เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมแล้ว${\displaystyle f\colon X\to Y}$ของแผนการต่างๆกลุ่มเวกเตอร์${\displaystyle p\colon E\to Y}$(หรือโดยทั่วไปแล้วคือกลุ่มข้อมูลที่สอดคล้องกันบน)${\displaystyle Y}$) มีการดึงกลับไปที่${\displaystyle X}$,${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$ที่การฉายภาพ${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$คือการฉายภาพบนพิกัดแรก (ดูSheaf of modules#Operations ) พูลแบ็กของเวกเตอร์บันเดิลคือเวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พูลแบ็กของไลน์บันเดิลคือไลน์บันเดิล (โดยย่อคือไฟเบอร์ของ${\displaystyle f^{*}E}$ณ จุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$คือเส้นใยของ${\displaystyle E}$ที่${\displaystyle f(x)\in Y}$.)

แนวคิดที่อธิบายไว้ในบทความนี้เกี่ยวข้องกับโครงสร้างนี้ในกรณีของการแปลงแบบมอร์ฟิซึมไปยังปริภูมิเชิงฉาย

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

กับ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(1)}$กลุ่มเส้นตรงบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟซึ่งส่วนตัดทั่วโลกเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี 1 (นั่นคือ ฟังก์ชันเชิงเส้น) ในตัวแปร${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$มัดสายไฟ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับระนาบไฮเปอร์ใน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$(เนื่องจากเซตศูนย์ของส่วนหนึ่งของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$เป็นระนาบไฮเปอร์เพลน) ถ้า${\displaystyle f}$ตัวอย่างเช่น หากเป็นการจุ่มแบบปิด ก็จะตามมาด้วยการดึงกลับ${\displaystyle f^{*}O(1)}$กลุ่มสายสัญญาณอยู่บน${\displaystyle X}$ที่เกี่ยวข้องกับส่วนตัดระนาบ (จุดตัดของ${\displaystyle X}$โดยมีไฮเปอร์เพลนอยู่ด้วย${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$)

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นแผนการเหนือสนาม${\displaystyle k}$(ตัวอย่างเช่น วาไรตี้เชิงพีชคณิต) ที่มีมัดเส้นตรง${\displaystyle L}$(กลุ่มเส้นตรงอาจเรียกว่าชีฟผกผันได้ เช่นกัน ) ให้${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$เป็นองค์ประกอบของ${\displaystyle k}$- ปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ของส่วนต่างๆ ทั่วโลกของ${\displaystyle L}$เซตศูนย์ของแต่ละส่วนเป็นเซตย่อยปิดของ${\displaystyle X}$; อนุญาต${\displaystyle U}$เป็นเซตย่อยแบบเปิดของจุดซึ่งอย่างน้อยหนึ่งจุดต่อไปนี้${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นส่วนเหล่านี้จะกำหนดมอร์ฟิซึม

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

โดยละเอียด: สำหรับแต่ละประเด็น${\displaystyle x}$ของ${\displaystyle U}$เส้นใยของ${\displaystyle L}$เกิน${\displaystyle x}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์ 1 มิติเหนือฟิลด์ตกค้าง${\displaystyle k(x)}$การเลือกพื้นฐานสำหรับเส้นใยนี้ทำให้${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$เข้าสู่ลำดับของ${\displaystyle n+1}$ตัวเลขเหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจุดในปริภูมิเชิงฉาย การเปลี่ยนตัวเลือกฐานจะปรับขนาดตัวเลขทั้งหมดด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน ดังนั้นจุดในปริภูมิเชิงฉายจึงไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกฐาน

นอกจากนี้ มอร์ฟิซึมนี้ยังมีคุณสมบัติที่ว่าการจำกัดของ${\displaystyle L}$ถึง${\displaystyle U}$มีโครงสร้างเหมือนกับการดึงกลับ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$[ ^{1 ]​}

ตำแหน่งฐานของกลุ่มเส้น${\displaystyle L}$ตามแผนงาน${\displaystyle X}$คือจุดตัดของเซตศูนย์ของส่วนทั่วโลกทั้งหมดของ${\displaystyle L}$มัดเส้น${\displaystyle L}$เรียกว่าไม่มีจุดฐานถ้าโลคัสฐานของมันว่างเปล่า นั่นคือ สำหรับทุกจุด${\displaystyle x}$ของ${\displaystyle X}$มีส่วนที่เป็นสากลของ${\displaystyle L}$ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ที่${\displaystyle x}$. ถ้า${\displaystyle X}$เหมาะสมเหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$จากนั้นปริมาณเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ส่วนทั่วโลกมีมิติจำกัด มิตินั้นเรียกว่า${\displaystyle h^{0}(X,L)}$^{[ 2 ]}ดังนั้นมัดเส้นที่ไม่มีจุดฐาน${\displaystyle L}$กำหนดมอร์ฟิซึม${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$เกิน${\displaystyle k}$, ที่ไหน${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$โดยกำหนดโดยการเลือกฐานสำหรับ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$โดยไม่ต้องเลือกสิ่งใด สามารถอธิบายสิ่งนี้ได้ว่าเป็นมอร์ฟิซึม

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

จาก${\displaystyle X}$ไปยังพื้นที่ของระนาบไฮเปอร์ใน${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ซึ่งเชื่อมโยงตามหลักการกับบันเดิลเส้นตรงที่ไม่มีจุดฐาน${\displaystyle L}$มอร์ฟิซึมนี้มีคุณสมบัติว่า${\displaystyle L}$คือการดึงกลับ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$.

ในทางกลับกัน สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆ${\displaystyle f}$จากโครงการหนึ่ง${\displaystyle X}$ไปยังพื้นที่ฉายภาพ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เกิน${\displaystyle k}$กลุ่มเส้นดึงกลับ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$ไม่มีจุดอ้างอิง ที่จริงแล้ว${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$ไม่มีจุดฐานบน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เพราะสำหรับทุกจุด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$มีไฮเปอร์เพลนที่ไม่ครอบคลุม${\displaystyle y}$ดังนั้น สำหรับทุกจุด${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$มีส่วนหนึ่ง${\displaystyle s}$ของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$เกิน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$นั่นไม่ใช่ศูนย์ที่${\displaystyle f(x)}$และการดึงกลับของ${\displaystyle s}$เป็นส่วนหนึ่งของโลก${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$นั่นไม่ใช่ศูนย์ที่${\displaystyle x}$กล่าวโดยสรุป กลุ่มเส้นตรงที่ไม่มีจุดฐาน คือกลุ่มเส้นตรงที่สามารถแสดงได้ในรูปของการดึงกลับของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$โดยการแปลงแบบหนึ่งไปยังปริภูมิเชิงฉาย

ดีกรีของบันเดิลเส้นตรงLบนเส้นโค้งแท้Cเหนือkถูกกำหนดให้เป็นดีกรีของตัวหาร ( s ) ของส่วนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์s ใด ๆของLสัมประสิทธิ์ของตัวหารนี้จะเป็นบวกที่จุดที่sเป็นศูนย์ และเป็นลบที่จุดที่sมีขั้ว ดังนั้น บันเดิลเส้นตรงL ใดๆ บนเส้นโค้งCที่${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$มีดีกรีไม่เป็นลบ (เนื่องจากส่วนของLเหนือCซึ่งแตกต่างจากส่วนเชิงตรรกะ ไม่มีขั้ว) ^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บันเดิลเส้นตรงที่ไม่มีจุดฐานทุกอันบนเส้นโค้งจะมีดีกรีไม่เป็นลบ ส่งผลให้บันเดิลเส้นตรงที่ไม่มีจุดฐานLบนโครงร่างที่เหมาะสมใดๆXเหนือฟิลด์เป็นnefซึ่งหมายความว่าLมีดีกรีไม่เป็นลบบนเส้นโค้ง (ที่ไม่สามารถลดรูปได้) ทุกเส้นในX ^{[ 4 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ชีฟFของ${\displaystyle O_{X}}$-โมดูลในโครงร่างXจะเรียกว่าถูกสร้างขึ้นทั่วโลกหากมีเซตIของส่วนต่างๆ ทั่วโลก${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$โดยที่มอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

ของชีฟเป็นการส่งทั่วถึง^{[ 5 ]}บันเดิลเส้นถูกสร้างขึ้นทั่วโลกก็ต่อเมื่อไม่มีจุดฐาน

ตัวอย่างเช่นชีฟกึ่งสอดคล้อง ทุกชีฟ บนแผนผังแอฟฟินจะถูกสร้างขึ้นทั่วโลก^{[ 6 ]}ในทำนองเดียวกัน ในเรขาคณิตเชิงซ้อนทฤษฎีบทA ของคาร์ตันกล่าวว่าชีฟสอดคล้องทุกชีฟบนแมนิโฟลด์สไตน์จะถูกสร้างขึ้นทั่วโลก

กลุ่มเส้นตรงLบนโครงร่างที่เหมาะสมเหนือฟิลด์เรียก ว่า กึ่งแอมเพิลถ้ามีจำนวนเต็มบวกrที่ทำให้กำลังเทนเซอร์${\displaystyle L^{\otimes r}}$เป็นแบบไม่มีจุดฐาน บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลเป็น nef (ตามข้อเท็จจริงที่สอดคล้องกันสำหรับบันเดิลเส้นแบบไม่มีจุดฐาน) ^{[ 7 ]}

มัดเส้น${\displaystyle L}$ตามแผนงานที่เหมาะสม${\displaystyle X}$เหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$กล่าวกันว่ามีความกว้างขวางมากหากไม่มีจุดฐานและมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

เป็นการดื่มด่ำอย่างแท้จริง ที่นี่${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle L}$กว้างขวางมากหาก${\displaystyle X}$สามารถฝังลงในปริภูมิเชิงฉายภาพที่มีมิติบางมิติได้${\displaystyle k}$ในลักษณะที่ว่า${\displaystyle L}$คือข้อจำกัดของกลุ่มเส้น${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$ถึง${\displaystyle X}$[ ^{8 ]}นิยามหลังนี้ใช้เพื่อกำหนดความกว้างขวางมากสำหรับมัดเส้นบนโครงร่างที่เหมาะสมเหนือวงแหวนสลับที่ใด^{ๆ[ 9 ]}

ชื่อ "very ample" ได้รับการแนะนำโดยAlexander Grothendieckในปี พ.ศ. 2504 ^{[ 10 ]}ก่อนหน้านี้มีการใช้ชื่อต่างๆ ในบริบทของระบบตัวหารเชิงเส้น

สำหรับชุดสายไฟที่กว้างขวางมาก${\displaystyle L}$ตามแผนงานที่เหมาะสม${\displaystyle X}$เหนือสนามที่มีมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle f}$ระดับของ${\displaystyle L}$บนเส้นโค้ง${\displaystyle C}$ใน${\displaystyle X}$คือระดับของ${\displaystyle f(C)}$เป็นเส้นโค้งใน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. ดังนั้น${\displaystyle L}$มีระดับบวกในทุกเส้นโค้งใน${\displaystyle X}$(เนื่องจากปริภูมิย่อยทุกปริภูมิเชิงฉายมีดีกรีบวก) ^{[ 11 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การจัดกลุ่มสายส่งจำนวนมากมักใช้กับระบบที่เหมาะสม แต่ก็สามารถกำหนดความหมายได้ในวงกว้างกว่านั้นเช่นกัน

ให้Xเป็นโครงร่าง และให้${\displaystyle {\mathcal {L}}}$เป็นชีฟที่ผกผันได้บนXสำหรับแต่ละ${\displaystyle x\in X}$, อนุญาต${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$แทนชีฟในอุดมคติของสับสกีมที่ลดรูปซึ่งรองรับเฉพาะที่x เท่านั้น สำหรับ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$, กำหนด $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ ในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle \kappa (x)}$แสดงถึงฟิลด์ส่วนเหลือที่x (ซึ่งถือว่าเป็นชีฟตึกระฟ้าที่รองรับที่x ) จากนั้น $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$คือภาพของsในผลคูณเทนเซอร์

แก้ไข${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$สำหรับทุกค่า sข้อจำกัด${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$เป็นของฟรี${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลที่ถูกทำให้เรียบง่ายโดยข้อจำกัดของsซึ่งหมายถึงมอร์ฟิซึมการคูณด้วย s${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม เซต${\displaystyle X_{s}}$เปิดอยู่เสมอ และมอร์ฟิซึมการรวม${\displaystyle X_{s}\to X}$เป็นการแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน แม้จะเป็นเช่นนั้นก็ตาม${\displaystyle X_{s}}$ไม่จำเป็นต้องเป็นแผนภาพเชิงเส้นตรงเสมอไป ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, แล้ว${\displaystyle X_{s}=X}$เป็นตัวเปิดในตัวเองและเป็นตัวแอฟฟินเหนือตัวมันเอง แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ตัวแอฟฟิน

สมมติว่าXเป็นเซตกึ่งกระชับ (quasi-compact) แล้ว${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ถือว่าเพียงพอแล้วหากสำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X}$มีอยู่จริง${\displaystyle n\geq 1}$และ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$โดยที่${\displaystyle x\in X_{s}}$และ${\displaystyle X_{s}}$เป็นแผนผังเชิงเส้น^{[ 12 ]}ตัวอย่างเช่น บันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ถือว่าเพียงพอเฉพาะเมื่อXเป็นกึ่งแอฟฟิน^{[ 13 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ไม่เป็นความจริงที่ว่าทุกๆ${\displaystyle X_{s}}$เป็นเชิงเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$สำหรับจุดO บางจุด และถ้า${\displaystyle {\mathcal {L}}}$คือข้อจำกัดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ไปที่Xจากนั้น${\displaystyle {\mathcal {L}}}$และ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$มีส่วนประกอบทั่วโลกที่เหมือนกัน และตำแหน่งที่ไม่หายไปของส่วนประกอบหนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {L}}}$จะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อส่วนที่สอดคล้องกันของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ประกอบด้วยO .

จำเป็นต้องอนุญาตให้มีอำนาจ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ในคำจำกัดความ ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่า Nเป็นไปได้ว่า${\displaystyle X_{s}}$ไม่ใช่ความสัมพันธ์สำหรับทุกๆ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$กับ${\displaystyle n\leq N}$จริง ๆ แล้ว สมมติว่าZเป็นเซตจำกัดของจุดใน${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$,${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$, และ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$ตำแหน่งที่หายไปของส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$เส้นโค้งระนาบที่มีดีกรีNโดยกำหนดให้Zเป็นเซตของจุดที่มีขนาดใหญ่พอสมควรซึ่งอยู่ในตำแหน่งทั่วไปเราสามารถมั่นใจได้ว่าไม่มีเส้นโค้งระนาบ ใด ที่มีดีกรีN (และดีกรีที่ต่ำกว่านั้น) ครอบคลุมจุดทั้งหมดในZโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตำแหน่งที่ไม่เป็นศูนย์ของเส้นโค้งเหล่านี้ล้วนไม่ใช่เส้นโค้งเชิงเส้นตรง

กำหนด${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$. อนุญาต${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$แสดงถึงโครงสร้างเชิงโครงสร้าง มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติระหว่าง${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิต${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$และเอนโดมอร์ฟิซึมของวงแหวนแบบไล่ระดับSเอนโดมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของSสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle \varepsilon }$การประยุกต์ใช้${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ฟังก์ชันเตอร์สร้างมอร์ฟิซึมจากสับสกีมแบบเปิดของXซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle G(\varepsilon )}$, ถึง${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$.

ลักษณะพื้นฐานของชีฟผกผันที่กว้างขวางระบุว่า ถ้าXเป็นสกีมแบบกึ่งกะทัดรัดและกึ่งแยก และ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ถ้าเป็นชีฟผกผันบนXแล้วข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 14 ]}

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$เพียงพอแล้ว
2. เซตเปิด${\displaystyle X_{s}}$, ที่ไหน${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$และ${\displaystyle n\geq 0}$ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีของX
3. เซตเปิด${\displaystyle X_{s}}$โดยมีคุณสมบัติของการเป็นแอฟฟิน ซึ่ง${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$และ${\displaystyle n\geq 0}$ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีของX
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$เป็นการแช่ตัวแบบเปิดที่เด่นชัด
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐานของXกับภาพของมัน
6. สำหรับชีฟกึ่งสอดคล้องกันทุกอัน${\displaystyle {\mathcal {F}}}$บนXแผนที่มาตรฐาน${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)
7. สำหรับกลุ่มอุดมคติที่เกือบจะสอดคล้องกันทุกกลุ่ม${\displaystyle {\mathcal {J}}}$บนXแผนที่มาตรฐาน${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)
8. สำหรับชีฟกึ่งสอดคล้องกันทุกอัน${\displaystyle {\mathcal {F}}}$สำหรับชนิดข้อมูลจำกัดบนXจะมีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle n_{0}}$โดยที่สำหรับ${\displaystyle n\geq n_{0}}$,${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ถูกสร้างขึ้นโดยส่วนต่างๆ ทั่วโลก
9. สำหรับชีฟกึ่งสอดคล้องกันทุกอัน${\displaystyle {\mathcal {F}}}$สำหรับชนิดข้อมูลจำกัดบนXจะมีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle n>0}$และ${\displaystyle k>0}$โดยที่${\displaystyle {\mathcal {F}}}$มีโครงสร้างสมมาตรกับผลหารของ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$.
10. สำหรับกลุ่มอุดมคติที่เกือบจะสอดคล้องกันทุกกลุ่ม${\displaystyle {\mathcal {J}}}$สำหรับชนิดข้อมูลจำกัดบนXจะมีจำนวนเต็มอยู่${\displaystyle n>0}$และ${\displaystyle k>0}$โดยที่${\displaystyle {\mathcal {J}}}$มีโครงสร้างสมมาตรกับผลหารของ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$.

เมื่อXแยกออกจากกันและมีประเภทจำกัดเหนือแผนผังเชิงเส้นตรง ชีฟที่ผกผันได้${\displaystyle {\mathcal {L}}}$เพียงพอต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวกr อยู่จริง ซึ่งกำลังของเทนเซอร์${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$มีความกว้างขวางมาก^{[ 15 ] [ 16 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนผังที่เหมาะสมเหนือRจะมีบันเดิลเส้นที่กว้างขวางก็ต่อเมื่อมันเป็นโปรเจกทีฟเหนือR เท่านั้น บ่อยครั้งที่ลักษณะเฉพาะนี้ถูกนำมาใช้เป็นนิยามของความกว้างขวาง

ส่วนที่เหลือของบทความนี้จะเน้นไปที่ความกว้างขวางของเส้นมัดบนโครงร่างที่เหมาะสมเหนือฟิลด์ เนื่องจากนี่เป็นกรณีที่สำคัญที่สุด เส้นมัดที่กว้างขวางบนโครงร่างที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์จะมีดีกรีเป็นบวกบนทุกเส้นโค้งในXตามข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นมัดที่กว้างขวางมาก

ตัวหารคาร์เทียร์Dบนโครงร่างที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์kกล่าวได้ว่ามีแอมเพิล ถ้าบันเดิลเส้นตรงที่สอดคล้องกันO ( D ) มีแอมเพิล (ตัวอย่างเช่น ถ้าXเรียบเหนือkแล้ว ตัวหารคาร์เทียร์สามารถระบุได้ด้วยการรวมเชิงเส้น จำกัด ของซับวาไรตีปิดที่มีมิติร่วม 1 ของXที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม)

การลดทอนแนวคิดของ "กว้างขวางมาก" ให้เหลือเพียง "กว้างขวาง" ทำให้ได้แนวคิดที่ยืดหยุ่นพร้อมลักษณะเฉพาะที่หลากหลาย ประเด็นแรกคือ การเทนเซอร์กำลังสูงของบันเดิลเส้นที่กว้างขวางด้วยชีฟที่สอดคล้องกันใดๆ ก็ตาม จะได้ชีฟที่มีส่วนตัดทั่วโลกจำนวนมาก กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น บันเดิลเส้นLบนสกีมที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์ (หรือโดยทั่วไปเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียน ) จะกว้างขวางก็ต่อเมื่อสำหรับทุกชีฟที่สอดคล้องกันFบนXจะมีจำนวนเต็มsเช่นนั้น ชีฟนั้น${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$สร้างขึ้นทั่วโลกสำหรับทุกคน${\displaystyle r\geq s}$ที่นี่sอาจขึ้นอยู่^กับ F [ ^{17 ] [ 18 ]}

การกำหนดลักษณะเฉพาะของความกว้างขวางอีกแบบหนึ่ง ซึ่งรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบท Cartan – Serre – Grothendieckนั้น พิจารณาจากโคฮอโมโลยีของชีฟแบบสอดคล้องกันกล่าวคือ บันเดิลเส้นตรงLบนสกีมที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์ (หรือโดยทั่วไปเหนือวงแหวน Noetherian) จะกว้างขวางก็ต่อเมื่อสำหรับทุกชีฟแบบสอดคล้องกันFบนXจะมีจำนวนเต็มsเช่นนั้น

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle i>0}$และทั้งหมด${\displaystyle r\geq s}$[ ^{19 ] [ 18 ] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังสูงของบันเดิลเส้นแอมเพิลจะฆ่าโคฮอโมโล ยี}ในระดับบวก นัยยะนี้เรียกว่าทฤษฎีบทการหายไปของ Serreซึ่งพิสูจน์โดยJean-Pierre SerreในบทความFaisceaux algébriques cohérents ในปี 1955 ของ เขา

To determine whether a given line bundle on a projective variety X is ample, the following numerical criteria (in terms of intersection numbers) are often the most useful. It is equivalent to ask when a Cartier divisor D on X is ample, meaning that the associated line bundle O(D) is ample. The intersection number ${\displaystyle D\cdot C}$ can be defined as the degree of the line bundle O(D) restricted to C. In the other direction, for a line bundle L on a projective variety, the first Chern class${\displaystyle c_{1}(L)}$ means the associated Cartier divisor (defined up to linear equivalence), the divisor of any nonzero rational section of L.

On a smooth projective curve X over an algebraically closed fieldk, a line bundle L is very ample if and only if ${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$ for all k-rational pointsx,y in X.^[23] Let g be the genus of X. By the Riemann–Roch theorem, every line bundle of degree at least 2g + 1 satisfies this condition and hence is very ample. As a result, a line bundle on a curve is ample if and only if it has positive degree.^[24]

For example, the canonical bundle${\displaystyle K_{X}}$ of a curve X has degree 2g − 2, and so it is ample if and only if ${\displaystyle g\geq 2}$. The curves with ample canonical bundle form an important class; for example, over the complex numbers, these are the curves with a metric of negative curvature. The canonical bundle is very ample if and only if ${\displaystyle g\geq 2}$ and the curve is not hyperelliptic.^[25]

The Nakai–Moishezon criterion (named for Yoshikazu Nakai (1963) and Boris Moishezon (1964)) states that a line bundle L on a proper scheme X over a field is ample if and only if ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$ for every (irreducible) closed subvariety Y of X (Y is not allowed to be a point).^[26] In terms of divisors, a Cartier divisor D is ample if and only if ${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$สำหรับทุกๆ สับวาไรตี้ Y (ที่มีมิติไม่เป็นศูนย์) ของXสำหรับXที่เป็นเส้นโค้ง เกณฑ์นี้กล่าวว่า ตัวหารจะเพียงพอ (ample) ก็ต่อเมื่อมีดีกรีเป็นบวก สำหรับXที่เป็นพื้นผิว เกณฑ์นี้กล่าวว่า ตัวหารDจะเพียงพอ (ample) ก็ต่อเมื่อจำนวนจุดตัดตัวเอง ของตัวหารนั้นเป็นบวก${\displaystyle D^{2}}$เป็นค่าบวก และเส้นโค้งC ทุกเส้น บนXมี${\displaystyle D\cdot C>0}$.

เพื่อระบุเกณฑ์ของ Kleiman (1966) ให้Xเป็นสกีมเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์หนึ่ง ให้${\displaystyle N_{1}(X)}$ให้ X เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ จริงของวัฏจักร 1 (ผลรวมเชิงเส้นจริงของเส้นโค้งในX ) โดยพิจารณาความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข หมายความว่าวัฏจักร 1 สองวัฏจักรAและBเท่ากันใน X${\displaystyle N_{1}(X)}$ก็ต่อเมื่อกลุ่มเส้นตรงทุกกลุ่มมีดีกรีเท่ากันบนAและบนB เท่านั้น ตามทฤษฎีบทเนรอน-เซเวรี ปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle N_{1}(X)}$มีมิติจำกัด เกณฑ์ของไคลแมนกล่าวว่าบันเดิลเส้นตรงLบนXนั้นเพียงพอ ก็ต่อเมื่อLมีดีกรีเป็นบวกบนทุกองค์ประกอบC ที่ไม่เป็นศูนย์ ของการปิดของกรวยเส้นโค้ง NE( X ) ใน${\displaystyle N_{1}(X)}$(นี่มีความเข้มแข็งกว่าการบอกว่าLมีดีกรีเป็นบวกบนทุกเส้นโค้งเล็กน้อย) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ บันเดิลเส้นตรงจะเพียงพอ ก็ต่อเมื่อคลาสของมันในปริภูมิเวกเตอร์คู่ขนาน${\displaystyle N^{1}(X)}$^อยู่ภายในกรวยเนฟ^{[ 27} ]

เกณฑ์ของ Kleiman ล้มเหลวโดยทั่วไปสำหรับแผนผัง Xที่เหมาะสม (แทนที่จะเป็นแบบโปรเจคทีฟ) เหนือฟิลด์ แม้ว่าจะใช้ได้หากXเรียบหรือโดยทั่วไปเป็นQ-แฟกทอเรียล^{[ 28 ]}

บันเดิลเส้นบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียกว่า'strictly nef'ถ้ามีดีกรีเป็นบวกบนทุกเส้นโค้งนากาตะ (1959)และเดวิด มัมฟอร์ดสร้างบันเดิลเส้นบนพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่เป็น 'strictly nef' แต่ไม่ใช่ 'ample' ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไข${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$ไม่สามารถละเว้นในเกณฑ์ Nakai–Moishezon ได้ และจำเป็นต้องใช้การปิดของ NE( X ) แทน NE( X ) ในเกณฑ์ของ Kleiman ^{[ 29 ]}บันเดิลเส้น nef ทุกเส้นบนพื้นผิวมี${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$และตัวอย่างของนากาตะและมัมฟอร์ดก็มี${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$.

CS Seshadriแสดงให้เห็นว่าบันเดิลเส้นLบนแผนผังที่เหมาะสมเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตนั้นเพียงพอ ก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริงบวก ε เช่นนั้น deg( L | ) ≥ ε m ( C ) สำหรับเส้นโค้ง Cทั้งหมด (ที่ไม่สามารถลดรูปได้) ^ใน X โดยที่m ( C ) คือค่าสูงสุดของความซ้ำซ้อนที่จุดของC [ ^{30 ]}

ลักษณะเฉพาะหลายประการของความกว้างขวางนั้นใช้ได้กับกลุ่มเส้นบนปริภูมิพีชคณิต ที่เหมาะสม เหนือฟิลด์kทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เกณฑ์ Nakai-Moishezon ใช้ได้ในความทั่วไปนั้น^{[ 31 ]} เกณฑ์ Cartan-Serre-Grothendieck ใช้ได้ทั่วไปยิ่งกว่า นั้นสำหรับปริภูมิพีชคณิตที่เหมาะสมเหนือวงแหวน Noetherian R ^{[ 32 ]} (ถ้าปริภูมิพีชคณิตที่เหมาะสมเหนือRมีกลุ่มเส้นที่กว้างขวาง แสดงว่ามันเป็นโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟเหนือR ) เกณฑ์ของ Kleiman ล้มเหลวสำหรับปริภูมิพีชคณิตที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์ แม้ว่าXจะเรียบก็ตาม^{[ 33 ]}

บนโครงร่างเชิงโปรเจกที ฟ Xเหนือฟิลด์ เกณฑ์ของไคลแมนบ่งชี้ว่าความกว้างขวางเป็นเงื่อนไขเปิดบนคลาสของ ตัวหาร R ( การรวมเชิงเส้น Rของตัวหารคาร์เทียร์) ใน${\displaystyle N^{1}(X)}$โดยมีโทโพโลยีตามโทโพโลยีของจำนวนจริง ( ตัวหาร Rถูกกำหนดให้เป็นแอมเพิลได้ก็ต่อเมื่อสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นบวกของตัวหารคาร์เทียร์แอมเพิลได้^{[ 34 ]} ) กรณีพิเศษพื้นฐานคือ: สำหรับตัวหารแอมเพิลHและตัวหารE ใดๆ จะมีจำนวนจริงบวกbเช่นนั้น${\displaystyle H+aE}$nH + E เพียงพอสำหรับจำนวนจริงa ทุกตัว ที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าbในแง่ของตัวหารที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม (หรือกลุ่มเส้น) หมายความว่าnH + Eเพียงพอสำหรับจำนวนเต็มบวก n ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร

ความกว้างขวางยังเป็นเงื่อนไขเปิดในความหมายที่แตกต่างออกไป เมื่อความหลากหลายหรือกลุ่มเส้นถูกเปลี่ยนแปลงในตระกูลพีชคณิต กล่าวคือ ให้${\displaystyle f\colon X\to Y}$ให้ L เป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมของสกีม และให้Lเป็นบันเดิลเส้นบนXแล้วเซตของจุดyในYที่Lเป็นแอมเพิลบนไฟเบอร์${\displaystyle X_{y}}$เปิดอยู่ (ในโทโพโลยีของ Zariski ) ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าLเพียงพอในไฟเบอร์หนึ่ง${\displaystyle X_{y}}$จากนั้นจะมีย่านเปิดเชิงเส้นตรงUของyซึ่งL นั้น เป็นแอมเพิลบน${\displaystyle f^{-1}(U)}$เหนือU ^{[ 35 ]}​

Kleiman ยังพิสูจน์ลักษณะเฉพาะของความเพียงพอต่อไปนี้ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นขั้นตอนกลางระหว่างคำจำกัดความของความเพียงพอและเกณฑ์เชิงตัวเลข กล่าวคือ สำหรับบันเดิลเส้นLบนแผนผังที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์ สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ^{[ 36 ]}

• Lมีขนาดใหญ่พอ
• สำหรับพันธุ์ย่อย (ที่ไม่สามารถลดทอนได้) ทุกชนิด${\displaystyle Y\subset X}$ในมิติบวก จะมีจำนวนเต็มบวกrและส่วนตัดขวาง${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$ซึ่งไม่ใช่ศูนย์โดยสมบูรณ์ แต่หายไป ณ จุดใดจุดหนึ่งของY
• สำหรับพันธุ์ย่อย (ที่ไม่สามารถลดทอนได้) ทุกชนิด${\displaystyle Y\subset X}$สำหรับมิติที่เป็นบวกลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกของกำลังของLบนYจะมีค่าเข้าสู่อนันต์:

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$เช่น${\displaystyle r\to \infty }$.

Robin Hartshorneนิยามว่าเวกเตอร์บันเดิลFบนโครงร่างเชิงโปรเจกที ฟ Xเหนือฟิลด์ จะถือว่าเพียงพอหากบันเดิลเส้นตรง${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$บนพื้นที่${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$ของไฮเปอร์เพลนในFนั้นมีมากมาย^{[ 37 ]}

คุณสมบัติหลายประการของบันเดิลเส้นที่กว้างขวางสามารถขยายไปสู่บันเดิลเวกเตอร์ที่กว้างขวางได้ ตัวอย่างเช่น บันเดิลเวกเตอร์Fจะกว้างขวางก็ต่อเมื่อกำลังสมมาตรสูงของFทำให้โคฮอโมโลยีเป็นศูนย์${\displaystyle H^{i}}$ของชีฟที่สอดคล้องกันสำหรับทุกคน${\displaystyle i>0}$[ ^{38 ]}นอกจากนี้^คลาส Chern${\displaystyle c_{r}(F)}$ของเวกเตอร์บันเดิลที่กว้างขวางจะมีดีกรีเป็นบวกในทุก ซับวาไรตี rมิติของXสำหรับ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$[ ^{39 ]​}

การลดทอนความกว้างขวางที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่ง โดยเฉพาะในเรขาคณิตเชิงไบราชันแนล คือแนวคิดของ บันเดิลเส้นใหญ่ บันเดิลเส้นLบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟXที่มีมิติnเหนือฟิลด์ จะเรียกว่าเป็นบันเดิลเส้นใหญ่ ถ้ามีจำนวนจริงบวกaและจำนวนเต็มบวก n${\displaystyle j_{0}}$โดยที่${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle j\geq j_{0}}$นี่คืออัตราการเติบโตสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับปริภูมิของส่วนต่างๆ ของกำลังของLในแง่ที่ว่าสำหรับมัดเส้นตรงL ทุกมัด บนXจะมีจำนวนบวกbที่มี${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$สำหรับทุกj > 0 ^{[ 40 ]}

นอกจากนี้ยังมีลักษณะเฉพาะอื่นๆ อีกหลายประการสำหรับมัดเส้นขนาดใหญ่ ประการแรก มัดเส้นจะมีขนาดใหญ่ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวกrที่ทำให้แผนที่เชิงตรรกะจากXไปยัง${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$กำหนดโดยส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle L^{\otimes r}}$เป็นไบราชันนัลบนภาพของมัน^{[ 41 ]}นอกจากนี้ บันเดิลเส้นLจะมีขนาดใหญ่ก็ต่อเมื่อมีกำลังเทนเซอร์บวกซึ่งเป็นผลคูณเทนเซอร์ของบันเดิลเส้นแอมเพิลAและบันเดิลเส้นที่มีประสิทธิภาพB (หมายความว่า${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$). ^{[ 42 ]}สุดท้ายแล้ว มัดเส้นจะมีขนาดใหญ่ก็ต่อเมื่อคลาสของมันใน${\displaystyle N^{1}(X)}$อยู่ในส่วนภายในของกรวยของตัวหารที่มีประสิทธิภาพ^{[ 43 ]}

ความใหญ่สามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกที่ไม่เปลี่ยนแปลงเชิงเหตุผลของความกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle f\colon X\to Y}$ถ้าเป็นการแมปเชิงตรรกะที่โดดเด่นระหว่างวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีมิติเดียวกัน การดึงกลับของบันเดิลเส้นใหญ่บนYก็จะใหญ่บนXด้วย (เมื่อมองแวบแรก การดึงกลับจะเป็นเพียงบันเดิลเส้นบนเซตย่อยเปิดของXที่f เป็นมอร์ฟิซึม แต่สิ่งนี้จะขยายไปยังบันเดิลเส้นบน Xทั้งหมดได้อย่างไม่ซ้ำกัน) สำหรับบันเดิลเส้นที่เพียงพอ เราสามารถกล่าวได้เพียงว่าการดึงกลับของบันเดิลเส้นที่เพียงพอโดยมอร์ฟิซึมจำกัดนั้นเพียงพอ^{[ 20 ]}

ตัวอย่าง: ให้Xเป็นการขยายของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ณ จุดหนึ่งบนจำนวนเชิงซ้อน ให้Hเป็นจุดดึงกลับไปยังXของเส้นตรงบน${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$และให้Eเป็นเส้นโค้งพิเศษของการระเบิด${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ดังนั้น ตัวหารH + Eจึงมีค่ามากแต่ไม่มากพอ (หรือแม้แต่น้อยเกินไป) บนXเพราะว่า

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

ความเป็น ลบนี้ยังหมายความว่าตำแหน่งฐานของH + E (หรือของจำนวนบวกใดๆ) ประกอบด้วยเส้นโค้งEอันที่จริง ตำแหน่งฐานนี้เท่ากับE

• เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ
• พันธุ์ฟาโน : พันธุ์ที่มีชุดข้อมูลมาตรฐานเป็นแบบต่อต้านแอมเพิล
• ทฤษฎีบทใหญ่ของมัตสึซากะ
• ระบบตัวหาร : ระบบที่ยอมรับกลุ่มเส้นจำนวนมาก

• บันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก
• ทฤษฎีบทการฝังตัวของโคไดระ : บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบกระชับ ความกว้างขวางและความเป็นบวกจะสอดคล้องกัน
• ทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระ
• ทฤษฎีบทระนาบไฮเปอร์ของเลฟเชตซ์ : ตัวหารแอมเพิลในวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนX มีความคล้ายคลึงทางโทโพโลยีกับX