปลี่ยนฐาน (ประเภทจำกัด, เหมาะสม, เรียบ, เอทาล ฯลฯ) จากนั้นมอร์ฟิซึมที่สามารถแสดงแทนได้${\displaystyle f:F\to G}$กล่าวได้ว่ามีคุณสมบัติPถ้าสำหรับกรณีใดๆ${\displaystyle B\to G}$ด้วยแผนการB ฐานการเปลี่ยนแปลง${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$มีคุณสมบัติP

ลดรูปเทียม

Pseudoreductiveเป็นการขยายความของ reductiveในบริบทของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเรียบที่เชื่อมต่อ กัน

มิติบริสุทธิ์

โครงสร้างจะมีมิติบริสุทธิ์dก็ต่อเมื่อส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้แต่ละส่วนมีมิติd

กึ่งสอดคล้องกัน

ชีฟกึ่งสอดคล้องบนโครงร่างโนเธอร์เรียนXคือชีฟของโมดูลO ที่กำหนดโดยโมดูลในระดับท้องถิ่น

กึ่งกะทัดรัด

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเรียกว่ากึ่งกระชับ (quasi-compact ) ถ้าสำหรับบาง (หรือเทียบเท่ากับทุก) การคลุมเชิงเส้นเปิดของXโดยU = Spec B บาง ค่า ภาพผกผันf ⁻¹ ( U ) ก็เป็นกึ่งกระชับเช่นกัน

กึ่งจำกัด

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xมีไฟเบอร์จำกัดถ้าไฟเบอร์เหนือแต่ละจุด${\displaystyle x\in X}$เป็นเซตจำกัด มอร์ฟิซึมเรียกว่ากึ่งจำกัดได้ก็ต่อเมื่อเป็นประเภทจำกัดและมีไฟเบอร์จำกัด

กึ่งโปรเจคทีฟ

วาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟคือ วาไรตี้ย่อย ที่ปิดเฉพาะที่ของปริภูมิโปรเจคทีฟ

กึ่งแยก

มอร์ฟิซึมf  : Y → Xเรียกว่ากึ่งแยกหรือ ( Yเป็นกึ่งแยกเหนือX ) ถ้ามอร์ฟิซึมแนวทแยงY → Y × Yเป็นกึ่งกระชับ สกีมYเรียกว่ากึ่งแยกถ้าYเป็นกึ่งแยกเหนือ Spec( Z ) ^{[ 20 ]}

กึ่งแยก

กลุ่มรีดิวซ์${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์${\displaystyle k}$จะเรียกว่าเป็น กลุ่ม กึ่งแยก (quasi-split)ก็ต่อเมื่อมันยอมรับกลุ่มย่อยของบอเรล (Borel subgroup) เท่านั้น${\displaystyle B\subseteq G}$กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle k}$กลุ่มรีดิวซ์แบบกึ่งแยกใดๆ ก็เป็นกลุ่มรีดิวซ์แบบแยกส่วนเช่นกัน แต่ก็มีกลุ่มรีดิวซ์แบบกึ่งแยกบางกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มรีดิวซ์แบบแยกส่วน

โครงการโควต้า

แผนผังQuotกำหนดพารามิเตอร์ให้กับผลหารของชีฟอิสระเฉพาะที่บนแผนผังเชิงโปรเจกทีฟ

สแต็กผลหาร

โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ [ X / G ] แทน สแต็กผลหารจะขยายผลหารของแผนผังหรือวาไรตี้

มีเหตุผล

1. บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต วาไรตี้จะเป็นวาไรตี้เชิงตรรกะก็ต่อเมื่อวาไรตี้นั้นเป็นไบราชันนัลกับปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟ ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งเชิงตรรกะและพื้นผิวเชิงตรรกะคือเส้นโค้งและพื้นผิวที่เป็นไบราชันนัลกับปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟ  ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$.

2. เมื่อกำหนดฟิลด์kและสกีมเชิงสัมพัทธ์X → Sแล้ว จุด k-ตรรกยะของXจะเป็นมอร์ฟิซึมS  ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$.

ฟังก์ชันตรรกยะ

องค์ประกอบในฟิลด์ฟังก์ชัน${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$โดยที่ลิมิตวิ่งผ่านวงแหวนพิกัดทั้งหมดของเซตย่อยเปิดUของวาไรตี้พีชคณิต (ที่ไม่สามารถลดทอนได้) Xดูเพิ่มเติมที่ฟิลด์ฟังก์ชัน (ทฤษฎีสกีม )

เส้นโค้งปกติเชิงตรรกะ

เส้นโค้งปกติเชิงตรรกะคือภาพของ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$ถ้าd = 3 จะเรียกว่าลูกบาศก์บิดเบี้ยว (twisted cubic ) ด้วยเช่นกัน

เอกภาวะเชิงตรรกะ

วาไรตี้Xบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์จะมีเอกฐานเชิงตรรกะก็ต่อเมื่อมีการแก้เอกฐานเหล่านั้น${\displaystyle f:X'\to X}$โดยที่${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$และ${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$.

ลดลง

1. วงแหวนสลับที่  ${\displaystyle R}$จะลดลงได้ก็ต่อเมื่อไม่มีองค์ประกอบนิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ นิลราดิคัลของมันคือไอเดียลศูนย์${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle R}$จะลดลงหาก${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เป็นโครงการที่ลดขนาดลง

2. แผนงาน X จะถูกลดขนาดลงหากก้านของแผนงานนั้น  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$เป็นวงแหวนลดรูป หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง X เป็นวงแหวนลดรูปก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละเซตย่อยเปิด${\displaystyle U\subset X}$,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$เป็นวงแหวนที่ลดขนาดลง กล่าวคือ${\displaystyle X}$ไม่มีส่วนที่เป็นนิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์

ลดทอน

กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle G}$เหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$เป็นกลุ่มรีดิวซ์ก็ต่อเมื่ออนุมูลอิสระที่มีศักยภาพเดียวเท่านั้น${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ ของการเปลี่ยนแปลงฐาน${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ของ${\displaystyle G}$ไปยังการปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle {\overline {k}}}$เป็นเรื่องเล็กน้อย

มัดสะท้อน

ชีฟที่สอดคล้องกันจะสะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อแผนที่แคนอนิกไปยังคู่ที่สองเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ปกติ

โครงร่างปกติคือโครงร่างที่วงแหวนท้องถิ่นเป็นวงแหวนท้องถิ่นปกติตัวอย่างเช่น วาไรตี้เรียบเหนือฟิลด์เป็นวาไรตี้ปกติ ในขณะที่ Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )= ไม่ใช่

การฝังแบบปกติ

การแช่แบบปิด${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$i เป็นการฝังตัวแบบปกติ (regular embedding)ถ้าแต่ละจุดของXมีบริเวณใกล้เคียงแบบแอฟฟิน (affine neighborhood) ในYโดยที่ไอเดียลของXในบริเวณนั้นถูกสร้างขึ้นโดยลำดับปกติ (regular sequence ) ถ้าiเป็นการฝังตัวแบบปกติแล้วชีฟโคนอร์มัล (conormal sheaf)ของiคือ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$เมื่อไร${\displaystyle {\mathcal {I}}}$เป็นกลุ่มของX ที่เหมาะสมที่สุด และเป็นอิสระในระดับท้องถิ่น

ฟังก์ชันปกติ

มอร์ฟิซึมจากวาไรตีเชิงพีชคณิตไปยังเส้นตรงเชิงเส้นตรง

มอร์ฟิซึมที่แสดงได้

มอร์ฟิซึม${\displaystyle F\to G}$ของสแต็กเช่นนั้น สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆ${\displaystyle B\to G}$จากแผนงานBการเปลี่ยนแปลงฐาน${\displaystyle F\times _{G}B}$เป็นปริภูมิพีชคณิต หากแทนคำว่า "ปริภูมิพีชคณิต" ด้วย "สกีม" ก็จะกล่าวได้ว่าสามารถแสดงแทนได้อย่างเข้มแข็ง

การแก้ไขภาวะเอกฐาน

การแก้ปัญหาจุดเอกฐานของโครงร่างXคือมอร์ฟิซึมแบบไบราชันแนล ที่เหมาะสม${\displaystyle \pi :Z\to X}$โดยที่Zเรียบ​

สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์

กำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนได้จำกัด${\displaystyle \pi :X\to Y}$ระหว่างเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบ ถ้า${\displaystyle \pi }$ถ้าหากมีกิ่งก้านสาขาอย่างเป็นระเบียบ (ไม่มีกิ่งก้านสาขาที่รกเรื้อ) ตัวอย่างเช่น บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ สูตร Riemann–Hurwitzจะเชื่อมโยงระดับของ π, สกุลของX , Yและดัชนีการแตกกิ่งก้านสาขาเข้าด้วยกัน : ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$ในปัจจุบัน สูตรนี้ถูกมองว่าเป็นผลลัพธ์จากสูตรทั่วไป (ซึ่งใช้ได้แม้ว่าค่า π จะไม่ใช่ค่าคงที่ก็ตาม): ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ ที่ไหน${\displaystyle \sim }$หมายถึงความสมมูลเชิงเส้นและ${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$คือตัวหารของชีฟโคแทนเจนต์สัมพัทธ์${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$(เรียกว่าแตกต่างกัน )

สูตร Riemann–Roch

1. ถ้าLเป็นมัดเส้นตรงที่มีดีกรีdบนเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgแล้วสูตร Riemann–Rochจะคำนวณลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของL ได้ :   ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$ตัวอย่างเช่น สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าดีกรีของตัวหารแคนอนิกKคือ2g - 2

2. สูตรทั่วไปนี้คิดค้นโดยโกรเทนดีค และเรียกว่าสูตรโกรเทนดีค-รีมันน์-รอคซึ่งกล่าวว่า: ถ้า  ${\displaystyle \pi :X\to S}$เป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมกับX , S ที่เรียบ และถ้าEเป็นเวกเตอร์บันเดิลบนXแล้วความเท่าเทียมกันในกลุ่ม Chow เชิงตรรกะ${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ ที่ไหน${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$,${\displaystyle \operatorname {ch} }$หมายถึงอักขระเชิร์นและ${\displaystyle \operatorname {td} }$คลาสท็อดด์ของบันเดิลสัมผัสของปริภูมิ และเหนือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \pi _{*}}$เป็นการอินทิเกรตตามเส้นใยตัวอย่างเช่น ถ้าฐานSเป็นจุดXเป็นเส้นโค้งเรียบที่มีจีนัสgและEเป็นมัดเส้นตรงLแล้ว ด้านซ้ายมือจะลดลงเหลือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ในขณะที่ด้านขวามือคือ${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

แข็ง

การเปลี่ยนแปลงรูปทรงเล็กน้อยทุกอย่างนั้นไม่มีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่นปริภูมิเชิงฉาย นั้น แข็งเกร็งเนื่องจาก${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$(และใช้แผนที่โคไดระ-สเปนเซอร์ )

ทำให้แข็งตัว

เป็นคำศัพท์เชิงอนุมาน ซึ่งมีความหมายโดยประมาณว่า "การกำจัดออโตมอร์ฟิซึม" ตัวอย่างเช่น อาจกล่าวได้ว่า "เราแนะนำโครงสร้างระดับหรือจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เพื่อทำให้สถานการณ์ทางเรขาคณิตมีความแข็งแกร่งขึ้น"

ในมุมมองของ Grothendieck เอง แทบจะไม่มีประวัติศาสตร์ของแผนการต่างๆ เลย แต่ควรมีเพียงประวัติศาสตร์ของการต่อต้านแผนการเหล่านั้นเท่านั้น: ... ไม่มีคำถามทางประวัติศาสตร์ที่จริงจังว่า Grothendieck พบคำจำกัดความของแผนการได้อย่างไร มันลอยอยู่ในอากาศ Serre กล่าวไว้อย่างดีแล้วว่าไม่มีใครคิดค้นแผนการขึ้นมา (การสนทนาปี 1995) คำถามคือ อะไรทำให้ Grothendieck เชื่อว่าเขาควรใช้คำจำกัดความนี้เพื่อลดทอนบทความ 80 หน้าของ Serre ให้เหลือเพียงประมาณ 1000 หน้าในหนังสือÉléments de géométrie algébrique ?

—

แผนการ

สกีม (Scheme)คือปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ซึ่งเป็นสเปกตรัมเฉพาะ ที่ ของวงแหวนสลับที่ได้

ชูเบิร์ต

1. เซลล์ชูเบิร์ต (Schubert cell)คือ วงโคจร Bบนกราสส์มันเนียน (Grassmannian)  ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$โดยที่Bคือเมทริกซ์บอเรลมาตรฐาน กล่าวคือ กลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

2. รูปแบบชูเบิร์ต (Schubert variety)คือการปิดตัวของเซลล์ชูเบิร์ต (Schubert cell)  

ม้วน

ม้วนปกติเชิงตรรกะคือพื้นผิวที่ขีดเส้นซึ่งมีระดับ หนึ่ง${\displaystyle n}$ในพื้นที่ฉายภาพ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$สำหรับบางคน${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$.

พันธุ์เซแคนท์

วาไรตี้เซแคนท์ไปยังวาไรตี้โปรเจคทีฟ${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$คือการปิดของผลรวมของเส้นตัดทั้งหมดที่เชื่อมกับV${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$.

วงแหวนส่วน

วงแหวนส่วนหรือวงแหวนของส่วนต่างๆ ของกลุ่มสายส่งLบนแผนผังXคือวงแหวนแบบไล่ระดับ${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$.

เงื่อนไขของ Serre S

ดูเงื่อนไขเรื่องภาวะปกติของ Serreได้ที่นี่ ดูเพิ่มเติมที่https://mathoverflow.net/q/22228

ความเป็นคู่ของเซร์เร

ดู#dualizing sheaf

แยกจากกัน

มอร์ฟิซึมที่แยกออกจากกันคือมอร์ฟิซึม${\displaystyle f}$เพื่อให้ผลิตภัณฑ์เส้นใยของ${\displaystyle f}$พร้อมกับตัวมันเองไปด้วย${\displaystyle f}$มีเส้นทแยงมุมเป็นสับสกีมแบบปิดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือมอร์ฟิซึมแนวทแยงมุมเป็นการฝังตัวแบบปิด

ชีทที่สร้างโดยส่วนทั่วโลก

มัดเอกสารที่มีชุดส่วนตัดทั่วโลกซึ่งครอบคลุมลำต้นของมัดเอกสารในทุกจุด ดูที่มัดเอกสารที่สร้างโดยส่วนตัดทั่วโลก

เรียบง่าย

1. คำว่า "จุดเรียบง่าย" (simple point) เป็นคำเก่าที่ใช้เรียก "จุดเรียบ" (smooth point)  

2. ตัวหารแบบตัดผ่านปกติอย่างง่าย (simple normal crossing divisor หรือ snc)เป็นอีกชื่อหนึ่งของตัวหารแบบตัดผ่านปกติเรียบ (smooth normal crossing divisor) กล่าวคือ ตัวหารที่มีเฉพาะจุดเอกฐานแบบตัดผ่านปกติเรียบเท่านั้น ตัวหารประเภทนี้ปรากฏใน กระบวนการลดจุดเอกฐาน อย่างเข้มแข็ง (strong desingularization ) รวมถึงในกระบวนการทำให้เสถียร (stabilization) สำหรับปัญหาโมดูลัสแบบกระชับ (compactifying moduli problems)  

3. ในบริบทของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นมีกลุ่มกึ่งง่าย (semisimple groups)และกลุ่มง่าย (simple groups ) ซึ่งตัวมันเองก็เป็นกลุ่มกึ่งง่ายที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม เนื่องจากกลุ่มง่ายทั้งหมดเป็นกลุ่มรีดักทีฟ (reductive groups) ดังนั้น กลุ่มง่ายแบบแยกส่วน (split simple group) จึงเป็นกลุ่มง่ายที่เป็นกลุ่มรีดักทีฟแบบแยกส่วน (split-reductive group)  

เรียบ

1.  

มอร์ฟิซึม แบบเรียบคือมอร์ฟิซึมที่มีมิติสูงกว่ามีการกำหนดลักษณะความเรียบหลายแบบ ต่อไปนี้เป็นนิยามที่เทียบเท่ากันของความเรียบของมอร์ฟิซึมf  : Y → X :

1. สำหรับy ∈ Y ใดๆ จะมีย่านใกล้เคียงแบบแอฟฟินเปิดVและUของy , x = f ( y ) ตามลำดับ ซึ่งการจำกัดfบนVจะแยกตัวประกอบเป็นมอร์ฟิซึมแบบเอทาล ตามด้วยการฉายภาพของปริภูมิแอฟฟินnมิติเหนือU
2. fเป็นระนาบ มีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่น และสำหรับทุกจุดทางเรขาคณิต${\displaystyle {\bar {y}}}$ของY (มอร์ฟิซึมจากสเปกตรัมของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต)${\displaystyle k({\bar {y}})}$ถึงY ) เส้นใยเรขาคณิต${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$เป็นวาไรตี้nมิติเรียบเหนือ${\displaystyle k({\bar {y}})}$ในความหมายของเรขาคณิตพีชคณิตแบบคลาสสิก

2. แผนผังเรียบ (smooth scheme)บนฟิลด์สมบูรณ์kคือแผนผังXที่มีประเภทจำกัดในระดับท้องถิ่นและเป็นระเบียบ (regular)บนk  

3. แผนผังเรียบ (smooth scheme) บนฟิลด์kคือแผนผังXที่มีความเรียบทางเรขาคณิต:  ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$เรียบเนียน

พิเศษ

ตัวหารDบนเส้นโค้งเรียบCจะมีความพิเศษก็ต่อเมื่อ${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$ซึ่งเรียกว่าดัชนีความเชี่ยวชาญนั้น มีค่าเป็นบวก

ความหลากหลายทรงกลม

วาไรตี้ทรงกลมคือ วาไรตี้ G ปกติ ( G ที่ เชื่อมต่อแบบรีดักทีฟ) ที่มีวงโคจรหนาแน่นแบบเปิดโดยกลุ่มย่อยบอเรลของG

แยก

1. ในบริบทของกลุ่มพีชคณิต  ${\displaystyle G}$สำหรับคุณสมบัติบางประการ${\displaystyle P}$มีการแบ่งคุณสมบัติที่ได้มา-${\displaystyle P}$. โดยปกติ${\displaystyle P}$เป็นคุณสมบัติที่เป็นไปโดยอัตโนมัติหรือพบได้ทั่วไปในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle {\overline {k}}}$หากคุณสมบัตินี้มีอยู่อยู่แล้วสำหรับ${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle k}$แล้ว${\displaystyle G}$กล่าวกันว่าสามารถตอบโจทย์การแบ่งแยกได้${\displaystyle P}$.

2. กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น  ${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์${\displaystyle k}$จะเป็นทรงโดนัทก็ต่อเมื่อฐานของมันเปลี่ยนแปลงเท่านั้น${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ไปยังการปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle {\overline {k}}}$มีโครงสร้างสมมาตรกับผลคูณของกลุ่มการคูณ${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$.${\displaystyle G}$จะเป็นทอรัสแบบแยกส่วนก็ต่อเมื่อมันมีโครงสร้างสมมาตรกับ${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงฐานใดๆ${\displaystyle G}$กล่าวกันว่ามีการแบ่งแยกกันในบริเวณตรงกลาง${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$ก็ต่อเมื่อฐานของมันเปลี่ยนแปลงเท่านั้น${\displaystyle G_{L}}$ถึง${\displaystyle L}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$.

3. กลุ่มรีดิวซ์  ${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์${\displaystyle k}$เป็นแบบแยกส่วนลดรูปได้ก็ต่อเมื่อทอรัสสูงสุดเท่านั้น${\displaystyle T\subseteq G}$กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle k}$เป็นทอรัสแบบแยกส่วน เนื่องจากกลุ่มเชิงเดี่ยว ใดๆ ก็ เป็นกลุ่มรีดักทีฟ ดังนั้นกลุ่มเชิงเดี่ยวแบบแยกส่วนจึงหมายถึงกลุ่มเชิงเดี่ยวที่เป็นกลุ่มรีดักทีฟแบบแยกส่วน

4. กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่เชื่อมต่อและแก้ได้  ${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์${\displaystyle k}$จะถูกแบ่งออกก็ต่อเมื่อมีชุดองค์ประกอบ เท่านั้น${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle k}$โดยที่ผลหารที่ต่อเนื่องกันแต่ละครั้ง${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มการคูณ${\displaystyle G_{m,k}}$หรือกลุ่มสารเติมแต่ง${\displaystyle G_{m,a}}$เกิน${\displaystyle k}$.

5. กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น  ${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือฟิลด์${\displaystyle k}$จะถูกแยกออกก็ต่อเมื่อมีกลุ่มย่อยของโบเรล เท่านั้น${\displaystyle B\subseteq G}$กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle k}$ซึ่งถูกแบ่งออกในแง่ของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่เชื่อมต่อกันและสามารถหาคำตอบได้

6. ในการจำแนกประเภทของพีชคณิตลีจริงพีชคณิตลีแบบแยกส่วนมีบทบาทสำคัญ มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างกลุ่มลีเชิงเส้น พีชคณิตลีที่เกี่ยวข้อง และกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือ  ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ตอบกลับ${\displaystyle \mathbb {C} }$คำว่า"แยก"มีความหมายคล้ายกันในทฤษฎีลีและกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น

มั่นคง

1. เส้นโค้งเสถียรคือ เส้นโค้งที่มีจุดเอกฐาน "เล็กน้อย" ซึ่งใช้ในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งที่มีพฤติกรรมที่ดี  

2. บันเดิลเวกเตอร์ที่มีเสถียรภาพใช้ในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลเวกเตอร์  

ซ้อนกัน

โครงสร้างข้อมูลแบบ สแต็ก (Stack)ใช้สำหรับกำหนดพารามิเตอร์ให้กับเซตของจุดต่างๆ ร่วมกับออโตมอร์ฟิซึม

การแปลงที่เข้มงวด

เมื่อถูกขยายใหญ่ขึ้น${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} ตามสับสกีมปิด Zและมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:Y\to X}$การแปลงแบบเข้มงวดของY (เรียกอีกอย่างว่าการแปลงที่เหมาะสม) คือการระเบิด (blow-up)${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$ของYตามแผนผังย่อยแบบปิด${\displaystyle f^{-1}Z}$ถ้าfเป็นการฝังตัวแบบปิด แผนที่เหนี่ยวนำจะเป็นดังนี้${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$นอกจากนี้ยังเป็นการแช่ตัวแบบปิดอีกด้วย

แผนย่อย

สับสกีม (subscheme)ที่ไม่มีคำคุณศัพท์กำกับของXคือสับสกีมปิดของสับสกีมเปิดของX

พื้นผิว

วาไรตี้เชิงพีชคณิตที่มีมิติสอง

ความหลากหลายแบบสมมาตร

อนาล็อกของปริภูมิสมมาตรดู ที่ วา ไรตี้สมมาตร

พื้นที่สัมผัส

ดูช่องว่างสัมผัสของ Zariski

กลุ่มบรรทัดที่ซ้ำซ้อน

กลุ่มเส้นสัจพจน์ของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ Xคือคู่ตรงข้ามของชีฟบิดของ Serre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$นั่นคือ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$.

ทฤษฎีบท

ดูทฤษฎีบทหลักของ Zariski , ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงรูปธรรม , ทฤษฎีบทการเปลี่ยนฐานโคฮอโมโลยี , หมวดหมู่: ทฤษฎีบทในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

การฝังทอรัส

คำศัพท์เก่าที่ใช้เรียกพันธุ์ทอริก

ความหลากหลายแบบทอริก

วาไรตี้แบบทอริกคือ วาไรตี้ปกติที่มีการกระทำแบบทอรัส โดยที่ทอรัสมีวงโคจรที่เปิดและหนาแน่น

เรขาคณิตเขตร้อน

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตแบบแบ่งส่วนเชิงเส้นชนิดหนึ่ง ดูเรขาคณิตเขตร้อน (tropical geometry )

ทอรัส

ทอรัสแบบแยกส่วน เป็นผลคูณของ กลุ่มการคูณจำนวนจำกัด${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$.

สากล

1. ถ้าฟังก์ชันโมดูลัสFถูกแทนด้วยสกีมหรือปริภูมิพีชคณิตMแล้ววัตถุสากลคือองค์ประกอบของF ( M ) ที่สอดคล้องกับมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์M → M (ซึ่งเป็น จุด MของM ) ถ้าค่าของFเป็นคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งที่มีโครงสร้างพิเศษ เช่นนั้น วัตถุสากลจะเรียกว่าเส้นโค้งสากล บันเดิ ลทอโทโลจิคัลจะเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของวัตถุสากล  

2. ให้  ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ให้ เป็นโมดูลัสของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgและ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$นั่นคือเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgและมีจุดทำเครื่องหมายเพียงจุดเดียว ในวรรณกรรม แผนที่แห่งการลืมเลือน ${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}} มักเรียกว่าเส้นโค้งสากล

ทั่วโลก

มอร์ฟิซึมจะมีคุณสมบัติบางอย่างโดยทั่วไปก็ต่อเมื่อการเปลี่ยนแปลงฐานทั้งหมดของมอร์ฟิซึมนั้นมีคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่น มอร์ฟิซึม ที่เป็น เส้นโค้งแคทเทนารีโดยทั่วไปและ มอร์ฟิ ซึมที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งโดยทั่วไป

ไม่แตกแขนง

เพื่อเป็นประเด็น${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle Y}$พิจารณาการแปลงที่สอดคล้องกันของวงแหวนท้องถิ่น ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. อนุญาต${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$เป็นอุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$และปล่อยให้ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ เป็นอุดมคติที่สร้างขึ้นจากภาพของ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ใน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$มอร์ฟิซึม${\displaystyle f}$เรียกว่าไม่มีการแตกแขนง (หรือG-unramified ) ถ้าเป็นแบบจำกัดเฉพาะที่ (หรือแบบจำกัดการนำเสนอเฉพาะที่) และถ้าสำหรับทุก${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle Y}$,${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$คืออุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$และแผนที่ที่เหนี่ยวนำ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$ เป็นการขยายฟิลด์ที่แยกได้แบบจำกัด^{[ 21 ]}นี่คือเวอร์ชันทางเรขาคณิต (และการวางนัยทั่วไป) ของการขยายฟิลด์ที่ไม่แตกแขนงในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต