ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตผลคูณไฟเบอร์ของสกีมเป็นโครงสร้างพื้นฐานอย่างหนึ่ง มันมีการตีความและกรณีพิเศษมากมาย ตัวอย่างเช่น ผลคูณไฟเบอร์อธิบายว่าวาไรตี้เชิงพีชคณิต บน ฟิลด์หนึ่งกำหนดวาไรตี้บนฟิลด์ที่ใหญ่กว่าได้อย่างไร หรือการดึงกลับของตระกูลวาไรตี้ หรือไฟเบอร์ของตระกูลวาไรตี้การเปลี่ยนฐานเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

หมวดหมู่ของสกีม (schemes ) เป็นขอบเขตที่กว้างขวางสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ปรัชญาที่มีประโยชน์ (ที่รู้จักกันในชื่อมุมมองเชิงสัมพัทธ์ของ Grothendieck ) คือ เรขาคณิตเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่ควรพัฒนาขึ้นสำหรับมอร์ฟิซึมของสกีมX → Y (เรียกว่าสกีมX บนY ) มากกว่าสำหรับสกีมX เดียว ตัวอย่างเช่น แทนที่จะศึกษาเฉพาะเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเราสามารถศึกษาตระกูลของเส้นโค้งบนสกีมฐานY ใดๆ ก็ได้ อันที่จริงแล้ว ทั้งสองแนวทางต่างเสริมซึ่งกันและกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนผังเหนือวงแหวนสลับที่RหมายถึงแผนผังXพร้อมกับมอร์ฟิซึมX → Spec ( R ) แนวคิดเก่าของวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์kเทียบเท่ากับแผนผังเหนือk ที่มีคุณสมบัติบางอย่าง (มีข้อตกลงที่แตกต่างกันสำหรับแผนผังใดที่ควรเรียกว่า "วาไรตี้" ตัว เลือกมาตรฐานอย่างหนึ่งคือ วาไรตี้เหนือฟิลด์kหมายถึง แผนผัง แยกจำนวนเต็มของประเภทจำกัดเหนือk [ ^{1 ] )}

โดยทั่วไปแล้ว มอร์ฟิซึมของสกีมX → Yสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นตระกูลของสกีมที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจุดต่างๆ ของYเมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมจากสกีมอื่นZไปยังYแล้ว ควรจะมีตระกูลของสกีมแบบ "พูลแบ็ก" เหนือZซึ่งก็คือผลคูณไฟเบอร์X × Z → Zนั่นเอง

ในทางรูปแบบ: คุณสมบัติที่มีประโยชน์ของหมวดหมู่ของแผนผังคือผลคูณไฟเบอร์มีอยู่เสมอ^{[ 2 ]}นั่นคือ สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆ ของแผนผังX → YและZ → YจะมีแผนผังX × Zที่มีมอร์ฟิซึมไปยังXและZทำให้ไดอะแกรม

สลับที่ได้และมี คุณสมบัติ สากลด้วย นั่นคือ สำหรับแผนผังW ใดๆ ที่มีมอร์ฟิซึมไปยังXและZซึ่งการประกอบไปยังYเท่ากัน จะมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันจากWไปยังX × Zที่ทำให้ไดอะแกรมสลับที่ได้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติสากลเสมอ เงื่อนไขนี้กำหนดแผนผังX × Zได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน หากมีอยู่ การพิสูจน์ว่าผลคูณไฟเบอร์ของแผนผังมีอยู่เสมอจะลดปัญหาลงเหลือผลคูณเทนเซอร์ของวงแหวนสลับที่ได้ (ดูแผนผังการเชื่อมต่อ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อX , YและZเป็นแผนผังเชิงเส้น ทั้งหมด ดังนั้นX = Spec( A ), Y = Spec( B ) และZ = Spec( C ) สำหรับวงแหวนสลับที่ได้A , B , C บางวง ผลคูณไฟเบอร์คือแผนผังเชิงเส้น

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}$

มอร์ฟิซึมX × Z → Zเรียกว่า การ เปลี่ยนฐานหรือการดึงกลับของมอร์ฟิซึมX → Yผ่านมอร์ฟิซึมZ → Y

ในบางกรณี ผลคูณไฟเบอร์ของแผนผังจะมีตัวผกผันขวา ซึ่งก็คือการจำกัดของสเกลาร์

• ในหมวดหมู่ของโครงร่างเหนือฟิลด์kผลคูณX × Yหมายถึงผลคูณไฟเบอร์X × Y (ซึ่งเป็นตัวย่อของผลคูณไฟเบอร์เหนือ Spec( k )) ตัวอย่างเช่น ผลคูณของปริภูมิเชิงเส้น A ^mและ A ⁿเหนือฟิลด์kคือปริภูมิเชิงเส้นA ^{m + n}เหนือk
• สำหรับโครงร่างXบนฟิลด์kและส่วนขยายฟิลด์E ใดๆ ของkการเปลี่ยนฐานX หมายถึงผลคูณไฟเบอร์X × Spec( E ) โดยที่X คือโครงร่างบนEตัวอย่างเช่น ถ้าXคือเส้นโค้งในระนาบเชิงโปรเจกทีฟP ² บนจำนวนจริงRที่กำหนดโดยสมการxy ² = 7 z ³แล้วX คือ เส้นโค้ง เชิงซ้อนในP ² ที่กำหนดโดยสมการเดียวกัน คุณสมบัติหลายอย่างของวาไรตี้เชิงพีชคณิตบนฟิลด์kสามารถกำหนดได้ในแง่ของการเปลี่ยนฐานไปยังการปิดเชิงพีชคณิตของkซึ่งทำให้สถานการณ์ง่ายขึ้น
• ให้f : X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของสกีม และให้yเป็นจุดในYจากนั้นจะมีมอร์ฟิซึม Spec( k ( y )) → Yที่มีภาพyโดยที่k ( y ) คือฟิลด์ตกค้างของ y ไฟเบอร์ของfเหนือy ถูกกำหนดให้เป็นผลคูณไฟเบอร์X × Spec( k ( y )); นี่คือสกีมเหนือฟิลด์k ( y ) ^{[ 3 ]}แนวคิดนี้ช่วยพิสูจน์แนวคิดคร่าวๆ ของมอร์ฟิซึมของสกีมX → Yในฐานะตระกูลของสกีมที่กำหนดพารามิเตอร์โดยY
• ให้X , YและZเป็นสกีมเหนือฟิลด์kโดยมีมอร์ฟิซึมX → YและZ → Yเหนือkแล้วเซตของจุดk- ตรรก ยะของผลคูณไฟเบอร์X × Zนั้นสามารถอธิบายได้ง่าย:

${\displaystyle (X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k)}$

กล่าวคือ จุด kของX × Zสามารถระบุได้ด้วยคู่ของจุดk ของ XและZที่มีภาพเดียวกันในYนี่เป็นผลโดยตรงจากคุณสมบัติสากลของผลคูณไฟเบอร์ของแผนผัง

• ถ้าXและZเป็นสับสกีมปิดของสกีมYแล้ว ผลคูณไฟเบอร์X × Zจะเท่ากับการตัดกัน X ∩ Zที่มีโครงสร้างสกีมตามธรรมชาติ^{[ 4 ]}เช่นเดียวกันสำหรับสับสกีมเปิด

คุณสมบัติสำคัญบางประการ P ของมอร์ฟิซึมของสกีมจะถูกรักษาไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงฐานใดๆ ก็ตามนั่นคือ ถ้าX → Yมีคุณสมบัติ P และZ → Yเป็นมอร์ฟิซึมใดๆ ของสกีม การเปลี่ยนแปลงฐานX x Z → Z ก็ จะมีคุณสมบัติ P เช่นกัน ตัวอย่างเช่นมอร์ฟิซึมแบบแบนมอร์ฟิซึมแบบเรียบ มอร์ฟิซึมแบบเหมาะสมและมอร์ฟิซึมประเภทอื่นๆ อีกมากมายจะถูกรักษาไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงฐานใดๆ ก็ตาม^{[ 5 ]}

คำว่าdescentหมายถึงคำถามย้อนกลับ: ถ้ามอร์ฟิซึมที่ดึงกลับมาX x Z → Zมีคุณสมบัติ P บางอย่าง มอร์ฟิซึมดั้งเดิมX → Y ต้อง มีคุณสมบัติ P ด้วยหรือไม่? เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้โดยทั่วไป: ตัวอย่างเช่นZอาจเป็นสกีมที่ว่างเปล่า ซึ่งในกรณีนี้มอร์ฟิซึมที่ดึงกลับมาจะสูญเสียข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับมอร์ฟิซึมดั้งเดิม แต่ถ้ามอร์ฟิซึมZ → Yเป็นแบบ flat และ surjective (เรียกอีกอย่างว่าfaithfully flat ) และquasi-compactแล้ว คุณสมบัติหลายอย่างจะสืบทอดจากZไปยังYคุณสมบัติที่สืบทอดได้แก่ flatness, smoothness, properness และมอร์ฟิซึมประเภทอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 6 ]}ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของ ทฤษฎีการสืบทอด แบบfaithfully flatของGrothendieck

ตัวอย่าง: สำหรับส่วนขยายฟิลด์ใดๆk ⊂ Eมอร์ฟิซึม Spec( E ) → Spec( k ) นั้นเป็นแบบ faithfully flat และ quasi-compact ดังนั้นผลลัพธ์การลดระดับที่กล่าวถึงจึงบ่งชี้ว่า สกีมXบนkนั้นเรียบบนkก็ต่อเมื่อการเปลี่ยนแปลงฐานX นั้นเรียบบนEหลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับคุณสมบัติ properness และคุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมาย