ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต บันเดิลเส้นบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเรียกว่าเนฟ(nef)ถ้ามีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในวาไรตีนั้น ชั้นของบันเดิลเส้นเนฟอธิบายได้ด้วยกรวยนูนและการหดตัวที่เป็นไปได้ของวาไรตีสอดคล้องกับหน้าบางส่วนของกรวยเนฟ เมื่อพิจารณาถึงความสอดคล้องกันระหว่างบันเดิลเส้นและตัวหาร (ที่สร้างจาก วาไรตีย่อยที่ มีมิติร่วม -1) จึงมีแนวคิดที่เทียบเท่ากันของตัวหารเนฟ

โดยทั่วไปแล้ว บันเดิลเส้นLบนแผนผังที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์kเรียกว่าเป็นnefถ้ามีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้ง (ปิดที่ไม่สามารถลดรูปได้ ) ในX [ ^{1 ] (}ดีกรีของบันเดิลเส้นLบนเส้นโค้งที่เหมาะสมCเหนือkคือดีกรีของตัวหาร ( s ) ของส่วนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ sใดๆของL ) บันเดิลเส้นอาจเรียกว่าชีฟผกผัน ได้เช่นกัน

คำว่า "nef" ได้รับการแนะนำโดยMiles Reidเพื่อใช้แทนคำเดิมคือ "arithmetically effective" ( Zariski 1962 , นิยาม 7.6)และ "numerically effective" รวมถึงวลี "numerically eventually free" ^{[ 2 ]}คำเดิมนั้นทำให้เข้าใจผิด เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างด้านล่าง

บันเดิลเส้นL ทุกอัน บนเส้นโค้งที่เหมาะสมCเหนือkซึ่งมีส่วนตัดทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์จะมีดีกรีไม่เป็นลบ ส่งผลให้ บันเดิลเส้น ที่ไม่มีจุดฐานบนโครงร่างที่เหมาะสมXเหนือkมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในXนั่นคือเป็น nef ^{[ 3 ]}โดยทั่วไป บันเดิลเส้นLเรียกว่ากึ่งแอมเพิลหากกำลังเทนเซอร์ บวกบางอย่าง${\displaystyle L^{\otimes a}}$คือไม่มีจุดฐาน ดังนั้น บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลจึงเป็น nef บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลสามารถถือได้ว่าเป็นแหล่งกำเนิดทางเรขาคณิตหลักของบันเดิลเส้น nef แม้ว่าแนวคิดทั้งสองจะไม่เทียบเท่ากันก็ตาม ดูตัวอย่างด้านล่าง

ตัวหารคาร์เทียร์Dบนแผนผังที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์หนึ่ง เรียกว่าเป็น nef ถ้ากลุ่มเส้นตรงที่เกี่ยวข้องO ( D ) เป็น nef บนXหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งDเป็น nef ถ้าจำนวนจุดตัด${\displaystyle D\cdot C}$มีค่าไม่เป็นลบสำหรับทุกเส้นโค้งCในX

เพื่อย้อนกลับจากกลุ่มเส้นตรงไปสู่ตัวหารชั้นเชิร์นแรกคือไอโซมอร์ฟิซึมจากกลุ่ม Picardของกลุ่มเส้นตรงบนวาไรตี้Xไปยังกลุ่มตัวหาร Cartier โมดูลความสมมูลเชิงเส้นกล่าวคือ ชั้นเชิร์นแรก${\displaystyle c_{1}(L)}$เป็นตัวหาร ( s ) ของส่วนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์s ใด ^ๆของL [ ^{4 ]}

ในการทำงานกับอสมการ เป็นเรื่องสะดวกที่จะพิจารณาตัวหารR ซึ่งหมายถึง การรวมเชิงเส้น จำกัด ของตัวหารคาร์เทียร์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ตัวหาร Rเมื่อพิจารณาความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข แล้วจะก่อให้เกิด ปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle N^{1}(X)}$กลุ่ม Néron–Severi ที่ มีมิติจำกัดซึ่งถูกเทนเซอร์ด้วยจำนวนจริง^{[ 5 ]} (กล่าวโดยชัดแจ้ง: ตัวหาร R สองตัว จะถือว่าเทียบเท่ากันทางตัวเลขหากพวกมันมีจำนวนจุดตัดเดียวกันกับเส้นโค้งทั้งหมดในX ) ตัวหาร Rเรียกว่า nef หากมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้ง ตัว หาร R nef ก่อให้เกิดกรวยนูนปิดใน${\displaystyle N^{1}(X)}$กรวยเนฟ Nef( X )

กรวยของเส้นโค้งถูกนิยามว่าเป็นกรวยนูนของผลรวมเชิงเส้นของเส้นโค้งที่มีสัมประสิทธิ์จริงที่ไม่เป็นลบในปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle N_{1}(X)}$ของวัฏจักร 1 โมดูลความสมมูลเชิงตัวเลข ปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle N^{1}(X)}$และ${\displaystyle N_{1}(X)}$เป็นคู่กันโดยการจับคู่จุดตัด และกรวยเนฟเป็น (ตามคำนิยาม) กรวยคู่ของกรวยเส้นโค้ง^{[ 6 ]}

ปัญหาสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือการวิเคราะห์ว่าบันเดิลเส้นใดบ้างที่เป็นแอมเพิลเนื่องจากนั่นหมายถึงการอธิบายวิธีการต่างๆ ที่วาไรตี้สามารถฝังลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟได้ คำตอบหนึ่งคือเกณฑ์ของไคลแมน (1966): สำหรับสกีมเชิงโปรเจกทีฟXเหนือฟิลด์ บันเดิลเส้น (หรือ ตัวหาร R ) จะเป็นแอมเพิลก็ต่อเมื่อคลาสของมันใน${\displaystyle N^{1}(X)}$อยู่ในส่วนภายในของกรวยเนฟ^{[ 7 ]} ( ตัวหาร Rเรียกว่าแอมเพิล ถ้าสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นบวกของตัวหารคาร์เทียร์แอมเพิลได้) เป็นไปตามเกณฑ์ของไคลแมนว่า สำหรับX ที่เป็นโปรเจคทีฟ ตัวหาร R เนฟ ทุกตัวบนXเป็นลิมิตของ ตัวหาร R แอมเพิล ใน${\displaystyle N^{1}(X)}$อันที่จริง สำหรับD nef และA ample แล้วD + cAก็เป็น ample สำหรับจำนวนจริงc > 0 ทุกตัว

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัด ที่มี เมตริกเฮอร์มิเชียนคงที่ซึ่งมองได้ว่าเป็นรูปแบบบวก(1,1)${\displaystyle \omega }$ตามที่Jean-Pierre Demailly , Thomas Peternell และ Michael Schneider กล่าวไว้บันเดิลเส้นตรงเชิงโฮโลมอร์ฟิกLบนXเรียกว่าเป็นnefถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle \epsilon >0}$มีเมตริกเฮอร์มิเชียนที่เรียบ${\displaystyle h_{\epsilon }}$บนLซึ่งความโค้งเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$เมื่อXเป็นโปรเจคทีฟเหนือCสิ่งนี้จะเทียบเท่ากับคำจำกัดความก่อนหน้านี้ (ที่Lมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในX ) ^{[ 8 ]}

แม้แต่สำหรับXที่เป็นโปรเจคทีฟเหนือCก็ตาม บันเดิลเส้นเนฟLไม่จำเป็นต้องมีเมตริกเฮอร์มิเชียนhที่มีความโค้ง${\displaystyle \ทีต้า _{h}(L)\geq 0}$ซึ่งอธิบายคำจำกัดความที่ซับซ้อนกว่าที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 9 ]}

• ถ้าXเป็นพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบ และCเป็นเส้นโค้ง (ที่ไม่สามารถลดรูปได้) ในXที่มีจำนวนจุดตัดตัวเอง${\displaystyle C^{2}\geq 0}$ถ้าCเป็น nef บนX แล้ว เพราะเส้นโค้งสองเส้นที่แตกต่างกันบนพื้นผิวจะมีจำนวนจุดตัดที่ไม่เป็นลบ ถ้า${\displaystyle C^{2}<0}$ดังนั้นCจึงมีประสิทธิภาพแต่ไม่มีผลกระทบต่อXตัวอย่างเช่น ถ้าXคือการขยายของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบYที่จุดหนึ่ง เส้นโค้งพิเศษEของการขยายนั้นจะเป็น เช่นนั้น${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$มี${\displaystyle E^{2}=-1}$.
• ตัวหารที่มีประสิทธิภาพทุกตัวบนแฟลกแมนิโฟลด์หรือวาไรตีอาเบเลียนคือ nef โดยใช้ว่าวาไรตีเหล่านี้มีการกระทำแบบทรานซิทีฟของกลุ่มพีชคณิต ที่เชื่อมต่อ กัน^{[ 10 ]}
• บันเดิลเส้นตรง Lทุกตัวที่มีดีกรี 0 บนเส้นโค้งเชิงซ้อนเรียบX นั้นเป็นเนฟ (nef) แต่L นั้น เป็นเซมิ-แอมเพิล (semi-ample) ก็ต่อเมื่อLเป็นทอร์ชั่น (torsion) ในกลุ่มพิคาร์ด (Picard group) ของX เท่านั้น สำหรับXที่มีจีนัสgอย่างน้อย 1 บันเดิลเส้นตรงส่วนใหญ่ที่มีดีกรี 0 นั้นไม่ใช่ทอร์ชั่น โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจา โคเบียน ( Jacobian)ของXเป็นวาไรตี้อาเบเลียน (abelian variety) ที่มีมิติg
• มัดเส้นกึ่งแอมเพิลทุกมัดเป็นเนฟ (nef) แต่ไม่ใช่ว่ามัดเส้นเนฟทุกมัดจะเทียบเท่ากับมัดเส้นกึ่งแอมเพิลในเชิงตัวเลขเสมอไป ตัวอย่างเช่นเดวิด มัมฟอร์ดสร้างมัดเส้นL บน พื้นผิวเส้นตรงXที่เหมาะสมโดยที่Lมีดีกรีเป็นบวกบนเส้นโค้งทั้งหมด แต่จำนวนจุดตัดเป็นศูนย์${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$เป็นศูนย์^{[ 11 ]}เป็นผลให้Lเป็น nef แต่ไม่ใช่ผลคูณบวกของ${\displaystyle c_{1}(L)}$มีค่าเทียบเท่าเชิงตัวเลขกับตัวหารที่มีประสิทธิภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่ของส่วนตัดทั่วโลก${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$มีค่าเป็นศูนย์ สำหรับจำนวนเต็มบวกa ทุกตัว

การหดตัวของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติXบนฟิลด์kคือมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง${\displaystyle f\colon X\to Y}$โดยที่Yเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติเหนือkโดยที่${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Y}}$(เงื่อนไขหลังนี้หมายความว่าfมี ไฟเบอร์ ที่เชื่อมต่อกันและเทียบเท่ากับfที่มีไฟเบอร์ที่เชื่อมต่อกันหากkมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์^{[ 12 ]} ) การหดตัวเรียกว่าไฟเบอร์เรชันหาก dim( Y ) < dim( X ) การหดตัวที่มี dim( Y ) = dim( X ) จะเป็นมอร์ฟิซึมแบบไบราชันแนลโดยอัตโนมัติ[ 13 ^{] ( ตัวอย่าง}เช่นXอาจเป็นการเป่าขึ้นของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบYที่จุดหนึ่ง)

หน้าFของกรวยนูนNหมายถึงกรวยย่อยนูนซึ่งจุดสองจุดใดๆ ของNที่ผลรวมอยู่ในหน้า Fจะต้องอยู่ในหน้าF ด้วย เช่นกัน การหดตัวของXกำหนดหน้าFของกรวย nef ของXซึ่งก็คือจุดตัดของ Nef( X ) กับการดึงกลับ${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดความหลากหลายXแล้ว ด้านFของกรวยเนฟจะเป็นตัวกำหนดการหดตัว${\displaystyle f\colon X\to Y}$จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม อันที่จริง มีบันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลLบนXซึ่งมีคลาสใน${\displaystyle N^{1}(X)}$อยู่ในบริเวณภายในของF (ตัวอย่างเช่น ให้Lเป็นการดึงกลับไปยังXของกลุ่มเส้นที่เพียงพอใดๆ บนY ) กลุ่มเส้นดังกล่าวจะกำหนดYโดยการสร้าง Proj : ^{[ 14 ]}

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

เพื่ออธิบายYในเชิงเรขาคณิต: เส้นโค้งCในXจะแมปไปยังจุดในYก็ต่อเมื่อLมีดีกรีเป็นศูนย์บนCเท่านั้น

ด้วยเหตุนี้ จึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการหดตัวของXและบางหน้าของกรวยเนฟของX ^{[ 15 ]} (การจับคู่นี้สามารถกำหนดได้แบบคู่ขนานเช่นกัน ในแง่ของหน้าของกรวยของเส้นโค้ง) การรู้ว่ามัดเส้นเนฟใดเป็นกึ่งแอมเพิลจะช่วยกำหนดว่าหน้าใดสอดคล้องกับการหดตัวทฤษฎีบทกรวยอธิบายถึงชั้นของหน้าที่สำคัญที่สอดคล้องกับการหดตัว และการคาดการณ์ความอุดมสมบูรณ์จะให้ข้อมูลเพิ่มเติม

ตัวอย่าง: ให้Xเป็นการขยายของระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ณ จุดpให้Hเป็นการดึงกลับไปยังXของเส้นตรงบน${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$และให้Eเป็นเส้นโค้งพิเศษของการระเบิด${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ดังนั้นXจึงมีเลขพิคาร์ดเท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่าปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle N^{1}(X)}$มีมิติ 2 ตามเรขาคณิตของกรวยนูนที่มีมิติ 2 กรวยเนฟจะต้องถูกสร้างขึ้นโดยรังสีสองเส้น กล่าวคือ รังสีเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยHและH − E ^{[ 16} ] ในตัวอย่างนี้ รังสีทั้งสองสอดคล้องกับการหดตัวของX : Hให้มอร์ฟิซึมแบบไบราชันแน^ล${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$และH − Eทำให้เกิดการจัดเรียงเส้นใย${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$โดยมีเส้นใยที่มีโครงสร้างเหมือนกันกับ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(สอดคล้องกับเส้นใน${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$(ผ่านจุดp ) เนื่องจากกรวยเนฟของXไม่มีหน้าอื่นที่ไม่ใช่หน้าธรรมดา ดังนั้นนี่จึงเป็นการหดตัวที่ไม่ใช่หน้าธรรมดาเพียงอย่างเดียวของXซึ่งจะมองเห็นได้ยากขึ้นหากไม่มีความสัมพันธ์กับกรวยนูน