ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสเปกตรัมของจำนวนเฉพาะ ( หรือเรียกสั้น ๆ ว่าสเปกตรัม ) ของวงแหวนเชิงสลับที่${\displaystyle R}$คือเซตของอุดมคติหลัก ทั้งหมด ของ${\displaystyle R,}$ติดตั้งด้วยโทโพโลยีที่เรียกว่าโทโพโลยีซาริสกิสเปกตรัมของวงแหวนสลับที่นั้นมีชีฟของวงแหวนสลับที่ตามธรรมชาติ เรียกว่าชีฟโครงสร้างซึ่งทำให้เป็นปริภูมิวงแหวนกล่าวคือ วงแหวนสลับที่เชื่อมโยงกับทุกจุดและทุกเซตเปิด ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้บางประการ^{[ 1 ]}โครงสร้างที่เกิดจากสเปกตรัมของวงแหวนสลับที่และปริภูมิวงแหวนที่เกี่ยวข้องเรียกว่าโครงร่างแอฟฟินสเปกตรัมของวงแหวน${\displaystyle R}$และแผนผังเชิงเส้นตรงที่เกี่ยวข้องต่างก็แสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$หรือ​${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$[ ² ]^​​

โครงร่างเชิงอัฟฟินเป็นเครื่องมือพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีโครงร่างแท้จริงแล้ว โครงร่างถูกสร้างขึ้นโดยการ "เชื่อมต่อ" โครงร่างเชิงอัฟฟินเข้าด้วยกันในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการสร้างแมนิโฟลด์โดยการเชื่อมต่อเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดที่มาพร้อมกับวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องเหนือเซตเหล่านั้น คำว่า "เชิงอัฟฟิน" ในวลี "โครงร่างเชิงอัฟฟิน" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า วาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิง อัฟฟิน สามารถระบุได้ว่าเป็นโครงร่างเชิงอัฟฟินที่สร้างขึ้นเหนือวงแหวนของฟังก์ชันปกติ

แนวคิดเรื่องสเปกตรัมของริงได้รับการนำเสนอภายใต้ชื่อนั้นโดยอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีค มันได้รวบรวมแนวคิดทางประวัติศาสตร์หลายแง่มุมเข้าด้วยกัน แง่มุมหนึ่งซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้ใช้คำว่า "สเปกตรัม" มาจากพีชคณิตเชิงเส้น และ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทั่วไปซึ่งสเปกตรัมถูกใช้เพื่อแสดงค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น อีกแง่มุมหนึ่งมาจากพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนซึ่งปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ทอพอโลยีซาริสกี) ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายโครงสร้างของอุดมคติเฉพาะ การสังเคราะห์ขั้นสุดท้ายคือการเพิ่มชีฟโครงสร้างซึ่งเข้ารหัสข้อมูลทางเรขาคณิตเฉพาะที่ใกล้กับอุดมคติเฉพาะแต่ละตัว

แรงจูงใจแรกมาจากพีชคณิตเชิงเส้นเอนโดมอร์ฟิซึม${\displaystyle T}$ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด${\displaystyle V}$สร้างซับริง${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$ของวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของ⁠${\displaystyle V}$วงแหวนนี้เป็นวงแหวนสลับ ที่ได้ และมีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน แบบแคนอนิ ก ที่ส่งถึงทั่วถึง${\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [T]}$ที่แมป${\displaystyle x}$ถึง​​${\displaystyle T}$โดยที่​${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$คือวงแหวนพหุนามตัวแปรเดียวเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือไอเดียลหลักที่สร้างขึ้นโดยพหุนามขั้นต่ำ${\displaystyle m_{T}(x)}$ของ${\displaystyle T.}$พหุนาม${\displaystyle m_{T}(x)}$แยกปัจจัยออกเป็นตัวประกอบเฉพาะในรูปแบบ${\displaystyle (x-\lambda _{i})}$ที่ซึ่ง${\displaystyle \lambda _{i}}$คือค่าลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle T.}$สิ่งนี้สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างค่าลักษณะเฉพาะของ⁠${\displaystyle T}$และอุดมคติของจำนวนเฉพาะ${\displaystyle \mathbb {C} [T].}$วิธีนี้ทำให้สามารถระบุสเปกตรัมของเอนโดมอร์ฟิซึมให้ตรงกับสเปกตรัมของวงแหวนเฉพาะได้

ส่วนประกอบที่ขาดหายไปอย่างหนึ่งในแนวคิดเรื่องสเปกตรัมคือ มันไม่ได้แยกแยะความซ้ำซ้อนของค่าลักษณะเฉพาะต่างๆ ดังนั้น นิยามของสเปกตรัมของวงแหวนจึงไม่เพียงแต่รวมถึงเซตของอุดมคติเฉพาะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลเชิงโครงสร้างที่วงแหวนนั้นมีอยู่ด้วย${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดความหลากหลาย (และคุณสมบัติทางเรขาคณิตประเภทอื่นๆ) ได้ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการนิลโพเทนต์ ที่ไม่เป็นศูนย์ จะมีค่าไอเกนเพียงค่าเดียวคือศูนย์ และพหุนามขั้นต่ำ${\displaystyle m_{T}(x)=x^{k}}$ที่ไหน${\displaystyle k>1}$แต่สเปกตรัมในฐานะเซตของจุดคือเซตที่มีจุดเดียว${\displaystyle \{(x)\}}$อุดมคติหลักที่ประกอบด้วย${\displaystyle x}$โดยไม่ขึ้นอยู่กับระดับนิลโพเทนต์${\displaystyle k}$.

แนวคิดสมัยใหม่ของสเปกตรัมจึงรวมถึงโครงสร้างชีฟ ซึ่งประกอบด้วยข้อกำหนดของฟังก์ชันที่อยู่เหนืออุดมคติหลักแต่ละตัว ในกรณีของ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{k})}$ชุดจุดของสเปกตรัมคือจุดเดี่ยว${\displaystyle \{(x)\}}$แต่ระดับนิลโพเทนต์นั้นถูกเข้ารหัสโดยโครงสร้างวงแหวน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(x)}=\mathbb {C} [x]/(x^{k})}$.

แนวคิดเรื่องสเปกตรัมในพีชคณิตเชิงเส้นนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายแล้วในสาขาทฤษฎีสเปกตรัมในพีชคณิตบานาคเชิงซ้อนที่มีเอกลักษณ์${\displaystyle A}$แนวคิด นี้ได้ รับการขยายเพิ่มเติมโดยการกำหนดสเปกตรัมของธาตุ${\displaystyle a}$ให้เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \lambda }$โดยที่​${\displaystyle a-\lambda 1}$ไม่สามารถผกผันได้ ในกรณีการสลับเปลี่ยน ทฤษฎีวงแหวนบรรทัดฐานและพีชคณิต Banach ของ Israel Gelfandทำให้พื้นที่ของอุดมคติสูงสุด หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบคูณ กลายเป็นวัตถุหลักในการศึกษา ^{[ 3 ]}

สเปกตรัมไพรม์ของวงแหวนสลับเปลี่ยนยังมีต้นกำเนิดแยกต่างหากในพีชคณิตสลับเปลี่ยนและเรขาคณิตพีชคณิตสำหรับวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตNullstellensatzระบุจุดธรรมดาด้วยอุดมคติสูงสุดในวงแหวนพิกัด โดยทั่วไปแล้ว วาไรตี้ย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้จะสอดคล้องกับอุดมคติไพรม์ ดังนั้นการเปลี่ยนจากอุดมคติสูงสุดไปเป็นอุดมคติไพรม์ทั้งหมดจึงเท่ากับการเพิ่มจุดทั่วไปสำหรับแต่ละวาไรตี้ย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 4 ]}

งานของWolfgang Krullคาดการณ์ถึงการใช้จุดทางเรขาคณิตเพื่ออธิบายอุดมคติเฉพาะ บทความของเขาในปี 1928 เกี่ยวกับสายโซ่ของอุดมคติเฉพาะเป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนาทฤษฎีมิติในวงแหวนทั่วไป^{[ 5 ]}การใช้อุดมคติเฉพาะในเชิงโทโพโลยีที่เกี่ยวข้องปรากฏใน งานของ Marshall Stoneเกี่ยวกับพีชคณิตบูลีนและแลตทิซแบบกระจาย: Stone ได้แนะนำโทโพโลยีบนอุดมคติเฉพาะของแลตทิซแบบกระจาย ทำให้เกิดสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าสเปกตรัมของแลตทิซและนำไปสู่แนวคิดของปริภูมิสเปกตรัม^{[ 6 ]}

การก่อสร้างสมัยใหม่ของ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เนื่องจากพื้นที่วงแหวนท้องถิ่นได้รับการแนะนำอย่างเป็นระบบโดย Alexander Grothendieck ในทฤษฎีแผนผัง ในรูปแบบนี้ สเปกตรัมไม่เพียงแต่เป็นพื้นที่โทโพโลยีของอุดมคติเฉพาะเท่านั้น แต่ยังมาพร้อมกับชีฟโครงสร้าง ทำให้สามารถเชื่อมต่อแผนผังแอฟฟินเพื่อสร้างแผนผังทั่วไปได้^{[ 7 ]}

ในฐานะชุดหนึ่ง สเปกตรัม${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ของวงแหวนสลับที่คือเซตของอุดมคติเฉพาะของ${\displaystyle R}$มันถูกสร้างขึ้นเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่แต่ละอุดมคติเฉพาะ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)}$โดยเป็นจุดในปริภูมิแห่งนี้ ด้วยการติดตั้งโทโพโลยีซาริสกีซึ่งเป็นโทโพโลยีที่เซตปิดคือเซตของอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ที่ประกอบด้วยเซตย่อยที่กำหนดของ⁠${\displaystyle R}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับทุกเซตย่อย${\displaystyle S}$ของ​​${\displaystyle R}$ให้​$${\displaystyle V_{S}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\supseteq S\}.}$$เซตของทั้งหมด${\displaystyle V_{S}}$สร้างเซตปิดของโทโพโลยี Zariski บน${\displaystyle \operatorname {Spec} (R).}$จะได้เซตปิดที่เหมือนกันทุกประการ หากจำกัดนิยามไว้เฉพาะเซตย่อย${\displaystyle I}$ซึ่งเป็นอุดมคติเนื่องจาก​${\displaystyle V_{I}=V_{S}}$ถ้า​​${\displaystyle I=(S)}$อุดมคติที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle S}$อัน ที่จริงแล้ว มีเพียงอุดมการณ์สุดโต่งเท่านั้นที่จำเป็นต้องพิจารณา เนื่องจาก${\displaystyle V_{I}=V_{\sqrt {I}}}$สำหรับอุดมคติใดๆ${\displaystyle I}$และหัวรุนแรง ของมัน${\displaystyle {\sqrt {I}}.}$

กำหนดให้เป็นเซตปิด${\displaystyle V\subseteq \mathrm {Spec} (R)}$อุดมคติ​$${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in V}{\mathfrak {p}}}$$เป็นอุดมคติที่รุนแรงเช่นนั้น${\displaystyle V_{J}=V}$สิ่งนี้สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตปิดและอุดมคติเชิงราก ซึ่งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นั้น สอดคล้อง กับความสัมพันธ์ระหว่างเซตเชิงพีชคณิตและเซตของสมการพหุนาม ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับเซตนั้น (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ในทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต )

ในบรรดาเซตเปิด ซึ่งก็คือเซตที่มีรูปแบบ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I},}$บางส่วนมีความสำคัญเป็นพิเศษ ได้แก่ ส่วนที่มีรูปแบบดังนี้$${\displaystyle D_{f}=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{(f)}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):f\not \in {\mathfrak {p}}\},}$$ดังนั้น${\displaystyle I}$ถือเป็นอุดมคติหลักที่เกิดจากบางสิ่ง${\displaystyle f\in R;}$บางครั้งเรียกว่าเซตเปิดที่โดดเด่น^{[ 8 ]}หรือเซตเปิดหลัก^{[ 9 ]}หนึ่งมีมาโดยตลอด$${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}.}$$เนื่องจากเซตเปิดทุกเซตมีรูปแบบดังนี้${\textstyle U=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{I}=\bigcup _{f\in I}D_{f},}$เซตเปิดที่โดดเด่นเป็นพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีของซาริสกี ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วจึงไม่มีอันตรายใด ๆ ที่จะพิจารณาเฉพาะเซตเปิดในรูปแบบ⁠${\displaystyle D_{f}}$ความสำคัญของ${\displaystyle D_{f}}$ส่วน ใหญ่แล้วเป็นเพราะว่า เมื่ออุดมคติ${\displaystyle I}$ไม่ใช่เซตหลักเซตเปิด${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I}}$ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะกำหนดนิยามในแง่ของตัวสร้างอุดมคติ

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัดแต่แทบจะไม่เป็นHausdorff เลย : ^{[ a ]} ​​ในความเป็นจริงอุดมคติสูงสุดใน${\displaystyle R}$จุด เหล่านี้คือจุดปิดในโทโพโลยีนี้อย่างแม่นยำ ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$^{โดยทั่วไป แล้ว}ไม่ใช่พื้นที่T ^{[ 10} ] อย่างไรก็ตาม${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เป็นปริภูมิ Kolmogorov เสมอ (เป็นไปตามสัจพจน์ T ) และยังเป็นปริภูมิสเปกตรัม อีก ด้วย

จากตัวอย่างข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเราศึกษาเซตเชิงพีชคณิตนั่นคือเซตย่อยของ${\displaystyle K^{n}}$(ที่ไหน${\displaystyle K}$เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ) ซึ่งนิยามว่าเป็นศูนย์ร่วมของเซตของพหุนามใน${\displaystyle n}$ตัวแปร ถ้า${\displaystyle A}$หากเป็นเซตพีชคณิตดังกล่าว เราจะพิจารณาวงแหวนสลับที่${\displaystyle R}$ของ ฟังก์ชันพหุนามทั้งหมด${\displaystyle A\to K}$อุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle R}$สอดคล้องกับจุดของ${\displaystyle A}$(เพราะ${\displaystyle K}$(เป็นการปิดเชิงพีชคณิต) และอุดมคติเฉพาะของ${\displaystyle R}$สอดคล้องกับชนิดย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ${\displaystyle A}$(เซตพีชคณิตเรียกว่าเซตที่ไม่สามารถลดทอนได้หากไม่สามารถเขียนให้เป็นผลรวมของเซตย่อยพีชคณิตแท้สองเซตได้)

สเปกตรัมของ${\displaystyle R}$ดังนั้นจึงประกอบด้วยจุดต่างๆ ของ${\displaystyle A}$พร้อมด้วยองค์ประกอบสำหรับชนิดย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของ${\displaystyle A}$ประเด็นของ${\displaystyle A}$มีการปิดในสเปกตรัม ในขณะที่องค์ประกอบที่สอดคล้องกับชนิดย่อยมีการปิดที่ประกอบด้วยจุดและชนิดย่อยทั้งหมด หากพิจารณาเฉพาะจุดของ${\displaystyle A}$กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดใน${\displaystyle R}$ดังนั้น โทโพโลยีของซาริสกีที่นิยามไว้ข้างต้นจึงสอดคล้องกับโทโพโลยีของซาริสกีที่นิยามไว้บนเซตพีชคณิต (ซึ่งมีเซตย่อยพีชคณิตเป็นเซตปิด) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อุดมคติสูงสุดใน${\displaystyle R}$, เช่น${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$เมื่อรวมกับโทโพโลยีของซาริสกีแล้ว จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ${\displaystyle A}$รวมถึงโครงสร้างโทโพโลยีแบบ Zariski ด้วย

ด้วยวิธีนี้จึงสามารถมองเห็นพื้นที่เชิงทอพอโลยีได้${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เป็นการ "เสริมคุณค่า" ให้กับพื้นที่เชิงทอพอโลยี${\displaystyle A}$(ด้วยโทโพโลยีแบบซาริสกี้): สำหรับทุกๆ สับวาไรตีที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ${\displaystyle A}$มีการเพิ่ม จุดที่ไม่ปิดอีกหนึ่ง จุด และจุดนี้ "คอยติดตาม" ความหลากหลายย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่สอดคล้องกัน เราอาจมองว่าจุดนี้เป็นจุดทั่วไปสำหรับความหลากหลายย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ นอกจากนี้ โครงสร้างชีฟบน${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$และชีฟของฟังก์ชันพหุนามบน${\displaystyle A}$โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกันทุกประการ การศึกษาสเปกตรัมของวงแหวนพหุนามแทนที่จะเป็นเซตพีชคณิตด้วยโทโพโลยีซาริสกี ช่วยให้สามารถขยายแนวคิดของเรขาคณิตพีชคณิตไปยังฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิตและเหนือกว่านั้น จนในที่สุดจะไปถึงภาษาของสกีมได้

• สเปกตรัมของจำนวนเต็ม: แผนผังเชิงเส้นตรง${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$เป็นวัตถุสุดท้ายในหมวดหมู่ของโครงร่างเชิงเส้นตรง เนื่องจาก${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นวัตถุเริ่มต้นในหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ ในฐานะเซต${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ประกอบด้วยจุดต่างๆ${\displaystyle (0)}$และ${\displaystyle (p)}$สำหรับจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$เซตเปิดของ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$เป็น${\displaystyle \emptyset }$และเซตย่อยของรูปแบบ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )\setminus \{(p_{1}),\dots ,(p_{n})\}}$สำหรับจำนวนเฉพาะที่มีจำกัด${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}.}$ส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}(U)}$คือจำนวนตรรกยะ${\displaystyle a/b\in \mathbb {Q} }$ที่ไหน${\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$ ลำต้นที่${\displaystyle (p)}$วงแหวนท้องถิ่นคือ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)};}$ก้านที่${\displaystyle (0)}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• สเปกตรัมของพหุนามเหนือ${\displaystyle \mathbb {Z}$ :} แผนผังเชิงเส้น${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ประกอบด้วยจุดสี่ประเภท: 1) อุดมคติศูนย์${\displaystyle (0);}$2) อุดมคติหลัก${\displaystyle (p)}$สร้างขึ้นโดยจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p;}$3) อุดมคติหลัก${\displaystyle (f)}$สร้างขึ้นโดยพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้${\displaystyle f;}$และ 4) อุดมคติสูงสุด${\displaystyle (p,f)}$สร้างขึ้นโดยจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$และพหุนาม${\displaystyle f}$ซึ่งค่าโมดูลการลด${\displaystyle p}$ใน${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$ไม่สามารถลดทอนได้ คุณสมบัติทางโทโพโลยีและเรขาคณิตบางประการของ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ได้รับการวาดภาพประกอบในภาพร่างที่มีชื่อเสียงของเดวิด มัมฟอร์ดซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ 'แผนที่สมบัติของมัมฟอร์ด' ซึ่งพบได้ในตำราเบื้องต้นของเขา The Red Book of Varieties and Schemes ^{[ 11 ]}
• อนาล็อกเชิงทฤษฎีของโครงร่าง${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$: แผนผังเชิงเส้นตรง${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$จากมุมมองของฟังก์ชันของจุดจุดหนึ่ง${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$สามารถระบุได้ด้วยมอร์ฟิซึมการประเมิน${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }$ข้อสังเกตพื้นฐานนี้ทำให้เราสามารถให้ความหมายแก่แผนผังเชิงเส้นอื่นๆ ได้
• ไม้กางเขน:${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ในเชิงโทโพโลยีแล้ว จะมีลักษณะคล้ายกับการตัดกันตามขวางของระนาบเชิงซ้อนสองระนาบ ณ จุดหนึ่ง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนผังนี้ไม่สามารถลดทอนไม่ได้) แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะแสดงออกมาในรูปแบบอื่นก็ตาม${\displaystyle +}$เนื่องจากมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้อย่างดีเพียงอย่างเดียวคือ${\displaystyle \mathbb {C} }$คือมอร์ฟิซึมการประเมินที่เกี่ยวข้องกับจุดต่างๆ${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$.
• สเปกตรัมหลักของวงแหวนบูลีน (เช่นวงแหวนเซตกำลัง ) คือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัดและไม่เชื่อมต่อกันโดย สมบูรณ์ (นั่นคือปริภูมิสโตน ) ^{[ 12 ]}
• ( M. Hochster ) พื้นที่โทโพโลยีจะมีลักษณะโฮมีโอเมอ ร์ฟิกกับสเปกตรัมไพรม์ของวงแหวนสลับเปลี่ยน (กล่าวคือพื้นที่สเปกตรัม ) ก็ต่อเมื่อเป็นพื้นที่กระชับแยกแบบกึ่งๆและบริสุทธิ์^{[ 13 ]}

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของแผนผังที่ไม่ใช่แผนผังเชิงเส้นตรง แผนผังเหล่านี้สร้างขึ้นจากการนำแผนผังเชิงเส้นตรงมาต่อกัน

• การฉายภาพ${\displaystyle n}$-ช่องว่าง${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$เหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่ริงฐานใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ดูการสร้างโปรเจกทีฟ (อันที่จริง เราสามารถกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสำหรับโครงร่างฐานใดๆ ก็ได้) โปรเจกทีฟ${\displaystyle n}$-พื้นที่สำหรับ${\displaystyle n\geq 1}$ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงเหมือนกับวงแหวนของส่วนต่างๆ ทั่วโลกของ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$เป็น${\displaystyle k}$.
• ระนาบแอฟฟินลบจุดกำเนิด^{[ 14 ]}ภายใน${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$มีความแตกต่างจากซับสคีมเชิงเส้นตรงแบบเปิด${\displaystyle D_{x},D_{y}}$สหภาพของพวกเขา${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$คือระนาบเชิงเส้นตรงที่ตัดจุดกำเนิดออกไป ส่วนตัดทั่วโลกของ${\displaystyle U}$เป็นคู่ของพหุนามบน${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ที่จำกัดให้เป็นพหุนามเดียวกันบน${\displaystyle D_{xy}}$ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า${\displaystyle k[x,y]}$ส่วนต่างๆ ทั่วโลกของ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$.${\displaystyle U}$ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$ใน${\displaystyle U}$.

นักเขียนบางท่าน (โดยเฉพาะ M. Hochster) พิจารณาโทโพโลยีบนสเปกตรัมจำนวนเฉพาะอื่น ๆ นอกเหนือจากโทโพโลยีของ Zariski

ประการแรก มีแนวคิดเรื่องโทโพโลยีที่สร้างได้ : เมื่อกำหนดริงAแล้ว เซตย่อยของ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ของแบบฟอร์ม${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$สอดคล้องกับสัจพจน์สำหรับเซตปิดในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทอพอโลยีนี้บน${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$เรียกว่าโทโพโลยีที่สร้างได้^{[ 15 ] [ 16 ]}

ในHochster (1969) Hochster พิจารณาสิ่งที่เขาเรียกว่าโทโพโลยีแพทช์บนสเปกตรัมจำนวนเฉพาะ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ตามคำจำกัดความ โทโพโลยีแพทช์คือโทโพโลยีที่เล็กที่สุดซึ่งเซตของฟอร์ม${\displaystyle V(I)}$และ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$ปิดทำการแล้ว

มีเวอร์ชันสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเตอร์อยู่${\displaystyle \operatorname {Spec} }$เรียกว่าทั่วโลก${\displaystyle \operatorname {Spec} }$หรือญาติ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$. ถ้า${\displaystyle S}$เป็นแผนการ ดังนั้นจึงสัมพันธ์กัน${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$หรือ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$. ถ้า${\displaystyle S}$หากพิจารณาจากบริบทแล้ว Spec ที่เกี่ยวข้องอาจแสดงได้ด้วย${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$หรือ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$สำหรับโครงการหนึ่ง${\displaystyle S}$และกลุ่มของข้อมูลที่มีความสอดคล้องกันในระดับหนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-พีชคณิต${\displaystyle {\mathcal {A}}}$มีแผนการอยู่${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$โดยที่สำหรับทุกแอฟฟินแบบเปิด${\displaystyle U\subseteq S}$มีการสมมาตรกัน${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$และด้วยเหตุนี้สำหรับแอฟฟินแบบเปิด${\displaystyle V\subseteq U}$การรวม${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$เกิดจากการกำหนดแผนที่การจำกัด${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$กล่าวคือ เช่นเดียวกับที่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่สเปกตรัมที่ตรงกันข้าม แผนที่การจำกัดของชีฟของพีชคณิตก็เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่การรวมของสเปกตรัมที่ประกอบขึ้นเป็นSpecของชีฟนั้น

Global Spec มีคุณสมบัติสากลคล้ายกับคุณสมบัติสากลของ Spec ทั่วไป กล่าวคือ เช่นเดียวกับที่ Spec และฟังก์ชันส่วนตัดทั่วโลกเป็นตัวผกผันขวาแบบคอนทราแวเรียนต์ระหว่างหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่และสกีม Global Spec และฟังก์ชันภาพโดยตรงสำหรับแผนที่โครงสร้างก็เป็นตัวผกผันขวาแบบคอนทราแวเรียนต์ระหว่างหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่เช่นกัน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-พีชคณิตและโครงร่างเหนือ${\displaystyle S}$ใน สูตรต่างๆ

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

ที่ไหน${\displaystyle \pi \colon X\to S}$เป็นมอร์ฟิซึมของแผนผัง

จากมุมมองของทฤษฎีการแทนค่าไอเดียลเฉพาะIสอดคล้องกับโมดูลR / Iและสเปกตรัมของริงสอดคล้องกับ การแทนค่าแบบวัฏจักร ที่ไม่สามารถ ลด ทอนได้ของRในขณะที่ซับวาไรตีทั่วไปสอดคล้องกับการแทนค่าที่อาจลดทอนได้ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นแบบวัฏจักร โปรดจำไว้ว่าในเชิงนามธรรม ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มคือการศึกษาโมดูลเหนือพีชคณิตของกลุ่มนั้น

ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีการแทนจะชัดเจนยิ่งขึ้นหากพิจารณาถึงวงแหวนพหุนาม${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$หรือ โดยไม่มีหลักฐานรองรับ${\displaystyle R=K[V].}$ดังที่สูตรหลังแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน วงแหวนพหุนามคือพีชคณิตโมโนอิดเหนือปริภูมิเวกเตอร์และการเขียนในรูปของ${\displaystyle x_{i}}$สอดคล้องกับการเลือกฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ จากนั้นไอเดียลIหรือเทียบเท่ากับโมดูล${\displaystyle R/I,}$เป็นการแสดงแทนแบบวัฏจักรของR ( วัฏจักรหมายถึงสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ 1 ตัวเป็น โมดูล Rซึ่งเป็นการขยายการแสดงแทนแบบ 1 มิติ)

ในกรณีที่ฟิลด์เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (เช่น จำนวนเชิงซ้อน) ไอเดียลสูงสุดทุกตัวจะสอดคล้องกับจุดในปริภูมิn มิติ โดยอาศัย ทฤษฎีบท Nullstellensatz (ไอเดียลสูงสุดที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$สอดคล้องกับจุด${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$) ตัวแทนเหล่านี้ของ${\displaystyle K[V]}$จากนั้นจึงกำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิคู่${\displaystyle V^{*},}$โคเวกเตอร์ที่ได้รับจากการส่งแต่ละครั้ง${\displaystyle x_{i}}$ไปยังสิ่งที่สอดคล้องกัน${\displaystyle a_{i}}$ดังนั้นจึงเป็นการแสดงถึง${\displaystyle K^{n}}$( แผนที่เชิงเส้นK)${\displaystyle K^{n}\to K}$) กำหนดโดยเซตของ ตัวเลข nตัว หรือเทียบเท่ากับโคเวกเตอร์${\displaystyle K^{n}\to K.}$

ดังนั้น จุดใน ปริภูมิ nมิติ ซึ่งคิดว่าเป็นค่าสูงสุดของ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$สอดคล้องอย่างแม่นยำกับการแสดงแทนแบบ 1 มิติของRในขณะที่เซตของจุดที่มีขอบเขตจำกัดสอดคล้องกับการแสดงแทนแบบมิติจำกัด (ซึ่งสามารถลดทอนได้ โดยสอดคล้องทางเรขาคณิตกับการเป็นยูเนียน และทางพีชคณิตกับการไม่เป็นอุดมคติเฉพาะ) ส่วนอุดมคติที่ไม่ใช่ค่าสูงสุดนั้นสอดคล้องกับการแสดงแทนแบบมิติอนันต์

คำว่า "สเปกตรัม" มาจากการใช้งานในทฤษฎีตัวดำเนินการเมื่อกำหนด ตัวดำเนินการ เชิงเส้นTบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVเราสามารถพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ที่มีตัวดำเนินการนั้นเป็นโมดูลเหนือวงแหวนพหุนามตัวแปรเดียวR = K [ T ] ดังเช่นในทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักดังนั้น สเปกตรัมของK [ T ] (ในฐานะวงแหวน) จะเท่ากับสเปกตรัมของT (ในฐานะตัวดำเนินการ)

นอกจากนี้ โครงสร้างทางเรขาคณิตของสเปกตรัมของริง (หรือเทียบเท่ากับโครงสร้างทางพีชคณิตของโมดูล) แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมของสเปกตรัมของตัวดำเนินการ เช่น ความหลากหลายทางพีชคณิตและความหลากหลายทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ 2×2 จะมีโมดูลที่สอดคล้องกันดังนี้:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

เมทริกซ์ศูนย์ 2×2 มีโมดูลัส

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

แสดงให้เห็นถึงความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิต 2 สำหรับค่าลักษณะ เฉพาะศูนย์ ในขณะที่เมทริกซ์นิลโพเทนต์ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์จะมีโมดูล

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

แสดงค่าความซ้ำเชิงพีชคณิต 2 แต่ค่าความซ้ำเชิงเรขาคณิต 1

รายละเอียดเพิ่มเติม:

• ค่าลักษณะเฉพาะ (ที่มีความซ้ำเชิงเรขาคณิต) ของตัวดำเนินการจะสอดคล้องกับจุด (ที่ลดรูปแล้ว) ของวาไรตี้ โดยมีความซ้ำ
• การแยกส่วนหลักของโมดูลสอดคล้องกับจุดที่ยังไม่ลดทอนของความหลากหลาย
• ตัวดำเนินการที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ (กึ่งง่าย) สอดคล้องกับวาไรตี้ที่ลดรูปแล้ว
• โมดูลแบบวัฏจักร (ตัวสร้างหนึ่งตัว) สอดคล้องกับตัวดำเนินการที่มีเวกเตอร์แบบวัฏจักร (เวกเตอร์ที่มีวงโคจรภายใต้Tครอบคลุมพื้นที่)
• ตัวประกอบไม่เปลี่ยนแปลงตัวสุดท้ายของโมดูลเท่ากับพหุนามขั้นต่ำของตัวดำเนินการ และผลคูณของตัวประกอบไม่เปลี่ยนแปลงเท่ากับพหุนามลักษณะเฉพาะ

สเปกตรัมยังสามารถนำมาพิจารณาสำหรับพีชคณิต C*ในทฤษฎีตัวดำเนินการได้เช่นกัน ซึ่งก่อให้เกิดแนวคิดของสเปกตรัมของพีชคณิต C*โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ${\displaystyle X}$วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง (ค่าเชิงซ้อน)${\displaystyle C(X)}$เป็นพีชคณิต C*-สลับที่เอกลักษณ์โดยที่ปริภูมิถูกกู้คืนเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีจาก${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} C(X)}$ที่จริงแล้ว ในเชิงฟังก์ชันก็เป็นเช่นนั้น นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทบานาค-สโตนอันที่จริง พีชคณิต C*-สลับที่ที่มีเอกลักษณ์ใดๆ ก็สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปของวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับในลักษณะนี้ ซึ่งให้ความสัมพันธ์แบบเดียวกันกับระหว่างวงแหวนและสเปกตรัมของมัน การขยายไปสู่พีชคณิต C*- ที่ไม่ สลับที่กันจะให้ โทโพโลยีที่ไม่สลับที่กัน

• แผนการ (คณิตศาสตร์)
• แผนผังการฉายภาพ
• สเปกตรัมของเมทริกซ์
• ทฤษฎีบทของแซร์เกี่ยวกับความเป็นเชิงเส้น
• สเปกตรัมเอตาล
• สเปกตรัมของซีเกลอร์
• สเปกตรัมดั้งเดิม
• ความเป็นสองด้านของหิน