ในทางคณิตศาสตร์ไฟเบอร์( ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน)หรือไฟเบอร์ ( ภาษาอังกฤษแบบอังกฤษ ) ขององค์ประกอบ ภายใต้ฟังก์ชันคือภาพก่อนหน้าของเซตเอกพจน์^{[ 1 ] : หน้า 69} นั่นคือ ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}.}$

ถ้าและเป็นโดเมนและภาพของตามลำดับ แล้วไฟเบอร์ของคือเซตใน ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}}$

ซึ่งเป็นการแบ่งส่วนของเซตโดเมนโปรดทราบว่าจะต้องแมปไปยังเพื่อให้เซตที่กำหนดไว้ข้างต้นเป็นการแบ่งส่วนมิฉะนั้นจะมีเซตว่างเป็นหนึ่งในองค์ประกอบ ไฟเบอร์ที่มีองค์ประกอบคือเซต${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(f(x)).}$

ตัวอย่างเช่น ให้เป็นฟังก์ชันจากไปยังที่ส่งจุดไปยังไฟเบอร์ของ 5 ภายใต้คือจุดทั้งหมดบนเส้นตรงที่มีสม การไฟเบอร์ของคือเส้นตรงนั้นและเส้นตรงทั้งหมดที่ขนานกับเส้นตรงนั้น ซึ่งก่อให้เกิดการแบ่งระนาบ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a+b=5}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้น หนึ่ง ไปยังปริภูมิเชิงเส้นอื่นไฟเบอร์ของจะ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของซึ่งเป็นสำเนาที่ถูกเลื่อนทั้งหมดของปริภูมิว่างของ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

ถ้าf เป็น ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวไฟเบอร์ของฟังก์ชัน f จะเป็นเซตระดับของf ถ้าf เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและf อยู่ในภาพของเซตระดับ f โดยทั่วไปจะเป็นเส้นโค้งใน2 มิติพื้นผิวใน3 มิติและโดยทั่วไปแล้วจะเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ ในโดเมนของ f${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f.}$

เส้นใยของ คือชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูลที่กำหนดไว้บนโดเมนโดยที่ ก็ ต่อ เมื่อ เท่านั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle \equiv _{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x'\equiv _{f}x''}$${\displaystyle f(x')=f(x'')}$

ในโทโพโลยีเซตจุดโดยทั่วไปจะพิจารณาฟังก์ชันจากปริภูมิโทโพโลยี หนึ่ง ไปยังปริภูมิโทโพโลยีอีกปริภูมิ หนึ่ง

ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและถ้า(หรือโดยทั่วไปแล้ว เซตภาพ) เป็นปริภูมิT แล้ว ไฟเบอร์ทุกตัวจะเป็นเซตย่อยปิดของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่จากไปไฟเบอร์แต่ละตัวของจะ เป็นปริภูมิย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของ${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าอะไรฟังก์ชัน โมโนโทน คือ ฟังก์ชันที่ทุกไฟเบอร์เป็นปริภูมิย่อยที่เชื่อมต่อกัน ของโดเมน ฟังก์ชันจะเป็นโมโนโทนในความหมายทางโทโพโลยีนี้ก็ต่อเมื่อมันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงซึ่งเป็นความหมายปกติของ "ฟังก์ชันโมโนโทน" ในเชิง จริง${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี (บางครั้ง) เรียกว่าแผนที่ที่เหมาะสม (proper map)ถ้าไฟเบอร์ทุกตัวเป็น ปริภูมิย่อย กระชับ (compact subspace) ของโดเมน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนหลายคนใช้คำจำกัดความอื่นที่ไม่เทียบเท่ากันของ "แผนที่ที่เหมาะสม" ดังนั้นจึงควรตรวจสอบเสมอว่าผู้เขียนแต่ละคนให้คำจำกัดความของคำนี้อย่างไร ฟังก์ชันต่อเนื่องปิดทั่วถึง(surjective function)ที่ไฟเบอร์ทั้งหมดกระชับเรียกว่าแผนที่สมบูรณ์ (perfect map )

ไฟเบอร์บันเดิลคือฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่ไฟเบอร์ของฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติพิเศษบางประการที่เกี่ยวข้องกับทอพอโลยีของปริภูมิเหล่านั้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตถ้าเป็น มอร์ฟิ ซึมของสกีมไฟเบอร์ของจุดในคือผลคูณไฟเบอร์ของสกีม โดยที่คือฟิลด์ส่วนเหลือที่${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$$${\displaystyle k(p)}$${\displaystyle p.}$