ในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันผกผัน (adjoint functor) คือวิธีการให้ คำตอบ ที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาบางอย่างโดยใช้วิธีการที่เป็นสูตรสำเร็จตัวอย่างเช่น ปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีริงคือวิธีการเปลี่ยนrng (ซึ่งคล้ายกับริงที่อาจไม่มีเอกลักษณ์การคูณ) ให้เป็นริงวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดคือการเพิ่มสมาชิก '1' เข้าไปใน rng เพิ่มสมาชิกทั้งหมด (และเฉพาะ) ที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติตามสัจพจน์ของริง (เช่นr +1 สำหรับแต่ละrในริง) และไม่กำหนดความสัมพันธ์ใดๆ ในริงที่สร้างขึ้นใหม่ซึ่งไม่ได้ถูกบังคับโดยสัจพจน์ ยิ่งไปกว่านั้น การสร้างนี้เป็นสูตรสำเร็จในแง่ที่ว่ามันทำงานในลักษณะเดียวกันสำหรับ rng ใดๆ

คำอธิบายนี้ค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็ชวนให้คิด และสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นได้ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่: โครงสร้างจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดหากเป็นไปตามคุณสมบัติสากลและจะเป็นสูตรสำเร็จหากกำหนดฟังก์ชันคุณสมบัติสากลมีสองประเภท: คุณสมบัติเริ่มต้นและคุณสมบัติสุดท้าย เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็น แนวคิด คู่กันจึงจำเป็นต้องกล่าวถึงเพียงประเภทใดประเภทหนึ่งเท่านั้น

แนวคิดของการใช้คุณสมบัติเริ่มต้นคือการตั้งปัญหาในแง่ของหมวดหมู่เสริมE บางอย่าง เพื่อให้ปัญหาที่กำลังพิจารณาสอดคล้องกับการค้นหาวัตถุเริ่มต้นของEข้อดีของวิธีนี้คือ การหา ค่าที่เหมาะสมที่สุด —ในแง่ที่ว่ากระบวนการนี้ค้นหา วิธี แก้ ปัญหา ที่มีประสิทธิภาพที่สุด —มีความหมายที่เข้มงวดและเป็นที่รู้จักได้ คล้ายกับการบรรลุค่าสูงสุดหมวดหมู่Eยังเป็นสูตรสำเร็จในการสร้างนี้ด้วย เนื่องจากเป็นหมวดหมู่ขององค์ประกอบของฟังก์ชันที่เรากำลังสร้างตัวผกผันอยู่เสมอ

กลับมาที่ตัวอย่างของเรา: พิจารณาริงR ที่กำหนด และสร้างหมวดหมู่Eที่ มี วัตถุเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมR → S ของริง R โดยที่S เป็น ริงที่มีเอกลักษณ์การคูณมอร์ฟิซึมในEระหว่างR → S และR → S คือสามเหลี่ยมสลับที่ได้ในรูปแบบ ( R → S , R → S , S → S ) โดยที่S → S เป็นแผนที่ริง (ซึ่งรักษาเอกลักษณ์) (โปรดทราบว่านี่คือคำจำกัดความของหมวดหมู่คอมมาของRเหนือการรวมริงเอกภาพเข้ากับริง rng อย่างแม่นยำ) การมีอยู่ของมอร์ฟิซึมระหว่างR → S และR → S หมายความว่าS เป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพอย่างน้อยเท่ากับS สำหรับปัญหาของเรา: S สามารถมีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันและ/หรือความสัมพันธ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยสัจพจน์ได้มากกว่าS ดังนั้น การยืนยันว่าวัตถุR → R ^∗เป็นวัตถุเริ่มต้นในEกล่าวคือ มีมอร์ฟิซึมจากวัตถุนั้นไปยังสมาชิกอื่นใดในEหมายความว่าริงR * เป็น วิธีแก้ปัญหา ที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาของเรา

ข้อเท็จจริงสองประการที่ว่าวิธีการแปลง rng ให้เป็นริงนี้มีประสิทธิภาพและเป็นไปตามสูตร มากที่สุด สามารถแสดงออกมาพร้อมกันได้โดยการกล่าวว่ามันกำหนดฟังก์ชันผกผัน (adjoint functor ) กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น: ให้Fแทนกระบวนการข้างต้นของการเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับ rng ดังนั้นF ( R ) = R ^*ให้Gแทนกระบวนการของการ "ลืม" ว่าริงS มีเอกลักษณ์หรือ ไม่และพิจารณามันเป็นเพียง rng ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วG ( S ) = Sแล้วFคือฟังก์ชันผกผันซ้ายของG

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าเรายังไม่ได้สร้างR ^∗ ขึ้นมาจริง ๆ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางพีชคณิตที่สำคัญและไม่ใช่เรื่องง่ายเลยที่ฟังก์ชันผกผันซ้ายR → R ^∗ นั้น มีอยู่จริง

นอกจากนี้ยังสามารถเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันFและตั้งคำถาม (ที่ไม่ชัดเจน) ต่อไปนี้ได้: มีปัญหาใดบ้างที่Fเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพที่สุด?

ในแง่ที่เข้มงวดแนวคิดที่ว่าFเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาที่G ตั้งขึ้นนั้น เทียบเท่ากับแนวคิดที่ว่า Gตั้งปัญหาที่ยากที่สุดที่Fสามารถแก้ไข ได้

นี่คือเหตุผลที่ทำให้ฟังก์ชันผกผันมักเกิดขึ้นเป็นคู่: ถ้าFเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของGแล้วG จะ เป็นฟังก์ชันผกผันขวาของF

ทฤษฎีตัวผกผันมีพื้นฐานมาจากคำว่าซ้ายและขวาและมีส่วนประกอบหลายอย่างที่อยู่ในสองหมวดหมู่CและDที่กำลังพิจารณาอยู่ ดังนั้น การเลือกตัวอักษรตามลำดับตัวอักษรว่าอยู่ในหมวดหมู่ "ซ้ายมือ" Cหรือหมวดหมู่ "ขวามือ" Dและเขียนตามลำดับนี้ทุกครั้งที่เป็นไปได้ จึงอาจเป็นประโยชน์

ในบทความนี้ ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรX , F , f , ε จะใช้แทนสิ่งต่างๆ ที่อยู่ในหมวดหมู่C อย่างสม่ำเสมอ ตัวอักษรY , G , g , η จะใช้แทนสิ่งต่างๆ ที่อยู่ในหมวดหมู่Dอย่างสม่ำเสมอ และเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ สิ่งต่างๆ เหล่านั้นจะถูกอ้างถึงตามลำดับจากซ้ายไปขวา (ฟังก์ชันF  : D → Cสามารถคิดได้ว่า "มีชีวิต" อยู่ที่ผลลัพธ์ของมันในC ) หากวาดลูกศรสำหรับฟังก์ชันผกผันซ้าย F ลูกศรจะชี้ไปทางซ้าย หากวาดลูกศรสำหรับฟังก์ชันผกผันขวา G ลูกศรจะชี้ไปทางขวา

ตามนิยามแล้ว ฟังก์ชัน ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$จะเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายก็ต่อเมื่อสำหรับแต่ละวัตถุ${\displaystyle X}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$มีมอร์ฟิซึมสากล จาก${\displaystyle F}$ถึง${\displaystyle X}$กล่าวโดยละเอียด หมายความว่าสำหรับแต่ละวัตถุ${\displaystyle X}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$มีวัตถุอยู่ ${\displaystyle G(X)}$ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle \varepsilon _{X}:F(G(X))\to X}$โดยที่สำหรับวัตถุทุกชิ้น ${\displaystyle Y}$ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$และทุกมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:F(Y)\to X}$มีมอร์ฟิซึมที่เป็นเอกลักษณ์อยู่ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$กับ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(g)=f}$.

สมการหลังนี้แสดงได้ด้วยแผนภาพการสลับตำแหน่ง ดังต่อไปนี้ :

ในสถานการณ์นี้ เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า${\displaystyle G}$สามารถแปลงเป็นฟังก์ชันได้${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ในลักษณะที่ไม่เหมือนใคร ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}}$ สำหรับมอร์ฟิซึมทั้งหมด${\displaystyle f:X'\to X}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$;${\displaystyle F}$จากนั้นจึงเรียกว่าตัวผกผันซ้ายของ${\displaystyle G}$.

ในทำนองเดียวกัน เราอาจกำหนดฟังก์ชันผกผันขวาได้ ฟังก์ชัน${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$จะเป็นฟังก์ชันผกผันขวาถ้าสำหรับแต่ละวัตถุ${\displaystyle Y}$ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$มีมอร์ฟิซึมสากลจาก${\displaystyle Y}$ถึง${\displaystyle G}$กล่าวโดยละเอียด หมายความว่าสำหรับแต่ละวัตถุ${\displaystyle Y}$ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$มีวัตถุอยู่จริง${\displaystyle F(Y)}$ใน${\displaystyle C}$และมอร์ฟิซึม${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$โดยที่สำหรับวัตถุทุกชิ้น${\displaystyle X}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ และทุกมอร์ฟิซึม${\displaystyle g:Y\to G(X)}$มีมอร์ฟิซึมที่เป็นเอกลักษณ์อยู่${\displaystyle f:F(Y)\to X}$กับ${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$.

อีกครั้งหนึ่ง นี่คือเรื่องนี้${\displaystyle F}$สามารถแปลงเป็นฟังก์ชันได้อย่างเฉพาะเจาะจง${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$โดยที่${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$สำหรับ${\displaystyle g:Y\to Y'}$มอร์ฟิซึมใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$;${\displaystyle G}$จากนั้นจึงเรียกว่าตัวผกผันขวาของ${\displaystyle F}$.

เป็นความจริงอย่างที่คำศัพท์บ่งบอกไว้ว่า${\displaystyle F}$อยู่ติดกับด้านซ้าย${\displaystyle G}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle G}$อยู่ติดกับ${\displaystyle F}$.

คำจำกัดความเหล่านี้ผ่านทางมอร์ฟิซึมสากลนั้นมักมีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายหรือขวา เนื่องจากมีข้อกำหนดที่น้อยที่สุด นอกจากนี้ยังมีความหมายที่เข้าใจได้ง่าย เนื่องจาก1การค้นหามอร์ฟิซึมสากลนั้นคล้ายกับการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

การใช้hom-setsซึ่งเป็นการเชื่อมโยงระหว่างสองหมวดหมู่${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$สามารถนิยามได้ว่าประกอบด้วยฟังก์ชัน สองตัว${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$และ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$และไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ$${\displaystyle \Phi$$ :\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(-,G-).} นี่ระบุตระกูลของการบิดเบี้ยว $${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ สำหรับวัตถุทั้งหมด${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$และ${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}.}$

ในสถานการณ์นี้${\displaystyle F}$อยู่ติดกับด้านซ้าย${\displaystyle G}$และ${\displaystyle G}$อยู่ติดกับ${\displaystyle F}$.

นิยามนี้เป็นการประนีประนอมเชิงตรรกะ เนื่องจากยากกว่าที่จะพิสูจน์ว่าตรงตามเงื่อนไขมากกว่านิยามของมอร์ฟิซึมสากล และมีนัยสำคัญโดยตรงน้อยกว่านิยามของโคยูนิต-ยูนิต อย่างไรก็ตาม นิยามนี้มีประโยชน์เพราะมีความสมมาตรที่ชัดเจน และเป็นก้าวสำคัญระหว่างนิยามอื่นๆ

เพื่อที่จะตีความ${\displaystyle \Phi }$ในฐานะที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติเราต้องตระหนักว่า${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)}$และ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)}$ในฐานะฟังก์ชัน ในความเป็นจริง ทั้งคู่เป็นไบฟังก์ชันจาก${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}}$ถึง${\displaystyle \mathbf {Set} }$( หมวดหมู่ของเซต ) สำหรับรายละเอียด โปรดดูบทความเกี่ยวกับhom-functorsเมื่ออธิบายอย่างละเอียดแล้ว ความเป็นธรรมชาติของ${\displaystyle \Phi }$หมายความว่าสำหรับมอร์ฟิซึม ทั้งหมด${\displaystyle f:X\to X'}$ใน${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และมอร์ฟิซึมทั้งหมด${\displaystyle g:Y'\to Y}$ใน${\displaystyle {\mathcal {D}}}$แผนภาพต่อไปนี้สามารถสลับลำดับได้ :

ลูกศรแนวตั้งในแผนภาพนี้ (${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$และ${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f)}$) คือค่าที่เกิดจากองค์ประกอบ ในทางทฤษฎีแล้ว${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')}$ได้รับจาก${\displaystyle h\mapsto f\circ h\circ Fg}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).}$${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$คล้ายกัน

วิธีที่สามในการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสองหมวดหมู่${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ประกอบด้วยฟังก์ชัน สองตัว${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$และ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$และการเปลี่ยนแปลงทางธรรมชาติ สองอย่าง$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$$ เรียกตามลำดับว่าหน่วยร่วมและหน่วยของการเชื่อมโยง (ศัพท์เฉพาะจากพีชคณิตสากล ) โดยที่การประกอบกัน $${\displaystyle F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F}$$$${\displaystyle G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G}$$ มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์คืออะไร${\displaystyle 1_{F}}$และ${\displaystyle 1_{G}}$บนFและGตามลำดับ

ในสถานการณ์นี้ เรากล่าวว่าF เป็นตัวผกผันซ้ายของGและG เป็นตัวผกผันขวาของFและเราอาจแสดงความสัมพันธ์นี้โดยการเขียน${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ หรือพูดง่ายๆ ก็คือ${\displaystyle F\dashv G}$ .

ในรูปแบบสมการ เงื่อนไขข้างต้นเกี่ยวกับ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta )}$สมการโคยูนิต-ยูนิต$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$$ ซึ่งหมายความว่าสำหรับแต่ละ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$และแต่ละ${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่า${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$หมายถึงฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหมวดหมู่${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle 1_{F}}$แสดงถึงการแปลงธรรมชาติเอกลักษณ์จากฟังก์ชันFไปยังตัวมันเอง และ${\displaystyle 1_{FY}}$แสดงถึงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของวัตถุ${\displaystyle FY}$.

สมการเหล่านี้มีประโยชน์ในการลดทอนการพิสูจน์เกี่ยวกับฟังก์ชันผกผันให้เหลือเพียงการจัดการทางพีชคณิต บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์สามเหลี่ยมหรือบางครั้ง เรียก ว่าสมการซิกแซกเนื่องจากลักษณะของแผนภาพสตริง ที่สอดคล้องกัน วิธีจำง่ายๆ คือเขียนสมการที่ไม่สมเหตุสมผลลงไปก่อน${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$จากนั้นให้เติมFหรือG ลงไป ในสองวิธีง่ายๆ ซึ่งจะทำให้องค์ประกอบของเพลงมีความชัดเจน

หมายเหตุ: การใช้คำนำหน้า "co" ใน counit ที่นี่ไม่สอดคล้องกับศัพท์เฉพาะของ limit และ colimit เพราะ colimit มี คุณสมบัติ เริ่มต้นในขณะที่ counit morphism มี คุณสมบัติ สุดท้ายและในทางกลับกันสำหรับ limit กับ unit คำว่าunit ในที่ นี้ยืมมาจากทฤษฎีของmonadsซึ่งมีลักษณะเป็นการแทรกเอกลักษณ์1เข้าไปในmonoid

การสร้างกลุ่มอิสระเป็นตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปและให้ความกระจ่างอย่างชัดเจน

ให้F  : Set → Grpเป็นฟังก์ชันที่กำหนดกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นจากสมาชิกของ Y ให้กับแต่ละเซตY และให้G : Grp → Set เป็นฟังก์ชันลืมที่กำหนดเซตพื้นฐานของ กลุ่ม X ให้กับแต่ละกลุ่ม จากนั้น Fเป็นตัวผกผันซ้ายของG : 

มอร์ฟิซึมเริ่มต้น

สำหรับแต่ละเซตYเซตGFYก็คือเซตพื้นฐานของกลุ่มอิสระFYที่สร้างขึ้นโดยYนั่นเอง ให้${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ให้ เป็นแผนที่เซตที่กำหนดโดย "การรวมตัวสร้าง" นี่คือมอร์ฟิซึมเริ่มต้นจากYไปยังGเพราะแผนที่เซตใดๆ จากYไปยังเซตพื้นฐานGWของกลุ่มW บางกลุ่ม จะแยกตัวประกอบผ่าน${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันจากFYไปยังWนี่คือคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระบน Y อย่าง แท้จริง

มอร์ฟิซึมปลายทาง

สำหรับแต่ละกลุ่มXกลุ่มFGXคือกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นอย่างอิสระโดยGXซึ่งเป็นสมาชิกของXให้${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ให้กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึมเป็นการส่งตัวสร้างของFGXไปยังองค์ประกอบของXที่สอดคล้องกัน ซึ่งมีอยู่โดยคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระ จากนั้นแต่ละ${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$เป็นมอร์ฟิซึมปลายทางจากFไปยังXเพราะโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มใดๆ จากกลุ่มอิสระFZไปยังXจะแยกตัวประกอบผ่าน${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ผ่านแผนที่เซตเฉพาะจากZไปยังGXซึ่งหมายความว่า( F , G )เป็นคู่ผกผัน

การเชื่อมต่อแบบโฮมเซต

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มอิสระFYไปยังกลุ่มXสอดคล้องอย่างแม่นยำกับแผนที่จากเซตYไปยังเซตGX : โฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัวจากFYไปยังX ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการกระทำต่อตัวสร้าง ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำอีกครั้งถึงคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระ เราสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าความสอดคล้องนี้เป็นการแปลงตามธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าเป็นการเชื่อมโยงโฮโมมอร์ฟิซึม กับเซตสำหรับคู่( F , G )

การเชื่อมต่อระหว่างหน่วยย่อย

นอกจากนี้ยังสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าεและηเป็นธรรมชาติ จากนั้นจึงสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าพวกมันก่อให้เกิดการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อยกับหน่วยย่อย${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$มีรายละเอียดดังนี้:

สมการโคยูนิต-ยูนิตแรก

${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$กล่าวว่าสำหรับแต่ละเซตYองค์ประกอบ $${\displaystyle FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY}$$ ควรจะเป็นเอกลักษณ์ กลุ่มตัวกลางFGFYคือกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นอย่างอิสระโดยคำต่างๆ ของกลุ่มอิสระFY (คิดว่าคำเหล่านี้อยู่ในวงเล็บเพื่อแสดงว่าเป็นตัวสร้างอิสระ) ลูกศร${\displaystyle F(\eta _{Y})}$คือโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากFYไปยังFGFY โดยส่งตัวสร้าง yแต่ละตัวของFYไปยังคำที่มีความยาวหนึ่งที่สอดคล้องกัน ( y ) เป็นตัวสร้างของFGFYลูกศร${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$คือโฮโมมอ ร์ฟิซึมของกลุ่มจากFGFYไปยังFYโดยส่งตัวสร้างแต่ละตัวไปยังคำของFY ที่สอดคล้องกัน (ดังนั้นแผนที่นี้จึง "ตัดวงเล็บออก") การประกอบของแผนที่เหล่านี้คือเอกลักษณ์บน FYอย่างแท้จริง

สมการโคยูนิต-ยูนิตที่สอง

${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$กล่าวว่าสำหรับแต่ละกลุ่มXองค์ประกอบ $${\displaystyle GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX}$$ ควรจะเป็นเอกลักษณ์ เซตตัวกลางGFGXก็คือเซตพื้นฐานของFGXนั่นเอง ลูกศร${\displaystyle \eta _{GX}}$คือ "การรวมตัวสร้าง" ซึ่งเป็นแผนที่ชุดจากชุดGXไปยังชุดGFGXลูกศร${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$คือแผนที่เซตจากGFGXไปยังGXซึ่งเป็นพื้นฐานของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ส่งตัวสร้างแต่ละตัวของFGXไปยังองค์ประกอบของXที่มันสอดคล้องกัน ("ละวงเล็บ") การประกอบกันของแผนที่เหล่านี้คือเอกลักษณ์บนGXนั่นเอง

วัตถุอิสระทั้งหมดเป็นตัวอย่างของตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมซึ่งกำหนดเซตพื้นฐานให้กับวัตถุพีชคณิตฟังก์ชันอิสระ เชิงพีชคณิตเหล่านี้ โดยทั่วไปมีคำอธิบายเช่นเดียวกับคำอธิบายโดยละเอียดของสถานการณ์กลุ่มอิสระข้างต้น

ผลิตภัณฑ์ , พูลแบ็ก , อีควอไลเซอร์และเคอร์เนล ล้วนเป็นตัวอย่างของแนวคิดเชิงหมวดหมู่ของลิมิตฟังก์ชันลิมิตใดๆ ก็ตามจะเป็นแอดจอยต์ทางขวาของฟังก์ชันแนวทแยงที่สอดคล้องกัน (โดยที่หมวดหมู่มีประเภทของลิมิตที่กล่าวถึง) และโคยูนิตของแอดจอยต์จะให้แผนที่กำหนดจากออบเจ็กต์ลิมิต (เช่น จากฟังก์ชันแนวทแยงบนลิมิต ในหมวดหมู่ฟังก์ชัน) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะบางส่วน

โคโปรดักต์พุชเอาต์โค อี ควอไลเซอร์และโคเคอร์เนล ล้วนเป็นตัวอย่างของแนวคิดเชิงหมวดหมู่ของโคลิมิตฟังก์ชันโคลิมิตใดๆ จะเป็นแอดจอยต์ซ้ายของฟังก์ชันแนวทแยงที่สอดคล้องกัน (โดยที่หมวดหมู่มีประเภทของโคลิมิตที่กล่าวถึง) และหน่วยของแอดจอยต์จะให้แผนที่กำหนดไปยังวัตถุโคลิมิต ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะบางส่วน

• ผลคูณร่วม (Coproducts ) ถ้าF  : Ab ² → Ab กำหนดค่า ผลรวมโดยตรงให้กับทุกคู่( X , X )ของกลุ่มอาเบเลียนและถ้าG : Ab → Ab ²เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าคู่( Y , Y ) ให้กับทุกกลุ่มอาเบเลียน Yแล้วFจะเป็นตัวผกผันซ้ายของGซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติสากลของผลรวมโดยตรง หน่วยของคู่ผกผันนี้คือคู่แผนที่การรวมจากX และX ไปยังผลรวมโดยตรง และหน่วยร่วม (counit) คือแผนที่การบวกจากผลรวมโดยตรงของ( X , X )กลับไปยังX (โดยส่งองค์ประกอบ( a , b )ของผลรวมโดยตรงไปยังองค์ประกอบa + bของX ) 
  ตัวอย่างที่คล้ายคลึงกัน ได้แก่ผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์และโมดูลผลคูณอิสระของกลุ่ม และการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเซต

เมื่อกำหนดฟังก์ชันผกผันขวาG  : C → Dในความหมายของมอร์ฟิซึมเริ่มต้นแล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซตโฮมที่เหนี่ยวนำได้โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

• สร้างฟังก์ชันF  : D → Cและการแปลงธรรมชาติ η
  • สำหรับแต่ละวัตถุYในDให้เลือกมอร์ฟิซึมเริ่มต้น ( F ( Y ), η ) จากYไปยังGโดยที่η   : Y → G ( F ( Y ))เรามีแผนที่ของFบนวัตถุและตระกูลของมอร์ฟิซึมη
  • สำหรับแต่ละf  : Y → Y โดยที่( F ( Y ), η )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้น จากนั้นให้แยกตัวประกอบη ∘ Fกับη แล้วจะได้F ( f )  : F ( Y ) → F ( Y )นี่คือแผนที่ของFบนมอร์ฟิซึม
  • แผนภาพการสลับตำแหน่งของการแยกตัวประกอบนั้นบ่งบอกถึงแผนภาพการสลับตำแหน่งของการแปลงธรรมชาติ ดังนั้นη  : 1 → G ∘ Fจึงเป็นการแปลงธรรมชาติ
  • ความเป็นเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบนั้นและการที่Gเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ว่าแผนที่ของFบนมอร์ฟิซึมจะรักษาการประกอบและเอกลักษณ์ไว้
• สร้างไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติΦ  : hom ( F − , − ) → hom ( − , G − ) .
  • สำหรับวัตถุX แต่ละตัว ในCและวัตถุY แต่ละ ในDโดยที่( F ( Y ), ηY )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้น ดังนั้น , โดยที่ΦY ( f  : F ( Y ) → X ) G ( F ) ∘ ηY
  • ถ้า ηเป็นการแปลงธรรมชาติ และGเป็นฟังก์ชัน แล้วสำหรับวัตถุใดๆX , X ในC , วัตถุใดๆY , Y ใน D}}, x  ใดๆ : X → X , y  ใดๆ : Y → Y เราจะได้Φ , X ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η ∘ y = G ( x ) ∘ Φ , X ( ∘ ) ∘ yแล้วΦก็เป็นการแปลงธรรมชาติในอาร์กิวเมนต์ทั้งสองด้วย

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันนี้ทำให้เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซตโฮมจากมอร์ฟิซึมปลายทางไปยังฟังก์ชันผกผันซ้ายได้ (การสร้างที่เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันผกผันขวาพบได้บ่อยกว่าเล็กน้อย เนื่องจากฟังก์ชันผกผันขวาในคู่ฟังก์ชันผกผันหลายคู่เป็นฟังก์ชันการรวมหรือฟังก์ชันลืมที่นิยามไว้อย่างชัดเจน)

เมื่อกำหนดฟังก์ชันF  : D → C , G  : C → Dและการเชื่อมโยงหน่วยร่วม(ε, η)  : F ⊣ Gแล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซต hom ได้โดยการค้นหาการแปลงธรรมชาติΦ  : hom ( F − , − ) → hom ( − , G − )ตามขั้นตอนต่อไปนี้:

• สำหรับแต่ละf  : FY → Xและแต่ละg  : Y → GXให้กำหนด$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$การแปลง Φ และ Ψ เป็นไปตามธรรมชาติเนื่องจาก η และ ε เป็นไปตามธรรมชาติ
• โดยใช้หลักการที่ว่าFเป็นฟังก์ชัน, εเป็นธรรมชาติ และสมการโคยูนิต-ยูนิต1 = ε ∘ F (η )ตามลำดับ เราจะได้$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$$ดังนั้น ΨΦ จึงเป็นการแปลงเอกลักษณ์
• ในทำนองเดียวกัน โดยใช้ว่าGเป็นฟังก์ชัน, ηเป็นธรรมชาติ และสมการโคยูนิต-ยูนิต1 = G (ε ) ∘ η เราจะได้$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$$ดังนั้นΦΨจึงเป็นการแปลงเอกลักษณ์ ดังนั้นΦ จึง เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติที่มีอินเวอร์สΦ ⁻¹ = Ψ

เมื่อกำหนดฟังก์ชันF  : D → C , G  : C → Dและการเชื่อมโยงเซต hom Φ  : hom ( F − , − ) → hom ( − , G − )แล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อยกับหน่วยย่อยได้

$${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G,}$$

ซึ่งกำหนดกลุ่มของมอร์ฟิซึมเริ่มต้นและมอร์ฟิซึมสุดท้าย โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้:

• อนุญาต${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$สำหรับแต่ละXในCโดยที่${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์
• อนุญาต${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$สำหรับแต่ละYในDโดยที่${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์
• คุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวและเป็นธรรมชาติของΦบ่งชี้ว่าแต่ละ( GX , ε )เป็นมอร์ฟิซึมปลายทางจากFไปยังXในCและแต่ละ( FY , η )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้นจากYไปยังGในD
• ความเป็นธรรมชาติของΦบ่งบอกถึงความเป็นธรรมชาติของεและηและสูตรทั้งสอง$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$สำหรับแต่ละf : FY → Xและg : Y → GX (ซึ่งกำหนดค่าΦ ได้อย่างสมบูรณ์ )
• เมื่อแทนค่า FYด้วยXและη = Φ (1 )ด้วยgในสูตรที่สอง จะได้สมการหน่วยย่อยแรก$${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}),}$$และการแทนที่GXด้วยYและ ε = Φ ⁻¹ (1 )}} ด้วยfในสูตรแรกจะให้สมการหน่วยย่อยที่สอง$${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.}$$

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันG  : C → Dจะมีตัวผกผันซ้าย ถ้าCเป็นหมวดหมู่สมบูรณ์ฟังก์ชันที่มีตัวผกผันซ้ายสามารถระบุลักษณะได้โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันของปีเตอร์ เจ. เฟรย์ด : Gมีตัวผกผันซ้ายก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องและตรงตามเงื่อนไขความเล็กบางประการ: สำหรับทุกวัตถุYของDจะมีตระกูลของมอร์ฟิซึมอยู่

โดยที่ดัชนีiมาจากเซตIไม่ใช่คลาสที่แท้จริงซึ่งทำให้มอร์ฟิซึมทุกตัว

สามารถเขียนได้ดังนี้

h = G ( t )${\displaystyle \circ }$เอฟ

สำหรับi บางตัว ในIและมอร์ฟิซึมบางตัว

ข้อความในทำนองเดียวกันนี้อธิบายถึงฟังก์ชันที่มีแอดจอยต์ทางขวา

กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นถ้า${\displaystyle F:C\to D}$เป็นฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่น จากนั้น

• Fมีตัวผกผันขวา (right adjoint) ก็ต่อเมื่อFรักษาขอบเขตร่วมขนาดเล็ก (small colimits) ไว้
• Fมีแอดจอยต์ซ้ายก็ต่อเมื่อFรักษาลิมิตเล็ก ๆ และเป็นฟังก์ชันที่เข้าถึงได้

ถ้าฟังก์ชันF  : D → Cมีตัวผกผันทางขวา 2 ตัว คือGและG ′แล้วGและG ′จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันโดยธรรมชาติและเช่นเดียวกันสำหรับตัวผกผันทางซ้าย

ในทางกลับกัน ถ้าFเป็นตัวผกผันซ้ายของGและGเป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติของG ′แล้วFก็จะเป็นตัวผกผันซ้ายของG ′ ด้วย โดยทั่วไปแล้ว ถ้า⟨ F , G , ε, η⟩เป็นการเชื่อมโยง (ที่มีหน่วยร่วม–หน่วย( ε , η ) ) และ {{block indent| σ  : F → F ′ {{block indent| τ  : G → G ′ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ แล้ว⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩เป็นการเชื่อมโยงที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$$ ที่นี่${\displaystyle \circ }$แสดงถึงองค์ประกอบแนวตั้งของการแปลงทางธรรมชาติ และ${\displaystyle \ast }$แสดงถึงองค์ประกอบแนวนอน

การเชื่อมโยงสามารถประกอบเข้าด้วยกันได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า⟨ F , G , ε , η ⟩เป็นการเชื่อมโยงระหว่างCและDและ⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩เป็นการเชื่อมโยงระหว่างDและEแล้วฟังก์ชัน $${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$$ อยู่ติดกับด้านซ้าย $${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$$ กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น คือมีการเชื่อมต่อระหว่างFF ′และG ′ Gโดยมีหน่วยและหน่วยย่อยที่กำหนดโดยองค์ประกอบตามลำดับ: $${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$$ การเชื่อมโยงแบบใหม่นี้เรียกว่าการประกอบกันของการเชื่อมโยงสองแบบที่กำหนดให้

เนื่องจากมีวิธีการที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดความสัมพันธ์แบบเอกลักษณ์ระหว่างหมวดหมู่Cกับตัวมันเอง ดังนั้นจึงสามารถสร้างหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก ทั้งหมด และมีมอร์ฟิซึมเป็นความสัมพันธ์แบบเอกลักษณ์ได้

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของตัวผกผันคือความต่อเนื่อง: ฟังก์ชันทุกตัวที่มีตัวผกผันซ้าย (และดังนั้นจึงเป็นตัวผกผันขวา) จะมีความต่อเนื่อง (กล่าวคือ สลับที่ได้กับลิมิตในความหมายเชิงทฤษฎีของหมวดหมู่) ฟังก์ชันทุกตัวที่มีตัวผกผันขวา (และดังนั้นจึงเป็นตัวผกผันซ้าย) จะมีความต่อเนื่องร่วม (กล่าวคือ สลับที่ได้กับโคลิมิต )

เนื่องจากโครงสร้างทั่วไปหลายอย่างในคณิตศาสตร์เป็นลิมิตหรือโคลิมิต จึงทำให้ได้ข้อมูลมากมาย ตัวอย่างเช่น:

• การใช้ฟังก์ชันผกผันทางขวา (right adjoint functor) กับผลคูณของวัตถุจะให้ผลคูณของภาพ
• การใช้ฟังก์ชันผกผันซ้ายกับผลคูณร่วมของวัตถุจะให้ผลคูณร่วมของภาพ
• ฟังก์ชันผกผันขวาทุกตัวระหว่างหมวดหมู่อาเบเลียนสองหมวดหมู่เป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายที่แม่นยำ
• ฟังก์ชันผกผันซ้ายทุกตัวระหว่างหมวดหมู่อาเบเลียนสองหมวดหมู่เป็นฟังก์ชันสัมบูรณ์ขวา

ถ้าCและDเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกและF  : D → Cเป็นฟังก์ชันบวกที่มีตัวผกผันขวาG  : C → Dแล้วGก็เป็นฟังก์ชันบวกเช่นกัน และการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของเซตโฮม

$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ อันที่จริงแล้ว พวกมันคือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียน ในทางกลับกัน ถ้าGมีคุณสมบัติการบวกกับF ซึ่งเป็นตัวผกผันทางซ้าย แล้วFก็มีคุณสมบัติการบวกเช่นกัน

นอกจากนี้ หากทั้งCและDเป็นหมวดหมู่แบบบวก (กล่าวคือ หมวดหมู่แบบก่อนบวกที่มีผลคูณ ร่วมจำกัดทั้งหมด ) แล้วคู่ของฟังก์ชันผกผันใดๆ ระหว่างทั้งสองก็จะเป็นแบบบวกโดยอัตโนมัติ

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ การเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่CและDก่อให้เกิดตระกูลของมอร์ฟิซึมสากลหนึ่งตัวสำหรับแต่ละวัตถุในCและอีกหนึ่งตัวสำหรับแต่ละวัตถุในDในทางกลับกัน หากมีมอร์ฟิซึมสากลไปยังฟังก์ชันG  : C → DจากทุกวัตถุของDแล้วGจะมีแอดจอยต์ซ้าย

อย่างไรก็ตาม โครงสร้างสากลนั้นมีความทั่วไปมากกว่าฟังก์ชันผกผัน: โครงสร้างสากลนั้นคล้ายกับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด มันจะก่อให้เกิดคู่ผกผันก็ต่อเมื่อปัญหานี้มีคำตอบสำหรับทุกวัตถุของD (หรือเทียบเท่ากับทุกวัตถุของC )

ถ้าฟังก์ชันF  : D → Cเป็นครึ่งหนึ่งของการสมมูลของหมวดหมู่แล้ว ฟังก์ชันนั้นจะเป็นตัวผกผันซ้ายในการสมมูลผกผันของหมวดหมู่ กล่าวคือ เป็นการเชื่อมโยงที่หน่วยและหน่วยร่วมเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ทุกการเชื่อมโยง⟨ F , G , ε , η ⟩ขยายความสมมูลของหมวดหมู่ย่อยบางหมวดหมู่ กำหนดให้C เป็นหมวดหมู่ย่อยสมบูรณ์ของCที่ประกอบด้วยวัตถุXของCซึ่งε เป็นไอโซมอร์ฟิซึม และกำหนดให้D เป็นหมวดหมู่ย่อยสมบูรณ์ของDที่ประกอบด้วยวัตถุYของDซึ่งη เป็นไอโซมอร์ฟิซึม จากนั้น FและGสามารถจำกัดให้อยู่ในD และC และให้ความสมมูลผกผันของหมวดหมู่ย่อยเหล่านี้ได้

ในแง่หนึ่งแล้ว ตัวผกผันร่วม (adjoints) ก็คือตัวผกผันแบบ "ทั่วไป" (generalized inverses) อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวผกผันทางขวาของF (เช่น ฟังก์ชันGที่FGเป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติกับ1 )ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวผกผันร่วมทางขวา (หรือทางซ้าย) ของFตัวผกผันร่วมเป็นการขยายแนวคิดของตัวผกผันสองด้าน

การเชื่อมโยงทุกแบบ⟨ F , G , ε , η ⟩ก่อให้เกิดโมนาด ที่เกี่ยวข้อง ⟨ T , η , μ ⟩ในหมวดหมู่Dฟังก์ชัน $${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$$ กำหนดโดยT = GFหน่วยของโมนาด $${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$$ เป็นเพียงหน่วยηของการเชื่อมโยงและการแปลงการคูณ เท่านั้น$${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$$ กำหนดโดยμ = GεFในทางกลับกัน สามสิ่ง⟨ FG , ε , FηG ⟩กำหนด โคโม นาดในC

โมนาดทุกตัวเกิดขึ้นจากการเชื่อมโยงบางอย่าง—อันที่จริง โดยทั่วไปแล้วเกิดจากการเชื่อมโยงหลายอย่าง—ในลักษณะข้างต้น โครงสร้างสองแบบที่เรียกว่าหมวดหมู่ของพีชคณิตไอเลนเบิร์ก-มัวร์และหมวดหมู่ไคลส์ลีเป็นสองวิธีแก้ปัญหาสุดขั้วสำหรับปัญหาในการสร้างการเชื่อมโยงที่ก่อให้เกิดโมนาดที่กำหนดให้