ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตตัวหารเป็นการขยายความทั่วไปของ ซับวาไรตีที่ มีมิติร่วม -1 ของวาไรตีเชิงพีชคณิต มีการขยายความทั่วไปสองแบบที่ใช้กันทั่วไป คือ ตัวหารของคาร์เทียร์และตัวหารของไวล์ (ตั้งชื่อตามปิแอร์ คาร์เทียร์และอองเดร ไวล์โดยเดวิด มัมฟอร์ด ) ทั้งสองแบบได้มาจากแนวคิดเรื่องการหารลงตัวในจำนวนเต็มและฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิต

ในระดับโลก สับวาไรตีที่มีมิติร่วม 1 ทุกตัวของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟถูกกำหนดโดยการหายไปของพหุนามเอกพันธุ์ตัว ใดตัวหนึ่ง ใน ทางตรงกันข้าม สับวาไรตีที่มีมิติร่วมrไม่จำเป็นต้องถูกกำหนดโดยสมการเพียงrสมการเมื่อrมากกว่า 1 (นั่นคือ ไม่ใช่ทุกสับวาไรตีของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจะเป็นการตัดกันอย่างสมบูรณ์ ) ในระดับท้องถิ่น สับวาไรตีที่มีมิติร่วม 1 ทุกตัวของวาไรตีเรียบสามารถถูกกำหนดโดยสมการเดียวในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุด อีกครั้ง ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่ได้กับสับวาไรตีที่มีมิติร่วมสูงกว่า ด้วยเหตุผลนี้ เรขาคณิตเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จึงศึกษาวาไรตีใดๆ โดยการวิเคราะห์สับวาไรตีที่มีมิติร่วม 1 และบันเดิลเส้น ที่สอดคล้อง กัน

ในวาไรตี้เอกลักษณ์ คุณสมบัตินี้ก็อาจล้มเหลวได้เช่นกัน ดังนั้นจึงต้องแยกแยะระหว่างวาไรตี้ย่อยที่มีมิติร่วม 1 กับวาไรตี้ที่สามารถกำหนดได้ในระดับท้องถิ่นด้วยสมการเดียว วาไรตี้ย่อยที่มีมิติร่วม 1 เรียกว่าตัวหารของ Weil ในขณะที่วาไรตี้ย่อยที่มีมิติร่วม 1 เรียกว่าตัวหารของ Cartier

ในทางทอพอโลยี ตัวหารของ Weil สอดคล้องกับ วัฏจักร โฮโมโลยีในขณะที่ตัวหารของ Cartier สอดคล้องกับ ชั้น โคโฮโมโลยีที่กำหนดโดยบันเดิลเส้นตรง บนวาไรตีเรียบ (หรือโดยทั่วไปคือสกีมปกติ ) ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทคู่ของ Poincaréกล่าวว่าตัวหารของ Weil และ Cartier นั้นเหมือนกัน

ชื่อ "ตัวหาร" ย้อนกลับไปถึงงานของDedekindและWeberซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเกี่ยวข้องของโดเมน Dedekindในการศึกษา เส้น โค้งพีชคณิต^{[ 1 ]}กลุ่มตัวหารบนเส้นโค้ง ( กลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดยตัวหารทั้งหมด) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกลุ่มอุดมคติเศษส่วนสำหรับโดเมน Dedekind

วัฏจักรพีชคณิตคือการขยายมิติร่วมที่สูงขึ้นของตัวหาร โดยนิยามแล้ว ตัวหารไวล์คือวัฏจักรที่มีมิติร่วมเท่ากับ 1

พื้นผิวรีมันน์เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน 1 มิติดังนั้นแมนิโฟลด์ย่อยที่มีโคไดเมนชัน 1 จึงมีมิติเป็น 0 กลุ่มตัวหารบนพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับX คือกลุ่มอาเบ เลียนอิสระบนจุดต่างๆ ของX

ในทำนองเดียวกัน ตัวหารบนพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับXคือผลรวมเชิงเส้น จำกัด ของจุดบนXที่มีสัมประสิทธิ์ เป็น จำนวนเต็มดีกรีของตัวหารบนXคือผลรวมของสัมประสิทธิ์เหล่านั้น

สำหรับฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก ที่ไม่เป็นศูนย์ f ใดๆ บนXเราสามารถกำหนดลำดับการหายไปของfที่จุดpในX ได้คือ ord ( f ) ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นลบหากfมีขั้วที่pตัวหารของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่เป็นศูนย์fบนพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับXถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

ซึ่งเป็นผลรวมจำกัด ตัวหารในรูปแบบ ( f ) เรียกอีกอย่างว่าตัวหารหลักเนื่องจาก ( fg ) = ( f ) + ( g ) เซตของตัวหารหลักจึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มตัวหาร ตัวหารสองตัวที่แตกต่างกันด้วยตัวหารหลักเรียกว่าสมมูลเชิงเส้น

บนพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด ดีกรีของตัวหารหลักคือศูนย์ กล่าวคือ จำนวนศูนย์ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกเท่ากับจำนวนขั้ว โดยนับรวมความซ้ำซ้อนด้วย ดังนั้น ดีกรีจึงถูกกำหนดไว้อย่างดีบนชั้นสมมูลเชิงเส้นของตัวหาร

เมื่อกำหนดตัวหารDบนพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับXแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ เชิงซ้อน ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนXที่มีขั้วไม่เกินที่กำหนดโดยDซึ่งเรียกว่าH ⁰ ( X , O ( D )) หรือปริภูมิของส่วนตัดของบันเดิลเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับDดีกรีของDบอกอะไรมากมายเกี่ยวกับมิติของปริภูมิเวกเตอร์นี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าDมีดีกรีเป็นลบ ปริภูมิเวกเตอร์นี้จะเป็นศูนย์ (เพราะฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกไม่สามารถมีศูนย์มากกว่าขั้วได้) ถ้าDมีดีกรีเป็นบวก มิติของH ⁰ ( X , O ( mD )) จะเพิ่มขึ้นเชิงเส้นตามmสำหรับmที่มีค่ามากพอทฤษฎีบทรีมันน์-รอชเป็นข้อความที่แม่นยำกว่าในแนวทางนี้ ในทางกลับกัน มิติที่แม่นยำของH ⁰ ( X , O ( D )) สำหรับตัวหารDที่มีดีกรีต่ำนั้นซับซ้อน และไม่ได้ถูกกำหนดโดยดีกรีของD อย่างสมบูรณ์ คุณลักษณะที่โดดเด่นของพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับสะท้อนให้เห็นในมิติเหล่านี้

ตัวหารสำคัญตัวหนึ่งบนพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดคือตัวหารเชิงแคนอนิกในการกำหนดตัวหารเชิงแคนอนิกนั้น เราต้องกำหนดตัวหารของเมโรเมอร์ฟิก1-ฟอร์ม ที่ไม่เป็นศูนย์ก่อน ตามแนวทางข้างต้น เนื่องจากปริภูมิของเมโรเมอร์ฟิก 1-ฟอร์มเป็นปริภูมิเวกเตอร์ 1 มิติเหนือฟิลด์ ของฟังก์ชัน เมโรเมอร์ฟิก เมโรเมอร์ฟิก 1-ฟอร์มที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวใดๆ จึงให้ตัวหารที่สมมูลกันเชิงเส้น ตัวหารใดๆ ในชั้นสมมูล เชิงเส้นนี้ เรียกว่าตัวหารเชิงแคนอนิกของX , K จีนัสgของXสามารถอ่านได้จากตัวหารเชิงแคนอนิก กล่าวคือK มีดีกรี 2 g − 2 การแบ่งสามประเภทที่สำคัญในพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดXคือ ตัวหารเชิงแคนอนิกมีดีกรีเป็นลบ (ดังนั้นXมีจีนัสเป็นศูนย์) ดีกรีเป็นศูนย์ (จีนัสเป็นหนึ่ง) หรือดีกรีเป็นบวก (จีนัสอย่างน้อย 2) ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้จะกำหนดว่าXมีเมตริกคาห์เลอร์ที่มีความโค้ง เป็นบวก ความโค้งเป็นศูนย์ หรือความโค้งเป็นลบ ตัวหารแคนอนิกจะมีดีกรีเป็นลบก็ต่อเมื่อXเป็นไอโซมอร์ฟิกกับทรงกลมรีมันน์CP ¹เท่านั้น

ให้Xเป็น สกีมโนเธอร์เรียน เฉพาะที่แบบอินทิกรัล ตัวหารเฉพาะหรือตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนXคือสกีมย่อยปิดแบบอิน ทิกรัล Zที่มีมิติร่วม 1 ในXตัวหารไวล์บนXคือผลรวมเชิงรูปธรรมเหนือตัวหารเฉพาะZของX

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

ที่ซึ่งคอลเลกชัน${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$มีค่าจำกัดเฉพาะที่หากXเป็นกึ่งคอมแพ็กต์ (เช่น โนเธอร์เรียน) ค่าจำกัดเฉพาะที่นั้นเทียบเท่ากับ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$เนื่องจากเป็นกลุ่มจำกัด กลุ่มของตัวหาร Weil ทั้งหมดจึงใช้สัญลักษณ์Div( X ) แทน ตัวหาร Weil Dจะมีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เป็นลบ เราจะเขียนว่าD ≥ D′ถ้าผลต่างD − D′มีประสิทธิภาพ

ตัวอย่างเช่น ตัวหารบนเส้นโค้งพีชคณิตเหนือฟิลด์ คือผลรวมเชิงรูปธรรมของจุดปิด จำนวนจำกัด ตัวหารบนSpec Zคือผลรวมเชิงรูปธรรมของจำนวนเฉพาะที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดังนั้นจึงสอดคล้องกับอุดมคติเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ในQลักษณะที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับตัวหารบน${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$โดยที่Kคือฟิลด์ตัวเลข

ถ้าZ ⊂ Xเป็นตัวหารเฉพาะ แล้ววงแหวนเฉพาะที่${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{X,Z}}$Krullมี มิติ ที่หนึ่ง ถ้า${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ถ้า f ไม่เป็นศูนย์ลำดับการหายไปของfตามZซึ่งเขียนว่าord ( f )คือความยาวของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{X,Z}/(f)}$ความยาวนี้มีค่าจำกัด^{[ 2 ]}และเป็นแบบบวกเมื่อเทียบกับการคูณ นั่นคือord ( fg ) = ord ( f ) + ord ( g ) ^{[ 3 ]}ถ้าk ( X ) เป็นฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะบนX แล้ว f ∈ k ( X )ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์สามารถเขียนเป็นผลหารg / hได้โดยที่gและhอยู่ใน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{X,Z},}$และลำดับการหายไปของ^fถูกกำหนดให้เป็นord ( g ) − ord ( h ) ^{[ 4} ] ด้วยคำจำกัดความนี้ ลำดับการหายไปเป็นฟังก์ชันord   : k ( X ) ^× → Zถ้าXเป็นปกติวงแหวนท้องถิ่น${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{X,Z}}$Z คือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชันord คือการประเมินค่าที่สอดคล้องกัน สำหรับฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์fบนXตัวหาร Weil หลักที่เกี่ยวข้องกับfถูกกำหนดให้เป็นตัวหาร Weil

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

สามารถแสดงได้ว่าผลรวมนี้มีค่าจำกัดเฉพาะที่ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถนิยามตัวหาร Weil ได้อย่างแท้จริง ตัวหาร Weil หลักที่เกี่ยวข้องกับfยังเขียนแทนด้วย( f )หากfเป็นฟังก์ชันปกติ ตัวหาร Weil หลักของมันจะมีผล แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น คุณสมบัติการบวกของลำดับของฟังก์ชันที่หายไปบ่งชี้ว่า

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

ดังนั้นdivจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาพของมันเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มตัวหาร Weil ทั้งหมด

ให้Xเป็นแผนผังโนเธอร์เรียนเชิงอินทิกรัลปกติ ตัวหารเวลทุกตัวDกำหนดชีฟที่สอดคล้องกัน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$บนXโดยเฉพาะอย่างยิ่ง อาจนิยามได้ว่าเป็นชีฟย่อยของชีฟฟังก์ชันตรรกยะ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ หรือ }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ บน }}U\}.}$

นั่นคือ ฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์fเป็นส่วนหนึ่งของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$บนU ก็ต่อเมื่อสำหรับตัวหารเฉพาะZ ใดๆ ที่ตัดกับU

${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

โดยที่n คือสัมประสิทธิ์ของZในDถ้าDเป็นตัวหารหลัก ดังนั้นDจึงเป็นตัวหารของฟังก์ชันตรรกยะgแล้วจะมีไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

เนื่องจาก${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$เป็นตัวหารที่มีประสิทธิภาพ ดังนั้น${\displaystyle fg}$เป็นไปตามปกติเนื่องจากX เป็นแบบปกติ ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ในฐานะ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูล ดังนั้นD จึง เป็นโมดูลหลัก ดังนั้นDจะเป็นโมดูลหลักในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$สามารถผกผันได้ นั่นคือ เป็นมัดเส้นตรง

ถ้าDเป็นตัวหารที่มีประสิทธิภาพซึ่งสอดคล้องกับสับสกีมของX (ตัวอย่างเช่นDอาจเป็นตัวหารลดรูปหรือตัวหารเฉพาะ) แล้วชีฟอุดมคติของสับสกีมDจะเท่ากับ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$ซึ่งนำไปสู่ลำดับสั้นๆที่ ใช้กันบ่อยๆ

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

โคฮอโมโลยีชีฟของลำดับนี้แสดงให้เห็นว่า${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับว่าฟังก์ชันปกติบนDเป็นข้อจำกัดของฟังก์ชันปกติบนX หรือ ไม่

นอกจากนี้ยังมีการรวมมัดฟางเข้าไปด้วย

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

สิ่งนี้เป็นองค์ประกอบมาตรฐานของ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$กล่าวคือ ภาพของส่วนตัดทั่วโลก 1 ส่วนนี้เรียกว่าส่วนตัดมาตรฐานและอาจใช้สัญลักษณ์s แทน ได้ ในขณะที่ส่วนตัดมาตรฐานเป็นภาพของฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย ภาพของมันใน${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$หายไปตามDเนื่องจากฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านหายไปตามDเมื่อDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่เรียบ โคเคอร์เนลของการรวมข้างต้นสามารถระบุได้ ดู#ตัวหารคาร์เทียร์ด้านล่าง

สมมติว่าXเป็นแผนผังแยกส่วน เชิงอินทิกรัลปกติ ที่มีชนิดจำกัดเหนือฟิลด์หนึ่ง ให้Dเป็นตัวหาร Weil แล้ว${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$เป็น ชีฟสะท้อนกลับลำดับที่หนึ่งและเนื่องจาก${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ถูกกำหนดให้เป็นซับชีฟของ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$มันคือชีฟอุดมคติเศษส่วน (ดูด้านล่าง) ในทางกลับกัน ชีฟสะท้อนกลับอันดับหนึ่งทุกตัวจะสอดคล้องกับตัวหารไวล์: ชีฟสามารถถูกจำกัดให้อยู่ในโลคัสปกติ ซึ่งมันจะกลายเป็นชีฟอิสระและสอดคล้องกับตัวหารคาร์เทียร์ (อีกครั้ง ดูด้านล่าง) และเนื่องจากโลคัสเอกฐานมีมิติร่วมอย่างน้อยสอง การปิดของตัวหารคาร์เทียร์จึงเป็นตัวหารไวล์

กลุ่มตัวหารไวล์ Cl( X ) คือผลหารของ Div( X ) โดยกลุ่มย่อยของตัวหารไวล์หลักทั้งหมด ตัวหารสองตัวจะถือว่าสมมูลกันเชิงเส้นถ้าผลต่างของตัวหารทั้งสองเป็นตัวหารหลัก ดังนั้นกลุ่มตัวหารจึงเป็นกลุ่มของตัวหารโมดูลัสความสมมูลเชิงเส้น สำหรับวาไรตี้Xที่มีมิติnเหนือฟิลด์ กลุ่มตัวหารคือกลุ่มโชว์กล่าวคือ Cl( X ) คือกลุ่มโชว์ CH ( X ) ของวัฏจักรที่มีมิติ ( n −1)

ให้Zเป็นเซตย่อยปิดของXถ้าZไม่สามารถลดทอนได้โดยมีมิติร่วมหนึ่ง แล้ว Cl( X − Z ) จะสมสัณฐานกับกลุ่มผลหารของ Cl( X ) โดยคลาสของZถ้าZมีมิติร่วมอย่างน้อย 2 ในXแล้ว การจำกัด Cl( X ) → Cl( X − Z ) จะเป็นสมสัณฐาน^{[ 6 ]} (ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของลำดับโลคัลไลเซชันสำหรับกลุ่ม Chow)

บนแผนผัง Noetherian เชิงปริพันธ์ปกติXตัวหาร Weil สองตัวDและEจะสมมูลกันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$และ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$มีโครงสร้างเหมือนกัน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูล คลาสไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟสะท้อนบนXก่อให้เกิดโมโนอิดที่มีผลคูณที่กำหนดเป็นเปลือกสะท้อนของผลคูณเทนเซอร์ จากนั้น${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$กำหนดไอโซมอร์ฟิซึมของโมโนอิดจากกลุ่มชั้นตัวหาร Weil ของXไปยังโมโนอิดของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟสะท้อนอันดับหนึ่งบนX

ให้Xเป็นโครงร่าง Noetherian เชิงปริพันธ์ แล้วXจะมีชีฟของฟังก์ชันตรรกยะ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ฟังก์ชันปกติทั้งหมดเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งนำไปสู่ลำดับที่แน่นอนและสั้น

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

ตัวหารของคาร์เทียร์บนXคือส่วนแบ่งทั่วโลกของ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$คำอธิบายที่เทียบเท่ากันก็คือ ตัวหารของ Cartier คือคอลเลกชัน${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ที่ไหน${\displaystyle \{U_{i}\}}$เป็นฝาครอบแบบเปิดของ${\displaystyle X,f_{i}}$เป็นส่วนหนึ่งของ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$บน${\displaystyle U_{i},}$และ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$บน${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$จนถึงการคูณด้วยส่วนหนึ่งของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

ตัวหารของคาร์เทียร์ยังมีคำอธิบายเชิงทฤษฎีชีฟด้วย ชีฟอุดมคติเศษส่วนคือชีฟย่อย${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลของ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ชีฟไอเดียลเศษส่วนJสามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละxในXจะมีย่านเปิดUของxซึ่งการจำกัดของJบนUเท่ากับ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ที่ไหน${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$และผลิตภัณฑ์นั้นถูกนำเข้าไป${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ตัวหารคาร์เทียร์แต่ละตัวกำหนดชีฟอุดมคติเศษส่วนที่ผกผันได้ โดยใช้คำอธิบายของตัวหารคาร์เทียร์ในฐานะคอลเลกชัน${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$และในทางกลับกัน ชีฟอุดมคติเศษส่วนที่ผกผันได้จะกำหนดตัวหารคาร์เทียร์ หากตัวหารคาร์เทียร์ถูกกำหนดให้เป็นDแล้ว ชีฟอุดมคติเศษส่วนที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$หรือL ( D )

ตามลำดับที่แน่นอนข้างต้น จะได้ลำดับที่แน่นอนของกลุ่มโคฮอโมโลยีชีฟ :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

ตัวหารคาร์เทียร์จะถือว่าเป็นตัวหารหลัก ก็ต่อ เมื่อมันอยู่ในรูปของโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$นั่นคือ ถ้าเป็นตัวหารของฟังก์ชันตรรกยะบนXตัวหารคาร์เทียร์สองตัวจะสมมูลกันเชิงเส้นถ้าผลต่างของพวกมันเป็นผลหลัก บันเดิลเส้นL ทุกตัว บนแผนผังโนเธอร์เรียนแบบอินทิกรัลXคือคลาสของตัวหารคาร์เทียร์บางตัว ผลที่ได้คือ ลำดับที่แน่นอนข้างต้นระบุกลุ่ม Picardของบันเดิลเส้นบนแผนผังโนเธอร์เรียนแบบอินทิกรัลXกับกลุ่มของตัวหารคาร์เทียร์โมดูลัสความสมมูลเชิงเส้น สิ่งนี้เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับแผนผังโนเธอร์เรียนแบบลดรูป หรือสำหรับแผนผังกึ่งโปรเจคทีฟเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียน^{[ 12 ]}แต่มันอาจล้มเหลวโดยทั่วไป (แม้แต่สำหรับแผนผังที่เหมาะสมเหนือC ) ซึ่งลดความน่าสนใจของตัวหารคาร์เทียร์ในความทั่วไปทั้งหมด^{[ 13 ]}

สมมติว่าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ จากนั้นจะมีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

ลำดับนี้ได้มาจากลำดับที่แน่นอนแบบสั้นที่เชื่อมโยงชีฟโครงสร้างของXและDและชีฟอุดมคติของDเนื่องจากDเป็นตัวหารคาร์เทียร์${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$เป็นอิสระในระดับท้องถิ่น และด้วยเหตุนี้จึงทำการเทนเซอร์ลำดับนั้นโดย${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$จะได้ลำดับที่แน่นอนสั้นๆ อีกชุดหนึ่ง คือชุดข้างต้น เมื่อDเป็นพื้นผิวเรียบ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(D)}$คือกลุ่มปกติของDในX

ผลลัพธ์พื้นฐานของตัวหารคาร์เทียร์ (ขนาดใหญ่) คือผลลัพธ์ที่เรียกว่าทฤษฎีบทของโคไดระ: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ และให้Dเป็นตัวหารคาร์เทียร์ขนาดใหญ่บนXและให้Hเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพใดๆ บนXแล้ว

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

สำหรับขนาดใหญ่พอสมควรทั้งหมด${\displaystyle m\in N(X,D)}$.

ทฤษฎีบทของโคไดระให้ผลลัพธ์บางประการเกี่ยวกับตัวหารใหญ่

ให้φ  : X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของสกีมโนเธอร์เรียนเฉพาะที่แบบอินทิกรัล บ่อยครั้งที่สามารถใช้ φ ในการถ่ายโอนตัวหารDจากสกีมหนึ่งไปยังอีกสกีมหนึ่งได้ แต่ก็ไม่ใช่เสมอไป ความเป็นไปได้นั้นขึ้นอยู่กับว่าตัวหารนั้นเป็นตัวหารแบบ Weil หรือ Cartier ตัวหารนั้นจะถูกย้ายจากXไปYหรือในทางกลับกัน และ φ อาจมีคุณสมบัติเพิ่มเติมอะไรบ้าง

ถ้าZเป็นตัวหาร Weil เฉพาะบนXแล้ว${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$เป็นสับสกีมปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้ของYขึ้นอยู่กับ φ มันอาจจะเป็นหรือไม่เป็นตัวหาร Weil ที่เป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า φ คือการระเบิดของจุดในระนาบและZคือตัวหารพิเศษ ภาพของมันจะไม่ใช่ตัวหาร Weil ดังนั้น φ Zจึงถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$ถ้าสับสคีมนั้นเป็นตัวหารเฉพาะ และถูกกำหนดให้เป็นตัวหารศูนย์ในกรณีอื่น การขยายสิ่งนี้ด้วยความเป็นเชิงเส้น จะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมDiv( X ) → Div( Y )ที่เรียกว่าพุชฟอร์เวิร์ด โดยสมมติว่า X เป็นกลุ่มกึ่งกระชับ (quasi-compact) (ถ้าXไม่ใช่กลุ่มกึ่งกระชับ พุชฟอร์เวิร์ดอาจไม่ใช่ผลรวมจำกัดเฉพาะที่) นี่เป็นกรณีพิเศษของพุชฟอร์เวิร์ดบนกลุ่มชอว์ (Chow groups)

ถ้าZเป็นตัวหารของคาร์เทียร์แล้ว ภายใต้สมมติฐานที่ไม่เข้มงวดเกี่ยวกับ φ จะมีการดึงกลับ${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$ตามทฤษฎีชีฟ เมื่อมีการแมปแบบพูลแบ็ก${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$จากนั้นสามารถใช้พูลแบ็คนี้เพื่อกำหนดพูลแบ็คของตัวหารคาร์เทียร์ได้ ในแง่ของส่วนตัดเฉพาะที่ พูลแบ็คของ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$พูลแบ็กจะถูกกำหนดได้เสมอหาก φ เป็นค่าเด่น แต่ไม่สามารถกำหนดได้โดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น ถ้าX = Zและ φ คือการรวมZเข้าไปในYแล้ว φ ^* Zจะไม่สามารถกำหนดได้ เนื่องจากส่วนตัดเฉพาะที่ที่สอดคล้องกันจะมีค่าเป็นศูนย์ทุกที่ (อย่างไรก็ตาม พูลแบ็กของกลุ่มเส้นที่สอดคล้องกันนั้นสามารถกำหนดได้)

ถ้า φ แบนราบ การดึงกลับของตัวหาร Weil จะถูกกำหนด ในกรณีนี้ การดึงกลับของZคือφ ^* Z = φ ^{− 1} ( Z )ความแบนราบของ φ ทำให้มั่นใจได้ว่าภาพผกผันของZ ยังคงมีมิติร่วม หนึ่งซึ่งอาจไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับมอร์ฟิซึมที่ไม่แบนราบ เช่น สำหรับการหดตัวขนาดเล็ก

สำหรับโครงร่าง Noetherian เชิงปริพันธ์Xโฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจากกลุ่มตัวหาร Cartier ไปยังกลุ่มตัวหาร Weil จะให้โฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

รู้จักกันใน ชื่อชั้น Chernแรก^{[ 17 ] [ 18 ]}ชั้น Chern แรกเป็นอินเจกทีฟถ้าXเป็นปกติ และจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมถ้าXเป็นแฟกทอเรียล (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวหาร Cartier สามารถระบุได้ด้วยตัวหาร Weil บนแผนผังปกติใดๆ ดังนั้นชั้น Chern แรกจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับXปกติ

กล่าวโดยชัดแจ้ง ชั้นเชิร์นแรกสามารถกำหนดได้ดังนี้ สำหรับบันเดิลเส้นตรงLบนโครงร่างโนเธอร์เรียนเชิงอินทิกรัล Xให้sเป็นส่วนตัดเชิงตรรกะที่ไม่เป็นศูนย์ของL (นั่นคือ ส่วนตัดบนเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของL ) ซึ่งมีอยู่โดยความไม่สำคัญเฉพาะที่ของLกำหนดตัวหารไวล์ ( s ) บนXโดยเปรียบเทียบกับตัวหารของฟังก์ชันเชิงตรรกะ จากนั้นชั้นเชิร์นแรกของLสามารถกำหนดให้เป็นตัวหาร ( s ) การเปลี่ยนส่วนตัดเชิงตรรกะsจะเปลี่ยนตัวหารนี้โดยสมมูลเชิงเส้น เนื่องจาก ( fs ) = ( f ) + ( s ) สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกะที่ไม่เป็นศูนย์fและส่วนตัดเชิงตรรกะที่ไม่เป็นศูนย์sของLดังนั้นองค์ประกอบc ( L ) ใน Cl( X ) จึงถูกกำหนดไว้อย่างดี

สำหรับวาไรตี้เชิงซ้อนXที่มีมิติn ซึ่ง ไม่จำเป็นต้องเรียบหรือเหมาะสมเหนือCจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ คือแผนที่วัฏจักรจากกลุ่มชั้นตัวหารไปยังโฮโมโลยีบอเรล-มัวร์ :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

กลุ่มหลังนี้ถูกกำหนดโดยใช้ปริภูมิX ( C ) ของจุดเชิงซ้อนของXพร้อมด้วยโทโพโลยีแบบคลาสสิก (ยุคลิด) ในทำนองเดียวกัน กลุ่ม Picard จะแมปไปยังโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์โดยชั้น Chern แรกในความหมายทางโทโพโลยี:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

โฮโมมอร์ฟิซึมทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยแผนภาพการสลับที่ โดยที่แผนที่แนวตั้งด้านขวาเป็นผลคูณแคปกับคลาสพื้นฐานของXในโฮโมโลยีโบเรล-มัวร์:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

สำหรับXที่เรียบบนCแผนที่แนวตั้งทั้งสองเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ตัวหารคาร์เทียร์จะมีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อฟังก์ชันกำหนดเฉพาะที่f เป็นฟังก์ชันปกติ (ไม่ใช่แค่ฟังก์ชันตรรกยะ) ในกรณีนั้น ตัวหารคาร์เทียร์สามารถระบุได้ว่าเป็นสับสกีมปิดที่มีมิติร่วม 1 ในXซึ่งเป็นสับสกีมที่กำหนดเฉพาะที่โดยf = 0 ตัวหารคาร์เทียร์Dจะสมมูลเชิงเส้นกับตัวหารที่มีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อบันเดิลเส้นตรงที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ถ้าsมีส่วนทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่า Dเทียบเท่าเชิงเส้นกับตำแหน่งศูนย์ของs

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์kจากนั้นคูณด้วยส่วนตัดทั่วโลกของ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$การเปลี่ยนแปลงสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในkจะไม่ทำให้ตำแหน่งศูนย์ของมันเปลี่ยนแปลงไป ดังนั้น ปริภูมิเชิงฉายของเส้นใน ปริภูมิเวกเตอร์ kของส่วนตัดทั่วโลกH ⁰ ( X , O ( D )) สามารถระบุได้ว่าเป็นเซตของตัวหารที่มีประสิทธิภาพซึ่งเทียบเท่าเชิงเส้นกับDซึ่งเรียกว่าระบบเชิงเส้นที่สมบูรณ์ของDปริภูมิย่อยเชิงเส้นเชิงฉายของปริภูมิเชิงฉายนี้เรียกว่าระบบเชิงเส้นของตัวหาร

เหตุผลหนึ่งในการศึกษาพื้นที่ของส่วนตัดทั่วโลกของบันเดิลเส้นตรงคือเพื่อทำความเข้าใจแผนที่ที่เป็นไปได้จากวาไรตี้ที่กำหนดไปยังพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการจำแนกประเภทของวาไรตี้พีชคณิต กล่าวคือ มอร์ฟิซึมจากวาไรตี้Xไปยังพื้นที่เชิงโปรเจกที ฟ P ⁿเหนือฟิลด์kกำหนดบันเดิลเส้นตรงLบนXซึ่งเป็นพูลแบ็กของบันเดิลเส้นตรงมาตรฐาน${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$บนP ⁿยิ่งไปกว่านั้นLมาพร้อมกับ ส่วน n + 1 ส่วนที่มีตำแหน่งฐาน (จุดตัดของเซตศูนย์) ว่างเปล่า ในทางกลับกัน มัดเส้นL ใดๆ ที่มี ส่วนทั่วโลก n + 1 ส่วนที่มีตำแหน่งฐานร่วมกันว่างเปล่า จะกำหนดมอร์ฟิซึมX → P ^{n [ 19} ] ข้อสังเกตเหล่า ^นี้ นำไปสู่แนวคิดเรื่อง ความเป็นบวกหลายประการสำหรับตัวหารคาร์เทียร์ (หรือมัดเส้น) เช่นตัวหารแอมเพิลและตัวหารเนฟ^{[ 20 ]}

สำหรับตัวหารDบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟXเหนือฟิลด์kนั้นปริภูมิเวกเตอร์k มิติ H ⁰ ( X , O ( D )) มีมิติจำกัดทฤษฎีบท Riemann–Rochเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการคำนวณมิติของปริภูมิเวกเตอร์นี้เมื่อXเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ การวางนัยทั่วไปที่ต่อเนื่องกัน ได้แก่ ทฤษฎีบทHirzebruch–Riemann–Rochและทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับมิติของH ⁰ ( X , O ( D )) สำหรับวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟXที่มีมิติใดๆ เหนือฟิลด์

เนื่องจากตัวหารมาตรฐานมีความสัมพันธ์โดยตรงกับวาไรตี้ บทบาทสำคัญในการจำแนกวาไรตี้จึงตกอยู่กับแผนที่ไปยังปริภูมิเชิงฉายที่กำหนดโดยK และตัวคูณบวกของมันมิติโคไดระของXเป็นค่า คงที่ไบ ราชันแนล ที่สำคัญ ซึ่งวัดการเติบโตของปริภูมิเวกเตอร์H ⁰ ( X , mK ) (หมายถึงH ⁰ ( X , O ( mK ))) เมื่อm เพิ่มขึ้น มิติโคไดระแบ่งวาไรตี้ nมิติทั้งหมด ออกเป็น n + 2 คลาส ซึ่ง (อย่างคร่าวๆ) ไล่ระดับจากความโค้งบวกไปสู่ความโค้งลบ

ให้Xเป็นวาไรตี้ปกติ ตัวหาร Q (Weil) คือการรวมเชิงเส้นอย่างเป็นทางการแบบจำกัดของวาไรตี้ย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีมิติร่วมเท่ากับ 1 ของXโดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ (ตัว หาร Rถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน) ตัว หารQจะมีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ไม่เป็นลบ ตัว หาร Q DคือQ-Cartierถ้าmDเป็นตัวหาร Cartier สำหรับจำนวนเต็มบวกm บางตัว ถ้าXเป็นวาไร ตี้เรียบ ตัวหาร Q ทุกตัว จะเป็นQ -Cartier

ถ้า

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

ถ้าQ เป็นตัวหาร การปัดลงของมันจะเป็นตัวหาร

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

ที่ไหน${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับaชีฟ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$จากนั้นจึงกำหนดให้เป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

ทฤษฎีบทระนาบไฮเปอร์ของ Lefschetzบ่งชี้ว่าสำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเรียบXที่มีมิติอย่างน้อย 4 และตัวหารแอมเพิลเรียบYในXการจำกัด Pic( X ) → Pic( Y ) เป็นไอโซมอร์ฟิซึม ตัวอย่างเช่น ถ้าYเป็นวาไร ตี้ การตัดกันสมบูรณ์เรียบที่มีมิติอย่างน้อย 3 ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน กลุ่ม Picard ของYจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZซึ่งสร้างขึ้นโดยการจำกัดของบันเดิลเส้นO (1) บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ

Grothendieckได้ขยายทฤษฎีบทของ Lefschetz ไปในหลายทิศทาง โดยเกี่ยวข้องกับฟิลด์ฐานใดๆ วาไรตี้เอกฐาน และผลลัพธ์บนวงแหวนท้องถิ่นแทนที่จะเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็น วงแหวนท้องถิ่น แบบตัดกันที่สมบูรณ์ซึ่งมีแฟกทอเรียลในมิติร่วมไม่เกิน 3 (ตัวอย่างเช่น ถ้าโลคัสที่ไม่ปกติของRมีมิติร่วมอย่างน้อย 4) แล้วRจะเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน (และด้วยเหตุนี้ตัวหาร Weil ทุกตัวบน Spec( R ) จึงเป็น Cartier) ^{[ 21 ]}ขอบเขตมิติที่นี่เหมาะสมที่สุด ดังที่แสดงโดยตัวอย่างของกรวยควอดริก 3 มิติข้างต้น

• ผู้เขียนโครงการ Stacks Project, โครงการ Stacks Project