เป็นทฤษฎีบทที่ไม่ธรรมดา ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยPierre DeligneและDavid Mumford [ ^{1 ] ว่า}โมดูลัสสแต็ก${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$ไม่สามารถลดทอนได้ หมายความว่าไม่สามารถแสดงออกมาในรูปของการรวมกันของซับสแต็กที่เหมาะสมสองอันได้ พวกเขาพิสูจน์สิ่งนี้โดยการวิเคราะห์โลคัส${\displaystyle H_{g}}$ของเส้นโค้งเสถียรในแผนผังฮิลเบิร์ต${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$ของเส้นโค้งที่ฝังตัวแบบไตรแคนอนิก (จากการฝังตัวของความกว้างขวางมาก)${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$สำหรับทุกเส้นโค้ง) ซึ่งมีพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$จากนั้น กองซ้อน${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$เป็นโครงสร้างของปริภูมิโมดูลัส${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$โดยใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป Deligne และ Mumford แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างนี้เรียบ และใช้โครงสร้างไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างเส้นโค้งที่เสถียร${\displaystyle \mathrm {ไอซอม} _{S}(C,C')}$เพื่อแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$มีตัวรักษาเสถียรภาพที่จำกัด ดังนั้นจึงเป็นโครงสร้างแบบ Deligne–Mumfordนอกจากนี้ พวกเขายังพบการแบ่งชั้นของ${\displaystyle H_{g}}$เช่น

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

ที่ไหน${\displaystyle H_{g}^{o}}$เป็นโครงร่างย่อยของเส้นโค้งที่เรียบและเสถียร และ${\displaystyle H_{g,i}}$เป็นส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$พวกเขาทำการวิเคราะห์ส่วนประกอบของ${\displaystyle {\mathcal {M}__{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$(ในฐานะที่เป็นสัดส่วนของ GIT ) หากมีส่วนประกอบหลายอย่างของ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ไม่มีชิ้นใดที่จะสมบูรณ์ได้เลย นอกจากนี้ ส่วนประกอบใดๆ ของ${\displaystyle H_{g}}$ต้องมีเส้นโค้งที่ไม่เป็นเอกฐาน ดังนั้น ตำแหน่งเอกฐาน${\displaystyle S^{*}}$มีการเชื่อมต่อกัน ดังนั้นจึงบรรจุอยู่ในส่วนประกอบเดียวของ${\displaystyle H_{g}}$นอกจากนี้ เนื่องจากส่วนประกอบทุกส่วนตัดกัน${\displaystyle S^{*}}$ส่วนประกอบทั้งหมดจะต้องถูกบรรจุอยู่ในส่วนประกอบเดียว ดังนั้นจึงต้องใช้พื้นที่หยาบ${\displaystyle H_{g}}$ไม่สามารถลดทอนได้ จากทฤษฎีทั่วไปของสแต็กพีชคณิต สิ่งนี้บ่งชี้ถึงผลหารของสแต็ก${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{g}}$ไม่สามารถลดทอนได้

ความเหมาะสมหรือความกะทัดรัดสำหรับออร์บิโฟลด์เป็นผลมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการลดเสถียรภาพบนเส้นโค้ง^{[ 1 ]}สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของGrothendieckเกี่ยวกับการลดเสถียรภาพของวาไรตี้อาเบเลียนและแสดงให้เห็นถึงความเทียบเท่ากับการลดเสถียรภาพของเส้นโค้ง^{[ 1 ]ส่วนที่ 5.2}

เรายังสามารถพิจารณาปริภูมิโมดูลัสหยาบที่แสดงถึงชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเรียบหรือเส้นโค้งเสถียรได้อีกด้วย ปริภูมิโมดูลัสหยาบเหล่านี้ได้รับการศึกษามาก่อนที่จะมีการนำแนวคิดเรื่องสแต็กโมดูลัสมาใช้เสียอีก อันที่จริง แนวคิดเรื่องสแต็กโมดูลัสถูกนำเสนอโดยเดลิญและมัมฟอร์ดเพื่อพยายามพิสูจน์ความเป็นโปรเจคติวิตีของปริภูมิโมดูลัสหยาบ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ปรากฏชัดว่าสแต็กของเส้นโค้งนั้นเป็นวัตถุพื้นฐานที่สำคัญกว่า

พื้นที่โมดูลัสหยาบจะมีมิติเท่ากับสแต็กเมื่อ${\displaystyle g>1}$อย่างไรก็ตาม ในกรณีจีนัสศูนย์ ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติเป็นศูนย์ และในกรณีจีนัสหนึ่งจะมีมิติเป็นหนึ่ง

การกำหนดเรขาคณิตของปริภูมิโมดูลัสของจีนัส${\displaystyle 0}$สามารถสร้างเส้นโค้งได้โดยใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปจำนวนโมดูลัสสำหรับจีนัสหนึ่งๆ${\displaystyle 0}$เส้นโค้ง เช่น${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$กำหนดโดยกลุ่มโคฮอโมโลยี

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

ด้วยทฤษฎีคู่ของ Serreกลุ่มโคฮอโมโลยีนี้จึงสมสัณฐานกับ

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

สำหรับชีฟคู่${\displaystyle \omega _{C}}$แต่การใช้ทฤษฎีบท Riemann–Rochแสดงให้เห็นว่าระดับของบันเดิลแคนอนิกคือ${\displaystyle -2}$ดังนั้นระดับของ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$เป็น${\displaystyle -4}$ดังนั้นจึงไม่มีส่วนต่างๆ ที่เป็นสากล หมายความว่า

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

แสดงให้เห็นว่าไม่มีการผิดรูปของสกุล${\displaystyle 0}$เส้นโค้ง นี่เป็นการพิสูจน์${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$เป็นเพียงจุดเดียว และเป็นสกุลเดียวเท่านั้น${\displaystyle 0}$เส้นโค้งกำหนดโดย${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ความยากทางเทคนิคเพียงอย่างเดียวคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$คือกลุ่มพีชคณิต${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ซึ่งจะแข็งตัวเมื่อถึงจุดสามจุด^{[ 2 ]}บน${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ค่าเหล่านี้คงที่ ดังนั้นผู้เขียนส่วนใหญ่จึงใช้ค่าเหล่านี้${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$หมายถึง${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$.

กรณีจีนัส 1 เป็นหนึ่งในกรณีแรกๆ ที่เข้าใจได้ดีของปริภูมิโมดูลัส อย่างน้อยก็บนจำนวนเชิงซ้อน เพราะคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งวงรีถูกจำแนกโดยค่าคงที่ J

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ในเชิงโทโพโลยี${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$มันเป็นเพียงเส้นตรงเชิงเส้นตรง แต่สามารถลดรูปให้เหลือเป็นสแต็กที่มีปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐานได้${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$โดยการเพิ่มเส้นโค้งเสถียรที่อนันต์ นี่คือเส้นโค้งวงรีที่มีจุดยอดแหลมเพียงจุดเดียว การสร้างกรณีทั่วไปเหนือ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$เดิมที DeligneและRapoportเป็นผู้ดำเนินการให้แล้วเสร็จ^{[ 3 ]}

โปรดทราบว่าผู้เขียนส่วนใหญ่พิจารณากรณีของเส้นโค้งจีนัสหนึ่งที่มีจุดทำเครื่องหมายหนึ่งจุดว่าเป็นจุดกำเนิดของกลุ่ม เนื่องจากมิเช่นนั้นกลุ่มเสถียรภาพในปริภูมิโมดูลัสสมมุติจะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$จะมีกลุ่มตัวกันสั่นอยู่ที่จุดนั้น${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$กำหนดโดยเส้นโค้ง เนื่องจากเส้นโค้งวงรีมีโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียน สิ่งนี้เพิ่มความซับซ้อนทางเทคนิคที่ไม่จำเป็นให้กับปริภูมิโมดูลัสสมมุติฐานนี้ ในทางกลับกัน${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$เป็นการเรียงซ้อน Deligne–Mumfordที่ ราบรื่น

นี่คือปริภูมิโมดูลัสแรกของเส้นโค้งที่มีทั้งโลคัสไฮเปอร์อิลิปติกและโลคัสที่ไม่ใช่ไฮเปอร์อิลิปติก^{[ 7 ] [ 8 ]}เส้นโค้งที่ไม่ใช่ไฮเปอร์อิลิปติกทั้งหมดกำหนดโดยเส้นโค้งระนาบดีกรี 4 (โดยใช้สูตรดีกรีจีนัส ) ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยโลคัสเรียบในแผนผังฮิลเบิร์ตของไฮเปอร์เซอร์เฟซ

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

จากนั้น พื้นที่โมดูลัสจะถูกแบ่งชั้นตามกลุ่มย่อย

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

ในทุกกรณีที่กล่าวมาข้างต้น พบว่าปริภูมิโมดูลัสเป็นปริภูมิเอกฐานซึ่งหมายความว่ามีมอร์ฟิซึมเชิงตรรกะเด่นอยู่

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

และเป็นที่คาดการณ์กันมานานแล้วว่าข้อเท็จจริงนี้จะเป็นจริงในทุกสกุล อันที่จริง เซเวรีได้พิสูจน์แล้วว่าข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงสำหรับสกุลต่างๆ จนถึง${\displaystyle 10}$[ ^{9 ]}ถึงแม้ว่า ปรากฏว่าสำหรับ^สกุล${\displaystyle g\geq 23}$^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ปริภูมิโมดูลัสทั้งหมดดังกล่าวเป็นประเภททั่วไป หมายความว่าไม่ใช่แบบยูนิเรชันนัล พวกเขาบรรลุเป้าหมายนี้โดยการศึกษามิติโคไดระของปริภูมิโมดูลัสหยาบ

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

และพบ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$สำหรับ${\displaystyle g\geq 23}$อันที่จริงแล้ว สำหรับ${\displaystyle g>23}$,

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

และด้วยเหตุนี้${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$เป็นประเภททั่วไป

สำหรับสกุล${\displaystyle 2}$ในกรณีนี้ มีการแบ่งชั้นตามที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

การวิเคราะห์ชั้นหินเหล่านี้เพิ่มเติมสามารถนำมาใช้เพื่อหาแหล่งกำเนิดของวงแหวนชอว์ ได้${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$^{[ 14 ]ข้อเสนอ 9.1}.