ในคณิตศาสตร์ เมื่อกำหนดการกระทำ แล้ว${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$สำหรับกลุ่มสกีมGบนสกีมX เหนือสกี มฐานSชีฟสมมาตรFบนXคือชีฟของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลพร้อมกับไอโซมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$-โมดูล

${\displaystyle \phi$ :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}  

ที่ตรงตามเงื่อนไขโคไซเคิล: ^{[ 1 ] [ 2 ]}เขียนmสำหรับการคูณ

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

ในระดับก้าน เงื่อนไขโคไซเคิลกล่าวว่าไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$เหมือนกับองค์ประกอบ${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$กล่าวคือ ความสัมพันธ์ของการกระทำของกลุ่ม เงื่อนไขที่ว่าหน่วยของกลุ่มทำหน้าที่เสมือนอัตลักษณ์ก็เป็นผลสืบเนื่องมาด้วยเช่นกัน: นำไปใช้${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$ทั้งสองฝ่ายเพื่อให้ได้${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$และดังนั้น${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$คือเอกลักษณ์

โปรดทราบว่า${\displaystyle \phi }$เป็นข้อมูลเพิ่มเติม มันคือ "การยก" การกระทำของGบนXไปยังชีฟFยิ่งไปกว่านั้น เมื่อGเป็นกลุ่มพีชคณิตที่เชื่อมต่อกัน Fเป็นชีฟที่ผกผันได้และXเป็นกลุ่มที่ลดรูปได้ เงื่อนไขโคไซเคิลจะเป็นไปโดยอัตโนมัติ: ไอโซมอร์ฟิซึมใดๆ${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$ตรงตามเงื่อนไขโคไซเคิลโดยอัตโนมัติ^{[ 3 ]}

ถ้าการกระทำของGเป็นอิสระ แนวคิดของชีฟที่สมมาตรจะลดรูปเหลือเพียงชีฟบนผลหารX / Gเนื่องจากการลงมาตามทอร์เซอร์

ตามทฤษฎีบทของโยเนดะการให้โครงสร้างของชีฟที่สมมาตรแก่${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลFเหมือนกับการให้โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มสำหรับริงRเหนือ${\displaystyle S}$,

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$[ ^{4 ]​}

นอกจากนี้ ยังมีการนิยามชีฟแบบสมมาตรในแง่ของชีฟเชิงซิมพลิเชียลอีกด้วย หรืออีกทางหนึ่ง เราสามารถนิยามชีฟแบบสมมาตรให้เป็นวัตถุแบบสมมาตรในหมวดหมู่ของชีฟแบบสอดคล้องกันก็ได้

โครงสร้างของชีฟสมมาตรบนชีฟผกผันได้หรือบันเดิลเส้นตรง เรียกอีกอย่างว่าการทำให้เป็นเชิงเส้น (linearization )

ให้Xเป็นวาไรตี้สมบูรณ์เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่กระทำโดยกลุ่มรีดักทีฟที่เชื่อมต่อกันGและLเป็นชีฟผกผันได้บนฟิลด์นั้น ถ้าXเป็นวาไรตี้ปกติ แล้วกำลังเทนเซอร์บางอย่าง${\displaystyle L^{n}}$ของLสามารถทำให้เป็นเส้นตรงได้^{[ 5 ]}

นอกจากนี้ หากLมีขนาดใหญ่มากและเป็นเชิงเส้นแล้ว จะมี การฝังตัวแบบปิดเชิงเส้น GจากXไปยัง${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$โดยที่${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$ได้รับการทำให้เป็นเชิงเส้น และการทำให้เป็นเชิงเส้นบนLนั้นเกิดจากการทำให้เป็นเชิงเส้นของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$[ ^{6 ]​}

ผลคูณเทนเซอร์และส่วนกลับของชีฟผกผันเชิงเส้นจะถูกทำให้เป็นเชิงเส้นอีกครั้งด้วยวิธีที่เป็นธรรมชาติ ดังนั้น ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟผกผันเชิงเส้นบนสกีมXจึงก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนมีโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่ม PicardของXซึ่งลืมการทำให้เป็นเชิงเส้น โฮโมมอร์ฟิซึมนี้โดยทั่วไปแล้วไม่เป็นทั้งแบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือแบบทั่วถึง และเคอร์เนลของมันสามารถระบุได้กับชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของการทำให้เป็นเชิงเส้นของบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญ

ดูตัวอย่างที่ 2.16 ของตัวอย่างเช่น พันธุ์หนึ่งที่กลุ่มเส้นส่วนใหญ่ไม่สามารถแปลงเป็นเส้นตรงได้

กำหนดให้ Gเป็นกลุ่มพีชคณิตและF เป็นชีฟ G -equivariant บนXเหนือฟิลด์kให้${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$ให้เป็นปริภูมิของส่วนตัดทั่วโลก จากนั้นจึงยอมรับโครงสร้างของ โมดูล Gกล่าวคือVเป็นการแสดงเชิงเส้นของGดังต่อไปนี้ เขียน${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$สำหรับการกระทำของกลุ่ม สำหรับแต่ละgในGและvในVให้กำหนด

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

ที่ไหน${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$และ${\displaystyle \varphi$ :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V} คือไอโซมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยโครงสร้างชีฟแบบสมมาตรบน Fเงื่อนไขโคไซเคิลจึงรับประกันว่า${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม (เช่น${\displaystyle \pi }$(เป็นการแสดงถึง)

ตัวอย่าง : นำมา${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$และ${\displaystyle \sigma =}$การกระทำของGต่อตัวมันเอง จากนั้น${\displaystyle V=k[G]}$,${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$และ

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

ความหมาย${\displaystyle \pi }$คือ การ แสดงแทนปกติทางซ้ายของG

การเป็นตัวแทน${\displaystyle \pi }$นิยามข้างต้นเป็นการแสดงเชิงตรรกะ : สำหรับเวกเตอร์v แต่ละตัว ในV จะมี G -submodule มิติจำกัดของVที่มีvอยู่^{[ 7 ]}

นิยามจะง่ายกว่าสำหรับเวกเตอร์บันเดิล (เช่น วาไรตี้ที่สอดคล้องกับชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับคงที่) เรากล่าวว่าเวกเตอร์บันเดิลEบนวาไรตี้พีชคณิตXที่ถูกกระทำโดยกลุ่มพีชคณิตGนั้นเป็นแบบสมมาตรถ้าGกระทำแบบไฟเบอร์: กล่าวคือ${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม "เชิงเส้น" ของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 8 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ บันเดิลเวกเตอร์สมมาตรคือคู่ที่ประกอบด้วยบันเดิลเวกเตอร์และการยกการกระทำ${\displaystyle G\times X\to X}$ถึงของ${\displaystyle G\times E\to E}$ดังนั้นการฉายภาพ${\displaystyle E\to X}$เป็นแบบสมมาตร

เช่นเดียวกับในบริบทที่ไม่สมมาตร เราสามารถกำหนดคลาสลักษณะเฉพาะที่สมมาตรของกลุ่มเวกเตอร์ที่สมมาตรได้

• บันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์หรือวาไรตี้เรียบคือบันเดิลเวกเตอร์สมมาตร
• ชีฟของรูปแบบเชิงอนุพันธ์สมมาตร
• ให้Gเป็นกลุ่มพีชคณิตกึ่งง่าย และλ:H→ Cเป็นอักขระบนทอรัสสูงสุดHมันขยายไปเป็นกลุ่มย่อยบอเรลλ:B→ Cซึ่งให้การแทนแบบหนึ่งมิติW ของBดังนั้นGxW เป็นมัดเวกเตอร์แบบไม่สำคัญเหนือGซึ่งBกระทำ ผลหารL =Gx W โดยการกระทำของBเป็นมัดเส้นเหนือวาไรตี้ธงG/Bโปรดสังเกตว่าG→G/Bเป็น มัด Bดังนั้นนี่เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของการสร้างมัดที่เกี่ยวข้องทฤษฎีบทบอเรล-ไวล์-บอตต์กล่าวว่าการแทนทั้งหมดของGเกิดขึ้นจากโคฮอโมโลยีของมัดเส้นดัง กล่าว
• ถ้าX=Spec(A)เป็นสกีมเชิงเส้นตรงการกระทำG บนXจะเหมือนกับการให้คะแนนZ บนA ในทำนอง เดียวกัน ชีฟกึ่งสอดคล้องแบบสมมาตร G บนXจะเหมือนกับโมดูลAที่ให้คะแนนZ

• ทฤษฎี K พีชคณิตแบบสมมาตร
• บันเดิลที่สมมาตร
• โคฮอโมโลยีแบบสมมาตร
• กองผลหาร

• ชีฟแบบสมมาตร