ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจุดทั่วไปPของวาไรตี้เชิงพีชคณิตXคือจุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไปซึ่งคุณสมบัติทั่วไป ทั้งหมด เป็นจริง โดยคุณสมบัติทั่วไปคือคุณสมบัติที่เป็นจริงสำหรับเกือบทุกจุด

ในเรขาคณิตพีชคณิตแบบคลาสสิก จุดทั่วไปของ วาไรตี้พีชคณิต เชิงเส้นหรือเชิงฉายที่มีมิติdคือจุดที่ฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยพิกัดของจุดนั้นมีดีกรีทรานสเซนเดนซ์dเหนือฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยสัมประสิทธิ์ของสมการของวาไรตี้

ในทฤษฎีโครงร่าง สเปกตรัมของโดเมนเชิงปริพันธ์มีจุดทั่วไปที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียว ซึ่งก็คือไอเดียลศูนย์ เนื่องจากการปิดของจุดนี้สำหรับโทโพโลยีซาริสกี้คือสเปกตรัมทั้งหมด นิยามนี้จึงถูกขยายไปยังโทโพโลยีทั่วไปโดยที่จุดทั่วไปของปริภูมิโทโพโลยีXคือจุดที่การปิดของมันคือX

จุดทั่วไปของปริภูมิโทโพโลยีXคือจุดPซึ่งการปิด ของ ^จุด P คือ Xทั้งหมดนั่นคือจุดที่มีความหนาแน่นในX ^{[ 1} ]

คำศัพท์นี้เกิดขึ้นจากกรณีของโทโพโลยีซาริสกีบนเซตของส่วนย่อยของเซตพีชคณิต : เซตพีชคณิตจะไม่สามารถลดทอนได้ (นั่นคือ ไม่ใช่การรวมกันของเซตย่อยพีชคณิตแท้สองเซต) ก็ต่อเมื่อปริภูมิโทโพโลยีของส่วนย่อยมีจุดทั่วไป

• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเพียงแห่งเดียวที่มีจุดทั่วไปคือเซตที่มีสมาชิกเดียว
• แผนผังอินทิกรัลใดๆมีจุดทั่วไป (ที่ไม่ซ้ำกัน) ในกรณีของแผนผังอินทิกรัลเชิงเส้น (เช่นสเปกตรัมเฉพาะของโดเมนอินทิกรัล ) จุดทั่วไปคือจุดที่เกี่ยวข้องกับอุดมคติเฉพาะ (0)

ในแนวทางพื้นฐานของAndré Weilที่พัฒนาขึ้นในหนังสือ Foundations of Algebraic Geometry ของเขา จุดทั่วไปมีบทบาทสำคัญ แต่ได้รับการจัดการในลักษณะที่แตกต่างออกไป สำหรับวาไรตี้เชิงพีชคณิตVบนฟิลด์K จุดทั่วไปของVคือกลุ่มของจุดทั้งหมดในVที่มีค่าอยู่ในโดเมนสากล Ω ซึ่งเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ประกอบด้วยKแต่ยังรวมถึงตัวแปรที่ไม่แน่นอนใหม่ๆ จำนวนอนันต์ด้วย แนวทางนี้ได้ผลโดยไม่จำเป็นต้องจัดการโดยตรงกับโทโพโลยีของV ( โทโพโลยี K -Zariski) เพราะสามารถพิจารณาการกำหนดค่าเฉพาะทั้งหมดได้ในระดับฟิลด์ (เช่นเดียวกับ แนวทาง ทฤษฎีการประเมินค่าในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นที่นิยมในทศวรรษ 1930)

สิ่งนี้เกิดขึ้นโดยแลกกับการมีจุดทั่วไปจำนวนมากที่เหมือนกันออสการ์ ซาริสกีเพื่อนร่วมงานของไวล์ที่เซาเปาโลหลังสงครามโลกครั้งที่สองมักยืนยันว่าจุดทั่วไปควรมีเพียงหนึ่งเดียว (สามารถอธิบายได้ในแง่ของนักทอพอโลยี: แนวคิดของไวล์ไม่สามารถให้ปริภูมิโคลโมโกโรฟได้และซาริสกีคิดในแง่ของผลหารโคลโมโกโรฟ )

ในการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานอย่างรวดเร็วในช่วงทศวรรษ 1950 แนวทางของ Weil กลายเป็นสิ่งล้าสมัย อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีโครงร่างตั้งแต่ปี 1957 จุดทั่วไปได้กลับมาอีกครั้ง คราวนี้ในแบบของ Zariskiตัวอย่างเช่น สำหรับRซึ่ง เป็น วงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง Spec ( R )ประกอบด้วยสองจุด จุดทั่วไป (มาจากอุดมคติเฉพาะ {0}) และจุดปิดหรือจุดพิเศษที่มาจากอุดมคติสูงสุด ที่ไม่ซ้ำกัน สำหรับมอร์ฟิซึมไปยังSpec ( R ) ไฟเบอร์เหนือจุดพิเศษคือไฟเบอร์พิเศษซึ่งเป็นแนวคิดที่สำคัญ เช่น ในการลดโมดูล pทฤษฎีโมโนโดรมีและทฤษฎีอื่นๆ เกี่ยวกับการเสื่อมสภาพ ในทำนอง เดียวกัน ไฟเบอร์ทั่วไปคือไฟเบอร์เหนือจุดทั่วไป เรขาคณิตของการเสื่อมสภาพจึงเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากไฟเบอร์ทั่วไปไปเป็นไฟเบอร์พิเศษ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การกำหนดพารามิเตอร์เฉพาะเจาะจงส่งผลต่อเรื่องต่างๆ อย่างไร (สำหรับวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง พื้นที่ทางทอพอโลยีที่กล่าวถึงคือพื้นที่ Sierpinskiของนักทอพอ โลยี วงแหวนเฉพาะที่ อื่นๆ มีจุดทั่วไปและจุดพิเศษที่ไม่ซ้ำกัน แต่มีสเปกตรัมที่ซับซ้อนกว่า เนื่องจากแสดงถึงมิติทั่วไป กรณีการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องนั้นคล้ายกับดิสก์หน่วย เชิงซ้อนมาก สำหรับวัตถุประสงค์เหล่านี้)